E3A Physique et Chimie PSI 2006

Thème de l'épreuve Cellule à effet Peltier. Épitaxie des alliages Si1-xGex sur silicium.
Principaux outils utilisés thermodynamique, électrocinétique, cristallographie, thermodynamique, cinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique - Chimie PSI

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il 
est

amené à prendre.

L'usage de la calculatrice est autorisé

Ce problème illustre le fonctionnement d'une cellule à effet Peltier et comporte
deux volets indépendants : le fonctionnement de la cellule et sa régulation en 
température
(première partie), l'épitaxie des alliages Si...Gex sur silicium, matériaux 
constitutifs de la

cellule Peltier (seconde partie).

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que :

> les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre que
les calculs ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés.
> dans tous les calculs, les gaz sont assimilés à des gaz parfaits (leurs 
pressions partielles

sont notées en caractères italiques). Seront utilisés les indices suivants : 
(s) pour un solide
et (g) pour un gaz. On notera En, le logarithme népérien et log, le logarithme 
décimal.-

» les schémas relatifs à la cellule Peltier et les données numériques relatives 
à I'épitaxie sont
rassemblés à la fin du problème.

Les systèmes de refroidissement classiques ont un rendement limité et 
fonctionnent avec
des fluides frigorifiques comme les hydrochlorof|uorocarbures ou les 
hydrof|uorocarbures qui
contribuent au réchauffement climatique et à la destruction de la couche 
d'ozone. Parmi les
dispositifs réfrigérants alternatifs recherchés, une technique datant des 
années 1960 et basée sur
un effet thermoélectrique présente bien des avantages en dehors de son aspect 
écologique.

Tournez la page S.V.P.

2

La Cellule à Effet Peltier (CEP) ou module Peltier (figure 1) est un assemblage
d'éléments semi--conducteurs placés entre deux semelles électriquement 
iso/antes, mais
conductrices de la chaleur. Dès lors qu'un courant électrique continu traverse 
un tel montage, il
apparaît une "face froide" qui absorbe de la chaleur et une "face chaude" qui 
dégage de la
chaleur. La CEP est donc une pompe a chaleur qui prend de l'énergie thermique à 
une source
froide pour la restituer à une source chaude. Elle est entièrement statique car 
elle ne possède ni
piéce métallique en mouvement (en dehors d'un ventilateur), ni fluide 
réfrigérant (il est remplacé
ici par le courant électrique et ce sont les électrons qui jouent le rôle du 
fluide frigorifique). C'est le
procédé de réfrigération le plus compact, sa petite taille (8,8 mm >< 8,8 mm >< 
2,8 mm) permet un
refroidissement très localisé qui ne perturbe pas le reste du système.

Ce micro réfrigérateur et l'état solide a de nombreux domaines d'application et 
trouve son
utilité partout où l'emploi de pompes à chaleur thermodynamiques pose des 
problèmes
d'encombrement, de fiabilité ou de coût pour des applications de faible 
puissance.

PREMIERE PARTIE:
CELLULE A EFFET PELTIER

AI L'EFFET PELTIER

> L'étude qui va suivre s'effectue à une dimension suivant l'axe Ox et en 
régime permanent.
Les paramètres utilisés pour décrire les systèmes sont donc indépendants du 
temps et ne

dépendent que du paramètre d'espace x. Les conductivités thermique  et 
électrique 0 sont
supposées indépendantes dela température et uniformes dans le conducteur.

Dans un conducteur cylindrique (??/° ), homogène, d'axe Ox, de section 8, de 
longueur 6,
les inhomogénéités de température et de potentiel électrique induisent les 
vecteurs densités

volumiques de courant électrique Jél et de courant (ou flux) thermique J....

1. Conductivité électrique isotherme

Le conducteur, à la température uniforme T, est limité à ses extrémités par 
deux sections

droites portées aux potentials électriques V1 (en x = O) et V2 (en x = EUR) 
avec V1 > V2. Il est
parcouru dans la direction de l'axe Ox par un courant électrique continu 
d'intensité / uniformément

répartie sur la section 8 (figure 2).

A1. Ecrire la loi d'Ohm sous sa forme locale. Démontrer que la résistance 
électrique RC du
cylindre, comprise entre x = 0 et x = t', peut s'écrire, en fonction de sa 
conductivité

électrique 6, de EUR et de 8, sous la forme :

R = --------------- .
C o 8
2. Conduction thermique en présence de courant électrique

Le conducteur est en contact a ses extrémités avec deux sources idéales de 
chaleur : d'un
côté, une source chaude de température TC (en x = O) et de l'autre une source 
froide de

température T.: (en x = EUR ). Sa surface latérale est parfaitement calorifugée 
(figure 3).

A2*a. Rappeler la loi de Fourier. Déduire de l'analogie électrocinétique 
l'expression de la
conductance thermique G...( %" ) du cylindre en fonction de k, t et S.

3

A2*b. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à une tranche 
élémentaire du
conducteur comprise entre x et x + dx (figure 3), établir l'équation 
différentielle vérifiée par
la température T(x) au sein du conducteur :

A2*c. La solution de cette équation s'écrit T(x) = A x2 + B x + C. Déterminer 
A, B et C en fonction
de TC, TF, 7\., 8, EUR , RC et |. La répartition de la température dans le 
conducteur dépend-elle
du sens du courant | ?

A2*d. Exprimer la puissance thermique P (x) transportée à travers la section 8 
du conducteur à
l'abscisse x et dans le sens des x positifs. En déduire les puissances 
thermiques
algébriques PC et PF respectivement reçues par la source chaude et par la 
source froide,
en fonction de la conductance thermique G...( %) du cylindre, de sa résistance 
électrique RC

et en faisant apparaître deux termes dont l'un est proportionnel à l2 et 
l'autre à l'écart de
température (TC - T.:). Que représentent--ils ? Calculer PC + PF et commenter 
le résultat.

3. Les effets thermoélectriques

Ces phénomènes résultent du couplage entre la conduction thermique et la 
conduction
électrique, qui sont simultanément présents dans les milieux conducteurs, 
métaux ou semi--
conducteurs. Trois effets ont été établis expérimenta/ement : l'effet Seebeck 
(1821), l'effet Peltier

(1834) et l'effet Thomson (184 7). Nous n'évoquerons que l'effet Peltier dans 
ce texte.

> Effet PELTIER : c'est l'effet thermique, autre que l'effet Jou/e, qui résulte 
du passage d'un
courant électrique à travers la jonction J (ou interface) entre deux 
conducteurs A et B

différents et à la même température T.

Deux conducteurs (ou semi--conducteurs) différents A et B, de pouvoirs 
thermoélectriques
(ou coefficients Seebeck) respectifs 8A et 85 sont associés dans la 
configuration A -- B - A - B. .. et

joints en J1, J2, J3,... (figure 4). L'association est parcourue par un courant 
électrique continu
d'intensité I et maintenue àla température uniforme T par contact avec une 
source de chaleur.

> La puissance thermique P ..., pe. (J1, A _» B) due à l'effet Peltier est 
reçue par la [onction
orientée A ----> B et prélevée au corps extérieur (12 en contact avec elle. 
Elle s'exprime de la

façon suivante :
Pth,pei(J1, A --> 5) : (SA-SB) T | : SAB T |.

> Le pouvoir thermoélectrique SAB = SA -85 du couple de conducteurs (ou semi--
conducteurs) A --+ B est positif et supposé constant, il ne dépend que de la 
nature de A et
de B.

A3 En déduire la puissance thermique P..., pg. (J2, B ----> A) reçue par la 
jonction suivante B -> A
et prélevée au corps extérieur (2) en contact avec elle. A partir des signes 
des puissances
calorifiques, conclure quant aux effets de refroidissement et de réchauffement 
des

jonctions J1 et J2 sur les corps extérieurs placés à leur contact. 
Qu'advient-il en cas
d'inversion du sens du courant '?

BI LE RÉFRIGÉRATEUR THERMOÉLECTRIQUE

Le "motif élémentaire" de la CEP est un couple thermoélectrique ou pavé (figure 
5)
constitué de deux thermo éléments semi--conducteurs cylindriques de géométries 
identiques,
asymétriques de types N et P, connectés thermiquement en parallèle et 
électriquement en série
par l'intermédiaire d'un pont de cuivre constituant une soudure métallique M.

Tournez la page S.V.P.

4

Le semi--conducteur de type P a une résistance électrique Rp, une conductance 
thermique
G... (p), un coefficient Seebeck Sp, le semi--conducteur de type N admet R..., 
G... ...) et eN, avec W =

eN - Sp > O. Le métal M, de coefficient SM, a des résistances électrigue et 
thermique
négligeables.

Dans le sens du courant I alimentant le montage, les deux jonctions successives 
N ---> M et
M -> P sont en contact avec la soudure froide a la température T,: de la source 
froide (le corps à
refroidir), les deux jonctions M ----> N et P --+ M sont en contact avec la 
soudure chaude à la
température T,,-- de la source chaude (le radiateur). Les deux faces externes 
en céramique
réalisent l'isolement électrique et assurent une conductibi/ité thermique 
supposée parfaite. Les
surfaces latérales des semi-conducteurs sont parfaitement adiabatiques.

L'efficacité de la CEP dépend fortement du dispositif d'évacuation de la 
chaleur sur la
plaque chaude, l'énergie thermique transférée sur cette plaque devant être 
impérativement
évacuée pour ne pas réchauffer la plaque froide ou endommager le module. La CEP 
est donc
fixée sur un radiateur à ai/ettes de refroidissement dont les capacités de 
transfert de chaleur sont
renforcées par un ventilateur (figure 5). Un tel "puits thermique ", 
surdimensionné, peut dissiper
une puissance beaucoup plus élevée que nécessaire et limite la température TC 
de la face

chaude.

1. Bilan des puissances mises en jeu dans le pavé

B1*a. A partir des résultats établis dans les questions A2*d et A3, exprimer 
les puissances
thermiques P... ...(F) et P... ...(C) fournies par le pavé respectivement à la 
face froide et à la
face chaude en fonction de l'intensité |, du pouvoir thermoélectrique eNp = eN 
-- Sp, de T.:,

de TC, de (TC -- T.:), de la résistance électrique du pavé R = RN + R,: et de 
sa conductance
thermique Gth : G... (p) + G... (N)-

B1*b. Calculer P... ...(F) + P... ...(C) ; en déduire la puissance électrique 
Pé.... fournie au couple
thermoélectrique par le circuit extérieur auquel il est connecté.

2. Du pavé thermoélectrique à la Cellule à Effet Peltier

> La CEP est constituée de n = 69 pavés montés en série (figure 6).

BZ En déduire la puissance électrique P é, prélevée au circuit extérieur par la 
cellule et les
puissances thermiques P... ...(F) et P... ...(C) fournies par le module 
respectivement à la
face froide et à la face chaude.

3. Performances théoriques d'une CEP

> La température TC est définie lors de la conception du circuit, elle est 
fixée par le mode de
dissipation dela puissance thermique dela face chaude.

> La puissance frigorifique P, est la puissance prélevée par le module au 
composant à
refroidir et absorbée sur la face froide.

BS*a. Exprimer P, en fonction de n, e...: , R, |, G..., T,: et (TC - T.:). A la 
température T,: imposée sur

la soudure froide, pour quelle valeur de | notée |max cette puissance est--elle 
maximale ?
Exprimer alors la puissance frigorifique maximale du module (P,)...ax.

> Le coefficient de performance froid COP, ou rendement énergétique est défini 
comme le
rapport entre la puissance thermique absorbée sur la face froide et la 
puissance électrique

transmise au module.

B3*b. Donner son expression en fonction des paramètres de P,.

5

> Le différentiel de température entre les deux faces du module AT = TC -- TF 
est appelé
"delta".

B3*e. Ecart maximum de température AT,... = TC - T...

Montrer que, pour une intensité | imposée parle circuit extérieur, AT est 
maximal lorsque la
puissance P, est nulle, c'est-à--dire lorsque la face froide de la cellule est 
parfaitement
isolée thermiquement. Quelle est alors l'expression de la température minimale 
théorique

T.:... que permet d'atteindre le module ?

B3*d. Optimisation de l'écart de température

Quelle valeur optimale de l'intensité du courant I... permet d'abaisser au 
maximum T.:... et
d'atteindre le AT...ax de la CEP ? La valeur de T...... pour l = |... étant 
notée T..., montrer
qu'elle est proportionnelle à |... et vérifie :

R

T __
£NP

opt opt '

B3*e. Afin d'évaluer la qualité thermoélectrique du matériau utilisé dans la 
réalisation du couple
Peltier, les constructeurs ont défini son facteur de mérite noté Z, tel que :

1
AT max : TC "" Topt : 5 z T02pt .

Donner son expression en fonction des trois caractéristiques du matériau 
thermoélectrique :
8NP , R et G....

4. Application au refroidissement d'un capteur CCD

L'acquisition de l'information en astronomie revêt une importance capitale. 
L'univers étant
dans sa grande partie inaccessible à l'analyse directe, tous les renseignements 
qu'il nous dévoile
sont essentiellement véhiculés par la lumière qu'il nous envoie. Un récepteur 
CCD (en français
DTC pour Dispositif a Transfert de Charges) associé à un collecteur de lumière 
permet de
disposer d'une image électronique constituant le point de départ d'une 
reconstitution numérique
par les outils de traitement et d'analyse de l'image. Afin de minimiser le 
bruit thermique généré par
l'agitation thermique et d'améliorer le rapport signal/bruit de l'image 
initiale, le capteur CCD doit
être refroidi a -- 40°C par un module Peltier. Pour Tc = 298 K et AT = TC --- 
T,: = 65°C, le

constructeur fournit l'évolution de la puissance frigorifique P, (figure 7) et 
du rendement COP;
(figure 8) du module en fonction de I. Celui-ci est constitué de n = 69 pavés 
de caractéristiques :

g...: = 592.10"6 V.K" R : 4,6.10'2 (2 G... : 1,4.10'3 WK".

B4*a. Analyser les phénomènes qui limitent le fonctionnement en réfrigérateur 
de la CEP, et
préciser dans quels domaines d'intensité l ? Expliquer pourquoi le capteur est 
placé dans

un boîtier étanche à l'humidité.

B4*b. Que se passe--HI en cas d'inversion du sens du courant ? Quel phénomène 
observe-t-on
lorsque le module est installé sur une plaque chauffante en l'absence de son 
alimentation

électrique externe ?

B4*c. Analyser le choix du point de fonctionnement du module : l = 2,2 A.
Déterminer dans ce cas la puissance frigorifique du module Pf, son rendement 
COP;, la

puissance électrique Pé. prélevée au circuit extérieur et la puissance 
thermique PC qu'il est
nécessaire d'évacuer. Commenter le rapport PC / P,.

B4*d. Calculer le facteur de mérite Z du semi--conducteur thermoélectrique et 
le AT,--flex.

Tournez la page S.V.P.

6
CI LA RÉGULATION EN TEMPÉRATURE

La température du capteur CCD doit être maintenue à la température T,: constante
indépendamment de toute variation de la température extérieure T,. La CEP est 
alors utilisée en
thermostat, un circuit extérieur de régulation permettant de stabiliser la 
température T,: de la face

froide.

Le module est traversé par un courant électrique continu I. Sa face froide est 
en contact
thermique parfait avec le boîtier du capteur à thermostater. Pour une meilleure 
conduction
thermique, le boîtier est constitué de cuivre pur de capacité thermique C = 3, 
9 J. K. La face
chaude est en contact thermique pan'ait avec l'atmosphère de température T.

_ç_*_l_._ En distinguant les phénomènes qui la composent, justifier l'équation 
d'évolution de la
température T.:(t) du boîtier :

CÊa-I_ÏÎE =Û[Gth(Ta--TF)- 8NPTFI+% R|2].

C2 Alors que la température T, reste constante et égale à 293 K, exprimer 
T.:(t) en adoptant la
condition initiale T.: (t = 0) = T,. Déterminer la durée caractéristique T de 
cette phase
transitoire en fonction de C, n, G..., a...: et l. Quelle est la température 
extrémale T,, atteinte

parle boitier '?

C3 Quelles conditions sur | assurent le refroidissement du capteur? Effectuer 
l'application
numérique.

C4 L'intensité ! est fixée à 2,2 A. Calculer "E, T,, et la durée 1, nécessaire 
au refroidissement du
capteur à la température 0, = -- 40°C.

C5 Alors que T; = T,,, T,] subit à l'instant t = t, un saut brutal de 
température ATa = 5 K de
durée "CT. Suivant les cas 15 << n et 1 >> "CT, décrire comment évolue la 
température TF (t).

Pour contrôler la température du capteur, la CEP est complétée par un circuit 
électronique
d'assewissement (figure 9) où tous les amplificateurs opérationnels sont 
supposés idéaux.

R2: R3: R8=1,8 kQ R7=1OO Re R5=10R4 Vréf=15V.

Une thermistance est en contact thermique parfait avec l'espace à thermostater. 
Sa
résistance RT est une fonction décroissante de la température 0 et, dans un 
intervalle de
température compris entre - 50°C et - 30°C, elle évolue selon la loi (sachant 
que R, est exprimée

en kg ete en °C) :
RT=R,(1-a0), où R,=2Q et a=2,5.10'2.

C6*a. Déterminer la tension v, = Vp --- VN en fonction de Vréf, R1, R2, R3 et 
RT.

fonction de R4, R5, R6, R7, R8 et v,.

C6*c. Quelle condition doivent satisfaire les résistances R1, R2, R3 et RT pour 
que le pont soit
équilibré (v,, = 0) ?

C6*d. Comment choisir la résistance R, pour que l'équilibre du pont s'établisse 
à la température
0, = - 40°C du capteur ?

> Cette valeur de R, sera conservée pour la suite.

7

C6*e. Quelle est la valeur de l'intensité l (t = 0) à l'instant initial où le 
boîtier est à la température

ambiante T3, et RT = 1 kg ? Quel est alors le comportement du module Peltier ? 
Comment

I(t) varie--t--il ensuite '?Justifier votre réponse en précisant le signe de la 
dérivée 9--'-

d9'

C6*f. Comment ce dispositif permet-il la stabilisation de la température à 90 = 
- 40°C ? Expliciter
l'influence du pont et le rôle de la CEP. Pour que la chaîne de contrôle de la 
température
soit efficace et réduise l'influence des fluctuations de la température 
atmosphérique,

comparer son temps de réponse "CR à la durée 1.

DEUXIEME PARTIE:
ÉPITAXIE DES ALLIAGES Si1.xGex SUR SILICIUM

Les matériaux utilisés pour la conversion thermoélectrique sont des composés
intermétalliques comme les tel/urures de plomb (Pb Te) ou de bismuth (Bi2Te3) 
et plus récemment

l'a/Iiage Si1.xGex. L'épitaxie désigne le procédé selon lequel une couche 
monocrista/Iine de

l'a/"age Si1.xGex est déposée puis croît sur un substrat de silicium avec des 
relations structurales
précises. La composition de la couche étant différente de celle du substrat, 
les paramètres de
mailles doivent s'accorder

AI ANALYSE STRUCTURALE DE Si1_xGex

> Le german/um et le silicium purs possèdent tous deux une structure 
cristalline de type
cubique analogue à celle du carbone diamant: leurs atomes occupent simultanément
toutes les positions d'un réseau cubique à faces centrées et la moitié de ses 
sites
tétraédriques. Les centres de deux atomes au contact sont distants de ds,, = 
241 pm

{respectivement ds,-- = 235 pm).
1. Structure cristalline du germanium

A1*a. Donner la configuration électronique des atomes de carbone, de silicium 
et de germanium
dans leur état fondamental. Quelle est leur configuration électronique externe 
? A quelle
colonne de la classification périodique ces éléments appartiennent--ils ?

A1*b. Représenter la maille élémentaire du germanium en perspective et 
matérialiser la liaison
Ge-Ge. Le cristal est-il ionique ou covalent ? (réponse à justifier)

A1*c. Exprimer le paramètre aGe de cette maille en fonction de (168 et calculer 
sa valeur.
Déterminer le nombre d'atomes de germanium par maille élémentaire; en déduire le

nombre d'atomes Me,, par unité de volume et la masse volumique pGe du germanium.

> Le germanium et le silicium, de structures identiques, constituent un alliage 
non ordonné où
les atomes prennent des positions aléatoires dans une structure de type 
diamant, de

formule Si1_xGex où x représente la concentration atomique de l'ail/age en 
germanium, telle
que : 0 sx : 1.

2. Structure cristalline de l'alliage Si1_xGex

A2*a. Expliquer pourquoi Si1-XGeX possède la même structure que le silicium et 
le germanium.

> La loi de Vegard, applicable pour une association d'atomes qui cristallisent 
dans le même
système, indique que le paramètre de maille a(x) de l'alliage est égal à la 
combinaison
linéaire des paramètres de maille des différents constituants pondérés par leurs

concentrations respectives.

Tournez la page S.V.P.

8

A2*b. Exprimer a (x) en fonction de x et des paramètres de maille aGe et as,. 
Calculer sa valeur
pour x = 0,25. L'alliage Sio_75Geo,25 est-il en accord de maille avec le 
silicium ? Commenter.

A2*c. Calculer le nombre d'atomes de germanium N'Ge et le nombre d'atomes de 
silicium N'S,
dans un mètre cube de Sio,75Geo,25 . En déduire la masse volumique pas,, de cet 
alliage.

BI DÉPÔT DE L'ALLIAGE Si1-xGex SUR DU SILICIUM

La technique d'épitaxie utilisée est le dépôt chimique en phase vapeur réalisé 
dans un
réacteur de volume constant, et la température T = 800 K et à la pression P = 
P° = 1 bar.

> Les calculs seront effectués dans les conditions de l'approximation 
d'El/ingham.
Les débits de SM,, GeH.,, Hz et d'argan sont constants, les gaz sont supposés 
parfaits.

1. Préparation du substrat, le silicium

Le silicium est naturellement recouvert d'une couche de silice SIG,? de 
réaction de
formation (à T<1683 K) :

Si [R7]

B1*a. Déterminer l'enthalpie libre standard MC? de la réaction en fonction de T.

B1*b. En supposant que les constituants sont à l'équilibre thermodynamique, 
calculer la variance
du système. Que peut-on en déduire ?

B1*c. Déterminer la pression de corrosion du silicium à T = 800 K. Quelle est 
la signification de
cette grandeur. Conclure quant à la nécessité de nettoyer la plaque de silicium.

2. Croissance d'une couche de Si sur un substrat de Si

Le silane SIH4 est introduit dans le réacteur et soumis a un flux continu 
d'argon (gaz
vecteur qui ne sera pas pris en compte d'un point de vue thermodynamique), 
selon la

réaction:
SiH4(g) : S|(S) + 2 H2(g) [R2]

BZ*a. Déterminer l'enthalpie libre standard ArGg de la réaction en fonction de 
T. En déduire sa

constante d'équilibre Kg (800 K) à la température de dépôt T = 800 K. Conclure.

La vitesse de croissance V(3i/Si) de l'épaisseur du film de Si ainsi formé sur 
le substrat de
Si obéit dans l'intervalle [ 700 K, 1000 K] à une loi de type Arrhenius :

Ea(Si/Si))

V(Si/Si) : Vo 9XP ("' R T

où V,, est une constante, R la constante des gaz parfaits et T la température 
de dépôt. Le
tableau suivant décrit l'évolution de V(S,ySü en fonction de T.

...
0,106 0,837 5,232 15,70

BZ*b. Déterminer, en kJ.mol", l'énergie d'activation Ea (Si/Si) liée à la 
croissance du silicium.

723

9

3. Croissance d'une couche de Ge sur un substrat de Si
Le germane GeH., est introduit à 800 K dans le réacteur et soumis au flux 
continu d'argon :
GeH., (g) : Ge (s) + 2 Hz (9) [R3]

B3*a. L'enthalpie libre standard de la réaction est ArGg= - 90800 --- 65,2 T 
(en J.mol").
Comparer le caractère quantitatif du dépôt de Ge sur Si à celui du dépôt de Si 
sur Si.

B3*b. La vitesse de croissance V La fraction x de Ge incorporée dans l'alliage est définie par l'équation 
suivante :
X = " lCGe,Ge X +CGe,Si(1- X)] avec f= "Ge _
(1-f) [CSi,Ge X +CSi,Si (1--Xll +f [Coe,oe X +CGe,Si (1 --X)] "Si + "Ge

Les quantités de matière de SiH4 et de GeH4 introduites par unité de temps sont 
notées "Si et

"6e Ca b est le coefficient de collage du précurseur «a» sur une surface 
d'atomes «b» et vaut :

B5*b. Si1_xGex est obtenu par ajustement des débits en SiH4 et GeH4. Comment 
choisir le rapport
r = "Si l "Ge pour obtenir l'alliage Si0_75Geo_z5 ?

B5*c. A T = 800 K, compte tenu de la complexité de la formation de Sio,75Geo_z5 
et de son dépôt, la
constante d'équilibre de la réaction de formation de l'alliage ne vaut que 1,4. 
Calculer les
pressions partielles p(SiH4), p(GeH4) et p(H;_) alors que le mélange gazeux est 
constitué à
90% d'argon et que le dépôt s'effectue à la pression P = P° = 1 bar.

Tournez la page S.V.P.

10

DONNÉES NUMÉRIQUES

Pression standard : P° = 1 bar = 105 Pa

Température : T (K) = 8 (°C) + 273

Données numériques générales :
Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.K".mol'1

Constante d'Avogadro : o/1fi = 6,02.1023 mol"1

Numéro atomique : C : 6 Si : 14 Ge :
Masse molaire (g.mol'1) : Si : 28,1 Ge
Rayon ionique (pm) : Si : 40 Ge :
Rayon covalent (pm) : Si : 118 Ge

32
: 72,6
53
: 122

Données thermodynamiques : (à 298 K) supposées indépendantes de la température

Elément,

un u
55

02 H2(g>
80
205,2 130,6 188,7

ANNEXE

source froide

(8,8 mm >< 8,8 mm >< 2,8 mm)

semelles

Absorption
de chaleur

face froide

-

semi-conducteurs " "
f""' face chaude
' Dégagement
de chaleur

source chaude

Figure 1

GeH4(g)
90,8
217,0

11

paroi adiabatique

source
froide

source
chaude

| . . |
| | | X
0 --+ x x + dx {
ex
Figure 3
Corps extérieur ( 1 )
source froide
Corps extérieur (2)
source chaude
Figure 4
Utilisation (composant à refroidir)
r--' ...................... 
................................................................ ......... _ .
FACE FROIDE TF ' soudure froude en cunvre . M
en céramique paroi adiabatique
semi-conducteur N semi-conducteur P
FACE CHAUDE Tc _
en céramique soudure chaude en cuuvre : M
| |
Puits thermique :
radiateur à ailettes + ventilateur
Figure 5

Tournez la page S.V.P.

n = 69 pavés en
série

(partiellement

représentés)

12

Composant à refroidir

................................................................................................................................................................ _..,.....,. F A C E F ROI D E : TF

4---- paroi adiabatique

FACE CHAUDE : Tc

EÀQHOEË

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E_igg£e_&
P
R7 .! Espace à

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ê'.ZI:ë.?I"."..jî.äà:'.'3 - 4 thefm08ta ter

, Fig ure 9
FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique et Chimie PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) et Cyril Jean
(ENS Ulm) ; il a été relu par Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE), Éric 
Vernier
(ENS Ulm), Emmanuel Bourgeois (Professeur en CPGE) et Mickaël Profeta 
(Professeur en CPGE).

Cette épreuve est composée de deux problèmes indépendants.
Celui de physique étudie l'asservissement en température d'un capteur CCD par
un dispositif du type cellule à effet Peltier.
· Dans une première partie, on rappelle quelques principes élémentaires de la
conduction électrique et thermique, puis on décrit un effet thermoélectrique
bien connu, l'effet Peltier.
· La deuxième partie décrit comment ce principe peut être utilisé pour refroidir
un système physique. Ces quesions demandent beaucoup de soin, car une erreur
de signe dans un bilan de transfert d'énergie peut avoir des répercussions 
jusqu'à
la fin du problème.
· Enfin, dans une troisième partie, on étudie un circuit d'asservissement qui 
permet de contrôler la température du dispositif à refroidir : on décrit une 
chaîne
de contre-réaction, et on regarde précisément le rôle des différentes constantes
de temps.
Il est nécessaire d'être extrêmement soigneux pour traiter ce type de problème :
pour chaque grandeur thermodynamique calculée, il faut prendre le temps de 
comprendre quel est le sens du transfert d'énergie considéré, et penser à des 
lois de
conservation entre différentes parties du système étudié afin de vérifier la 
cohérence
des résultats.
Le problème de chimie s'intéresse aux alliages de germanium et de silicium ainsi
qu'à leur dépôt sur un substrat de silicium. Le matériau obtenu est utilisé 
dans la
réalisation de la cellule Peltier étudiée dans le problème de physique.
· On étudie d'abord le germanium et les alliages SiGe par la cristallographie.
On vérifie notamment que les deux éléments ont des structures 
cristallographiques voisines, permettant la formation d'un alliage et une bonne 
adhésion à
la surface.
· Dans la suite, on s'intéresse au dépôt de ces métaux sur un substrat de 
silicium
du point de vue thermodynamique et cinétique. On cherche quelles sont les
conditions à adopter pour contrôler la proportion de chaque élément lors de la
croissance de l'alliage à la surface du substrat.

Indications
Première partie
A.2.b Penser à utiliser le fait que la paroi latérale est parfaitement 
calorifugée.
A.2.d Bien réfléchir au sens du transfert de chaleur selon que l'on considère 
la face
froide ou la face chaude.
A.3 Le pouvoir thermoélectrique AB du couple de conducteurs A/B est positif.
B.3.a Noter que Pf est la puissance prélevée par le module à la face froide.
B.3.d Écrire l'expression de Topt en injectant l'expression de Iopt dans celle 
de TFmin
établie à la question B.3.c, puis exprimer Gth TC en utilisant l'équation du
second degré vérifiée par Iopt .
B.4.a Comment doit se situer l'effet Peltier par rapport à l'effet Joule et au 
transfert
thermique conductif pour que la cellule fonctionne efficacement ?
C.1 Utiliser le premier principe de la thermodynamique.
C.2 Mettre le résultat sous la forme
TF (t) = (Ta - T ) e -t/ + T
C.6.a Penser à la loi associée à un diviseur de tension.
C.6.b Utiliser le fait que les amplificateurs opérationnels (AO) sont supposés 
idéaux,
et fonctionnent en régime linéaire. Justifier l'importance de la fonction 
suiveur
des AO 1 et 2, ainsi que du rôle de convertisseur tension-courant de l'AO 5.
C.6.d L'énoncé comporte une erreur : en fait R0 = 2 k.
C.6.e Utiliser les résultats des questions C.6.a et C.6.b.
Seconde partie
A.1.a La place d'un élément dans la classification périodique dépend du 
remplissage
de sa sous-couche externe.
A.1.b Pour matérialiser les bonnes liaisons Ge-Ge, garder à l'esprit la valence 
du
germanium.
A.2.b Traduire mathématiquement l'énoncé. Attention cependant pour l'application
numérique à ne pas confondre distance interatomique et paramètre de maille.
B.1.a Attention aux unités de r H1 et r S1 .
B.2.b Linéariser l'expression de la vitesse puis effectuer une régression 
linéaire.
B.3.b Si les facteurs pré-exponentiels sont du même ordre de grandeur, la 
relation
sur les Ea permet d'avoir une idée de la relation sur les vitesses.
B.4.c Écrire les lois expérimentales appropriées et en déduire les variations 
de paramètres intensifs qui déplacent l'équilibre dans le sens direct.
B.5.c Bien faire le décompte du nombre d'inconnues et d'équations. Autant 
d'inconnues que d'équations sont nécessaires pour résoudre le système.

Le rapport du jury mentionne que « la résolution du sujet ne nécessitait qu'un
minimum de technicité calculatoire », et que cette épreuve « privilégiait la
réflexion, le sens physique et l'analyse des phénomènes ». Les correcteurs
insistent aussi sur l'importance de rédiger « de façon simple et compréhensible 
». Il semble que la stratégie consistant à « survoler le sujet dans le seul
objectif de compiler un maximum de points » irrite quelque peu le jury.
Rappelons qu'une copie est appréciée dans son ensemble : une rédaction
claire, une présentation soignée et une attitude honnête du candidat face
à une question qu'il ne sait pas résoudre sont très appréciées par les jurys si
l'on se réfère aux rapports des dernières années.

Cellule à effet Peltier
A.

L'effet Peltier

A.1 La loi d'Ohm sous sa forme locale relie la densité volumique de courant élec
-

-
trique J él au champ électrique E selon
-

-
J él =  E
où  est la conductivité électrique du conducteur considéré. La loi d'Ohm relie 
quant
à elle la différence de potentiel V aux bornes du conducteur de résistance RC au
courant I qui parcourt ce dernier
V = (V1 - V2 ) = RC I
Or en s'appuyant sur la loi d'Ohm locale et
la conductivité électrique  étant uniforme
V1
dans le conducteur, le courant électrique à
-

ex
travers une section (S) du conducteur s'écrit
ZZ
ZZ

-

-
 -
-

O
I=
J él · d S = 
E · dS
(S)

(S)
-

J él

V2

(S)

Le conducteur C étudié étant cylindrique et homogène, tout plan contenant l'axe 
(Ox)

-
est plan de symétrie de la distribution de charges. Comme le champ électrique E
est un vrai vecteur, on en déduit qu'en tout point du conducteur, il est orienté
parallèlement à l'axe (Ox).

-

E = E-
ex

-
En régime stationnaire, le champ électrique E étant l'opposé du gradient du
potentiel électrique V, on trouve
--

-
(V2 - V1 ) -

E = - grad V = -
ex

Par conséquent, l'expression du courant électrique I est
 (V1 - V2 ) S
I=

La résistance électrique RC du cylindre est donc reliée à sa conductivité selon
RC =

S

-
A.2.a La loi de Fourier relie la densité volumique de flux thermique J th au 
gradient
du champ de température. Si  désigne la conductivité thermique du conducteur,
--
-

J th = - grad T
On peut dresser une analogie entre la conduction électrique et la conduction 
thermique : le gradient de température est l'analogue du gradient de potentiel 
électrique,
et le courant celui du flux thermique th :
(V2 - V1 )
(TF - TC )

-
-

ZZ
ZZ

-

-

-

-
th =
J th · d S  I =
J él · d S
(S)

(S)

Par analogie avec la résistance électrique calculée à la question A.1, la 
conductance
thermique s'écrit
Gth =

S

A.2.b On considère un élément de volume du cylindre compris entre x et (x + dx).
D'après le premier principe de la thermodynamique, la variation infinitésimale 
de
son énergie interne du est la somme des énergies dissipée par effet Joule q 
Joule et
échangée avec l'extérieur du cylindre q diff par diffusion thermique :
du = q Joule + q diff
L'énergie dissipée dans cette section de longueur dx par effet Joule s'écrit
dx
q Joule = (RC I2 )
dt

La surface latérale du conducteur étant parfaitement calorifugée, l'énergie 
thermique q diff échangée par diffusion thermique est la différence de flux 
thermique à
travers les parois de la section considérée en x et (x + dx) :
 ZZ

ZZ

-

-

-

-
q diff =
J th · d S -
J th · d S dt
(S)x

= - S

(S)x+dx

dT
dT
(x) -
(x + dx) dt
dx
dx

d2 T
dx dt
dx2
Comme l'on considère le régime permanent, la température en tout point du
conducteur est indépendante du temps. Par conséquent, l'énergie interne de la 
section
de conducteur considéré ne varie pas (du = 0), soit
RC I2
d2 T
dx dt +  S 2 dx dt = 0

dx
Le champ de température T(x) dans le conducteur vérifie donc l'équation 
différentielle
q diff =  S

d2 T
RC 2
=-
I
2
dx
S
A.2.c La double intégration par rapport à x de l'équation différentielle 
vérifiée par
le champ de température T(x) conduit à
RC 2 2
te
T(x) = -
I x + Cte
1 x + C2
2S