E3A Physique PSI 2013

Thme de l'preuve Capteurs de proximit
Principaux outils utiliss lectrostatique, thorme de Gauss, magntisme dans les milieux, thorme d'Ampre, analyse complexe
Mots clefs capteur capacitif, capteur inductif, mise en forme de signal lectronique, amplificateur oprationnel

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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nonc complet

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Rapport du jury

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nonc obtenu par reconnaissance optique des caractres


 

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Ecrire les tensions e+ et e" mesures par rapport  la masse de potentiel nul,
respectivement aux entres non inverseuse et inverseuse de l'AC en fonction des
composants de l'tage A et des tensions v2 et v5 ; en dduire la transmittance

V .
IA(joe) =--5%' Comparer les amplitudes V5 et V2 puis exprimer le dphasage (p 
de v5
_2

par rapport  v2. Prciser la fonction de cet tage.

E reprsente une tension continue dlivre par un gnrateur.

Prciser le rle jou par le bloc B. Exprimer la tension instantane v6(t) en 
sortie de ce
bloc, en fonction de l'amplitude Vo, du dphasage (p, de la tension E, de la 
pulsation co et

de t.

Relation utilisable : 2 sin(a) sin(b) : cos(a -- b) -- cos(a + b)

Msc(jOE)
y6(joe)
que sa pulsation caractristique (oc. Montrer que, par un choix judicieux de 
(pc, la tension

de sortie vSC est continue et  image  de cos(q>) .

Dterminer la fonction de transfert IC(joe) = En dduire le rle de l'tage C 
ainsi

Choisir la valeur particulire du produit R3C3 pour que la tension de sortie 
vSC du montage
soit continue et proportionnelle  la variation Az de la distance entre la tte 
de mesure et la
cible (au premier ordre non nul en Az/zo ). Donner son expression, note VSC 
(car

indpendante du temps), en fonction de E, k, Vo et du rapport Az/z0 .

1-- tan2(a/2)

Relation utilisable : cos(a) : 2
1+ tan (a/2)

Proposer une dfinition de la sensibilit S de ce capteur ; l'exprimer en 
fonction de k, Vo, E
et zo, puis la calculer sachant que V0 = 5,0 V et E = 0,50 V.

Citer les avantages et les inconvnients inhrents  l'utilisation de ce 
capteur capacitif.

Tournez la page S.V.P.

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



E3A Physique PSI 2013 -- Corrig
Ce corrig est propos par Guillaume Maimbourg (ENS Cachan) ; il a t relu par
tienne Thibierge (ENS Lyon) et Vincent Freulon (ENS Ulm).

Ce sujet tudie le fonctionnement de deux capteurs de proximit sans contact.
 La premire partie s'intresse  un capteur capacitif. La cible  dtecter 
formant
l'une des armatures d'un condensateur, la capacit de ce dernier dpend de la
distance entre la cible et le capteur. Dans un premier temps, on tablit la 
valeur
de la capacit en fonction de la distance via le thorme de Gauss 
lectrostatique. La suite du problme analyse le fonctionnement du circuit 
lectronique
permettant de conditionner le capteur puis de mettre en forme le signal. 
L'objectif final est d'obtenir une tension image de la distance sparant 
l'obstacle du
capteur.
 La seconde partie traite du fonctionnement d'un capteur inductif  rluctance
variable. Cette fois-ci, le principe est de former avec la cible un circuit 
magntique ferm dans lequel un champ magntique est impos. Ce dernier circule
 travers une bobine dont l'inductance dpend donc de la distance du capteur
 l'obstacle. Comme dans la partie prcdente, l'nonc propose d'tudier le
conditionnement du capteur et du signal pour obtenir finalement un signal de
sortie proportionnel  la distance entre la cible et le capteur.
De difficult raisonnable, ce sujet est long et comporte des calculs lourds, 
principalement dans la seconde partie. Une large place est faite aux 
approximations qui
permettent de simplifier le problme et de trouver les plages pour lesquelles 
les capteurs prsentent une rponse linaire, c'est--dire o la tension de 
sortie est directement proportionnelle  la distance sparant le capteur de 
l'obstacle. Enfin, saluons
l'effort fait par le concepteur du sujet pour prsenter un problme technique 
auquel
on donne une rponse satisfaisante en pratique, dans une dmarche d'ingnieur.

Indications
Partie A
A.2 Appliquer le thorme de Gauss  chacune des armatures indpendamment puis
conclure en superposant les champs crs par chacune des armatures.
A.3 Appliquer le thorme de Gauss  une surface cylindrique de rayon compris 
entre
ceux des deux armatures.
A.4 La capacit C(z) est celle d'un condensateur plan, tandis que la capacit 
Ce est
celle d'un condensateur cylindrique.
Partie B
B.1 Les amplificateurs oprationnels sont supposs idaux. Le courant entrant 
par
les bornes inverseuse et non inverseuse est donc nul.
B.2 Le systme fonctionne en boucle ferme (la sortie est relie  l'entre). 
Ainsi, en
notation complexe,
v s (j) = H(j) v s (j)
B.5 Supposer pour cette question que le facteur d'amortissement est maintenu nul
par le montage lectronique. L'quation diffrentielle se rduit alors 

d2 v s
1
kz
RC0 2 +
1-
vs = 0
dt
RC0
z0
Partie C
C.4 Exprimer cos  en s'aidant de la relation trigonomtrique donne par 
l'nonc.
Utiliser ensuite l'identit tan (Arctan ) = .
C.5 La sensibilit d'un capteur se dfinit comme le rapport de la variation de 
la
grandeur de sortie  sur la variation de la grandeur d'entre .
S=

d
d

Partie D
D.4 Les lignes de champ tant parfaitement guides, le flux magntique se 
conserve
le long du circuit magntique.
D.7 L'inductance L d'une bobine est dfinie par la relation L = /I.
D.8 Dterminer l'quivalent de la loi d'Ohm pour un circuit magntique.
Partie E
E.2 Dterminer indpendamment le potentiel lectrique aux noeuds A et B en 
fonction de la tension aux bornes du gnrateur de tension, puis rsoudre 
l'quation uA = uB .
Partie F
F.1 Le thorme de Millman en B permet d'exprimer v B en fonction de v G .

I. Capteur de proximit capacitif
A.

tude du condensateur de mesure

A.1 Notons V un volume dlimit par une surface ferme S, de normale oriente
vers l'extrieur. Soit Qint la charge totale contenue dans le volume V. Le 
thorme
de Gauss, dans le vide, s'nonce
ZZ
 -
-
 Qint
E dS =
0
S
Le thorme de Gauss est l'criture sous forme intgrale de l'quation de
Maxwell-Gauss aprs application du thorme de Green-Ostrogradsky. En notant  
la densit volumique de charge,

-

div E =
0
ZZZ
ZZZ

-
1
donc
div E dV =
 dV
0
V
V
ZZ
 -
-

Qint
soit
E dS =
0
S

A.2 Ngligeons les effets de bord et considrons le cas d'un condensateur plan 
infini.
M(x, y, z)
-Q

d
2

-

ez
-

ex

O

d
2

-

ey
+Q

S

Considrons le point M(x, y, z) comme sur le dessin.

 Tout plan contenant (M, -
ez ) est plan de symtrie du problme. Comme le champ

lectrique est un vecteur polaire, il est dirig selon -
e .
z

-

E (M) = E(M) -
ez
 Puisque le problme est invariant par translation dans le plan des armatures,
la norme du champ lectrique ne dpend que de la variable z.

E(M) -
e = E(z) -
e
z

z

Appliquons le thorme de Gauss  chacune des deux armatures successivement. En
effet, le problme tant linaire, le champ lectrique total est la 
superposition du
champ lectrique d  chacune des armatures. Effectuons le calcul pour 
l'armature
suprieure de charge -Q. Prenons l'origine des ordonnes au centre des deux 
armatures. La surface ferme choisie pour l'intgration est reprsente en haut 
de la figure
et contient le point M, point o l'on cherche l'expression du champ lectrique. 
Elle
enferme une surface Se de l'armature. Introduisons la charge surfacique  = Q/S.

-
D'aprs le thorme de Gauss, en notant E sup le champ lectrique relatif  
l'armature
suprieure,
ZZ

-
 -Se
-
E sup  d S =
0
Se
 -
-

Or, sur les bords de normale -
ex ou -
ey , E d S = 0. Finalement, pour z  [ -d/2 ; d/2 ],
(Esup (d - z) - Esup (z)) Se =

-Se
0

Enfin, le plan form par l'armature suprieure constitue un plan de symtrie 
pour la
distribution de charge de cette seule armature. Par consquent,
Esup (d - z) = -Esup (z)
Ainsi, pour z  [ -d/2 ; d/2 ]

-

Q -

E sup (z) = +
ez
2S 0

Dans l'approximation d'armatures infinies, le champ lectrique est donc 
indpendant
de la distance  l'armature.
Un raisonnement similaire s'applique sur la plaque infrieure en changeant -Q
en +Q et d/2 en -d/2 et conduit, pour z  [ -d/2 ; d/2 ],  :
-

Q 
-
E inf (z) = +
ez
2S 0
Superposons les 2 champs lectriques pour obtenir le champ total entre les 
armatures :
-

-

-
Q -

E = E inf + E sup =
ez
S 0
Le potentiel est reli au champ lectrique par :
--
-

grad U = - E
-
Le champ lectrique tant dirig dans la direction 
ez , la relation prcdente s'crit
dU
= -Ez
dz
Le champ lectrique tant constant, la tension aux bornes du condensateur vaut
U = -Ez d
La capacit du condensateur s'crit alors
C=

Q
S 0
=
|U|
d