E3A Physique et Chimie PSI 2007

Thème de l'épreuve Dessalement de l'eau de mer par osmose inverse
Principaux outils utilisés écoulement incompressible, bilan (de matière et d'énergie), rendement énergétique, solutions aqueuses, thermodynamique chimique, potentiel chimique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A44T

e 3 &
CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Physique - Chimie PSI

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Ce problème illustre le fonctionnement d'une unité de dessalement de l'eau de

mer et comporte deux volets indépendants : la chimie de l'eau de mer (première 
partie), le
dessalement par osmose inverse et le bilan énergétique de l'installation 
(seconde partie).

Remargues préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même
titre que les développements analytiques et les applications numériques ; les
résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés,

- tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il n'a
pas été démontré par les candidat(e)s.

La population du monde ne cesse d'augmenter alors que la ressource en eau de la 
planète
se dégrade. 97% de l'eau disponible sur la Terre se trouve dans l'océan mais 
elle est salée.
Les pays en voie de développement, qui ont un besoin croissant en eau, se sont 
donc tournés
vers les procédés de dessalement de l'eau de mer. Jusqu'aux années 80-90, le 
procédé de
distillation était le seul utilisé pour des installations de grande capacité. 
Dans les années 80,
l'osmose inverse est apparue, d'abord pour les eaux saumâtres, puis pour les 
eaux de mer; elle
concurrence actuellement le procédé de distillation pour des installations de 
capacité élevée (à
Médine, en Arabie Saoudite, 128000 m3 d' eau sont traités chaque jour par 
osmose inverse).

Tournez la page S.V.P.

2

PREMIERE PARTIE:
CHIMIE DE L'EAU DE MER

AI Constitution et pH de l'eau de mer

La masse totale des sels dissous dans un kilogramme d' eau de mer peut varier 
d'une eau
de mer à une autre (plus de 40 g. L en mer Rouge, moins de 10 g. L en mer 
Baltique). La grande
particularité de I' eau de mer est que les proportions relatives des principaux 
sels restent
sensiblement constantes; cette propriété a été établie par le chimiste écossais 
W. DITTMAR et
permet de considérer I' eau de mer comme une solution dont les constituants 
majeurs sont
répertoriés dans le tableau ci--dessous. Les concentrations y sont exprimées en 
g. L et en mol. L",
pour une eau de salinité 35 et de masse volumique ,OEM" -- 1022 kg m"

g.L" mol.L" 9. L" mol.L"
H20 988,08 54,74 {8 (OH). , B (OH), } 0,0046 000043
Na' 11,007 0,4788 C" 19,780 0,5579
M9" 1,318 0,0542 SOÎ' 2,772 00289
Ce" 0,421 001051 {HCOâ , COÊ'} 0,121 à 0,149 000198 à 000245
K+ 0,408 001043 Br ' 00890 000088
Sr2+ 00081 0000092 F ' 00013 000007

A_L Calculer la masse totale des différents constituants (eau non comprise) par 
litre puis par
kilogramme d'eau de mer (elle devra être exprimée en 9. L" ,puis en g. kg ). 
Définir la
salinité de cette eau. Pourquoi les eaux du Golfe Persique ont-elles une 
salinité plus
élevée que celles de la mer Méditerranée ou de l'Océan Atlantique ?

Préparons une eau de mer artificielle, selon la « recette » du tableau 
précédent, en
mélangeant des bases fortes et des acides forts dans la quantité d'eau 
nécessaire. La solution SM

ainsi constituée exclut les composés du bare, B(OH)3 et B(OH).{ ainsi que les 
ions HCOJ et CO32'.
A2*a. A quels acides forts et bases fortes peuvent être associés les différents 
ions présents ?

A2*b. Ecrire la condition d'électr0neutralité de la solution SM. Quelles 
espèces, acides ou bases,
sont--elles en excès dans SM? Evaluer cet excès (exprimé en mol.L") en calculant

l'alcalinité A de la solution SM, définie comme : A = [OH'] -- [H'].

A3*a. En déduire le pH de la solution SM, sachant que le produit ionique de 
l'eau de mer de
salinité 35 vaut Ke : 5_10-14

A3*b. Montrer que le pH de la solution S.... varie légèrement dès lors que les 
composés du bore,
B(OH)3 et B(OH)4', sont maintenant pris en compte.

A3*c. Quelle est l'influence des composés du bore et du carbone ? Quels sont 
les phénomènes
qui provoquent les plus grandes variations du pH de l'eau de mer ?

B I Equilibre thermodynamique du système {CO2 ,HCO; ,COâ'}

Le dioxyde de carbone est un gaz atmosphérique, sa pression partielle 
p(COz(gaz)) est une
grandeur mesurable évaluée actuellement à 365.10 bar. Il est soluble dans 
toutes les eaux

3

nature/les ; sa forme dissoute C02(aq) est en équilibre avec sa forme gazeuse 
COz(gaz) et cet
équilibre obéit à la loi de Henry :

[C02(aq):' : Ko -p (C02(gaz)) ,
où Ko = 2, 8. 10'2 est le coefficient de solubilité de 602 pour une eau de 
salinité 35 et à 25 °C.

L'eau de mer renferme quatre formes de carbone inorganique en solution : deux 
formes

neutres, COz(aq) et H2C03, et deux formes ioniques HCO{ et CO32'. Les formes 
neutres sont
reliées par l'équilibre d'hydratation :
H20 + COQ... : H2CO3 [E]

B1*a. Ecrire la constante K... de cet équilibre noté [E]. KH étant proche de 
103, en déduire que
seule la somme des deux formes ioniques en solution est accessible à la mesure.

L'acide carbonique H2C03 est un diacide. Compte tenu de l'équilibre [E], sa 
dissociation en
ion hydrogénocarbonate HCO{ s'écrit sous la forme simplifiée suivante :

H20 + co... : H' + HCOg [E1]

B1*b. Justifier cette écriture, puis exprimer la constante de dissociation K1 
de l'équilibre [E1].

B1*c. Ecrire l'équilibre de dissociation [EZ] de l'ion HCO{ et exprimer sa 
constante K2.

Contrairement aux vitesses d'échanges gaz--liquide qui ont des échelles de 
temps de
plusieurs jours, les cinétiques des réactions entre espèces dissoutes sont à 
l'échelle du centième
de seconde. Iso/ée ou non de l'atmosphère, l'eau de mer constitue un milieu 
dans lequel les

espèces COZ(aq) , HCO{ et CD? sont en équilibre permanent ; c'est pourquoi il 
est pratique de se
référer au carbone inorganique total, noté : CT : [COZ(aq)] + [HCOg ] + [COË'] .

BZ*a. Expliquer pourquoi l'état d'équilibre gaz--liquide est si lent à 
s'établir.

BZ*b. Exprimer les concentrations [COZ(aQ)], [HCGQ] et [COÊ'] en fonction de 
K1, K2, CT et
[H*i

La figure 1 représente les variations en fonction du pH des trois rapports r, : 
[COZ(aQ)]/Cï ,

r2 : [HCG;]/C, et r3 : [COj']/Cï (exprimés en %) pour une eau de salinité 35, a 
25 °C et sans
échange avec l'atmosphère.

|'1 , "2 , rs
100 %
80 %
60 % Figure 1
40 %
20 %
0 % pH

Tournez la page S.V.P.

4

BZ*c. Analyser cette représentation en déterminant les domaines de prédominance 
des espèces
chimiques et en évaluant pK, et pK2.

BZ*d. Le pH de l'eau de mer étant égal à 8, justifier que le fait d'augmenter 
la concentration en
COZ dans l'air (ce que l'homme est incontestablement en train de faire) va 
mettre en péril

les organismes marins (coraux, mollusques à coquille, crustacés, 
phytoplancton...) qui ont
besoin de se construire une coquille ou un squelette à base de calcaire composé

majoritairement de carbonate de calcium Ca003.

C I Détermination de l'alcalinité totale par titrage acide de l'eau de mer

L'eau de mer renferme des ions inactifs qui restent, quel que soit le pH, 
entièrement
dissociés de leurs acides ou de leurs bases conjugués ainsi que des ions actifs 
dont la
concentration varie en fonction du pH. A partir de la relation 
d'électroneutra/ité de l'eau de mer, en

groupant d'un côté les ions inactifs et de l'autre les ions actifs, il est 
possible de définir I'alcalinité
totale AT comme bilan des charges électriques portées par les ions inactifs. 
Ceci peut s'écrire :

AT =[HC05]+Z [COË'J+ [B(OH)Q]+ [OH--]" [H+]

Modélisons le comportement de l'eau de mer en réalisant une solution S de 
chlorure de
sodium de concentration 0,7 mol. L", dans laquelle se trouve de l'acide 
carbonique pur de
concentration CT = 2, O. 10'3 mol. L".

C1*a. Ecrire l'électroneutralité de la solution et montrer qu'elle peut se 
réduire à :
[H*] -- [ou] = [HCOg]+ 2 [cog-]
Que vaut alors l'alcalinité totale AT ?

C1*b. A l'aide des relations établies en BZ*b, déterminer la concentration 
totale de carbone
inorganique CT en fonction de K,, KZ, Ke et [H'] = 10".

C1*c. La solution S a un caractère nettement acide. Exprimer simplement, puis 
calculer le pH de
cette solution, sachant que les différentes constantes d'équilibre valent :

K1 = 9.10", K2 = 6.10"°, K,, = 6.10".

Introduisons maintenant un excès A[Na'] d'ions sodium, par addition de soude

concentrée àla solution S.

CZ*a. Ecrire la nouvelle relation d'électroneutralité.

C2*b. En négligeant les corrections de dilution dues à l'addition de soude, 
exprimer la relation
notée [R1], reliant K,, KZ, K.,, [H'], cT et A[Na'].

Ce résultat correspond à la courbe expérimentale décrite figure 2 : les 
variations du pH
d'une solution d'acide carbonique dans le chlorure de sodium à 0,7 mol.L" et de 
sa dérivée

deÆA[NaÜ y sont représentés en fonction dela concentration A[Na7 en ion sodium 
ajouté.

C3*a. Qualifier l'allure d'une telle courbe. Quelle(s) information(s) la courbe 
dérivée fournit-elle ?

C3*b. Analyser les points notés respectivement 1, 2, 3, 4 et 5.

Adoptons cette fois le scénario inverse : au lieu de contenir des quantités 
égales d'ions
. + ,. - . , . . . . . ,. .
sodrum Na et d tons chlorure Cl , une solution 8 contient mrtra/ement un exces 
d Ions sodrum par

rapport aux ions chlorure, tel que : A[Na'] : [Na'" :] ---- [CI] : 2, 3. 10'3 
mol. L", et dans laquelle se
trouve de l'acide carbonique pur de concentration CT = 2, O. 10'3 mol. L".

-1 0 1 2 3 4 5
Concentration en sodium ajouté (mmol.L")

C4*a. Après avoir reproduit sUccinctement le profil de la courbe de dosage 
(figure 2), positionner
le point (noté 0) sur cette courbe, traduisant l'état de la solution après 
l'ajout d'ions sodium.

Effectuons ensuite des ajouts A[Cl] d'ions chlorure, sous la forme d'acide 
chlorhydrique
concenhé.

C4*b. Traduire la nouvelle électroneutralité de la solution. En déduire la 
relation [R2], qui relie
A[Cl'], K1, K2, K.,, [H"'], cT et A[Na'].

C4*c. Proposer une méthode de représentation, sur la courbe de titrage, de 
l'ajout des ions
chlorure.

C4*d. Quelle quantité d'acide conviendrait--ll de verser afin de mesurer 
l'excès d'ions sodium ?
Conclure quant à la possibilité de mesurer l'alcalinité de la solution.

DEUXIEME PARTIE:
DESSALEMENT DE L'EAU DE MER PAR OSMOSE INVERSE

L'osmose est un phénomène physico--chimique qui se produit lors du transfert de 
solutions
à travers une membrane semi--perméable. L'osmose permet d'épurer un solvant de 
ses polluants,
améliorant ainsi la technique de filtration, ou de concentrer une solution en 
éliminant le solvant. Ce
transfert du solvant, ici l'eau, s'effectue sous l'action d'un gradient de 
concentration.

A I OSMOSE INVERSE

Considérons un système Æ(figure 3a) constitué de deux compartiments de même 
volume

V et à la même température T. La membrane M qui les sépare est semi--perméable, 
seules les
molécules de solvant E peuvent la traverser alors qu'elle est imperméable aux 
espèces A
dissoutes en solution et constituantes du soluté. Les solutions sont supposées 
idéales.

- Le compartiment ( 1 ) contient nA... moles de A et ng... moles de E ; la 
solution a pour fraction
molaire XA... en A et XE... en E.

Tournez la page S.V.P.

6

- Le compartiment (2) contient nA(2) moles de A et nE(2) moles de E ; la 
solution a pour
fraction molaire xA(2) en A et xE(2) en E.

- Le compartiment (2) contient la solution la plus concentrée oula plus saline 
: XA (2) > xA (1 ).

Hi (T, P) Hz (T, P) (T, P)

(38)

.....
-----
.....
.....
.....
uuuuu
-----

.....
ccccc

.....
.....

.

oooooooooo
.............

...............

ooooooooooooo
----------------

___________________________
- - - - - - - - - - - - - r:+*+'+'+'++'+'+"+'+'+'+'+++++++++++++q
...............................................
.............

.............................

.°.'.'.'-'.'.°.'.'.'-'.'.'. b++++++++0++++++++++++++++4£

_.;.;.;.;.:.;.;.;.;.;.;.;.ä.'._._.... .............. ;I;Z;Z ______________ 
f;":îfiîfitIÊÏIÏËIÏIÏËIÎËÊÎËËËIÎÊÏÏ
(1) (2) (1) "l (2)
Etat initial Equilibre osmotique
Figures 3 : osmose directe
(T, P) (T, P) AP > ATI (T, P)

(4a) (4b) ÇîÇÏZ (4e)

.............
.............

.............
.............

...........
;. ...........................
.............

o .
.............

' . ° . ' . ° . ' . ° . ' . ' . ° . ' . ' . ' . ' . 
_+'+'+,+'+'+'+'+,+'+;'+'+'+'+'+'+'+.+'+'+'+'+'+'4'+'3

(1) (2)

Etat initial

Figures 4 : osmose inverse

Le potentiel chimique p,- ( T, P) d'un constituant A,-- dans un mélange liquide 
idéal sous une
pression P et a la température T est relié a sa fraction molaire x,-- et au 
potentiel chimique (J,--* (T, P)
du constituant A,- pur pris dans les mêmes conditions (T, P) parla relation :

lil-(T, P) =lli*(T, P) +RT/fl Xr

A1 *a. Quelles relations a-t--on entre les fractions molaires x)...) et x..., 
puis entre X...) et xE(2) ?

A1*b. Exprimer, pour le compartiment (1), les potentiels chimiques (JE... (T, 
P, XE...) du solvant E
et ...... (T, P, X)...) du soluté A en fonction de x..., XA... et des 
potentiels chimiques des
corps purs. Ecrire de même pE(2) (T, P, xE(2)) et (T...) (T, P, xA(2)) pour le 
compartiment (2).

L'osmose directe se traduit par un flux du solvant dirigé du compartiment ( 1 ) 
vers le
compartiment (2) (figure 3b) jusqu'à ce que le système soit à l'équilibre 
osmotique (figure 3c).

A1*c. Relier les variations dnE... et dnE(2) dues au passage spontané du 
solvant à travers la
membrane. Que dire de dn...) et dn...) ?

A1*d. La température et la pression étant constantes, écrire la différentielle 
dG de l'enthalpie libre
du système @5" en fonction de (JE... (T, P, x...), (_|...) (T, P, x...) et 
dnE..., puis en fonction de
x...), x...), dnE..., de la température T et de la constante des gaz parfaits R.

A1 *e. En déduire le sens du transfert des molécules de solvant à travers la 
membrane.

La pression osmotique absolue 171 dela solution ( 1 ) est définie comme la 
pression qu'il faut
lui appliquer pour arrêter l'arrivée du solvant -- l'eau dans la solution ( 1 ) 
-- en considérant que la

solution (2) n'est constituée que d'eau pure (figure 3e). Le volume molaire du 
solvant pur, supposé
indépendant de la pression dans l'intervalle de pression considéré, est défini 
par :

v"'= Ô|JE(T,P)
E op T

A2*a. Déterminer dans le cas d'une solution assez diluée où XA... << 1 et II, 
<< P, la différence :
"EUR (T, P+ÏÏ1) ' UE* (T, P)-

En déduire la relation de Van't Hoff reliant H,, x...), R, T et VE : 1'11 VE = 
XA(1) R T.

A2*b. Quelle équation relie H,, le volume du solvant pur VE, n...), R et T ?
Quelle loi connue cette l'expression vous rappelle--t--elie ?
Déduire de cette loi l'expression de H, en fonction de R, T et C..., la 
concentration molaire

du soluté A. [le volume du solvant pur v,} est supposé identique au volume de 
la solution
(solvant + soluté)].

Dans le cas où le compartiment ( 1 ) contient plusieurs espèces dissoutes A,-- 
de
concentrations molaires respectives C,--..., la pression osmotique absolue 171 
dela solution ( 1 ) est :

171=z Ci(1)RT

A2*c. Calculer la pression osmotique absolue d'une solution aqueuse de NaCl, 
dont la

concentration en sel vaut 0,35 9. L (ou 0,35 kg m 3) à 25 °C.
Données. masses molaires M(=Na) 23 g. moi et M(CI)= 35, 5 g. mol, constante des 
gaz

parfaits R= 8, 314 J. K'. mol.
Exprimer cette pression osmotique en bar, sachant qu 'un bar vaut 105 Pa.

Revenons au système &: 171, la pression osmotique absolue de la solution ( 1 ) 
et 172, la

pression osmotique absolue de la solution (2) sont les pressions qu'il faut 
respectivement
appliquer pour stopper le flux de solvant a travers la membrane (figure 3a).

A3*a. La solution (2) est constituée des mêmes espèces dissoutes A, que la 
solution (1), mais à
des concentrations différentes C, (2) : écrire Hz en fonction de C, (2), R et T.

A3*b. Lorsque les surpressions IL et H2 ne sont plus appliquées, montrer que le 
système atteint
une position d'équilibre caractérisée par une dénivel|atîon Ah (figure 30 ou 4a)

correspondant à la pression osmotique apparente : AH ==--l'I2 --I'I1 : pS 9 Ah, 
où ps est la
masse volumique de la solution et g l'accélération de la pesanteur.

A3*c. Les deux compartiments renferment des solutions aqueuses de NaCl aux 
concentrations
respectives de 35 9. L et 0,35 9. L'; calculer, à 25 °C, la pression osmotique 
apparente

AH, exprimée en bar.

Appliquons sur le compartiment (2) renfermant la solution la plus concentrée, 
une pression

AP supérieure à la pression osmotique apparente AH (f igure 4b); une migration 
d'eau est alors
observée en sens inverse du flux osmotique normal, dela solution plus 
concentrée vers la solution

moins concentrée : c'est le phénomène d'osmose inverse découvert par REID en 
1950.

A4*a. Que devient la pression osmotique dans le compartiment de droite où la 
surpression AP
est appliquée ?

A4*b. En vous appuyant sur des considérations thermodynamiques, expliquer le 
sens des
transferts dans l'osmose directe et dans l'osmose inverse.

Tournez la page S.V.P.

8
B I FONCTIONNEMENT DE L'OSMOSEUR

La figure 5 ci--dessous schématise le fonctionnement d'un osmoseur industriel.

Figure 5 E CAR Production

'cïi
\z<
v / v

: ÏZÏ°._:-Ï:.}î ' '", V

.g Turbopompe M d | A

B î haute pression 0 u e

= :: ---->

"' <1

.Ë Concentrat

<
:_,f L'alimentation de l'osmoseur est la solution à épurer, elle est
3_ puisée en mer par des pompes immergées, éventuellement prétraitée,
à"; puis stockée dans un bassin de rétention. Elle est ensuite mise sous
& pression par l'intermédiaire d'une turbopompe haute pression puis
;," introduite dans le module d'osmose inverse ; ce module renferme une
8° ou plusieurs membranes _M_ en polyamide, montées dans des supports
Ë plans ou spiralés. La solution à traiter s'écoule tangentiellement à la

Pompe membrane puis se divise en deux parties de concentrations
immergée differentes : la partie qur passe a travers la membrane est le permeat,

l'autre, qui ne passe pas à travers la membrane, est appelée
concentrat ou retentat. Les membranes doivent être stables

chimiquement, thermiquement et d'un point de vue microbiologique.

L'installation est équipée de pressostats Pr (dispositifs permettant le 
contrôle de la
pression) en amont et en aval de la pompe haute pression, de débitmètres D sur 
les deux sorties
du module, de vannes V de régulation du débit, d'un clapet anti--retour CAR 
ainsi que d'un

conductimètre .(2.

B1*a. Expliquer pourquoi du chlore doit être injecté dès le début de la prise 
d'eau de mer.

B1*b. Préciser le rôle des pressostats mentionnés sur le schéma de 
l'installation.

Tout le dispositif fonctionnant en régime permanent, les concentrations 
massiques C
(exprimées en g.L' ) et les débits volumiques Q de l'installation seront notés 
comme suit :

. CA concentration de soluté, QA débit de l'eau dans le flux d'alimentation,
. CR concentration de soluté, QR débit de l'eau dans le flux rejeté (ou 
concentrat),
. CP concentration de soluté, Q,: débit de l'eau dans le flux produit (ou 
perméat).

Les membranes n'étant pas rigoureusement imperméables au soluté, l'eau est
partiellement dessalée. Afin de caractériser le fonctionnement du module 
d'osmose inverse,

quelques termes usuels doivent être préalablement définis :
-- taux de rejet : TR = CR / C A taux de soluté ne traversant pas la membrane,

- passage de sel: P8 = C,, / C A taux de soluté traversant la membrane,
. taux de conversion : TC = Q,, /QA rapport du débit de perméat au débit 
d'alimentation.

9

Les masses volumiques des solutions sont supposées indépendantes dela pression 
et des
concentrations de soluté.

BZ*a. Ecrire, pour le dispositif, l'équation de conservation des débits 
volumiques entre QA, QR et
Q: ainsi que l'équation de conservation des masses de soluté reliant QA, QR, 
Qp, CA, CR et

Cp.

BZ*b. Si le taux TR est supérieur à 95%, la concentration Cp est pratiquement 
nulle. Etablir alors
la relation entre TR et TC. Calculer TR pour To de l'ordre de 40% puis 70% ; en 
déduire la

pression osmotique absolue II du concentrat (exprimée en bar) en partant d'une 
solution
aqueuse de NaCl à la concentration de 35 g.L", à 25 °C.

Les transferts de solvant et de soluté a travers une membrane semi--perméable 
se font par
solubilisation-diffusion : toutes les espèces moléculaires (soluté et solvant) 
se dissolvent dans la
membrane et diffusent à l'intérieur de celle-ci comme a travers un solide ou un 
liquide sous l'action

d'un gradient de concentration et de pression.

Le flux volumique Jp de perméat traversant la membrane (volume d'eau traversant 
_M par
unité de surface et par unité de temps) s'écrit sous la forme : J,, = K,, 
(AP--AI] ) où KP est le

coefficient de perméabilité de la membrane vis--à--vis de l'eau, AP la pression 
différentielle
appliquée et AH la différence de pression osmotique de part et d'autre de M.

Le flux massique de solutés diffusant a travers la membrane (flux exprimé par 
unité de
surface et par unité de temps) s'écrit par ailleurs : JS ==KS (AC), où KS est 
le coefficient de

perméabilité dela membrane vis--à-vis des solutés et AC la différence de 
concentration massique
en soluté de part et d'autre de _M_ : AC : (C,, ---- Cp) .

B3*a. Comment expliquez-vous que l'écoulement soit dirigé tangentiel|ement à la 
membrane et
non de manière frontale ?

B3*b. Quelles sont les facteurs favorisant ou pénalisant le débit de perméat ?

B4*a. Définir la concentration en soluté dans le perméat Cp, en fonction des 
flux Jp et JS.
Exprimer Cp en fonction de CA, J.: et KS, puis en fonction de CA, K,», KS, AP 
et AH.

B4*b. Déterminer la concentration en rejet salin CR en fonction de CA, Cp et TC.

B4*c. Avec les données numériques suivantes :

cA = 35 g.L", Kp= 2,8.10'7 m.s".bar", KS = 1.10'7 ms", T = 25 °C, AP = 70 bar, 
TC = 40%,
calculer Jp, Cp, JS, et CR, sachant que la différence de pression osmotique AH 
de part et
d'autre de _M a toujours la valeur obtenue en A3*c. Analyser ces résultats.

Le débit de perméat JP varie proportionnellement à l'inverse de la viscosité 
,uEM de l'eau de

mer : J,, = % . La viscosité de l'eau de mer (liquide newtonien), en fonction 
de la température,
EM

E° ), où EO est l'énergie d'activation d'écoulement et T la

suit une loi du type : ,uEM : p,, exp(RT

température absolue.

d1uEM
dT
AIUEM

IuEM

de viscosité de l'eau de mer en fonction de la température, puis la

B5*a. Ecrire la variation

de viscosité en fonction d'une variation AT de la température.

variation relative

BS*b. En déduire le sens de variation du débit de perméat dès lors que la 
température croît.

Tournez la page S.V.P.

10

B5*c. Exprimer puis calculer la variation relative du débit de perméat par 
degré d' augmentation
de la température de l'eau de mer (à partir de 25 °C), sachant que Eo- -- 22, 5 
k.]. mol '

B5*d. Quel dispositif technique faut--il prévoir au niveau du module d'osmose, 
et compte tenu des
résultats précédents, afin d'assurer un débit de perméat sensiblement constant ?

Des calculs plus complexes, faisant intervenir les phénomènes d'adsorption au 
niveau de
la membrane, la viscosité et la température de l'eau salée permettent 
d'optimiser la concentration
en soluté dans le perméat Cp, puis de définir la qualité de l'eau osmosée par 
rapport a des
références normalisées. La figure 6 ci--dessous représente l'évolution de cette 
qualité de l'eau
osmosée en fonction du taux de conversion, pour différentes valeurs de la 
pression différentielle

(AP -- A1?) de fonctionnement, variant entre une base unité et dix fois cette 
unité.

ÉS---
"EE--
ÉËSE.

x4-
. 'M
"' &

base1

0,2 0,4 0,6 0,81,0
Taux de conversion

Qualité de l'eau osmosée (ua)
ou

Ill|l
IllWl
W

Bô*a. Définir la plage de travail pour obtenir la meilleure qualité d'eau 
osmosée possible.

Bô*b. Préciser s'il est préférable de choisir de :
. travailler à pression élevée (ou faible) pour un taux de conversion donné,

. utiliser un taux de conversion faible (ou élevé) en maintenant une pression
constante.

Afin de limiter les consommations d'eau, le montage de plusieurs modules - dit 
en « série--
rejet» -- est couramment pratiqué : le rejet du premier module est injecté à 
l'alimentation du
second, et ainsi de suite. Notons respectivement QA(i), Qp(i), QR(i) les 
différents débits et Tdi) le
taux de conversion de chaque module noté i.

B7*a. En vous inspirant de la figure 5, représenter schématiquement une telle 
association pour
trois modules.

B7*b Déterminer le taux de conversion TC(E) effectif de cette association, puis 
généraliser à la
mise en série de n modules identiques (taux TC(i) = 40%).

B7*c En utilisant les données et les résultats obtenus précédemment, calculer 
le taux de
conversion TC(E) effectif, pour une association série-rejet constituée de cinq 
modules.

A la sortie de l'installation, de nombreux contrôles ou tests physico-chimiques 
sont réalisés
sur/' eau douce produite dont la concentration en sel doit se situer vers 300 
mg. L

& Proposer deux grandeurs qui vous paraissent essentielles vis--à-vis de la 
qualité de l'eau
produite et préciser la technique (ou le dispositif) qui permet de tester 
chacune d'elles.

11

C I BILAN ENERGETIQUE DE L'OSMOSEUR

Les besoins en énergie électrique pour le dessalement de l'eau de mer par 
osmose inverse
constituent 42 % du coût d'exploitation. Ces besoins sont éminemment variables 
car ils dépendent
de nombreux paramètres : capacité journalière de production, caractéristiques 
de l'eau de mer
(salinité, température), choix du système de mise sous pression, rendement du 
système de
récupération de l'énergie hydraulique du concentrat, facteur de conversion 
souhaité, choix du
matériau et structure de la membrane, de l'ensemble des pré-- et 
post--traitements effectués sur

l'eau de mer ou sur le perméat.
Afin d'établir un bilan énergétique représentatif, étudions un site de 
dessalement possédant

les caractéristiques suivantes :
module avec membrane composite, à configuration spiralée
capacité de production : 10 000 m3/jour température : 25 °C
minéralisation de l'eau de mer : 35 g. L" facteur de conversion : TC : 40%

masse volumique de l'eau de mer : par = 1022 kg. m'3
pression disponible à l'alimentation dela pompe haute pression : P0 = 1 bar

pression nette d'alimentation du module d'osmose : A P = 70 bar
contre--pression sur la sortie du perméat : P0 = 1 bar.

Afin de réaliser ce bilan, procédons par étapes en analysant les postes 
essentiels.

Calcul préliminaire :

ç_:l_._ Evaluer le débit d'alimentation QA ainsi que le débit de rejet QR 
(exprimés en m3/h).
En déduire le nombre n de pompes immergées nécessaires, sachant que chacune 
d'elles

possède un débit unitaire de 149 m3lh.

Etude dela pompe d'alimentation : (figure 5)

Le pompage en mer s'effectue à l'aide de n pompes immergées, alimentées par des
moteurs électriques (Mi), présentant une dénivelée de pompage AH de 35 m (entre 
le niveau dela

mer et celui du bassin de rétention) et de rendement global np = 0,74.
La chaîne énergétique d'une pompe ---- ou d'un compresseur --- peut se 
représenter

schématiquement comme suit : (figure 7)

Pompe EF
ou Fluide
Compresseur

Moteur

électrique

pertes pertes Figure 7

La pompe est entraînée par un moteur électrique qui consomme l'énergie EE 
transformée
en énergie mécanique EM nécessaire pour faire tourner la pompe ; celle--oi 
communique au fluide
une énergie E,=. Désignons par (S) le système ouvert constitué parle fluide 
compris entre l'entrée,
où la pression vaut Pæ, et la sortie de la pompe, où la pression vaut P(S) ; 
l'écoulement du fluide
(eau de mer de masse volumique pEM) est supposé unidimensionnel, permanent 
(débit volumique
constant Qv) ; la viscosité du fluide de même que tous phénomènes de transfert 
thermique seront

négligés.

C2*a. A l'aide du premier principe de la thermodynamique, écrire l'expression 
générale de
l'énergie er.-- reçue par le fluide, par unité de masse. Simplifier cette 
expression en
analysant les différences de vitesse entre l'entrée et la sortie de la pompe.

C2*b. Montrer que la puissance ?} fournie par la pompe au fluide (supposé 
incompressible)

peut s'écrire sous la forme : %, : QV [pm 9 AH + (P(S) --- P(e) )] .

Tournez la page S.V.P.

12

C2*c. Déterminer la puissance @... de la pompe immergée, en notant que la prise 
d'eau en mer et
le rejet en bassin se font à des pressions voisines de P0 = 1 bar.

C2*d. Calculer la puissance absorbée aux bornes du moteur entraînant la pompe 
(exprimée en
kW), puis la puissance totale du groupe de pompage. (g = 9,81 m.s'2)

Pompe haute pression : (figure 5)

Cette pompe joue le rôle d'un compresseur afin d'amener l'eau salée (à la 
pression Po

dans le bassin) à la pression requise à l'entrée du module d'osmose (AP). Les 
résultats obtenus à
la question C2*b pourront être utilisés.

C3*a. Exprimer la puissance OEPHP absorbée aux bornes du moteur électrique (Me) 
entraînant

cette turbopompe en fonction du débit d'alimentation QA, de la pression 
différentielle aux
bornes de celle--ci et des rendements anp de la turbopompe et n... de son moteur

électrique. Calculer @PHP sachant que anp = 0,85 et n... = 0,96. (1 bar = 105 
Pa)

C3*b. En déduire l'énergie W....» dépensée au niveau de la turbopompe, ramenée 
au mètre cube
de perméat produit par l'osmoseur (exprimée en kWh.m'3).

Dans les premières installations d'osmose inverse, le circuit de rejet était 
détendu à travers
une vanne, ce qui représentait une perte considérable d'énergie. La puissance 
associée au débit
QR du concentrat peut être récupérée de façon avantageuse grâce à des turbines 
(Pe/ton, Kaplan)
et plus récemment par des systèmes d'échangeurs de pressions (dispositifs non 
étudiés ici).

Bilan final :

Compte tenu du débit de concentrat, des dimensions de la conduite 
d'alimentation, du

dispositif de récupération choisi et de son rendement, la puissance réellement 
récupérée s'élève à
980 kW

C4. Evaluer la proportion de puissance ainsi récupérée par rapport à celle 
nécessaire pour faire

fonctionner la pompe haute pression. Proposer le mode de récupération de ce 
pourcentage
de puissance.

A ces puissances absorbées, il convient d'ajouter les pertes en lignes ainsi 
que les pertes
dans les transformateurs d'alimentation ; la puissance associée à ces pertes 
s'élève à 150 kW

05*a. Evaluer la puissance totale associée au pompage en mer, à l'osmoseur et 
aux pertes
électriques ; en déduire l'énergie électrique (exprimée en kWh) facturée à 
l'exploitant du
site de dessalement par mètre cube d'eau produite.

C5*b. En comptant 0,1 EUR comme prix moyen du kWh, et sachant que la part 
d'énergie électrique
représente 42% du coût de fonctionnement d'une telle installation, estimer le 
prix de revient
du mètre cube d'eau dessalée.

C5*c. Rechercher le lien entre salinité et consommation électrique du 
dispositif.
Est-il plus onéreux de dessaler les eaux de l'Océan Atlantique ou celles du 
Golfe
Persique ? Justifier votre réponse.

FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique et Chimie PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alexandre Hérault (Professeur en CPGE) et Fabien
Grégis (ENS Cachan) ; il a été relu par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI), Jules 
Valente (Chimie ParisTech), Julien Dumont (Professeur en CPGE) et Mickaël 
Profeta
(Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'eau de mer et une technique pour la dessaler.
· Le problème de chimie s'intéresse à l'eau de mer. On utilise essentiellement 
des
méthodes de chimie des solutions aqueuses portant plus particulièrement sur
les équilibres acido-basiques. Ces questions ne sont pas spécialement difficiles
mais elles sont plutôt originales, ce qui pouvait déstabiliser les candidats le 
jour
de l'épreuve. Il est en effet rare d'utiliser l'électroneutralité des 
solutions. On
termine par un titrage de l'eau de mer, qui est plus difficile que les questions
précédentes.
· Le problème de physique concerne le dessalement de l'eau de mer par osmose
inverse. On commence par une approche thermodynamique utilisant le potentiel
chimique. Les questions restent simples, très simples au début, et il ne faut 
donc
pas être effrayé par la première écriture d'un potentiel chimique dans l'énoncé.
La partie II.B s'intéresse ensuite à la réalisation technique de l'osmose 
inverse.
L'objectif est d'étudier les facteurs qui influent sur la production, ainsi que
la qualité de l'eau dessalée. La partie II.C est consacrée à l'étude du bilan
énergétique de l'osmoseur, à partir de données numériques provenant d'une
usine de dessalement du Moyen-Orient.
Dans ce problème, les questions restent globalement proches du cours et les 
calculs
sont raisonnables. En contrepartie, il faut prendre le temps de comprendre 
soigneusement l'énoncé et la situation physique. Par ailleurs, il convient 
(comme toujours)
de soigner les applications numériques et de prendre garde aux conversions 
d'unités.

Indications
Première partie
I.A.1 Garder la fourchette pour les ions HCO3 - , CO3 2- puis utiliser la masse
volumique de l'eau de mer.
I.A.2.b L'électroneutralité consiste à égaler les charges positives et 
négatives.
Attention lorsqu'un ion est chargé deux fois.
I.A.3.b et c De quel côté de l'équation de l'électroneutralité ajoute-t-on un 
terme ?
I.B.2.b Utiliser les expressions de K1 et K2 pour trouver les concentrations.
I.C.1.a Il n'y a pas de composés du bore dans la solution étudiée.
I.C.1.b Réécrire l'électroneutralité avec les résultats de la question I.B.2.b.
I.C.1.c Il n'y a quasiment aucun calcul à faire si on prend en compte que la
solution est nettement acide. Beaucoup de termes sont alors négligeables.
I.C.2.a Utiliser le fait qu'une partie des ions sodium provient de la solution 
de
NaCl pour écrire une relation entre [Na+ ], [Cl- ] et [Na+ ].
I.C.3.b Attention à bien repérer la solution initiale. Ensuite, il suffit de 
voir les
équivalences et les demi-équivalences.
I.C.4.b Écrire une relation entre les concentrations et les excès d'ions.
I.C.4.c Faire un décalage de l'abscisse.
I.C.4.d Penser à revenir au point 0.
Deuxième partie
II.A.1.a
II.A.1.d
II.A.1.e
II.A.2.a

II.A.2.b
II.A.2.c
II.A.3.b
II.A.4.a
II.A.4.b
II.B.2.b

II.B.4.b
II.B.5.a
II.C.2.c
II.C.3.a
II.C.5.c

Considérer les compartiments comme des phases.
Écrire dG à T et P constant.
Le transfert spontané se fait dans le sens dG < 0.
Écrire la différence µE (T, P + 1 ) - µE (T, P) de deux façons différentes :
en utilisant une intégration sur P puis en utilisant l'équilibre entre les
deux compartiments.
Penser au fait que le solvant est ultra majoritaire.
Attention aux unités ! Les deux ions contribuent à la pression osmotique.
Écrire l'équilibre entre les compartiments, l'un à la pression P et l'autre
à la pression P + s gh.
Si on applique déjà une surpression, comment évolue la pression qu'il
faut appliquer pour empêcher le solvant pur d'arriver (définition de ) ?
Le solvant va vers le compartiment de pression osmotique maximale.
Reprendre la formule proposée en préambule de la question II.A.2.b. Ne
pas oublier par ailleurs que le sel se dissocie dans l'eau en deux espèces
ioniques, et que les concentrations sont à exprimer en mol.m-3 .
Penser à utiliser un des résultats intermédiaires de la question II.B.2.b.
Pour la seconde partie de la question, reconnaître la forme de la 
différentielle de la fonction logarithme népérien.
Pour cette question et les suivantes, il faut être très attentif aux unités.
Suivre l'énoncé en reprenant le résultat de la question II.C.2.b et en
l'adaptant à la nouvelle situation.
Se référer au résultat donné à la question I.A.1 pour ce qui est de la
salinité des eaux, et se rappeler de l'influence de la température sur la
viscosité décrite aux questions II.B.5.

Avant de commencer, citons le rapport du jury relatif à l'épreuve : il est
conseillé « une lecture soigneuse et réfléchie de l'énoncé avant de se lancer
dans la rédaction : les réponses à de nombreuses questions ou des informations
importantes sont régulièrement glissées par le concepteur dans les phrases
introductives ou de liaison entre les diverses parties, dans la formulation
proprement dite des questions, sur des schémas explicatifs ou des graphes
de résultats et même souvent dans les données numériques. » De plus, « les
candidats ne devront pas se contenter de répondre mathématiquement aux
questions posées, mais plutôt s'attacher à donner un sens (chimique ou 
physique) à leurs réponses et à leurs analyses ».

I.
A.

Chimie de l'eau de mer

Constitution et pH de l'eau de mer

I.A.1 D'après les données, la masse des constituants par litre d'eau de mer est
cm = 35,910 à 35,938 g.L-1
La masse par kilogramme d'eau est obtenue en divisant par la masse volumique
de l'eau de mer.
cm = 35,14 à 35,16 g.kg-1
Comme la salinité de cette eau est 35, on en déduit que la salinité est la masse
de constituants dissous dans l'eau par kilogramme d'eau de mer.
La salinité des eaux du golfe Persique est supérieure en raison d'un moindre
apport en eau douce dans cette région (moins de précipitations et pas de fleuve
majeur) ainsi qu'un moindre brassage des eaux par rapport à l'océan Atlantique 
ou
la mer Méditerranée.
I.A.2.a Les cations sont associés à OH- et les anions sont associés à H+ pour
les bases fortes NaOH, Mg(OH)2 , Ca(OH)2 , KOH, Sr(OH)2 et les acides forts HCl,
H2 SO4 , HBr et HF.
La deuxième acidité de H2 SO4 est en fait faible. De même HF est également
un acide faible.
I.A.2.b L'électroneutralité de la solution SM s'écrit
[Na+ ] + 2 [Mg2+ ] + 2 [Ca2+ ] + [K+ ] + 2 [Sr2+ ] + [H+ ]
= [OH- ] + [Cl- ] + 2 [SO4 2- ] + [Br- ] + [F- ]
Ce qui donne numériquement, en moles par litre :
0,6188 + [H+ ] = [OH- ] + 0,6166
soit

A = [OH- ] - [H+ ] = 2,2.10-3 mol.L-1

Comme A > 0, ce sont les bases qui sont en excès.

I.A.3.a On a ainsi le système

Ke = [H+ ][OH- ] = 6.10-14
[OH- ] - [H+ ] = 2,2.10-3 mol.L-1
soit, en le résolvant
d'où

[H+ ] = 2,73.10-11 mol.L-1
pH = 10,6

I.A.3.b Si on prend en compte les composés du bore B(OH)3 et B(OH)4 - , on 
ajoute
un terme anionique dans l'expression de l'électroneutralité donc [OH- ] - [H+ ] 
diminue. On se rapproche de la neutralité acido-basique (pH = 6,6 dans le cas 
présent,
différent de 7 car le produit ionique n'est pas ici de 10-14 ). Le pH diminue.
I.A.3.c De la même façon, si l'on prend en compte les espèces HCO3 - et CO3 2-
on ajoute le terme [HCO3 - ] + 2 [CO3 2- ] du côté des anions. L'effet est le 
même que
précédemment et le pH diminue.
La prise en compte des composés du carbone entraîne la plus grande variation de
pH car leurs concentrations sont supérieures à celles des composés du bore.
B.

Équilibre thermodynamique du système CO2 , HCO3 - , CO3 2-

I.B.1.a La constante d'équilibre de la réaction
H2 O + CO2(aq) = H2 CO3
s'écrit

KH =

[H2 CO3 ]
[CO2(aq) ]

Comme on a
[CO2(aq) ] = K0 p(CO2(g) ) = 1,02.10-5 mol.L-1
alors

[H2 CO3 ] = KH [CO2(aq) ] = 1,02.10-8 mol.L-1

Ces deux concentrations sont trop faibles pour être accessibles facilement à la
mesure. La concentration totale en carbone s'écrit
[CO2(aq) ] + [H2 CO3 ] + [HCO3 - ] + [CO3 2- ]
La mesure de cette concentration totale en carbone est en fait équivalente à la 
mesure
de la somme des deux formes ioniques, les deux premiers termes étant trop 
faibles.
Les deux derniers, quant à eux, sont de l'ordre de 2.10-3 mol.L-1 .
I.B.1.b La dissociation de H2 CO3 s'écrit
H2 CO3 = HCO3 - + H+
Or,

H2 CO3 = CO2(aq) + H2 O

donc

CO2(aq) + H2 O = HCO3 - + H+

K = 103 , presque totale

La constante d'équilibre de cette réaction s'écrit donc
K1 =

[HCO3 - ][H+ ]
[CO2(aq) ]