Centrale Physique et Chimie PSI 2013

Thème de l'épreuve Quelques aspects de la physique et de la chimie du piano
Principaux outils utilisés propagation des ondes, cristallographie, électrochimie, synthèse organique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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tOi--\

(, '» Physique--Chimie

% «
_/ PSI

EÜNEÜUHS EENTHHLE°SUPËLEE 4 heures Calculatrices autorisées

2013

Quelques aspects de la physique
et de la chimie du piano

Le piano est un instrument de musique à cordes frappées inventé par l'italien 
Bartolomeo Oristofori au milieu
du XVIIIèmEUR siècle et perfectionné principalement au XIXème siècle, le piano 
à queue moderne ayant atteint sa
maturité au début du XXème siècle. Ce problème se propose d'aborder différents 
aspects du fonctionnement et
de la conception de l'instrument. Les différentes parties sont largement 
indépendantes.

I Vibrations d'une corde de piano fixée à ses deux extrémités

Lorsque l'instrumentiste frappe une touche du clavier, celle--ci actionne un 
mécanisme, qui actionne a son tour
un marteaul, qui vient frapper une corde? Celle--ci entre alors en vibration 
libre (tant que la touche est enfoncée).
On s'intéresse donc dans cette partie aux vibrations libres d'une corde du 
piano.

Sauf avis contraire, on supposera que la corde peut être supposée sans raideur 
et on négligera toujours les effets
de la pesanteur.

La corde de masse linéique ,u est tendue avec la tension T 0- Au repos, la 
corde est rectiligne et parallèle à l'axe
horizontal (096). On étudie les mouvements de la corde autour de sa position 
d'équilibre. On note y(oe,t) le
déplacement du point de la corde à l'abscisse 96 a l'instant t. L'axe (Oy) est 
l'axe vertical ascendant.

I.A -- Mise en équation du mouvement transversal d'une corde de piano sans 
raideur

I.A.1) Que signifie l'expression << corde sans raideur >> ? Qu'entend--on par 
<< hypothèse des petits mouve--
ments >> ?

I.A.2) Dans le cadre de l'approximation des petits mouvements, établir les deux 
équations liant les dérivées
Ô
--î(oe,t) et de la
projection sur l'axe (Oy) de la force de tension exercée à l'abscisse 96 par le 
morceau de corde situé a droite de
cette abscisse sur la partie située à gauche T y(oe, t). On fera apparaitre la 
tension T 0 en le justifiant.

partielles par rapport a t et a 96 de la vitesse transversale d'un point de la 
corde uy(oe,t) :

I.A.3) Montrer que la fonction y(oe, t) vérifie l'équation aux dérivées 
partielles

@@ @@
MOÊ : TOË (L1)

Identifier la célérité c des ondes transversales sur la corde et en donner 
l'expression. Comment s'appelle cette
équation ? Citer au moins deux autres phénomènes régis par la même équation.

I.A.4) On peut lire dans une documentation technique que << une corde de piano 
est tendue a 85 kg >>.
Pouvez--vous en déduire un ordre de grandeur de la tension T 0 d'une corde ? 
Pour une corde en acier donnant
la note << La 4 >>, le diamètre de la corde est de 1,1 mm. La masse volumique 
de l'acier valant 7,8 >< 103 kg -- m_3,

calculer la célérité c des ondes transversales sur la corde.

I.B -- Modes propres d'une corde de piano sans raideur, fioee'e auoe deuoe 
eoetrémités. Position
du marteau sur la corde

La corde est fixée à ses deux extrémités, 96 = 0 et 96 = L, ce qui impose les 
conditions aux limites : y(0,t) :
y(L, t) = O.

I.B.1) Qu'appelle--t--on onde stationnaire ? Montrer que les solutions en ondes 
stationnaires, physiquement
acceptables, de l'équation (1.1) sont de la forme y(oe, t) : yo cos(wt + ga) 
cos(koe + (b). Quelle est la relation entre
w et k ?

I.B.2) Qu'appelle--t--on << modes propres >> et << fréquences propres >> de la 
corde ? Exprimer les fréquences
propres fn de la corde en fonction de c et L. Donner l'expression de la 
solution y,,(oe, t) correspondant au mode
propre numéro n. Dessiner l'aspect de la corde à plusieurs instants bien 
choisis pour n = 1, n = 2 et n = 3.

Les marteaux sont réalisés en bois recouvert de feutre.
Dans le médium et l'aigu, chaque marteau frappe simultanément deux ou trois 
cordes identiques pour chaque note.

2013--04--30 22:29:37 Page 1/8 GC) BY-NC-SA

OJ

I.B.3) La solution générale de l'équation (1.1) correspondant aux conditions 
aux limites y(0, t) : y(L, t) = 0
est une superposition des modes propres, qui s'écrit

y(oe,t) : Î (..., cos 0%") + b,, sin (n"ÎOE)) sin (%)

n=1

La corde est frappée a l'instant initial par un marteau de largeur 2a (faible), 
situé a l'abscisse 5150 (pendant un
intervalle de temps supposé infiniment court). Ce marteau communique une 
vitesse initiale transversale a la
corde. On se donne les conditions initiales suivantes (juste après l'attaque de 
la corde par le marteau) en tout
point de la corde :

-- la forme initiale de la corde donnée par y(oe, O) = 0 ;

-- la vitesse initiale de la corde donnée par

Ôy t _ u0 pouroe EUR [fig--d, oe0+a]
Ë(oe' ) _ 0 en dehors de cet intervalle

a) On donne le résultat du calcul :

y(OE,t) :

oo . 7TCL _ 7TOEO
4uoaoe0 sm ("Î) sm ("T) _ ( 7TOE) , 7rct
C--L nî=:l Tra 7TOEO SlÏl ÏLÎ SlÏl ÏLÎ
î "?
Quel est l'effet de la largeur & du marteau ? Pour une corde de piano de 
longueur L = 65 cm (<< Do 4 >>, fréquence
fondamentale f1 : 262 Hz), donner l'ordre de grandeur de la fréquence au--delà 
de laquelle cet effet est sensible.
La largeur du marteau vaut 2a : 2 cm. Commentaire ?

I)) Comment choisir le point d'attaque si l'on veut supprimer l'harmonique de 
rang n ?

I.C -- Conséquences sur la conception des cordes d'un piano

La hauteur du son produit par une corde est fixée par la fréquence f de son 
mode fondamental n = 1. Les 88
notes d'un piano moderne s'échelonnent du << La 0 >> (fréquence fondamentale f 
= 28 Hz) au << Do 8 >> (fréquence
fondamentale f = 4,2 kHz).

I.C.1) Rappeler la relation liant la longueur L d'une corde a la fréquence de 
son fondamental f .

On rappelle que pour la fréquence fondamentale f = 262 Hz, on a une longueur de 
corde L = 65 cm. Quelles
sont les valeurs extrêmes des longueurs de corde prévues dans l'extrême grave 
et dans l'extrême aigu ?

I.C.2) Les longueurs calculées ci--dessus sont excessives dans le grave 
(problèmes d'encombrement et de
fragilisation de la structure a cette échelle) : en pratique, la longueur d'un 
piano a queue de concert moderne
n'excède pas 3 m (la longueur la plus courante étant autour de 2,75 m). La 
longueur des cordes obéit assez bien
a la loi étudiée au I.C.1 pour les notes au--delà du << Do 4 >>. Pour les notes 
plus graves, on utilise des cordes
filées : il s'agit de cordes d'acier, autour desquelles on a enroulé un fil de 
cuivre. La longueur de corde variant
peu dans ce domaine du clavier, expliquer l'intérêt de ce procédé. Pourrait--on 
envisager de jouer sur la tension
T 0 des cordes ?

I.C.3) On donne la masse volumique du cuivre: p(Cu) : 9,0 >< 103 kg -- m_3. En 
assimilant l'enroulement
de cuivre a une couche homogène d'épaisseur 1 mm recouvrant le coeur d'acier de 
diamètre 1,6 mm, et pour
la tension T 0 = 850 N, calculer la longueur de la corde du << La 0 >> (note la 
plus grave du piano, de fréquence
fondamentale f = 28 Hz).

I.D -- Prise en compte de la raideur : dispersion et inharmonicitê

En réalité, a cause de l'élasticité du matériau constituant une corde, il faut 
prendre en compte sa raideur.
Cela est particulièrement vrai pour les cordes de grand diamètre3. Il nous faut 
donc raffiner le modèle adopté
jusqu'à présent. On considère toujours que les mouvements de la corde sont 
transversaux, et contenus dans le
plan vertical 3503). La théorie de l'élasticité montre que la tension Î(oe, 75) 
n'est plus tangente a la corde et que
pour permettre la courbure de la corde, il faut prendre en compte un couple de 
moment f : iF(oe, t)ûz dont
l'expression est donnée par

4 2
7rr Ô
F(oe, t) = -- --y

4 Ô£L'2
où r désigne le rayon de la corde. E, appelé << module d'Young >>, traduit les 
propriétés d'élasticité du matériau
constituant la corde et s'exprime en Pascal. On considère ici une corde en 
acier de masse volumique p(acier) :
7,8 >< 103 kg -- m_3 et de module d'Young E = 190 CPa.

C'est d'ailleurs la raison pour laquelle on enrobes les cordes de grave avec du 
cuivre enroulé, plutôt que d'augmenter encore le
diamètre du coeur d'acier.

2013--04--30 22:29:37 Page 2/8 GC) BY-NC-SA

La portion de corde comprise entre les abscisses :E et :E + dac est donc 
soumise aux forces de tension et aux
couples

--»

Tg(oe,t) : -- (T,,(oe, t)ûoe + Ty(oe,t)ûy) --F(oe, t)ûz en :E
Îd(oe+doe,t) : Toe(oe+doe,t)ûoe +Ty(oe+doe,t)ûy F(oe+doe,t)ûz en oe+doe

I.D.1)
a ) Vérifier l'homogénéité de la relation donnant F(oe, 75).

b) En appliquant le théorème de la résultante cinétique a la portion {35,35 + 
dac}, montrer que T a, ne dépend
que du temps. On supposera que T a, est en réalité une constante notée T 0- 
Établir également une équation aux
dérivées partielles liant y(oe, t) et T y(oe, t).

c) En appliquant le théorème du moment cinétique barycentrique a la portion 
{:B, :E + dac}, établir une nouvelle
équation aux dérivées partielles liant y(oe,t), Ty(oe,t) et F(oe,t). À cette 
fin, on négligera en justifiant cette
approximation le moment d'inertie de la portion {:B, :E + dac} par rapport a 
l'axe GZ.

d) En déduire l'équation aux dérivées partielles régissant les mouvements de la 
corde
@@ T Ô2y 7T7°4 Ô4y _
,a 8752 0 Ôoe2 4 Ôoe4 _

où ,a désigne toujours la masse linéique de la corde.

0

I.D.2) On s'intéresse a l'influence de la raideur sur les fréquences propres de 
la corde. On se place donc dans
un mode propre de vibration et on suppose y(oe, t) : yo cos(koe + @) cos(wt).

a ) Établir la relation de dispersion w(k) d'un tel mode.
b) Montrer que les fréquences propres de la corde tendue entre ses extrémités 
fixées en :E = 0 et :E = L s'écrivent

fn : ni\/1 +Bn2

2L

où n est un entier naturel non nul, 0 la célérité des ondes sur la corde sans 
raideur et B une constante qu'on
exprimera en fonction de E, T 0, 7° et L. Pouvez--vous en déduire un des 
avantages présentés par un piano a
queue par rapport a un piano droit ?

c) Tracer sur un même graphique les courbes représentatives de fn en fonction 
de n pour une corde sans raideur
et pour la même corde avec raideur. Commenter.

d) Calculer numériquement B (on prendra L = 0,65 m, 7° : 0,55 mm, TO : 850N et 
E = 190 CPa). En déduire
l'expression approchée de l'inharmonicité de raideur i... définie par le 
rapport i,, = ( fn -- f£)/f£ où f,? désigne
la fréquence propre du mode n pour une corde sans raideur.

e ) À partir de quel rang n la fréquence propre fn de la corde avec raideur 
est--elle plus élevée d'un demi-ton
que celle de la corde idéale, f,? ? Donnée : deux notes séparées d'un demi-ton 
ont des fréquences fondamentales
qui sont dans un rapport 21/12.

Il Couplage entre une corde de piano et la table d'harmonie: le
rôle du chevalet

On revient ici a une corde sans raideur.

Une corde vibrante est un << radiateur >> acoustique très peu efficace. Si l'on 
veut produire du son efficacement,
il faut utiliser une structure de bien plus grande taille : il s'agit de la 
table d'harmonie, mince planche d'épicéa,
qui par ses vibrations, rayonne du son dans l'espace environnant. On 
s'intéresse a la manière dont la corde
vibrante peut transférer une partie de son énergie a la table d'harmonie par 
l'intermédiaire d'une pièce de bois
collée sur la table : le chevalet.

II.A -- Impédance caractéristique d'une corde vibrante

II.A.1) On considère une onde progressive sinusoïdale se propageant vers les :E 
croissants le long de la corde
sans raideur étudiée dans la partie I.A. On conserve les notations de la partie 
1. Montrer que pour cette
onde progressive, le rapport T y(oe,t) /vy(oe,t) est constant et prend la 
valeur --,ac. On appelle << impédance
caractéristique >> de la corde la grandeur ZC : ,ac. Quelle est la dimension de 
Zg ?

II.A.2) Que devient ce rapport si l'onde progressive sinusoïdale se propage 
vers les :E décroissants ?

II.B -- Couplage corde-chevalet

La << partie utile >> (ou longueur vibrante) de la corde est tendue entre 
l'extrémité gauche (en :E = 0) où l'agrafe
la maintient immobile : y(0, t) = O, et l'extrémité droite (en :E = L) où elle 
repose sur le chevalet.

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agrafe (:D = 0) corde

&

| ' |

marteau table d'harmonie chevalet (:D = L)

Figure 1

II.B.1) On propose de modéliser l'extrémité droite de la corde (située en :E = 
L) par la condition aux limites
T y(L, t) / uy(L, t) = --R, où R est une constante positive caractérisant le 
couplage corde--chevalet. Cette constante
R se nomme l'impédance mécanique de l'ensemble chevalet--table d'harmonie. 
Pourquoi ce modèle est--il pertinent
selon vous ? De quel phénomène rend--il compte ? On se contentera d'une réponse 
qualitative.

II.B.2) On cherche des solutions en ondes stationnaires de la forme y(oe, t) = 
f (ac) exp(st) où 3 est un nombre
complexe. Montrer que f(oe) : Asinh(soe/c) et que tanh(sL/c) : --1/r où l'on a 
posé r : R/Zg. Ce dernier

résultat peut se récrire
2Ls r -- 1
ex -- =
p c r + 1
II.B.3) 3 étant complexe, on pose 3 : oz +jw, où oz et ce sont des réels et j2 
= --1. Dans le cas où 7° > 1, qui

correspond au cas du piano, calculer les valeurs possibles de w ; commenter. 
Calculer également oz en fonction
de c, L et 7° ; commenter.

forme que l'on adopte dorénavant.

II.B.4) Montrer que la solution précédente tenant compte du couplage avec le 
chevalet est de la forme y(oe, t) :
exp(at) (exp(aoe / c)F (t+oe / c) --exp(--aoe / c)F (t--oe / c)) Qu'en 
dites--vous ? Est--ce toujours une onde stationnaire ?

II.B.5) L'expérience quotidienne du pianiste montre qu'une note peut persister 
plusieurs secondes dans l'ex--
trême grave, tandis que dans l'extrême aigu, le son ne persiste qu'une fraction 
de seconde. Les calculs menés
ci--dessus sont-ils en accord avec l'expérience ? Quel(s) raffinement(s) 
pourrait--on apporter au modèle ?

III Corrosion des cordes de piano

Les cordes de piano sont en acier extrêmement solide et sont de diamètre 
variable, d'environ 0,8 mm pour les
notes les plus aiguës jusqu'à 1,5 mm pour les notes les plus graves. Les cordes 
de grave sont dites filées dans la
mesure où elles sont gainées d'un fil de cuivre destiné a les alourdir pour 
permettre une tension moindre et une
plus grande flexibilité.

Chacune des trois sous-parties est indépendante et peut être traitée séparément 
des autres.

III.A -- L'acier: constituant essentiel des cordes de piano

L'acier est constitué d'au moins deux éléments, majoritairement le fer puis le 
carbone dans des proportions
comprises entre 0,02 % et 2 % en masse. C'est essentiellement la teneur en 
carbone qui confère a l'alliage les
propriétés du métal qu'on appelle << acier >>. La structure du fer + carbone 
évolue d'une façon complexe en
fonction de la température et de la teneur en carbone.

III.A.1) Le fer oz

Le fer peut cristalliser sous deux formes selon la température. A basse 
température, le fer oz cristallise dans une
structure cubique centrée cc.

a ) Donner la définition d'une maille élémentaire.
b) Combien la maille conventionnelle du fer oz contient--elle d'atomes de fer ?

c ) On donne le paramètre de la maille cubique aa : 287 pm. Calculer alors le 
rayon atomique du fer RFe ainsi
que la masse volumique du fer oz, pFEURa'

d ) Dans la représentation de la maille de fer oz donnée figure 2, a quel type 
de site intersticiel correspond O' ?
Est--il régulier ? Justifier votre réponse.

e ) Répondre aux mêmes questions pour le site intersticiel T ' , situé a la 
distance a / 4 de O' .

f) Localiser et dénombrer les deux types de sites dans la maille 
conventionnelle du fer oz.

g) Établir en fonction de RFe l'expression de R0, rayon maximal d'un atome qui 
s'insèrerait dans un site O'
sans déformation de la structure cristalline de base. Calculer RO/.

h) Répondre a la même question pour le site T ' .

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,la.»

Figure 2 Sites intersticiels O' et T ' dans la maille de fer oz

III.A.2) Du fer oz à la ferrite

La ferrite est une solution solide de carbone dans le fer oz. Le terme ferrite 
désigne en effet l'acier a très faible
teneur en carbone.

a) Indiquer dans quel type de site interstitiel les atomes de carbone se 
placeront afin d'engendrer le minimum
de déformation du réseau hôte. Est--il possible que cela se fasse sans aucune 
déformation ?

b) Le maximum de << solubilité >> du carbone est de 0,035 % en masse. Établir 
la formule de la ferrite FeCX.
c) Déterminer le pourcentage d'occupation des sites T ' par les atomes de 
carbone.

d) Calculer la masse volumique de la ferrite en supposant que le réseau hôte 
n'est pas déformé.

III.B -- Cordes de grave
Intéressons--nous maintenant au cuivre : l'élément ainsi que sa préparation 
industrielle pour les cordes de piano.
III.B.1) Le cuivre : configuration électronique, isotopes stables

a) Donner la configuration électronique attendue du cuivre dans son état 
fondamental en énonçant les règles
utilisées. Préciser quels sont les électrons de coeur et ceux de valence.

En réalité, cet élément constitue une exception a la règle de Klechkowski, sa 
configuration ne laisse apparaitre
qu'un seul électron de valence. Donner cette configuration et proposer une 
explication.

b) Donner la définition d'un élément de transition et situer avec précision ces 
éléments dans la classification
périodique. Déduire de la configuration électronique attendue déterminée a la 
question III.B.1a, la place de
l'élément cuivre dans la classification périodique.

III.B.2) Préparation industrielle du cuivre

Le cuivre est un des rares métaux qui existent a l'état natif. Ce fait 
d'ailleurs explique probablement qu'il fut
le premier métal utilisé par les hommes. Les minerais de cuivre sont 
essentiellement constitués de sulfures avec
de nombreuses impuretés métalliques. La métallurgie du cuivre est réalisée 
selon deux procédés différents :

-- le procédé par voie sèche,

-- le procédé par voie humide.

a) Comment nomme--t--on ces deux types de métallurgie ?

La voie humide pour l'extraction du cuivre est de plus en plus privilégiée. 
Celle--ci comporte schématiquement
trois étapes :

-- la lixiviation,

-- la cémentation,

-- l'électr0lyse.

b) Expliciter les termes de lixiviation et de cémentation.

La solution de sulfate de cuivre (Cu2+ + 80%) et d'acide sulfurique obtenue 
après les deux premières opérations
subit une électrolyse.

La figure A du document réponse fournit la courbe intensité--potentiel pour une 
électrode de cuivre au contact
d'une solution molaire d'acide sulfurique (courbe &) et celle obtenue avec la 
même électrode au contact d'une
solution molaire de sulfate de cuivre (courbe b).

c) Décrire le montage expérimental a effectuer pour tracer une courbe 
intensité--potentiel.

d) Préciser les réactions électrochimiques mises en jeu dans les deux parties 
des deux courbes (écrire directement
sur le document réponse qui sera a rendre avec la copie).

Rappel: en solution, les ions hydr0génosulfate HSOÂ et sulfate 80% ne sont pas 
électroactifs pour la réduction.

@) Comment peut--on qualifier le couple Cu2+ / Cu a la réduction ? À 
l'oxydation ?

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f) Si l'on augmente la tension, on voit apparaître un palier sur l'une des 
branches de la courbe (9. Compléter
qualitativement le diagramme et expliquer l'origine de ce palier. De quoi 
dépend son ordonnée ? Pour quel type
de réactions électrochimiques ce palier n'est--il pas observé ?

La solution molaire de sulfate de cuivre et d'acide sulfurique (pH : O) est 
électrolysée dans une cuve, avec
une anode en plomb passivé, sur laquelle il y a dégagement de dioxygène et une 
cathode en cuivre très pur sur
laquelle le cuivre se dépose. La figure 3 présente la courbe 
intensité--potentiel enregistrée.

@ (A - dm--2>

! l l l l l l l l ' l l l l l l l l l l | | l > VESH (V)

Figure 3

g) Quelles sont les réactions qui ont lieu aux électrodes ? (les propriétés 
redox du plomb n'interviennent pas).
Pour qu'il y ait réaction a l'électrode, il est nécessaire que les espèces 
électroactives s'approchent de cette
électrode. Quels sont les trois phénomènes qui assurent le transport de matière 
?

h) Déterminer la tension théorique de fonctionnement (Va -- Vc)i=0 (on admettra 
que les gaz se dégagent sous

la pression atmosphérique).

En réalité, pour une densité de courant de 130 A - m_2, compte tenu des 
phénomènes de surtension et de chute

ohmique dans l'électrolyseur, la tension a appliquer est de 2,44 V.

Sachant que le rendement faradique est de 85%, déterminer l'énergie nécessaire 
pour déposer 1 kg de cuivre pur.

III.C -- Corrosion de l'acier & l'air humide

Dans l'acier ordinaire, la présence de carbone améliore beaucoup les propriétés 
mécaniques du fer sans pour
autant réduire sa vulnérabilité a la corrosion. La corrosion des cordes de 
piano est donc un réel problème auquel
il faut remédier.

Dans cette partie, on assimilera l'acier au fer.

L'allure du diagramme E--pH du fer a 25°C est donnée en figure B du document 
réponse. Ce document sera
complété et rendu avec la copie.

Ce diagramme est établi pour une concentration de tracé totale en espèces 
dissoutes de Ctra mol -- L_1. La
convention de frontière entre deux domaines de prédominance d'espèces dissoutes 
est l'égalité des concentrations
molaires.

Les espèces prises en compte pour ce diagramme sont :

-- espèces solides : Fe, Fe203 ;

-- espèces dissoutes : Fe2+, Fe3+.

III.C.1) Déterminer le degré d'oxydation de l'élément fer dans chaque espèce 
considérée.

Compléter le diagramme du document réponse en attribuant a chacune des zones 
l'espèce chimique correspon--
dante. Justifier avec soin votre réponse, en particulier pour le domaine D.

Remarque : la frontière entre les domaines C et D n'est pas tracée.

III.C.2) Déduire du diagramme :

-- la concentration de tracé Ctra,

-- le produit de solubilité de Fe203(s),

-- la pente de la frontière entre les domaines B et D.

III.C.3) Tracer sur le diagramme la frontière délimitant les domaines C et D. 
On justifiera avec soin le calcul
de sa pente.

III.C.4) Tracer sur ce même diagramme le diagramme potentiel--pH de l'eau pour 
des pressions gazeuses égales
a 1 bar. Les cordes en acier sont--elles attaquées par une eau aérée ? désaérée 
? Cela dépend--il du pH ?

III.C.5) Déterminer pour chaque domaine du diagramme s'il s'agit d'un domaine 
d'immunité, de corrosion ou
de passivité. Définir ces trois termes.

2013--04--30 22:29:37 Page 6/8 GC) BY-NC-SA

III.C.6) Expliquer pourquoi on ne pourrait pas utiliser des cordes en acier 
avec des raccords de cuivre ? Que
se passe--t--il alors ?

IV Polymères synthétiques dans le piano

Si autrefois les touches blanches des pianos étaient recouvertes d'ivoire et 
les noires d'ébène, aujourd'hui les
matériaux de remplacement sont le plastique ou le polymère (ivoire synthétique 
ou << ivoirine >>). De plus, des
colles en polymère sont utilisées pour réparer les pianos et coller le bois, 
comme le polychloroprène (encore
appelé Néoprène). Intéressons--nous de plus prêt a cette colle polymère.

I V.A -- Étude du monomère : le chloroprène

IV.A.1) Le néoprène est formé a partir de chloroprène, représenté figure 4. 
Donner son nom dans la nomencla--
ture officielle.

Cl

Figure 4 Chloroprène

IV.A.2) La première étape de synthèse du chloroprène consiste en une chloration 
du buta--1,3--diène avec du
dichlore. Les réactifs réagissent mole a mole.

a) Écrire l'équation bilan de la réaction en précisant la formule topologique 
du produit majoritaire obtenu (on
ne tient pas compte de la stéréochimie).

b) Indiquer le mécanisme réactionnel en milieu ionique.

c) Le mélange obtenu est--il optiquement actif ? Justifier votre réponse en 
précisant le (ou les) stéréoisomère(s)
obtenu(s) ainsi que leurs proportions relatives. Quelle relation d'isomérie 
existe--t--il entre eux ?

d) Indiquer pour chaque stéréoisomère la configuration absolue du (ou des) 
carbone(s) asymétrique(s) en la
justifiant.

IV.A.3) Si cette chloration était réalisée sur le (Z)--but--2--ène, combien de 
stéréoisomères seraient obtenus ?
Écrire leur formule topologique et indiquer les relations de stéréoisomérie qui 
les lient.

En réalité, cette première étape de synthèse du chloroprène est une chloration 
radicalaire, réalisée a 250°C et
sous 1 a 7 bar de dichlore gazeux. Le produit majoritaire est le 
1,2--dichlorobut--3--ène qui subit ensuite une
déshydrochloration en solution alcaline diluée pour conduire au chloroprène.

IV.A.4) Écrire l'équation bilan de la réaction de déshydrochloration en 
solution alcaline.

I V.B -- Polymérisation du néoprène

En principe il est possible de polymériser le chloroprène par des techniques de 
catalyse anionique, cationique et
de Ziegler--Natta. En raison des propriétés du produit et de considérations 
économiques, seule la polymérisation
radicalaire est employée aujourd'hui.

Cl

\ _

-- --n

Figure 5 Polychloroprène ou néoprène

IV.B.1) Indiquer la stéréochimie de la double liaison en la justifiant.

IV.B.2) Un échantillon de néoprène a une masse molaire moyenne de 12 500 g - 
mol--1. Quel est son indice de
polymérisation moyen ?

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Pour l'accélération de la pesanteur, on prendra g : 10m -- s_ .

Constantes fondamentales
Constante des gaz parfaits : R : 8,314J -- K_1 - mol--1
Constante de Faraday : F = 96500 C - mol--1
Constante d'Avogadro : NA : 6,023 >< 1023 mo]--1

T
On prendra: RÎ ln 10 : 0,06V a 25°C
T(K) : T(°C) + 273,15

Grandeurs de référence
Pression standard : P0 = 1 bar : 1,0 >< 105 Pa

Concentration standard : C0 = 1,0 mol -- L--1

Données

2

Élément H C 01 Fe Cu
Numéro atomique 1 6 17 26 29
Masse molaire atomique (g -- mol--1) 1,01 12,0 35,5 55,8 63,5
Rayon atomique (pm) 25 70 100 140 135
Grandeurs thermodynamiques à 900K
Cu CuO Cu20 CuSO4 CuS Cu28 02 802

Température de fusion (K) 1356 1599 1508 383 1373 52 198
A,cG° (kj --rnol_1) 0 --75 --103 --438 --47 --101 --296
AfHO (kj -mol_1) 0 --151 --168 --820 --113 --130 --362
Potentiels standard à 298K par rapport à l'ESH

Cu2+/Cu(s) H20/H2(g) 02(g)/H20 Fe3+/Fe2+ Fe2+/Fe(s) Zn2+/Zn(s) Ni2+/Ni(s) 
SgOâ/SO!
\E° (V) 0,34 0,00 1,23 0,77 --0,44 --0,76 --0,25 2,00

. o . FIN . o .

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie PSI 2013 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur agrégé) et Fabrice Maquère
(Professeur agrégé) ; il a été relu par Jimmy Roussel (Professeur en CPGE), 
Stéphane
Ravier (Professeur en CPGE), Anna Venancio-Marques (ENS Lyon) et Laure-Lise
Chapellet (ENS Lyon).

Ce sujet, composé de quatre parties indépendantes, traite de la physique puis de
la chimie du piano.
· La partie I est consacrée à l'étude des vibrations d'une corde de piano fixée 
à
ses deux extrémités. On détermine l'équation de propagation de l'onde, puis
on étudie les modes propres d'une corde sans raideur. On envisage ensuite
brièvement les conséquences sur la fabrication d'un piano. Finalement, la prise
en compte de la raideur permet d'arriver à la dispersion et à l'inharmonicité
d'une onde.
· L'étude du couplage du piano avec la table d'harmonie est réalisée dans la
partie II. En partant de l'impédance caractéristique d'une corde vibrante, on
détermine la forme de l'onde en prenant en compte le couplage. Là aussi, le
cours sur les ondes suffit à traiter cette partie.
La partie chimie s'intéresse aux matériaux utilisés pour fabriquer les cordes 
et les
touches d'un piano.
· La partie III porte sur les cordes. Elle commence par l'étude 
cristallographique
de l'acier qui les constitue avec une étude complète des sites intersticiels. Le
sujet se focalise ensuite sur le cuivre utilisé pour les cordes de grave et plus
particulièrement sur l'obtention électrochimique de ce métal. Enfin, la 
corrosion
des cordes en acier en présence d'air humide est abordée.
· La partie IV s'intéresse à l'obtention des polymères synthétiques utilisés 
pour la
fabrication des touches : l'élaboration du monomère utilise une réaction 
d'addition sur une liaison double C=C, qui est étudiée d'un point de vue 
mécanistique,
tandis que la polymérisation permet de calculer un indice de polymérisation.
Ce sujet demandait avant tout une connaissance précise du cours et une 
familiarité
avec les applications classiques. Il vous permettra de vérifier que vous avez 
assimilé
les chapitres associés.

Indications
Partie I
I.A.2 L'approximation des petits angles permet d'écrire
tan (x, t)  (x, t)
Puis écrire le principe fondamental de la dynamique pour l'élément de
masse dm  µ dx.
I.B.1 Remplacer l'expression d'une onde stationnaire dans l'équation de 
propagation et étudier les différents cas en fonction de la valeur de la 
constante.
I.B.3.a Le timbre est modifié par la présence du sinus cardinal. Cet effet est 
d'autant plus marqué que le sinus cardinal de variable n a/L est proche de
zéro.
I.B.3.b Là où le marteau frappe, il ne peut y avoir de noeud de vibration.
-
-
) en fonction de dx
I.D.1.c Exprimer les vecteurs GA et GB dans la base (-
ux , -
u
y
et dy.
I.D.2.d Faire un développement limité à l'ordre 1 en B n2 .
Partie II
II.B.2 Utiliser la relation de la question I.A.2 :
Ty (x, t) = T0

y
x

puis faire apparaître vy (x, t) et calculer cette relation en x = L.
II.B.3  est lié à la proportion de l'onde transmise au chevalet.
II.B.5 Faire apparaître la fréquence f dans l'expression de .
Partie III
III.A.1.b La figure 2 représente 2 mailles conventionnelles juxtaposées.
III.A.1.f En plus du site identifié par l'énoncé, il existe des sites 
octaédriques au
centre des arêtes, ainsi que plusieurs sites tétraédriques sur les faces.
III.A.2.a Raisonner uniquement sur les rayons RO et RT établis à la question
III.A.1.g et à la question III.A.1.h.
III.A.2.b Raisonner sur une maille conventionnelle.
III.B.1.a Comme pour les configurations électroniques des ions des éléments de 
transition, il y a une inversion de deux niveaux d'énergie par rapport à la 
règle
de Klechkowski.
III.B.1.b Tous les éléments du bloc d de la classification périodique ne sont 
pas des
éléments de transition : il y a des exceptions.
III.B.2.c Il faut utiliser un montage à 3 électrodes.
III.B.2.d Faire un bilan des espèces présentes et électroactives.
III.B.2.e L'oxydation est rapide ou lente ? La réduction ?
III.B.2.f Identifier le phénomène limitant.

III.B.2.h Calculer la différence des potentiels d'oxydoréduction des couples 
mis en
jeu. Pour le calcul de l'énergie, exprimer au préalable, la charge échangée
au cours de l'électrolyse en fonction de la masse de cuivre déposé.
III.C.2 Ctra peut être déterminée à partir de la frontière entre les domaines B 
et C,
Ks à partir de la frontière entre A et D, et la pente de la frontière B/D
graphiquement.
III.C.3 Seule la pente a besoin d'être calculée, la droite peut être placée sur 
le
diagramme par continuité.
III.C.4 Une solution aérée contient du dioxygène dissous.
III.C.6 Le contact fer-cuivre forme une micropile.
Partie IV
IV.A.2.c Le chlore ne peut pas former d'ion ponté dans le mécanisme d'addition 
du
dichlore sur une liaison double.
IV.A.3 Attention à la formation d'un composé méso, achiral.

I. Vibrations d'une corde de piano
fixée à ses deux extrémités
I.A

Mise en équation du mouvement transversal
d'une corde de piano sans raideur

I.A.1 Une corde sans raideur signifie qu'elle n'offre aucune résistance à la 
courbure,
la tension de la corde est donc toujours tangente à la corde. Dans ce cadre,
on étudie le mouvement dans le cas de petits mouvements, c'est-à-dire que 
l'angle
que fait la corde avec l'axe horizontal est très petit devant l'unité.
I.A.2 On s'intéresse à une perturbation y(x, t) qui se propage. Ainsi, par 
définition
de cette dernière, y/x  1. La longueur ds de l'élément de corde compris entre 
les
abscisses x et x + dx vaut donc
s
 2
p
y
2
2
ds = dx + dy = dx 1 +
x

Comme y/x  1, en se limitant à l'ordre 1 en y/x, on obtient ds  dx. En notant µ 
la masse linéique de la corde, la masse dm de la portion de câble de longueur ds
s'écrit
dm = µ ds  µ dx
Le poids étant négligé, l'élément de corde, de longueur ds  dx, de masse dm  µ 
dx,
est soumis à :

-
· la tension de la portion de fil située à droite du point B, soit T (x + dx, 
t) ;

-
· la tension de la portion de fil située à gauche du point A, soit - T (x, t).
La portion de câble est schématisée comme suit :
B

dy

(x + dx, t)
-

T (x + dx, t)
y(x + dx, t)

A
-

- T (x, t)

(x, t)
y(x, t)

x

x + dx

Le mouvement de la corde ayant lieu selon Oy, le principe fondamental de la 
dynamique appliqué à cet élément de corde s'écrit

-

-
2y -

ey = T (x + dx, t) - T (x, t)
t2
Projetons cette équation sur les axes (Ox) et (Oy) :

0 = Tx (x + dx, t) - Tx (x, t)

2
 dm  y = Ty (x + dx, t) - Ty (x, t)
t2
dm