E3A Physique et Chimie PSI 2008

Thème de l'épreuve Moteur de maquette d'avion. Métallurgie du cobalt.
Principaux outils utilisés électronique, conversion de puissance, thermochimie, électrochimie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS ENSAM -- ESTP -- ARCHIMEDE

Epreuve de Physique -- Chimie PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

010R

......

e 3 a
CONCOURS ENSAM -- ESTP -- ARCHIMEDE

Epreuve de Physique -- Chimie PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,

d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

W

L'usage de calculatrices est autorisé.

Ce problème est constitué de deux parties, totalement indépendantes:
fonctionnement d'un moteur à courant continu, sa commande par un hacheur et le

contrôle de sa vitesse (1ère partie), métallurgie du sulfure de cobalt puis 
obtention du
cobalt par électrolyse (2ème partie).

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre que

les développements analytiques et les applications numériques ; les résultats 
exprimés
sans unité ne seront pas comptabilisés ;

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;

0 dans les calculs, les gaz sont assimilés à des gaz parfaits et les phases 
solides sont non
miscibles ; ln désigne le logarithme népérien et log le logarithme décimal ;

. les schémas relatifs au moteur sont rassemblés à la fin de la première 
partie, les données
numériques relatives à la partie « Chimie » sont répertoriées àla fin dela 
deuxième partie ;

les données thermodynamiques ont servi à calculer les enthalpies libres 
standard de
réaction fournies dans le texte.

. deux documents--réponse référencés ( 1 ) pour la partie « Physique » et (2) 
pour la partie
« Chimie » devront être remplis puis remis avec la copie.

Le cobalt --- découvert en 1735 par G. BRANDT --- entre dans la composition de 
nombreux
alliages utilisés dans les industries électrique, aéronautique et automobile, 
ou d'alliages très durs

pour coupe rapide. Il est employé pour la fabrication d'aimants permanents pour 
moteurs,
d'alliages réfractaires, de pigments pour le verre, les céramiques et 
l'industrie des peintures.

Tournez la page S.V.P.

PREMIERE PARTIE :
MOTEUR DE MAQUETTE D'AVION
La majorité des moteurs utilisés en modélisme et en robotique amateur sont des 
moteurs à
courant continu à aimant permanent qui transforment l'énergie électrique 
fournie par les

accumulateurs en énergie mécanique. Nous nous intéresserons, dans le problème 
qui suit, à la
mise en mouvement de l'hélice d'un modèle réduit d'avion et au contrôle de sa 
vitesse de rotation.

Tous les composants électroniques sont supposés parfaits. Les amplificateurs
opérationnels (AO) utilisés sont idéaux. Si un amplificateur opérationnel 
fonctionne en régime de

saturation, sa tensuon de sortie sera egale a +USAT ou --USAT avec USAT=12V. 
Lorsqu un

composant est utilisé en commutation (diode, transistor ou A0), le passage d'un 
état à l'autre
s'effectue de façon instantanée. La résistance des fils de conduction 
électrique est nulle.

A I LE MOTEUR ÉLECTRIQUE A COURANT CONTINU

L'hélice est entraînée par un moteur à courant continu et aimant permanent 
(noté M. C. C. )
possédant, au point nominal de fonctionnement, les caractéristiques suivantes :

- tension nominale d'induit : UNOm : 12 V,
. intensité du courant dans l'induit : anm = 2,50 A,
- fréquence de rotation : Nnom : 3000 tr. min'1 .

Le rotor ou induit du M. C. C. (figure Q1 ) est constitué de n spires 
rectangulaires enroulées

sur un cylindre de rayon a et de longueur b. L'ensemble tourne a la vitesse 
angulaire [2 autour de
son axe 22' (figure 92) en restant dans l'entrefer d'un aimant permanent 
(stator ou inducteur) ---

réalisé à partir d'un alliage cobalt--samarium --- qui crée un champ magnétique 
radial Ë : Br ë, dont
la composante Br est représentée sur la figure p_3. Les spires sont connectées 
à l'extérieur par le
systéme balai--collecteur en restant dans la configuration dela figure p2.

Le rotor est équilibré pour minimiser les vibrations. Le moment d'inertie de 
l'ensemble

ramené sur l'axe du moteur est J ==--10""5 kg.m2 ; les pertes fer {dans le 
circuit magnétique) et
mécaniques (frottements solides) sont négligées. Lors de sa rotation, le 
cylindre est soumis à une

force de frottement fluide, de couple : Ôf : --- ,8 Î2 : --- C,: él (avec C,: > 
0 et ,B==10"'5 kg.m2.s"1 ).

L'induit posséde une résistance R=0,24 [) et une inductance L supposées 
constantes.
Un générateur de tension constante VA -- VC : U (avec U > 0 ) alimente le 
moteur. A l'instant t, la

branche MN est située dans l'intervalle --7r/2 < 0 < 7z/2 et la branche PQ dans 
l'intervalle
rr/2 <9 < 37r/2.

A1. Démontrer les expressions de la force électromotrice du moteur E= (DO Q (E 
est reliée à
la force électromotrice induite e par la relation E=--e) et le couple des forces

---O

électromagnétîques Ôem =Cem eZ =i (DO ë,_, i étant l'intensité du courant dans 
I'induit et Q

la vitesse de rotation du rotor.
Exprimer le flux inducteur utile (DO en fonction de a, b, n et 80.

Le schéma électrique équivalent de l'induit en régime dynamique est proposé 
ci--dessous :

L E=OEOQ

- R '

' -

A. _ - 'C

IË IË

lä

l.ä

3

En déduire l'équation électrique reliant les grandeurs E, U, R, L et i.

...--.

Ecrire l'équation mécanique reliant J, Q, le couple utile C,,=---Cu ez (avec 
Cu>0 et
supposé constant), imposé au moteur lorsqu'il entraîne la charge mécanique, le 
couple de
frottement Cf et le couple électromagnétique C....

En déduire la projection de cette équation mécanique suivant l'axe ez.

Expliquer qualitativement comment freiner le moteur. Quel est le comportement 
du moteur
lorsqu'il tourne en roue libre, c'est--à-dire non alimenté ?

Fonctionnement en régime nominal

Calculer la valeur de la force électromotrice du moteur E ; en déduire la 
constante (bo et
préciser son unité.

En négligeant la chute de tension aux bornes de la bobine, déduire des équations
mécanique et électrique couplées, l'équation différentielle vérifiée par la 
vitesse angulaire

Q en utilisant (Do, B, C... J, R et U. Déterminer le temps 1: caractéristique 
de la "mise en
vitesse" du moteur. Exprimer la vitesse angulaire limite Q,im. Combien de temps 
est-il

nécessaire pour atteindre cette vitesse à 1 % près ?

Calculer le moment du couple utile Cu en régime nominal et Qu... (en tr.min"). 
Quel est le

courant id dans l'induit au démarrage, si la tension d'induit est égale à la 
tension nominale ?

Commenter.
Quelle est, au démarrage, la tension minimale Ud...... nécessaire pour 
entraîner le moteur ?

BI COMMANDE DU M.C.C. PAR UN HACHEUR

Le moteur est alimenté par un hacheur, la tension et le courant d'induit ne 
sont plus

continus ; u(t)=vA(t)--vc(t) et i(t) sont des fonctions périodiques du temps. 
Leurs valeurs

moyennes respectives sont notées  et (i(t)).

L'hé/ice tourne à vitesse constante. L'induit du M. C. C. représenté figure 94 
est alimenté par

l'intermédiaire d'un hacheur série connecté a une source de tension idéale de 
valeur U =12 V.

L'interrupteur électronique H, est commandé de manière périodique et la période 
T... par un

signal rectangulaire ou créneau de rapport cyclique a et de fréquence de 
hachage N... =2 kHz
généré par un circuit non représenté :

81

mm
$"!"

l'interrupteur H, est fermé entre les instants 0 et aT...,
l'interrupteur H1 est ouven' entre les instants aT... et T...,

à l'état passant, la diode D, est assimilée à un interrupteur fermé,
à l'état bloqué, elle est assimilée à un interrupteur ouvert.

Le rapport cyclique est réglé à a = 0,6.

Montrer qu'un interrupteur idéal ne consomme pas de puissance et que les 
interrupteurs H,
et D, ne peuvent être ni fermés, ni ouverts simultanément.

Quel est le rôle de la diode D1 dite "de roue libre" '?

Représenter sur deux périodes le chronogramme de la tension u(t), c'est-à-dire 
son

évolution au cours du temps. Préciser sur le graphe l'amplitude de u(t) et les 
instants ch...
et TH1.

La différence de potentiel aux bornes de la résistance de l'induit est 
négligée. Calculer la
valeur moyenne (u(t)) de la tension u(t). En déduire la force électromotrice E 
et la vitesse

Tournez la page S.V.P.

4

de rotation Q de l'induit en tr.min". Montrer que la vitesse de rotation Q du 
moteur est
proportionnelle au rapport cyclique oz. Calculer la valeur de Q pour on =0,6.

B5. Justifier l'évolution au cours du temps de l'intensité du courant i(t) 
représentée sur le
graphe figure p_5. Etablir l'expression de l'onduiation du courant AI = 1 max - 
I ...... en fonction

de U... L, on et T.... Pourquoi est--il intéressant de diminuer l'ondulation du 
courant ?
Préciser le rôle d'une bobine supplémentaire de lissage qui peut être placée en 
série avec
le moteur. A partir du graphe, calculer l'inductance L de l'induit.

BG. Déterminer la valeur moyenne (i(t)) de l'intensité du courant. Vérifier que 
la chute de

tension aux bornes de R est négligeable. Expliquer l'intérêt du courant moyen 
(et de la
tension moyenne) pour un moteur à courant continu.

C ! RÉALISATION DES SIGNAUX DE COMMANDE DU HACHEUR

Un générateur de tension est représenté sur la figure Q6. Il comporte un 
condensateur de
capacité C1 et un interrupteur électronique Hz commandé par de brèves 
impulsions périodiques de
période TH2 :

. à t = O, l'interrupteur idéal H2 se ferme pendant un bref instant sur une 
première
impulsion,
- il est ensuite ouvert pendant la durée TH2 jusqu'à l'impulsion suivante.

USAT 1:12 V ,' R1=1kQ ,' C1 =1IJF ,' TH2 = 0,5 ms.

C1. Exprimer l'intensité du courant 1. Quelle est la fonction de l'A01 dans le 
circuit
électronique ? Préciser le rôle de l'AOZ et de l'AO;,.

C2. Déterminer la tension u...(t) dans l'intervalle de temps [O, TH2] en 
fonction de US", R1, C1 et
t. Représenter le chronogramme u...(t) sur deux périodes. Préciser la valeur 
maximale
UCMAX et la période de u...(t).

C3. Quelle est la fonction de l'A04 ? En déduire la tension uo(t) appliquée à 
l'entrée inverseuse
de l'amplificateur opérationnel AO5.

C4. Expliquer le rôle de l'A05 et tracer le chronogramme u,(t) sur deux 
périodes pour une
tension de consigne VCONS réglable entre 0 et UCMAX.

Conclusion :

CS. Exprimer le rapport cyclique oc du signal obtenu en fonction de VCONS, 
USAT, TH2, R1 et C1.

Montrer que VCONS permet le contrôle de la vitesse de rotation Q du moteur. 
Pour quelle
valeur de VCONS obtient-on un rapport cyclique de 0,6 pour le signal u1(t) ?
A quelle vitesse de rotation du moteur (exprimée en tr.min") cette valeur 
correspond-elle ?

D I LE CAPTEUR DE VITESSE

Le transducteur utilisé est un capteur optoélectronique qui délivre une tension 
variable
proportionnelle à la fréquence de rotation du moteur. Il est associé à un 
convertisseur fréquence--

tension (figure 27).

Pour accéder à la fréquence de rotation N du M. C. C., il est possible de fixer 
sur son rotor
une roue dentée dont les 30 dents empêchent le rayon lumineux émis par une 
diode fixe Dz de

rencontrer la base du phototransfstor T :

. le phototransist0r T est passant et se comporte comme un interrupteur fermé 
lorsqu'il
est exposé au faisceau lumineux,

. inversement, T est bloqué et se comporte comme un interrupteur ouvert lorsque 
le
faisceau lumineux est interrompu (30 fois par tour).

5

Ce phototransistor est sensible et rapide ; il permet de détecter les flashs de 
durée tD très
brève (de l'ordre de la microseconde) par rappon' à la période TD des éclairs 
lumineux. Le rapport
tD / TD dépend des dimensions relatives des fentes et des dents de la roue 
dentée liée au rotor.

Vo=1V ; USAT=12V ; Ro=10k[2 ; C7=12,5,uF

_Q_L_ Le moteur tournant à 2000 tr.min", calculer la fréquence ND (en Hz) ou la 
période TD des
éclairs détectés par le phototransistor.

Q_2_._ Lorsque le montage est dans un état stable, les potentiels sont 
constants. Préciser dans ce

cas uT, v ", v , a = (v + ---- v ), U; et uC7 pour le phototransistor T passant 
puis bloqué.
Recopier et compléter le tableau suivant :

- ° s- '
55 ,,
à. '" îrïï ;.l=' ; =.

L'analyse des rôles du générateur de tension V, et de la diode D3, montre que 
l'A 06 permet
d'obtenir les brèves impulsions reproduites sur le chronogramme de v" suivant : 
(avec tD << TD )

" T passant T passant T passant

Exprimer la tension v+ en fonction de V0, Ro, C7 et däÎ7 puis uC7 en fonction 
de u2 et v"'.

22».
Qi Lorsque le système est instable et que u; est constant (car il a basculé 
instantanément),
établir l'équation différentielle vérifiée par v'(t) en fonction de V0 et d'une 
constante de

temps 't que vous exprimerez et calculerez.

DS. Quelles sont les grandeurs électriques continues relatives à un 
condensateur? Justifier
votre réponse.

A l'instant t = 0, le phototransistor Tpasse d'un état bloqué a un état passant.

QQ. Ecrire la condition initiale v"'(O) juste après le passage de T à l'état 
passant ; en déduire les
expressions de v"(t) et de uC7(t) lorsque t > O.

Le phototransistor contrôle l'entrée inverseuse de l'A07 : v" bascule 
instantanément alors
que v+ évolue au cours du temps.

Q_Z_._ A quel instant to la tension uz bascule--t-elle ? Exprimer to en 
fonction de 1:, Vo et USAT puis
calculer sa valeur. Quelle est alors l'expression de uc7(to) ? En déduire v+(t) 
lorsque t > to.

La tension uz peut--elle à nouveau basculer en l'absence d'une nouvelle 
impulsion?
Justifier le nom de "monostable" qualifiant un tel dispositif.

l8

Compléter les chronogrammes 1 et 2 de v +(t) et u2(t) sur le document--réponse 
(1) ; noter
sur les graphes les amplitudes de ces tensions.

DS. Le montage monostable effectue une temporisation. Analyser pourquoi.

Tournez la page S.V.P.

6

Considérons uniquement la partie du circuit électronique de la figure Q7 notée 
(A) et
délimitée par des pointillés. Elle admet la tension d'entrée u2(t) et u3(t) est 
le signal de sortie.

010. Réaliser un schéma équivalent de ce montage à basse fréquence, puis à 
haute fréquence
en indiquant pour chaque cas l'opération réalisée entre l'entrée et la sortie.

11. Déterminer la fonction de transfert _H(joe)=gî en supposant le régime 
harmonique de
g2
pulsation oe. Représenter l'allure asymptotique des courbes de gain GdB : 20 
log |_H_let de

déphasage entrée-sortie (p = arg (_H_) en fonction de la pulsation on du signal 
d'entrée.
En déduire le type de filtrage réalisé et préciser sa fréquence de coupure NC 
sachant que :

R8=R7=1MQGÏC8=1UF.

Reprenons maintenant l'influence de ce filtre dans l'application envisagée : le 
filtre est
"attaqué" parla tension u2(t) périodique et de rapport cyclique a, décrite en 
22. Sa décomposition

de Fourier en notation réelle est : u2(t) :  et CoSO4(S) , puis calculer la pente 
de la frontière
C°SZ(g) / COSO4(S) (droite J).

A11. En opérant par continuité, terminer le tracé des différentes frontières. 
Placer dans chaque
domaine l'espèce stable correspondante.

Ce diagramme n'est valable qu'à la température de 950 K et pourra donc évoluer 
si la
température augmente. Sans pour autant retracer le diagramme, l'étude portera 
plus
particulièrement sur l'évolution de la droite B séparant l'oxyde de cobalt du 
sulfate de cobalt, pour
quelques températures. Des calculs analogues à ceux réalisés en A6 et A7 
fournissent :

température T = 900 K équation de B : log p(SOz)éq : ----- 5, 6 --- 0,5 log 
p(O2 )éq ,
température T = 1050 K équation de B : log p(SOZ)éq == --- 2,7 ---- 0,5 log 
p(02)éq,
température T = 1100 K équation de B : log p(SOz)éq : ---- 1,9 -- 0,5 log 
p(02)éq .

A12. Représenter sur le document-réponse (2) (sous forme de traits discontinus) 
les nouveaux
tracés de la droite B pour les trois températures mentionnées.

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10

Sur le document--réponse (2), comme sur les figures 01 et c2, apparaît une zone 
hachurée

qui correspond aux domaines de variation des pressions partielles de dioxygène 
et de dioxyde de
soufre, telles qu'elles sont rencontrées dans les fours de grillage, soit plus 
précisément :

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Document régonse (2) à compléter et à rendre avec la cogie

Diagramme Co-O-S

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|09 P(02)

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique et Chimie PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Alban Sauret (ENS Lyon) et Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de deux parties complètement indépendantes, l'une de 
physique, l'autre de chimie.
La partie de physique présente quelques aspects du fonctionnement d'un moteur
de maquette d'avion.
· On commence par étudier le moteur à courant continu faisant tourner l'hélice 
de
l'avion. On traite ensuite du dispositif de commande par un hacheur. Ces deux
parties sont assez proches du cours de conversion de puissance et permettent
d'en vérifier la bonne assimilation. Le jour du concours, elles doivent être 
rédigées avec le plus grand soin, le jury précisant qu'il sanctionne les 
questions de
cours non assimilées.
· Les deux dernières parties traitent de l'étude de circuits électroniques 
permettant de réaliser les signaux de commande du hacheur et de mesurer la 
fréquence
de rotation du moteur. Peu de connaissances directes du cours sont mises en jeu,
mais il faut un bon recul sur les montages à amplificateur opérationnel. Le jury
s'étonne du peu de succès de la quatrième partie, mais l'énoncé comporte une
erreur qui rend le dispositif proposé inutilisable !
La partie de chimie discute de la métallurgie du cobalt.
· On commence par travailler sur le procédé industriel permettant d'isoler le
sulfate de cobalt des minerais renfermant l'élément cobalt. On trace alors 
progressivement un diagramme p(SO2 )/p(O2 ) pour l'ensemble des réactions 
possibles, diagramme qui est ensuite exploité pour analyser le procédé de 
séparation. Cette partie de thermochimie est bien détaillée et de difficulté 
progressive.
Il faut néanmoins une bonne compréhension de la construction des diagrammes
d'Ellingham pour pouvoir mener à bien ce tracé original.
· Enfin, on étudie le procédé d'électrolyse visant à récupérer le cobalt. Les 
résultats obtenus sont interprétés en utilisant les courbes intensité-potentiel.
Cette partie, bien que relativement courte et ne présentant pas de difficulté
majeure, n'a été que peu abordée par les candidats.
Certains points de la partie de physique de ce sujet sont spécifiques à la 
filière PSI.
En revanche la chimie est entièrement accessible aux étudiants des autres 
filières (en
particulier de MP) qui peuvent la traiter pour s'entraîner.
Le jury du concours reconnaît lui-même que l'épreuve est longue : face à ce type
de sujet, il est recommandé d'aller le plus loin possible dans chaque partie 
plutôt que
de chercher à grappiller des points en traitant les différentes parties de 
manière superficielle. Une lecture complète du sujet en début d'épreuve permet 
alors de commencer
par ce avec quoi on est le plus à l'aise.

Indications
Partie I
A.1 Quels sont la force électromotrice et le couple associés aux bras NP et QM ?
Calculer le couple et la f.é.m. induite sur le bras MN puis utiliser la symétrie
du dispositif.
A.3 Appliquer le théorème du moment cinétique en un point de l'axe de rotation.
A.6 Éliminer le courant i des équations électrique et mécanique en négligeant 
l'effet
de l'inductance L.
A.7 Le moteur ne démarre que s'il est soumis à un couple moteur.
B.2 Quel est le risque associé à l'ouverture brutale d'un circuit inductif ?
B.5 Utiliser la question A.7 pour établir i(t = 0). Intégrer ensuite l'équation 
électrique entre t = 0 et t =  TH , puis entre t =  TH et t = TH .
C.4 L'AO5 est un comparateur simple. L'ensemble {r, D1 } est un redresseur de
tension.
D.6 Utiliser la continuité de la tension aux bornes du condensateur lorsqu'il y 
a
basculement.
D.7 Montrer qu'il n'y a jamais basculement si T est passant. Combien y a-t-il 
d'états
stables lorsque T est bloqué ?
D.8 Il faut supposer   TD contrairement aux valeurs fournies par l'énoncé : 
l'AO7
bascule alors à chaque impulsion.
Partie II
A.1 Quel est le signe de r HA ?
A.2 Utiliser la loi d'action des masses et la relation r G (T) = -R T ln K (T).
A.4 Une affinité positive signifie un déplacement de l'équilibre chimique dans 
le sens
direct, jusqu'à élimination du réactif limitant.
A.8 Utiliser la loi de Hess et les données du formulaire.
A.10 Équilibrer successivement le cobalt, le soufre et l'oxygène. Ramener 
ensuite le
nombre stoechiométrique du dioxygène à un.
A.11 Pour avoir trois espèces simultanément, il faut que les trois droites 
caractérisant
chaque équilibre aient une intersection commune. Utiliser la question A.4.
A.13 Analyser la position relative de la zone hachurée par rapport à la droite 
H, dont
la pente ne change pas.
B.1 Appliquer la formule de Nernst à chaque couple oxydoréducteur.
B.3 Écrire les potentiels d'électrode dans la limite d'une intensité nulle.
B.4 Négliger la réduction de l'eau.

I. Moteur de maquette d'avion
A.

Le moteur électrique à courant continu

A.1 Déterminons la force électromotrice induite dans une spire de contour MNPQ,

-

en mouvement par le Ichamp magnétique permanent B = Br -
er :

-

-

e1 =
(-
v  B ) · d  = eMN + eNP + ePQ + eQM
MNPQ

L'expression de la force électromotrice (f.é.m.) induite est basée sur les 
formules de transformation classique des champs par changement de référentiel
 -
-

-
 -
-

E = E +-
v B
et
B = B
S

e

S

S

où l'indice S fait référence au champ électromagnétique évalué dans le réfé
rentiel lié aux sources et -
v e est la vitesse d'entraînement du référentiel lié au
conducteur par rapport à celui lié aux sources. On démontre cette relation
en utilisant l'invariance de la force de Lorentz par changement de référentiel.

-

-

Le terme -
ve  B S = -
v e  B , appelé champ électromoteur, est analogue au

-
terme - A /t obtenu lors de l'étude d'un circuit fixe soumis à un champ
magnétique variable.
Le déplacement élémentaire en tout point des contours NP et QM est colinéaire
au champ magnétique régnant en ces points. En conséquence
eNP = eQM = 0
La force électromotrice induite le long du contour MN s'écrit, en adoptant les 
conventions de la figure p2 de l'énoncé,
Z

-

-

eMN =
(-
v  B) · d
MN

Le long du contour MN, vérifions

-

-

-
-

d  = d -
ez
v = a
e
et
B = B0 -
er
Z b

On trouve alors
eMN =
(a  -
e   B0 -
er ) = -a b B0 
0

Le long du contour PQ

-
-
d  = -d 
ez
En conséquence

-

-
v = a
e

et

-

B = -B0 -
er

ePQ = eMN

et donc
e1 = -2 a b B0 
Le rotor du moteur étant constitué de n spires, la force électromotrice du 
moteur E = -n e1 s'écrit finalement
E =  0

avec

0 = 2 n a b B 0

Le rotor d'un moteur d'avion est plus complexe qu'un ensemble de spires
carrées. Toutefois on peut toujours écrire la force électromotrice du moteur
sous la forme E = 0 , le flux inducteur utile 0 est alors une grandeur
caractéristique du moteur étudié, qui dépend de sa géométrie.

La résultante des forces de Laplace subie par un circuit indéformable est nulle 
:
l'action se réduit à un couple. Sur une portion élémentaire de circuit 
filiforme de

-
longueur d  , la résultante élémentaire des forces de Laplace s'écrit pour une 
spire
parcourue par l'intensité i
-

 -
-

dFL = i d   B
 -
-
 -

Le long des segments NP et QM, d   B = 0 : seuls les segments MN et PQ ont
une contribution non nulle. Le long du bras PQ, la force de Laplace est opposée 
à

celle le long de MN et est dirigée suivant -
e . Chaque bras contribue alors de la même
façon au couple, qui, par symétrie, est dirigé suivant l'axe z  z et s'écrit

-

C em = Cem -
ez
Le long du segment MN, le couple élémentaire s'écrit

-

-

-
dC = a-
er  (i d 
e z  B0 -
er ) = a i B0 d 
ez
En intégrant sur la longueur du bras, MN apporte une contribution au couple 
total
CMN = a b i B0
Le bras PQ apporte la même contribution que MN. Ainsi, concluons, en tenant
compte des n spires du rotor, que
Cem = 0 i

avec

0 = 2 n a b B 0

A.2 L'additivité des tensions conduit à la relation
U = E + Ri + L

di
dt

A.3 Appliquons le théorème du moment cinétique au système constitué par les n
spires en un point O de l'axe de rotation zz  .

-
 -
-

d-
O
= Cu + Cf + Cem
dt
L'axe de rotation étant axe de symétrie du problème, on a

-

-
O = J 
Le moment d'inertie J est constant. On conclut
J

-

-
 -
-

d
= Cu + Cf + Cem
dt

Par projection sur l'axe zz  , on trouve, en utilisant le résultat de la 
question A.1,
J

d
= -Cu -   + 0 i
dt

A.4 Les couples utile et de frottement sont tous deux résistants. Pour freiner 
simplement le moteur, ouvrons le circuit électrique, ce qui impose i = 0.
Pour rendre le freinage plus efficace, notons que la nature du couple 
électromagnétique dépend du sens du courant circulant dans le circuit. On peut 
alors