e3a Physique PSI 2010

 

10PS|12

935

CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE
Épreuve de Physique PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

A rendre avec la copie 1 document--réponse non--plié

Le problème comporte deux parties : l'étude de l'effet Hall en régime permanent
ainsi qu'en régime variable, puis son application dans la détermination des 
positions

et vitesses angulaires de systèmes tournants.

Remarques préliminaires importantes : il est rappelé aux candidat(e)s que

' o les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au 
même titre
que les développements analytiques et les applications numériques ;

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème ;

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il n'a pas
été démontré par les candidat(e)s ;

- aucune connaissance particulière sur les semi--conducteurs n'est requise.

L'effet Hall a été découvert en 1879 par E.H. HALL; celui--ci observe, sur des
bandes de cuivre parcourues par un courant, l'apparition d'une différence de 
potentiel
lorsqu'un champ magnétique leur était appliqué. Jusqu'aux années 1960, l'effet 
Hall a
été principalement utilisé pour analyser la nature et la concentration des 
porteurs de
charge présents dans un solide. L'introduction plus récente de composants à 
matériaux
semi--conducteurs, comme l'arséniure d'indium lnAs et l'antimoniure d'indium 
lnSb a
permis d'obtenir des tensions de Hall suffisamment élevées pour justifier leur 
emploi
dans l'industrie. Les principales applications de cet effet concernent les 
gaussmètres,
ampèremètres, wattmètres, multimètres analogiques, compas magnétiques nombre
d'instruments et dispositifs exploitant la mesure de l'intensité et/ou la 
direction d'un

champ magnétique ou d'un courant dans un conducteur.

Tournez la page S.V.P.

PREMIERE PARTIE

ETUDE DE L'EFFET HALL

Le référentiel d'étude est rapporté à trois axes orthogonaux Ox, Oy, Oz ; ( 
u;...u y,Uz )
est la base orthonormée directe associée.

A I REGIME STATIQUE

Une plaquette parallélépipédique réalisée dans un semi--conducteur dopé n, 
d'épaisseur
h, de largeur EUR et de longueur finie L, est utilisée pour réaliser un capteur 
à effet Hall. Les
seules charges libres sont des électrons de charge de q = ----e ; N,, 
représente leur nombre par

unité de volume et a désigne la conductivité électrique du matériau 
semi--conducteur.
La plaquette est traversée par un courant électrique d'intensité constante la > 
O,

uniformément réparti sur la section transversale avec la densité volumique de 
courant j : J üy,

de sorte que 10 : JhEUR , comme le montre la figure 1 ci--dessous ; le champ 
électrique associé

est noté Ë0 : EO üy (l'alimentation extérieure n'est pas représentée pour 
simplifier le schéma).

Le capteur est placé au centre O du repère cartésien, dans un champ magnétique
uniforme et indépendant du temps (créé par un dispositif extérieur non 
représenté) de vecteur

-->

B : Büz avec 8 > 0. Dans cette sous--partie, le champ magnétique créé par le 
courant la dans

la plaquette est supposé négligeable devant Ë.

Figure 1

A._'l_ Exprimer la relation liant la densité de courant 3 et la vitesse de 
déplacement \7 des
électrons dans la plaquette. Préciser les caractéristiques de \7 .

A.2 Ecrire, sous sa forme vectorielle, la force Fmag à laquelle est soumis 
l'électron de la part

du champ magnétique, en supposant qu'il est animé de la vitesse de dérive \7 .

En déduire la force de Laplace FL qui s'exerce sur la plaquette.
Préciser l'effet du champ magnétique sur la trajectoire des électrons dans la 
plaquette.

A3 Montrer que, sous peine de voir disparaître le régime permanent d'écoulement 
des
charges dans le conducteur, un champ électrique, appelé champ de Hall, apparaît 
et

qu'il s'écrit ÊH : kE (Ü /\ Ë) , où kg est un coefficient à déterminer ; 
préciser la direction et

le sens de ce champ à l'aide d'un schéma.

A.4 En déduire l'existence d'une tension VH : V(P,) --V(P2) dite tension de 
Hall, qui apparaît

entre les deux faces opposées @ et @ de la plaquette, puis l'écrire sous la 
forme

R . . . .
V : ----"-- 10 B , où RH est le coefficient de Hall qu'il conwendra d'exphmter 
en fonchon de

H
h
Nn ete. Analyser le signe de RH.

A.5 Application numérique : Calculer la constante RH et la valeur de B a l'aide 
des données
suivantes: 10 = 100 mA, |le =126,7 mv, |\|n =1,7.1022 m'3, e =1,6.10"19 c,

h=0,3mm, EUR=1cm, L=3cm.

A.6 En pratique, un capteur est caractérisé par sa sensibilité. Définir puis 
calculer la
sensibilité SB de ce capteur vis-à-vis du champ magnétique.

La constante de Hall varie avec la température ---- carla densité de charges 
libres en
dépend -- selon la loi : RH(t)= RH(O).exp(--at), où la température t s'exprime 
en degrés

Celsius, avec a = 0,014 ( °C)" pour un capteur en InSb.

_AJ_ Evaluer la variation relative de la tension de Hall VH quand la 
température au niveau du
capteur s'élève de 10 degrés. Commenter cette valeur.

_A;._$_ Montrer qu'il existe une relation simple entre la force de Laplace È et 
la tension de Hall,
de la forme VH : t', ËL --üx , où Q est un coefficient à déterminer.

Désignons par Ë le champ électrique résultant dans la plaquette traversée par la
densité de courant J, en présence du champ magnétique B.

_I_\_._9_ Montrer que Ê, Îl et B vérifient la loi d'Ohm locale : 3= o[Ê ---kJ 
(Ü AB):|, où kJ est un

coefficient à déterminer. En déduire l'expression de Ê en fonction de 3 et B.
3 - -- -- .
.10 Représenter, dans le plan Oxy, les vecteurs --, E et k J(J AB). Tracer les 
lignes de
O'
courant, les lignes de champ et les surfaces équipotentielles associées, en 
distinguant
deux cas : absence ou présence du champ magnétique.

>
:

Montrer que les lignes de champ électrique et les lignes de courant font un 
angle ||| qui

sera exprimé en fonction de B, o et RH. Calculer cet angle \|J pour un champ B 
=1T,

sachant que o = 2.104 Q"'.m".

Les deux fils conducteurs sont soudés à la plaquette aux points P1 et P2, de
coordonnées respectives (Æ/2, y,,0) et (--EUR/2, y,,0) avec, théoriquement, y2 
: y,.

_A__.12 Estimer le décalage maximum admissible ô=|y2--y1| par rapport à leur 
position

théorique, sachant que la mesure doit fournir une tension de Hall V... à 1% 
près.
Commenter le résultat; proposer un montage complémentaire pour compenser ce

décalage et préciser le protocole de réglage.

A. __1_3 Etablir, qu'en présence du champ magnétique, la conductivité du 
conducteur devient :

o . . . . . , .
o' : -------------------- pws exphcûer le coefflment ?|. Calculer numenquement 
o'.

\/1+7æ282 ,

4
B I REGIME DYNAMIQUE

La plaquette est maintenant placée dans un champ magnétique extérieur variable 
dans

le temps Bex, : bm (t) üz. Elle possède désormais une longueur L extrêmement 
grande devant

les autres dimensions, si bien qu'elle sera considérée comme infinie selon 
l'axe Oy.
En l'absence de toute alimentation ( 10 = 0), il apparait dans la plaquette une 
densité

volumique de courant électrique induit Î: j(x,t)üy et un champ magnétique 5 == 
b(x, t) üz. La

densité volumique de charges électriques dans la plaquette est nulle et les 
propriétés
diélectriques et magnétiques du matériau constituant la plaquette seront 
assimilées à celles du

vide (80 =8,85. 10 --'2 F.m'7, ,uo =47r.10 "7 H.m"'}.

Æ Rappeler les équations de Mame" au sein de la plaquette, en se plaçant dans
l'approximation des régimes quasi stationnaires (ARQS).

B.2 Calculer divÎ, puis écrire ËtÎ en fonction d'une dérivée temporelle de b, en
supposant vérifiée la loi d'Ohm locale établie en A.9.

g.; Etablir la relation Iiantj(x,t) à ôb(x't), puis celle entre ô'éx't) et 
ôbâÏ't) .
x
.. . .,. . . . _62j ôj.
En deduwe que ](X,t) verifie lequaüon aux denvees partielles suwante . --â--2 = 
kD --ô--t, ou
x

ko est un coefficient à déterminer. De quel type d'équation s'agit--il ?

Pour résoudre cette équation différentielle en régime harmonique, écrivons le 
champ

magnétique extérieur Bex, : bOex, cos oet üZ avec bOex, cos oet : OEe{bOext 
e'""} et la densité de

courant induit _Î : j(x) cos (æt + ça(x)) üy avec j(x) cos(æt + ça(x)) : 
'Be{j{x) eir(Xl efwî} _

gg Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la densité complexe de courant
1 (X) = 100 ei...)-

Soient 5 : a(1+i) avec i2 = --1 et 2052 : ,u0a)o.

B.5 Justifier, en raisonnant sur les symétries, que j(x,t) est une fonction 
impaire par rapport
à la variable x, puis écrire la relation entre _| (--x) et j(x). Vérifier que 
j(x) peut s'écrire

sous la forme j(x) =A.f(g x), où A est une constante complexe et f (Ex) est une

fonction à expliciter.

B.6 En déduire l'expression de lg(x). Préciser la parité de cette fonction. 
Justifier
qualitativement la condition aux limites: lg(iÆ/2)=b.... Ecrire les expressions

complètes de j(x) et de i3(x) en fonction de b..., k, EUR, 03 et o.

La plaquette est de nouveau traversée par un courant constant d'intensité ] , de

densité uniforme JO : JO üy, se superposent à la densité de courant induit Î= 
j(x,t)üy ; ce

courant constant crée dans la plaque un champ magnétique Ëo.

ÈZ_ Montrer, grâce à des considérations de symétrie, que pour un point M (x, 
y,z << h) le champ ËO s'écrit: ËO =Bo(x)üz. Préciser la parité de la fonction Bo(x), ainsi que la valeur de Bo(0). Etablir l'expression du champ B0 =kB x üz, où kg est un coefficient à expliciter. --h ---+ Il sera admis que le potentiel vecteur A est de la forme A =A(x,t) Üy et qu'il n'intervient pas dans la tension de Hall instantanée VH(t) entre les faces opposées de la plaquette. Ecrire la superposition des champs magnétiques (È0 et B) et des densités de courant (Îlo et Î) dans la plaquette. En déduire le champ de Hall total, ÊH. En examinant la parité des fonctions JoBo, jb, Job et jB... établir que : 6/2 _. 6/2 R Ô [EH-fix dx= --ï--[BO (x,t)b(x,t)] dx. 4/2 --e/2 "0 ôX En déduire l'expression de VH(t). L'amplitude de cette tension de Hall dépend-elle ou non de l'existence des courants induits dans la plaque ? -->

Déterminer la force de Laplace FL qui s'exerce sur la plaquette. En admettant 
que la

relation V = t; - Ê --üX établie en A.8 reste valable, retrouver simplement le 
résultat de la
question 8.9.

C [ CAPTEUR DE ROTATION D'UN ARBRE DE MACHINE TOURNANTE

Afin de déterminer la position et la fréquence de rotation d'un arbre de machine

tournante, l'échantillon constituant le capteur prend la forme d'un 
parallélépipède à section
carrée (de côté a) ; il est constitué d'un semi--conducteur de type n et est 
traversé du même

courant la (figure 2). Dans un premier temps, le champ magnétique B est 
parallèle a 02 et la
tension de Hall mesurée est notée VH, . Dans un deuxième temps, le champ 
magnétique Ë est

dirigé selon Ox et la tension de Hall mesurée vaut VH2 .

Figure 2

C.1

Déterminer la tension VH2 après avoir précisé entre quelles faces elle était 
détectable.

Le champ magnétique É, tout en demeurant de module constant et égal à B, est

maintenant oblique, de composantes BX et 82, respectivement selon Ox et 02. 
Deux prises de
Hall sont aménagées sur l'échantillon afin de détecter simultanément V... et 
VH2 .

C.2 Montrer que la connaissance de V... et VH2 permet une détermination simple 
de la

valeur de l'angle 9 que fait le champ Ë avec l'angle Oz.

C.3 Calculer l'angle 9 à l'aide des données suivantes : V... = 38,0 mV et VH2 : 
65,8 mV .

Le montage pratique est représenté de façon simplifiée sur la figure 3. L'axe 
Oy de
l'échantillon semi--conducteur est confondu avec l'axe de rotation du moteur 
sur lequel les
mesures sont réalisées ; le capteur, placé à l'extrémité de l'arbre dans un 
évidement aménagé
à cet effet, est fixe, solidaire du stator.

Dans la cavité, sur la paroi interne et solidaire de l'arbre, sont collées deux 
« tuiles » en
forme de quart de cylindre constituées par deux aimants permanents ; entre ces 
aimants sont
placés deux compléments amagnétiques de même forme ; l'arbre de rotation, en 
acier
magnétique feuilleté, assure la fermeture du flux.

....

Le champ magnétique B est considéré comme uniforme dans la zone où se trouve le
capteur; sa direction est repérée par l'angle & tel que : 9 = (02,8). La 
vitesse de rotation
angulaire de l'arbre du moteur est notée .Q.

_Ç_.5_ Déterminer, dans le cas d'une rotation uniforme de l'arbre et le capteur 
restant fixe, les
lois d'évolution des tensions V...(t) et V...(t) en fonction du temps, sachant 
qu'au temps
t = 0 , 9 vaut 90. Préciser la valeur de la tension maximale en fonction de RH, 
B, 10 et a.

C.5 Etablir la relation existant entre f, la fréquence de la tension V...(t) et 
la vitesse de

rotation Q = 9--9-- du moteur.

dt

C.6 Expliquer pourquoi l'extrémité de l'arbre doit être feuilletée.

La machine qui est étudiée a deux enroulements de mêmes caractéristiques, a et 
,B au

stator et un aimant permanent au rotor; elle est représentée symboliquement en 
figure 4 (le
capteur de position est au centre du repère en petites dimensions). La 
résistance de chaque

enroulement vaut R. Lorsque la machine fonctionne en génératrice à vide (les 
courants ia et
i 5 sont nuls), les tensions induites dans les bobines statoriques sont ea et 
el} et se retrouvent

aux bornes des enroulements, de sorte que ua =ea et ufl =efl. Des mesures ont 
permis
d'établir que : ea : OEo !? sin( 9 ) et efl : (Do !) cos(9} .

_ç_J_ Donner un schéma électrique équivalent de chaque enroulement i (i= on ou 
B) faisant
apparaître la tension d'alimentation u,, e, et R. Justifier la forme des 
tensions eu et e,.

En fonctionnement moteur, les enroulements a et ,B sont alimentés par les 
courants
la et i 3 sous les tensions U,, et ul}.

C.8 En réalisant un bilan de puissance, déterminer l'expression du couple
électromagnétique Tem en fonction de ea, eB, ia, iB et Q. Montrer que pour une

position 9 donnée, il existe une infinité de couples (i iB) fournissant le 
couple

(11

électromagnétique TemSOU souhaité. Représenter dans un repère cartésien (O,ia, 
il,) le
lieu des points M de coordonnées (ia, iB) associés au couple TemSOU .

C.9 Etablir l'expression des courants optimaux iQ,'OlDt et iB,Opt donnant le 
couple

électromagnétique TemSOU et minimisant les pertes Joule au stator. Montrer 
comment

les signaux issus du capteur de position peuvent être mis à profit pour générer 
les
courants de référence dans un asservissement de couple.

Îfifi\\

Î'

'

III

Tuile
amagnétîque

Figure 3 Figure 4

Proposons maintenant une détermination de la vitesse de rotation plus précise, 
afin

d'assurer le contrôle de la dynamique latérale du véhicule en toutes 
circonstances (système
ESP : Electronic Stability Program).

D ! CAPTEUR DE ROTATION (ESP)

Le dispositif est constitué d'un disque muni de pignons {fabriqués dans un 
matériau
magnétique) solidaire dela roue du véhicule, d'un aimant non représenté et de 
deux capteurs à
effet Hall, fixes par rapport au châssis. La figure 10 montre en coupe (le 
schéma est simplifié,
le rayon de la roue étant suffisamment grand pour que les arcs de cercles 
paraissent
confondus avec des segments de droite) le profil d'une dent de pignon avec son 
bord d'attaque
et son bord de fuite, ainsi que deux capteurs à effet Hall 1 et 2 dont les 
sorties sont amplifiées

avec un gain supplémentaire. Les signaux E,(t) et E, (t) issus de ces capteurs 
correspondent

alors au profil temporel de l'image du champ magnétique capté par les 
transducteurs de Hall

(les lignes de champ sont modifiées périodiquement -- de période T -- par le 
passage de la
denture du pignon). La distance séparant deux bords d'attaque successifs est p.

Un modèle au premier harmonique s'écrit :

E (t)--_-- 5 + 2, 5 cos(--2----;Ït] et E, (t): 5 + 2, 5 cos (%ï --%] {exprimés 
en volts).
bord d'attaque bord de fuite

sens de rotation

\...Îi Capteur 1

Capteur 2

Figure 5

Il conviendra de noter le décalage temporel des deux signaux E1(t) et E2(t), 
lié au
décalage d des positions des deux capteurs. La tension de différence E(t) : E1 
(t)--EZ (t) est

injectée a l'entrée du montage électronique à amplificateur opérationnel 
représenté sur la figure
@. Les amplificateurs opérationnels (AO) utilisés dans la suite du problème 
sont supposés
idéaux ; ils sont alimentés entre + VCC et -- VCC, mais leurs alimentations ne 
sont pas
représentées pour la clarté du schéma. Dans la suite du problème, si un 
amplificateur
opérationnel fonctionne en régime de saturation, les tensions de saturation 
seront notées

ÎVSAT {avec VSAT =12 V).

E(t)

I'll III.
V .Il. I'll
'" SAT IIII III-

Figure 7

Figure 6

0.1 De quels paramètres la période T des signaux E1 et E2 dépend-elle ? Que 
vaut la valeur
numérique du rapport dlp ?

La figure 7 montre la caractéristique dela tension S(t) en fonction dela 
tension E(t).

D.2 Expliquer le fonctionnement de l'A05 et déterminer (en le justifiant) les 
expressions de
EL et EH en fonction de R1, R2 et vs.... Orienter, si nécessaire, la 
caractéristique
représentée sur la figure 7 et préciser le phénomène ainsi décrit.

Déterminer numériquement EL et EH, sachant que R1 = 10 kg et R2 = 86 kg).

g.g Représenter sur le document réponse, et pour deux périodes complètes, 
l'évolution des
tensions E1(t) et E2(t), puis celle de E(t) et S(t).

0.4 Comment l'écart AE =EH ------E,_ est-il appelé ? Quel est l'intérêt d'un 
tel montage par
rapport à un montage à comparateur simple ?

D.5 Analyser la forme du signal S(t) et préciser l'intérêt d'un tel dispositif 
pour une utilisation
en tachymètre. Quels sont ses avantages par rapport à un système optique ?

FIN DE L'EPREUVE

on
..

o...m oe..._. ©ë .»... N..._. oe.o oe...o .».o Nd o
_ m.u

È .

. . . |. . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . _ . . . . . .
. . _ _ . . . . .
. . _ . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
ï! lllll ... llllll .... !!!!!! . llllll .... llllll 4 llllll ... IIIIII ... 
llllll .| IIIIII . llllll .. OFI!
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
VI... """ fi ...... ' ..... -- ..... J ...... 4 """" 4 ...... 1 ..... 1 ..... 
-- ..... .L ...!
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
I. ..... .. ...... ... |||||| . ...... ... ...... .. ...... ... ...... .. 
uuuuuu .. ...... . ::::::: O
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
I ..... .. ...... . ....... . ...... ... ...... .. ...... ._. ...... ... ...... 
.. ...... . ....... ©
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Î ..... .. ...... . uuuuuuu _ ....... . ...... .. ...... .. |||||| .. uuuuuu . 
||||||| . uuuuuuu O _'
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . _ . _ _ . . DF

.m=o>. Em ...s... à...... .....m

0...QOU OE_ 00>OE 0..-uCOE.. .....OE .OEHËQEOO @ OEOECOQ@.. uCOE--.OOD