E3A Physique PSI 2006

Thème de l'épreuve Étude d'une ligne bifilaire
Principaux outils utilisés électrostatique, magnétostatique, physique des ondes, électricité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

CONCOURS ENSAM - ESTP - EUCLIDE - ARCHIMEDE

Epreuve de Physique PSI

durée 3 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le 
signalesur sa
copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il 
est
amené à prendre.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Etude d'une ligne bifilaire

Le problème est relatif à l'étude d'une ligne bifilaire et des phénomènes de
propagation associés. La longueur EUR de la ligne est assez grande pour que les 
effets
d'extrémités soient négligés et pour assimiler les champs et potentiels 
identiques à ceux
produits par une ligne infiniment longue.

Remarques préliminaires importantes. Il est rappelé aux candidat(e)s que :

. les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même
titre que les développements analytiques et les applications numériques,

. tout au long de l'énoncé, les paragraphes en italique ont pour objet d'aider 
à la
compréhension du problème mais ne donnent pas lieu à des questions,

. tout résultat fourni dans l'énoncé peut être admis et utilisé parla suite, 
même s'il
n'a pas été démontré par les candidat(e)s.

PREMIERE PARTIE

EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE ET REGIME STATIONNAIRE

A I ETUDE DE L'EQUILIBRE ELECTROSTATIQUE

Soit un fil de longueur et de conductivité infinies, de rayon a et possédant la 
charge
linéique it (figure 1 ).

_A_1. Rappeler les équations de Maxwell dans le vide. Que vaut la densité 
volumique
de charges p dans le fil ?

A2. Montrer que le champ électrostatique est radial et qu'il ne dépend que de 
r, tel
que: E=E(r)ür.

A3. En appliquant le théorème de Gauss sur une surface à préciser, établir
l'expression de E(r) en fonction de /1, 80, r et de constantes à déterminer en

distinguant deux domaines (à définir). Quelle relation existe--HI entre Ê = 
E(r) ür et

le potentiel électrostatique V(r) ?

A4. Le fil conducteur est porté au potentiel V1. Exprimer la différence de 
potentiel
V(r)----V1 en fonction de Â, 80, a et r.

Considérons deux fils ( 1 ) et (2) de longueur infinie, infiniment conducteurs, 
de rayon a,
parallèles entre eux, espacés de h >> a et possédant les charges linéiques X et 
--k

constantes et uniformes (figure 2). Nous ferons l'hypothèse que les charges 
restent
uniformément réparties a la périphérie des conducteurs cylindriques. Ces deux 
conducteurs

forment une ligne hifi/aire.

_A_5_._ En appliquant le théorème de superposition, exprimer V1--V , la 
différence de
potentiel entre le fil (1) et le fil (2).

A6 Réaliser un tracé qualitatif des lignes de champ et des surfaces 
équipotentielles
relatives aux conducteurs cylindriques.

A7. Montrer qu'une surface équipotentielle particulière est un plan et donner 
son
équafion.

A8 Déterminer l'expression du champ électrique Ê en tout point de ce plan. 
Tracer le
module de Ê en fonction d'une variable à préciser.

A9 Montrer que certaines lignes de champ sont portées par une droite. Exprimer 
le

champ électrique Ê en tout point de cette droite. Tracer le module de Ê en
fonction d'une variable a préciser.

L'ensemble des deux conducteurs forme un condensateur de capacité linéique Co. 
Pour
me,,

B I ETUDE EN REGIME STATIONNAIRE

la suite, il sera admis que CO-- =

La ligne bifi/aire est utilisée pour alimenter une charge. Le conducteur ( 1 ) 
constitue le
conducteur aller du courant électrique constant d'intensité IO {dans le sens de 
l'axe 02). Le

conducteur (2) est le conducteur retour de ce courant. La répartition du 
courant est uniforme sur
chaque conducteur. Les vecteurs densité de courant sont respectivement :

Tra2 " na2

z .

81. Montrer que le champ magnétique créé par le conducteur (1) est orthoradial 
et
qu'il ne dépend que de r, tel que : Ë, = B1 (r) ü9.

BZ. A partir du théorème d'Ampère sur un contour a préciser, établir 
l'expression de
B1 (r) en distinguant deux domaines (à définir). Tracer le graphe de B1 (r).

83. De même, exprimer Ê, le champ magnétique résultant créé par les conducteurs
(1) et (2), mais uniquement dans le plan défini par les axes des deux 
conducteurs
et entre les conducteurs.

L'ensemble des deux conducteurs forme une bobine d'inductance linéique Lo.

Dans la suite du problème, il sera admis que L() -- EÊ-Ln( h a)
n a

_B_$ A l'aide d'une figure, montrer ce que représente la grandeur physique Lolo.
55.

Que vaut le produit LOGO ? Application numérique.

DEUXIEME PARTIE '

REGIMES VARIABLES

L'étude est menée dans le cadre de la théorie générale de l'électromagnétisme. 
La
répartition des courants possède les propriétés suivantes : à un instant t et à 
une abscisse z

donnés, i(z,t) est l'intensité du courant a travers une section droite du 
conducteur ( 1 ) et

--i(z,t) l'intensité du courant a travers une section droite du conducteur (2). 
Les vecteurs

'"_' Z, t ": _i th ---o , . .
densité de courant sont respectivement j,: (&;2 ) ü,_ et j2= (a2 ) uZ La 
repartition des
71: n

charges est donnée par la densité linéique de charges À(z, t) pour le 
conducteur ( 1 ) et ---- À(z, t)

pour le conducteur (2). La différence de potentiel électrique entre ( 1 ) et 
(2) est de la forme
v(z, t) et le conducteur (2) sera pris comme référence de potentiel.

C I ETUDE A PARTIR DES EQUATIONS DE MAXWELL

Seul l'espace compris entre les conducteurs et au voisinage du plan contenant 
les axes
des conducteurs sera considéré. Les coordonnées cartésiennes seront utilisées.

C1. Justifier que dans le domaine considéré, les champs magnétique et électrique
peuvent s'écrire avec les approximations suivantes : BoeB(x,z,t)üy et

....

EæE(x,z,t) üx.

Il sera admis que le potentiel vecteur  s'exprime sous la forme  = A (x, z,t) 
üz .

_Ç_Z_. A partir de la forme locale de l'équation de Maxwell--Ampère appliquée à 
l'espace
entre les conducteurs, établir une relation notée [% 1] entre une dérivée 
partielle

de B(x,z,t) et une dérivée partielle de E(x,z,t).

_Ç_â_._ Appliquer la forme locale de l'équation de Maxwell--Faraday dans le 
domaine
considéré. En déduire une relation notée [% 2] entre une dérivée partielle de

B(x,z,t) et une dérivée partielle de E(x,z,t).

_Ç_4_._ Etablir l'expression suivante du champ magnétique :
B(x,z,t)=0aB .i(z,t).(l+B--L) où dB est une constante à déterminer.
x -x
C5. Déduire des trois questions précédentes que l'intensité i(z,t) satisfait à 
une

équation de d'Alembert que l'on établira. Préciser la vitesse de propagation.

C6. Trouver l'expression du champ E(x,z,t) en fonction de k(z,t) et de 
paramètres à
exp"cüen

8 ,t
Q_L_ En déduire une relation entre ÀéÎ )

A quoi correspond cette relation ?

et une dérivée partielle de l'intensité i(z,t).

_C_8= A partir de la relation générale Ê : --gradV--%Ê, établir une relation 
entre v(z,t),

À(z,t) et C0.

ôv(z,t) âi(z,t)

_ç_9_= A partir de la relation [9% 2], établir l'équation liant ôz , ôt et des
constantes à déterminer. Que traduit cette relation ?
cm. A partir de la relation [9% 1], établir l'équation liant Ô'(Z't), ôV(Z'° et 
des

""'" ôz ôt

constantes à déterminer. Que traduit cette relation ?

C11. Est--ce que I'Approximation des Régimes Quasi--Stationnaires est vérifiée?
Pourquoi?

D I ETUDE A PARTIR D'UN SCHEMA EQUIVALENT

La ligne présente une capacité linéique Co , une inductance linéique L0 et une 
résistance
linéique R car les conducteurs (1) et (2) ne sont pas des conducteurs parfaits. 
Une
conductance transversale linéique G complète le schéma équivalent pour 
modéliser les
pertes transversales. Une portion de ligne est représentée sur la figure 3.

ôv(z,t) et a i(z,t)
62 82

D1. Etablir les équations exprimant les dérivées partielles

,en

ôv(z,t) ôi(z,t)
Ôt ' ôt

fonction de v(z,t), i(z,t), , R, G, L0 et CD.

DZ. En déduire une équation de propagation pour la tension v(z,t). A quelle 
équation

l'intensité i(z,t) satisfait-elie ?

j(oet-k_z

Considérons une onde y(z,t) = v() e ) (en notation complexe), se propageant sur 
la

ligne. _lg est une grandeur complexe tel que _k_ : k'+jk" où k' et k" sont des 
nombres
réels.

D3*a. Déterminer la relation de dispersion liant _k_ à ou.

D3*b. Définir la vitesse de phase vw et une grandeur ô caractéristique de 
l'atténuation
en fonction de k' et de k".

D3*c. Pour le cas où R << Logo et G << Com, donner l'expression de v(p et de 6 
à l'ordre

le plus bas en ---1---. A quelle condition sur R, LO, G et C0, un signal 
quelconque
(D
n'est-il pas déformé par la ligne après transmission ? Y a-t--il dispersion 
dans ce

cas ?

Dans toute la suite du problème la ligne est supposée être une ligne idéale, 
dont les
caractéristiques sont telles que R = 0 et G = O.

D4*a. Montrer que l'équation aux dérivées partielles relative à la tension 
s'écrit :

ôzv(z,t) 2 âzv(z,t)
___--ê...-- : u ___--__?--
ôt 62
Quelle est la dimension de u ?
Quelle est la forme générale des solutions de cette équation ?

où u est un coefficient que l'on explicitera.

D4*b. Retrouver que l'intensité i(z,t) vérifie une équation de propagation.

Il sera admis que les solutions générales s'écrivent sous la forme :
z z . . z . 2

v z,t =v t'------- +v t+-- et | z,t :| t------- +| t+---- .
()(...)() ()(...)()

D4*c. Interpréter les significations physiques des grandeurs d'indice 1 et 2.

D4*d. Montrer les relations suivantes :

Z . Z
V1(t--E]=RCI1(t--E)

Z . Z
v t+---- =---R | t+--
2( EUR] ° 2( C)

RC est appelée résistance caractéristique de la ligne. Exprimer RC en fonction 
de
80 , Mo, 3 et h.
Calculer numériquement RC et u a l'aide des valeurs expérimentales suivantes :

LO = 0,318 mH.km"1 et c0 = 509 nF.km" Conclusions ?

Un condensateur (de capacité C) en série avec une bobine (d'inductance propre L 
et de
résistance interne négligeable} est connecté sur la ligne bifilaire infinie par 
l'intermédiaire
d'un interrupteur K initialement ouvert (figure 4--a). Le condensateur est 
chargé sous la
tension U, puis a l'instant t = 0, K est fermé.

D5*a. Montrer que le circuit est équivalent à un circuit R, L, C série pour 
lequel les
éléments seront précisés.

D5*b. Etablir que la tension aux bornes du condensateur vC (t) satisfait à une 
équation

différentielle qui sera exprimée sous la forme :
d2vC de

("2 + 2m(DO ""a--{'-- + (DOZVC : 0

Préciser l'expression de la pulsation caractéristique (po et du facteur
d'amortissement réduit m.

D5*c. Résoudre cette équation dans le cas où m < 1. Tracer l'allure de la 
tension vC(t)

pour m = 102. A partir de quel temps caractéristique te, la tension vC (t) 
est-elle
inférieure à UI1OO ?

D5*d. La figure 4--b représente v(z,tc) pour O.0, e(t)=E.
F1. En écrivant quatre relations en z = t, à savoir :

. une relation [@ a], entre vs (t) RU et iS (t)

- une relation [@ b], entre v$ (t) v1 {t--£) et v{t+£),
c c

. une relation [?Âî c], entre is (t) i1 {t--£) et i2(t+--Æ--),

c c
. une relation [9? d], entre iS (t) v1 (t...--EUR], v2(t+--Æ-) et RC,
0 c

montrer que :

v2(t+--EUR--)=a v,(t--£) pour tz-î-- , où ce est une constante à déterminer.
c c

En déduire que: v2 (t)= oc v,(t--%£).

Quelle est la signification physique de oc ?
Calculer oc pour RU = O, RU = RC et RU =oo.

F2. De même, en écrivant quatre relations en 2 = 0 , à savoir :

. une relation [@ e], entre ve (t) E, RG et ie (t)
. une relation [9% f], entre ve (t) v1 (t) et v2 (t)
- une relation [?Rg] entre i,, (t) i1 (t) et i2 (t)
. une relation [@ h] entre ie(t), v1 (t) v,(t) et RC,
montrer que : v1 (t)=% pour t20 et pour RG =RC.
F3. Pour RG =RC, tracer les graphes des tensions ve (t) et v$ (t) pour les 
valeurs

suivantes de RU : RU =O, RU =RC et RU =oo . (Pour chacun de ces graphes,

placer les instants £ et %)

C C

F4. En reprenant l'étude précédente pour RG et RU quelconques, donner 
l'expression

de ve(0) et ve(oo) en fonction de RG et RU.
Quel est le schéma électrique équivalent en régime établi ?

Décrire qualitativement le fonctionnement du circuit pendant le régime 
transitoire.

Reprenons l'étude avec une « impulsion » définie par :

e(t)=0,powt<0 e(t)=Epour0--É

En considérant que FRG = RC, étudier et tracer le graphe de ve (t) pour les 
valeurs
suivantes de R.... ' RU =D, RU =RC et RU=oo . Pour chacun de ces graphes,

t 26 3__t_
placer les instants ---- --------,
c c c
2t
Que se passe-- ----t il si la durée de l'impulsion est supérieure à ---------- ?
c
Données numérigues :
-7 -1 1 -1 1 8 -1
p =4n.10 H.m e =-------------------- F.m c= =3.10 ms
0 0 36n.109 ,/80 ...

Rappels d'analyse vectorielle :

Expressions des opérateurs gradient, divergence, rotationnel et lap/acien en
coordonnées cylindriques, pour une fonction scalaire V = V(r ,9 , z) et pour 
une fonction

vectorielle Â=A,(r,9,z) ür +A,,(r,9,z)ü6 +A,_(r,9,z) üz

ôV... 1ôV.. ôV...
gradV=-------u+ ------------+u9 -----------u
ôr r 69 62

1ô(rA,) 1âA9 ôAZ
--- +... + ...
r ôr r 69 62

2 2
AV_1ôr ÿ___V +126\2/+ ôV
r2 69 822

Figures :

y A
a
> > z
0 üz
Figure 1
(Z)/\
QJ ;
. h
Figure 2 < >
i(z,t) Lo dz R dz i(z +dz,t)
- /'W\_\ _
A " À} 7
v(z,t) 1 :: C0 dz C0 dz :: v(z+dz,t)
G dz 1
| Gdz |
Figure 3 i(Z,t) i (z + dz,t)
L K Ligne bifilaire
M E-....." __________
A} : 7/ 5
V0 (t) :: C E :
5 // ?

Figure 4--a =0 =OO

V(thc) "

Figure 4-b

'\
et
T
U U u u u U U U U
" 4
" l
R ie ______ EF9È?PËË'?ÎÎ... S R...
G *(t4) // 4"(;) [:_--
eÎËe(t) vs
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Physique PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alban Sauret (ENS Lyon) ; il a été relu par Geoffroy
Aubry (ENS Cachan) et Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE).

Ce problème est consacré à l'étude de la transmission et de la propagation de
signaux dans une ligne bifilaire. Il aborde plusieurs parties du programme des 
deux
années de prépa : électrostatique, magnétostatique, physique des ondes et 
électricité.
· Dans un premier temps, l'énoncé aborde l'étude du champ et du potentiel
électriques créés par un fil infini, puis par deux fils constituant une ligne 
bifilaire
pour laquelle on mène ensuite des calculs classiques de magnétostatique.
· La deuxième partie, dans la continuité de la première, fait le lien entre les
champs électrique et magnétique d'une part, la tension et l'intensité d'autre
part. Ceci permet d'étudier cette ligne, considérée successivement comme 
dissipative, puis non-dissipative. Pour finir, cette section traite de la 
décharge d'un
condensateur dans la ligne à travers une bobine.
· La dernière partie, largement indépendante des deux précédentes, est la plus
originale : elle a pour thème la propagation de signaux, d'abord sinusoïdaux,
puis impulsionnels.
Ce sujet n'est pas spécifique à la filière PSI ; il peut être travaillé de 
façon profitable par des élèves d'autres filières, en particulier pour l'étude 
de la ligne bifilaire.
Il reste dans un premier temps assez proche du cours : les calculs demandés en 
électrostatique et magnétostatique sont classiques et doivent être maîtrisés, 
de même
que la décharge d'un condensateur dans un circuit RLC. Seule la dernière partie 
est
vraiment originale et demande plus de réflexion. Signalons enfin que l'énoncé 
est très
long : même un excellent candidat ne peut le traiter entièrement en trois 
heures.

Indications
Partie I
A.1 Dans un conducteur parfait, les charges se répartissent en surface.
A.3 La surface de Gauss à utiliser doit tenir compte de la géométrie du 
problème ;
considérer ici un cylindre dont l'axe coïncide avec le fil.
A.5 Exprimer tout d'abord le potentiel dû aux deux fils à l'aide du théorème de
superposition, pour un point situé à une distance r1 du fil 1 et une distance r2
du fil 2. De plus, la distance h est très grande devant a, ainsi h - a  h.
A.6 Montrer que les équipotentielles sont des cercles, et en déduire l'allure 
des
lignes de champ.
A.9 Utiliser les résultats de la question A.6 et A.8.
Partie II
C.2 L'expression du rotationnel en coordonnées cartésiennes peut se retrouver en

-
faisant le produit vectoriel de l'opérateur nabla avec le vecteur B .
C.4 Montrer dans un premier temps que l'équation de Maxwell-Ampère en régime
variable conduit au théorème d'Ampère utilisé à la question B.2, puis utiliser
le principe de superposition.
D.1 Appliquer la loi des noeuds et la loi des mailles et effectuer un 
développement
de Taylor en ne gardant que les termes du premier ordre en dz pour obtenir
les deux équations demandées.
D.3.c L'expression de k 2 peut s'écrire comme un produit de deux termes de la 
forme
1 +  (ou   1). On peut ainsi prendre la racine carrée de k 2 puis effectuer
un développement limité.
D.4.d Injecter l'expression de v(z, t) dans les relations liant les dérivées de 
i(z, t) et
de v(z, t).
D.5.c Déterminer les conditions initiales en utilisant le fait que la tension 
aux bornes
du condensateur et l'intensité dans la bobine sont continues.
Partie III
E.1 Écrire la valeur de la tension de sortie et de l'intensité en sortie en 
fonction
de V10 et de V20 .
F.1 Pour une onde progressive, v1 (t, ) = v1 (t - /c, 0).
F.3 Décomposer l'étude sur des intervalles de temps de longueur t = /c.

Étude d'une ligne bifilaire
I. Équilibres électrostatiques et régime stationnaire
A.

Étude de l'équilibre électrostatique

A.1 Dans le vide, la densité de charges et de courants est nulle
=0

- = -

0

et

Les équations de Maxwell se réduisent alors à

-
-
B
- 
rot E = -
t -

E
- -
rot B = µ0 0
t

-
div B = 0

-
div E = 0

Les équations de Maxwell étaient demandées dans le vide. Trop de candidats
les écrivent dans le cas général où règne une densité de courant.
Le fil est de conductivité infinie, ainsi les charges se répartissent à la 
surface
du conducteur. Par conséquent, la densité volumique de charge est nulle dans le
conducteur, soit
=0

Le fil est de conductivité infinie, néanmoins, beaucoup de candidats n'ont pas
vu que la densité volumique de charge est nulle (cette même question était
abordée dans les épreuves des deux années antérieures).
A.2 Considérons un fil infini d'axe (Oz) et de charge linéique  et soit M un 
point
de l'espace. Le plan contenant M et le fil est plan de symétrie de la 
distribution
de charges, de même que le plan orthogonal au fil et contenant M. Ainsi, le 
champ
électrostatique en M appartient à l'intersection de ces deux plans ; il est 
donc radial

-

E (r, , z) = E(r, , z) -
ur
Par ailleurs, la distribution de charges est invariante par rotation autour de 
(Oz) et
par translation suivant cet axe, ce qui implique respectivement
E
=0

Finalement,

et

E
=0
z

-

E (r, , z) = E(r) -
u
r

A.3 Utilisons comme surface fermée
un cylindre , d'axe (Oz), de hauteur , dont les bases sont notées 1
et 2 et la surface latérale L . De
plus, on oriente ce cylindre vers l'extérieur. Calculons le flux  du champ
électrique à travers  :
ZZ
ZZ
 -
-

 -
-

=
E · dS =
E · dS

1
z
L

-

u
z
r
M

O

L

2

x

-

u

-

u
r

y

-
-

-

-

car E · d S est nul sur 1 et 2 ; en effet E est radial et d S est orienté 
suivant -
u
z

-
 sur  , on obtient
sur ces surfaces. Étant donné que d S = r d dz -
u
r
L
 = 2  r  E(r)
Appliquons alors le théorème de Gauss à la surface fermée  :
Qint
 = 2  r  E(r) =
0
où Qint est la charge totale comprise dans le volume délimité par la surface 
fermée .
Deux cas sont possibles :
· Si r > a, on a Qint =   ;
· Si r < a, Qint = 0.
Finalement, l'expression du champ électrostatique s'écrit

si r > a
-

-

E = E(r) ur où E(r) = 2  0 r

0 sinon

-
 et le potentiel électrostatique V(r) sont
Le champ électrostatique E = E(r) -
u
r
liés par la relation
--

-
E (r) = - grad V(r)
,
Soit, en projetant sur -
u
r

E(r) = -

dV(r)
dr

A.4 Déterminons la différence de potentiel entre un point M situé à une 
distance r
du fil infini et un point A situé sur la surface du fil (en r = a). Pour ce 
faire, intégrons
la relation ci-dessus par rapport à r > a
Z M
Z M
 -
-
V(M) - V(A) =
dV = -
E · d
r
A

r

A

r

dr
2

0 r
a
a
On intègre le terme de droite pour obtenir la différence de potentiel V(r) - V1 
:
r

V(r) - V1 = -
ln
2  0
a
Soit

V(r) - V1 = -

Z

E(r) dr = -

Z