e3a Physique et Chimie PSI 2015

@:

E S &
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - EST? - POLYTECH

Épreuve de Physique - Modélisation PSI

Durée 3 h

Si. au cours de l'épreuve. un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé. d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est autorisé.

AVERTISSEMENT

Les parties A, B, C, D, et les parties E, F, G sont à rédiger sur copies
séparées.

Remarques importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

0 il faudra exclusivement utiliser les notations de l'énoncé.

. Les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au
même titre que les développements analytiques et les applications numériques
(données avec un nombre de chiffres significatifs adapté); les résultats
exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés (S.L n'est pas une unité).

- Tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italiques ont pour objet d'aider 
à
la compréhension du problème.

0 Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé par la suite, 
même
s'il n'a pas été démontré par le(la) candidat(e).

. Un document réponse est à rendre non plié avec la copie de la deuxième
partie.

Tournez la page S.V.P

Il est Interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant Indiquer un provenance.

2

Ce probléme traite de systémes dldentlflcatlon par radio fréquence (RFID). 
Aucune
connaissance particulière sur les antennes n'est demandée.

Le radio--Identification, le plus souvent désignée par le sigle RFID (de 
l'anglais radio Imquency
identification}, est une méthode pour mémo"ser et récupérer des données à 
distance en utilisant
des marqueurs appelés « radio-étiquettes » (« RFID tag » ou « RFID transponder 
» en anglais).
Les radio--étiquettes peuvent étre des étiquettes eutoadhésives, pouvant être 
collées sur des
objets, Les radio-étiquettes comprennent une antenne associée à une puce 
électronique qui leur
permet de recevoir et de répondre aux requêtes red/o émises (signal 
radlofréquence) depuis un
émetteur--récepteur.

Cette puce électronique contient un Identifiant et éventuellement des données 
complémentaires.
Les puces RFID tentant aujourd'hui de supp/enter les codes à barres en jouant 
de leurs
avantages, a savoir qull est possible d'écrlre, d'effacer et de réécrire les 
données stockées dans
la puce un grand nombre de fois, que leur portée peut étre supérieure aux 
lecteurs optiques
utilisés pour les codes à barres. et que la communication peut se faire a 
travers certains obstacles
contrairement aux systèmes a lecture optique,

Un système RFID passif est composé de deux entités qui communiquent entre elles 
(Fig. 0) :

. Un TAG passif (dénommé TAG par la suite) ou radio-étiquette, associé à 
l'élément a
identifier. Il est capable de répondre a une demande venant du systeme émetteur 
-
récepteur. Le TAG n'a pas d'alimentation de type batterie ou pile mais est 
auloalimenté par
l'onde électromagnétique reçue {Il existe cependant des TAG actifs alimentés 
par pile).

- Une station de base ou lecteur RFID qui a pour mission d'ldentliler le TAG. 
Le lecteur
envoie une onde électromagnétloue en direction de l'élément à Identifier, cette 
onde
allmente le TAG qui peut alors communiquer avec le générateur - lecteur grâce à 
sa puce
électronique interne. En retour, le générateur - lecteur reçoit l'Information 
renvoyée par le
TAG.

Emetteur - Recepteur

Flggre 0

La figure 0 présente le fonctionnement général d'un système RFID. Le générateur 
- lecteur relié a
une antenne émettrice agit en maître par rapport au TAG : si le TAG est dans la 
zone de lecture
du générateur -- lecteur, ce dernier l'active en lui envoyant une onde 
étectromagnéthue et entame
la communication. Le TAG est quant a lui, constitué d'une antenne et d'une puce 
électronique qui

3

module l'onde réémlse vers le générateur - lecteur, En démoduient le signal 
reçu, le générateur -
lecteur relié a une application Interne récupéré l'information pour le traiter, 
Il est chargé de
i'lntan'ace et de la gestion de I'ldentlficatlon des TAGs qui se présentent a 
lui.

Il existe plusieurs familles de systèmes RFID dont le principal crllére de 
différent/ation est la
fréquence de fonctionnement. Les systéme RFID utilisent des bandes de fréquence 
diverses allant
de 125 kHz a 2.45 GHz. Le sujet étudie quelques aspects d'un systéme RFID é 860 
MHz. Les
parties A. &, ç, _Q. E, E et g de ce sujet sont largement Indépendantes les 
unes des autres.

...... Quel peut être l'avantage majeur d'un système RFID actif par rapport
a un système RFID passif ?

A Adaptatlon d'lmpédance
La notation complexe est utilisée et é
x(t)=X,,,Jäoos(mt+rp) est associé la

grandeur complexe )_( = X_,, JÏe"'"'"". Z{]
Un générateur de tension, de lem interne E_e

et d'impédanoe Interne ZG='RÜ+JX° est

connecté a une Impéde_nce de charge --
variable a VRU +qu (Fig. 1). La fréquence

de fonctionnement est l = 660MH1. On note
PEu la puissance moyenne délivrée parla

fem E_°, qu la puissance moyenne dlsslpée dans à et P," la puissance moyenne 
reçue par
a .
I_\L Déterminer le courant L débité par le générateur, puis déterminer 
l'expression de Pz" en

fonction de |Êglv R... X... R., el X...

AL Pour & et E_{: fixée. montrer que P" est maximale quand l'Impédenoe de la 
charge

vérifie : RU +]Xu : RG --]Xu. Dans ce cas on dit que l'Impédenoe de charge est 
adaptée a

celle de la eouree (adaptation en puissance). Dans ces conditions. que valent 
les
puissances Pz\, , PM et F," ?

On Inséra entre le générateur et la charge les | lx
deux composants de réactance X. et X, i '
(Fig. 2). La condition d'adaptation n'est plus
réalisée et maintenant, Zn = R" et Xe =0 ce

qui correspond a un généraleur standard; on a
encore Ë! =Ru +]X... 1x, [' Ü &

Pour les applications numériques prendre E
R°=50.0fl, Ru=7s,znetxu=42.sn. On --

appelle 51 = RIN + |x... l'impédenca équivalente
comprenant ]><..]X2 et a M :: Tournez la page S.V.l'. 4 & Montrer qualitativement que les deux réactancas X' et X, modifient l'Impédenca de le charge vue du générateur et permettent éventuellement une adaptation entre le générateur et le reste du montage. Application numérique : on a tracé sur la figure 3 les lieux des points de coordonnées (Xt. X,) donnant d'une part XIN :un et RIN =50,0nd'autre part, En analysant cette figure, déterminer chaque couple de (X.. Xz) assurant l'adaptation d'lmpédanoe: donner le type de composant correspondant (bobine ou condene1teur) et sa caractéristique (lnductance ou capacité). Quel est le meilleur choix ? Expliquer. x, en n 300 . l 200 - 100 ' -100 -200 ' ooo» , , , , , . -soo -200 400 o 100 200 zoo X. en a Le montage de la figure 2 ne convient pour réaliser l'adaptation que dans la situation ou R': < R.... M, Sens calcul et en invoquant des propriétés de symétrie. proposer une modification simple de la figure 2 pour permettre une adaptation d'impâdance dans le cas où R., > 
R...

B Influence du câble coaxial

On étudla un câble coaxial d'axe (Ox), de longueur [L lntamalé entre le 
générateur et la charge

équivalente adaptée en puissance de la figure 2 (cf. AZ,). Le schéma équlvalent 
est donné parla
figure 4 où au est le tem du générateur:

Câble coaxial
EMMA

On admet que la portion de câble comprise entre les plans de section droite 
repérés par x et par
x +dx peut etre modè/[sée par le circuit de la figure 5, Elle possède une 
capacité I'dx entre les
conducteurs et une Inductance propre Adx entre les sections d'entrée et de 
sortie. La tension

5

entre l'âme et la gaine du câble s'écrit v(x.t)et le courant traversent une 
section de l'âme est
l(x,t) .

l(x.t) A-dx l(x+dx.t)

x x+dx

Elm

?
EL Démontrer les relations suivantes: ô--V : _ Ail et '--I = _| O_V

ô_x ôt ('i)< ôt EZ. En déduire l'équation de propagation vérifiée par v(x,t) et l(x.t)v Exprimer cL la vitesse de propagation. On admet que les solutions générales sont de la forme : v(x.t)=w(t--x{q)+v,(t+ x/cL) et l(x.t)r l,(t-x/c,_)+l,(t+x/q). EL lnterpréter les significations physiques des grandeurs d'lndlce 1 et 2. lllustrer avec un graphique et expliquer. Le générateur de tension {Fig. 4) de [em interne 30 et de résistance interne Ra impose un régime sinusol'dfll forcé de pulsation un dans le câble coaxial. Les grandeurs v. .vz .i, et i: précédentes deviennent des fonctions sinusoidä/es dépendant de m(t -- x/c.) pour les grandeurs d'indice 1 et de (n (t + x/cL) pour les grandeurs dlndice 2. On pose: k - ?. |. 5.4; En utilisent la notation complexe. montrer que: v.(t--x/cl)=tïtc Al'(t--x/cl) et v,(t + x/cl)= -- R; .I, (t + x/cL) où R= est le résistance caractéristique du câble. Exprimer RC en fonction de rat de A . Vérifier l'homogénéité. La resistance équivalente R., est branchée en sortie du câble. Les grandeurs et l'entrée du câble sont notées avec l'indice a et les grandeurs à la sortie du câble avec l'indice & de sorte que : v, (i) : V(O.t). v_(t) : v(t...t), |, (t) = l (on) et |_... = l (iut), Avec la notation complexe: _ =Y1g_e|[...»uLx) 'fi : Ë'9I(......'llt |1=(fi/Ro)'e...'Hll) v|l=_(fi/RD)'ejlmlvkll) où \_/Eetfi sont des nombres complexes constants. On utilisera les amplitudes complexes 1(x) et L (x) associées à v(x,t et l(x !) telles que: ) \llx( ) V_to'a>lm+v_zo'eml
(X)

( Vt_a/R ) °"'"*'-(fi/Rc)'°""
V, , | (o)=_, etàlasonle !(il)=£, i(tL)=

A l'entrée du câble. on note y, (0)

Tournez la page S,V,P.

6
Bi En éliminent & et \_Iæ Trouver les deux fonctions f et g telles que :

v_ --r( kLrL)vL+-ch'g(ktltl'h

|g( kLtL)/Rch+f(kLtL).L
".

En déduire |'lmpédence d'entrée a = en tonctlon de R5, RC, l...(z.t) et
une dérivée de l(z.t).
ç_4_l Exprimer X,, (z.t) sachent de plus que pour tout 2 tel que --(/2k) et 0 =(Oi.OM) est à [instant t:

. 4 ] lJêOEB(ËCOSÛ] .
@(M.t) --äu, = %Yexp(](wt--kr))u, avec k = %. Dans le suite on ne gardera

dans les calculs que les termes en % , en négligeant les termes en %.

ç_5_. Justifier que 50...) soit poler|sé selon u.;.

gg A partir d'une équation de Maxwell à préciser (utiliser le iormulelre). 
trouver les
composantes complexes (È,È .EÜ ) du champ E(Mt) et montrer en particulier qu'il 
est

orthoradlal. Donner les composantes réelles correspondantes de Ë(Mt) eeeocl9 au
champ complexe Ë(M.t).

51 En un point A de l'axe (Ox) tel que 0Ar = d, déterminer l'amplitude et la 
polarisation du
champ Ê(A"t) dans la base (u;,u;.u;).

ç_& Donner les composantes réelles correspondantes du champ Ë(Mt) associé au 
champ
complexe E(Mt).

QQ. VérIller que le champ electromagnethue en M a la structure d'une onde plane 
progressive
harmonique.

g1g. Calculer le vecteur de Poyntlng iÎ(M.t) et sa valeur moyenne temporelle 
.) ? Identifier une résistance R, équivalente (dite de rayonnement) en 
z=0 telle
que : P_ = R, 'la" . Application numérique : calculer R. et 'a dans le cas 00 
P, : 3.30W.

Tournez la page S.V.P.

8
D Syltèmo RFID punit

Une antenne peut étre émettrice comme dans ie partie précédente mets peut étre 
également
réceptrlce comme l'est une antenne de téléphone portable. En conséquence, en 
admettre par la
suite qu'une antenne est équivalente à un circuit d'impédence 5 mR, + jX_ 
parcouru par le

courant émetteur dans le cas d'une émission. De méme, dans le cas d'une 
réception, cette
antenne est équivalente e un générateur comprenant en série une fem induite 
E_,, et l'impédence

Interne de l'antenne È =R, + ]X_. Dans les deux ces {émission et réception), la 
résistance R.
modéilse le puissance moyenne P, = R, ..." désigne un nombre réel qu'/I faudra préciser.

11

Tous les algorithmes demandés dans cette partie devront étre réel/sés dans un 
même langage.
Ce langage pourra être le langage Python ou le langage Sci/eh, On n'utilisere 
aucune libre/rie
particulière mais on considérons que les fonctions col et un ainsi que le 
nombre pi ont été
importés dens Python. On rappelle que le nombre il se note spi. dens Sol/ab.

il n'est pas demandé de vérifier dans les algorithmes que les variables 
d'entrée sont bien du type
voulu. Il est ainsi per exemple Inutile dans la question fil. de tester si le 
ver/able d'entrée :: est

bien dans l'intervalle ]O.u[ .

EL Illusfrer le principe de la méthode des rectangles en représentant R... sur 
le graphe de la
fonction f fourni en annexe. Donner l'expression de i...,_ en fonction de n,

E]. Écrire une fonction : (x) qui retourne la valeur de f pour un nombre réel x 
de ]0.n[.

E_L Ecrire une fonction a.ntnng1-1(n) qui. pour un nombre entier nz1. retourne 
le valeur
de R,...

& Combien d'évaluations de l'application f nécessite cet algorithme pour une 
valeur de n
donnée ?

il fau! déterminer une valeur de n pour laquelle R,. foumlt une bonne 
estimation de I. La méthode
1 consiste à calculer les termes successifs de le suite RH jusqu'à ce que 
celle-ci semble se
stabiliser.

H. Ecrire une fonction Int-qul.}. (op-) qui calcule. pour eps>0. les termes 
successifs
de la suite (R")... jusqu'à ce qu'on obtienne [R. --R" .l < eps. puis qui retourne la dernière valeur R,, calculée. EQ Pour eps=10". In:-gulol (up-) s'arrête pour n f34. Vérifier que cela a nécessite plus de 500 évaluations de la fonction f. EL Quelle contrainte informatique empêche d'obtenir un résultat pertinent pour des valeurs arbitrairement petites de «pe ? Il est possible d'améliorer la méthode 1. Le méthode 2 repose sur le relation de nécun'ence suivante: 1 .. k - rt . R 7: [ 2! ,.u .. VneN .R," 2 4 2" E...! " EL Ecrire la relation de récurrence pour un entier n de la forme n=2"' '. Écrire une fonction récurslve Rootan1e2(m) qui pour un nombre entier m retourne la valeur de R" . Combien d'évaluations de la fonction f nécessite cet algorithme pour une valeur de m donnée ? ELQ. Écrire une fonction Intoquch (op-) qui calcule, pour eps >0, les termes 
successifs
de le suite (RF)... Jusqu'à ce qu'on obtienne R'... --R,...