Centrale Physique et Chimie PSI 2009

Thème de l'épreuve Autour du sang : pH, teneur et consommation en dioxygène, hydrodynamique et pouls
Principaux outils utilisés solutions aqueuses, oxydoréduction, diffusion thermique, mécanique des fluides, lois d'échelle, ondes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière

PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

PHYSIQUE-CHIMIE
Calculatrices autorisées.

Autour du sang :

pH , teneur et consommation en dioxygène,
hydrodynamique et pouls

À partir d'un liquide d'intérêt biologique, le sang, le problème aborde l'étude 
du
pouvoir tampon (Partie - I), le principe de la mesure d'une teneur en dioxygène
et sa consommation animale (Partie - II), l'hydrodynamique d'un fluide visqueux 
(Partie - III), et enfin propose une modélisation de la propagation d'une
onde de pression sanguine (Partie - IV). Ces quatre parties sont indépendantes.

Partie I - Le sang : un milieu tamponné
Dans cette partie, tous les calculs seront effectués à 37° C , température du 
corps
humain.
Données :
­ 14

Produit ionique de l'eau

K e = 2, 40 u 10

Constante d'acidité

K a ( H 2 CO 3 / HCO 3 ) = 4, 30 u 10

­

­7

L'activité métabolique et l'ingestion d'aliments peuvent introduire des espèces
acido-basiques dans le sang. Or, la survie des cellules nécessite que le pH 
varie
très peu autour d'une valeur optimale. Ainsi le sang humain constitue un milieu
tamponné : son pH varie très peu par addition d'un acide ou d'une base ou par
dilution. Le pH reste compris dans l'intervalle 7, 36 ­ 7, 44 en temps normal.
­

I.A - Le sang est en partie tamponné par le couple H 2 CO 3 / HCO 3 de 
concentra­1
tion totale 0, 0280 mol u L .
­
I.A.1)
Donner les schémas de Lewis de la molécule H 2 CO 3 et de l'ion HCO 3 .
Préciser leur géométrie d'après le modèle VSEPR .
I.A.2)
Sachant que le pH du sang vaut 7, 40 , calculer les concentrations en
­
H 2 CO 3 et HCO 3 avec trois chiffres significatifs.
I.B - Lors d'un effort physique important, il se forme de l'acide lactique
CH 3 ­ CHOH ­ COOH , noté HB , qui est ensuite éliminé dans le sang sous la
­
forme d'ion lactate B
selon la réaction prépondérante quantitative :
­
­
HB + HCO 3 A H 2 CO 3 + B .

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Filière PSI

Filière PSI
I.B.1)
L'acide lactique produit dans les cellules est de configuration S . Donner sa 
représentation de Cram.
­3
­1
I.B.2)
Pour un apport de 2, 00 u 10 mol u L d'acide lactique, quelle est la nouvelle 
valeur du pH du sang ? Cette valeur est-elle compatible avec la vie ?
I.B.3)
En réalité, la respiration permet de maintenir constante la concentration en H 
2 CO 3 en éliminant l'excès de H 2 CO 3 par l'expiration de dioxyde de carbone. 
Dans ces conditions, quelle est la nouvelle valeur du pH après un apport
­3
­1
de 2, 00 u 10 mol u L d'acide lactique ?

Partie II - Le dioxygène : mesure in vivo et consommation
animale
II.A - Sonde de Clark
Dans cette partie, tous les calculs seront effectués à 25° C .
Données :
RT
--------- ln ( 10 ) = 0, 06 V
F
+

Potentiel standard

E° ( A g / Ag ) = 0, 80 V

Produit de solubilité

K s ( AgCl ) = 2, 1 u 10

Masses molaires

K : 39 g u mol

­1

­ 11

; Cl : 35, 5 g u mol

­1

La sonde de Clark est très utilisée en biologie afin de mesurer la teneur en
dioxygène dans le sang.
électrode circulaire en argent

solution extérieure
cellule

KCl
Pt

Pt

O 2 ( ext )

O 2 ( int )
Ag

A

I

membrane
joint
vue de dessus

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0, 7 V
vue en coupe

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Elle est constituée d'une cellule contenant une solution non saturée de chlorure
­1
de potassium KCl à 175 g u L , séparée d'une solution extérieure (qui peut être
du sang) par une membrane de polytétrafluoroéthylène ( PTFE ) . Cette membrane 
est imperméable au solvant et aux ions, mais elle est perméable au dioxygène. 
La sonde est également constituée d'une électrode d'argent et d'une
électrode de platine entre lesquelles on applique une différence de potentiel de
0, 7 V . La mesure de l'intensité I du courant d'électrolyse permet de 
déterminer
la teneur en dioxygène dans la solution extérieure.
II.A.1) Le PTFE est obtenu par polyaddition du tétrafluoroéthylène. Donner
la formule chimique du PTFE .
II.A.2) Calculer la concentration en ion chlorure dans la cellule. En déduire la
+
concentration en ion A g permettant d'obtenir le précipité de chlorure d'argent
AgCl .
II.A.3) Au niveau de l'électrode d'argent, on assiste à l'oxydation du couple
AgCl / Ag .
Au niveau de l'électrode de platine, on assiste à la réduction du couple O 2 / 
H 2 O .
a) Écrire les demi-équations électroniques correspondantes. Préciser l'anode et
la cathode.
b) Le graphe ci-contre donne
I ( +A )
les courbes intensité-potentiel
120
des deux électrodes de la
(2)
sonde de Clark. Identifier les
80
électrodes correspondant aux
courbes (1) et (2).
40
E ( Volt )
c) Calculer le potentiel standard du couple AgCl / Ag . En
­ 0, 5 ­ 0, 4 ­ 0, 3 ­ 0, 2 ­ 0, 1 0 0, 1 0, 2 0, 3
déduire le potentiel d'équilibre
­ 40
de l'électrode d'argent. Cette
(1)
valeur est-elle conforme à la
­ 80
courbe intensité-potentiel ?
d) Pour une différence de potentiel de 0, 7 V , calculer l'intensité I de la 
sonde.
e) D'après les courbes intensité-potentiel, expliquer pourquoi la diffusion du
dioxygène à travers la membrane limite la cinétique de l'électrolyse.
II.A.4) On s'intéresse plus particulièrement à la diffusion du dioxygène à 
travers la membrane. On note D le coefficient de diffusion moléculaire du 
dioxygène à travers la membrane, et K la constante de solubilité de O 2 dans la
membrane. Au niveau d'une interface membrane/solution, on a ainsi
[ O 2 ] membrane = K [ O 2 ] solution .

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a) On note b l'épaisseur de la membrane et S sa surface. Rappeler la loi de Fick
dans le cas d'une diffusion unidirectionnelle. En déduire l'expression I n du 
courant particulaire dans le membrane.
b) En supposant que la diffusion de O 2 à travers la membrane limite la 
cinétique de l'électrolyse, exprimer l'intensité électrique d'électrolyse I en 
fonction
notamment des concentrations molaires en O 2 dans la solution extérieure et
dans la cellule, notées respectivement [ O 2 ] ext et [ O 2 ] int .
c) L'intensité d'électrolyse est maximale pour [ O 2 ] int = 0 . En déduire 
comment
la mesure de I max permet de connaître la teneur en O 2 dans la solution 
extérieure.
II.A.5) On note U la différence de potentiel appliquée aux bornes de la sonde.
a) Tracer l'allure du graphe I ( U ) pour U compris entre 0 et 0, 7 V .
b) Pourquoi ne faut-il pas appliquer une différence de potentiel trop faible 
pour
pouvoir déterminer la teneur en O 2 ?
c) Pourquoi ne faut-il pas appliquer une différence de potentiel très supérieure
à 0, 7 V ?

2

QO ( L / h )

II.B - De la souris à l'éléphant...
On dira qu'une fonction y ( x )
1000
éléphant
vérifie une loi d'échelle d'exposant _ si y est proportionnel à
cheval
100
_
x . De nombreux paramètres
vache
physiologiques concernant les
truie
homme
10
espèces animales d'un même
chèvre
groupe zoologique obéissent à
chien
lapin
de telles lois. Ainsi, les mam1 cochon d'inde
marmotte
mifères terrestres ayant une
rat
température corporelle proche
0, 1
de 37° C vérifient assez bien la
souris
3/4
relation : Q O2 = 0, 68M c
où
0, 01
M c désigne la masse corpo0, 01 0, 1
1
10
100 1000 10 000
relle en kilogramme et Q O2 la
masse ( kg )
consommation en dioxygène
en litre par heure au repos, dans des conditions expérimentales précises que
nous ne détaillerons pas. Nous verrons que cette loi, découverte dès 1932 par M.
Kleiber, peut être mise en rapport avec la puissance thermique dégagée par le
métabolisme de l'animal.
II.B.1) Les morphologies des animaux d'un même groupe étant voisines, le
volume de dioxygène transporté par le sang à chaque battement de coeur est à
peu près proportionnel à la masse corporelle M c . Sachant que pour un homme

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de 70 kg , la fréquence cardiaque est d'environ 70 battements par minute, 
déterminer la loi d'échelle exprimant la fréquence cardiaque f c d'un animal en 
battements par minute en fonction de sa masse corporelle M c en kilogramme.
II.B.2) Étudier la validité de la loi précédente pour la souris, le lapin et 
l'éléphant à l'aide du tableau ci-dessous :
souris

lapin

renard

éléphant

M c ( kg )

0, 015

2, 0

3, 0

3000

f c ( batt / min )

620

210

o vie ( années )

3, 5

37
14

80

II.B.3) Le tableau précédent donne également la durée de vie moyenne o vie de
quelques mammifères terrestres.
a) À l'aide de ces valeurs numériques, déterminer l'exposant de la loi d'échelle
o vie ( M c ) .
b) Proposer une interprétation de cette loi.
c) Le cas de l'homme vérifie-t-il cette loi ? Commenter.
II.B.4) Sachant qu'en moyenne, on estime qu'un litre de dioxygène consommé
par un animal correspond à un dégagement de chaleur d'environ 20 kJ , donner
la relation numérique qui exprime la puissance thermique P en watt dégagée
par l'animal en fonction de sa masse M c en kilogramme. Donner la valeur
numérique de P pour un homme de 70 kg . Commenter.
II.B.5) Le plus petit mammifère terrestre vivant en milieu tempéré est la
musaraigne pachyure étrusque et ne pèse que deux grammes. À l'aide de la loi
P ( M c ) , on se propose de retrouver l'ordre de grandeur de cette masse.
Pour cela, on modélise le corps de l'animal par une
corps
sphère homogène de rayon R a et de masse volumique
e
­3
+ 5 1 g u cm , de température T i = 37° C . Autour de
Ra
cette sphère, on considère que l'animal possède une
Te
h
fourrure d'épaisseur e , de masse négligeable,
Ti
de conductivité thermique proche de celle de l'air
­2
­1
­1
h 5 10 W u K u m . On prendra pour la température
extérieure T e = 20° C .
fourrure
a) En régime stationnaire, exprimer la puissance thermique P dégagée par 
l'animal en fonction de h , T e , T i , R a , e (on ne fera pas
l'approximation e « R a ).
b) Montrer que le rapport e / R a est une fonction décroissante de R a .

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c) Pour des raisons de mobilité, on considère que la plus grande valeur du 
rapport e / R a est de l'ordre de 1 . En déduire l'ordre de grandeur de la 
masse du plus
petit animal. Ce résultat est-il convenable ?
II.B.6) On se propose de donner quelques indications sur l'origine physique de
3/4
la loi d'échelle Q O2 _ M c , le symbole _ désignant une relation de 
proportionnalité. De nombreux modèles ont été développés afin d'interpréter 
cette loi, les
plus récents utilisant des géométries fractales. Ici, nous allons plutôt 
examiner
de façon très générale les conséquences des lois physiques de l'écoulement du
sang. Nous décrirons le système vasculaire de l'animal par un ensemble de N
vaisseaux de rayon R et de longueur L . Nous verrons dans la Partie III que le
débit sanguin total Q s (et par suite la consommation en dioxygène Q O2 et la
puissance thermique P ) vérifie la loi d'échelle :
4

R
Q s _ N ------- _ Q O _ P .
2
L

Lorsqu'on passe d'un animal à un autre en multipliant la taille par un 
coefficient h , nous supposerons que les paramètres L , R , N sont 
respectivement
a
b
n
multipliés par h , h , h , les exposants a , b , n étant indéterminés à ce 
stade.
n + 4b ­ a
3
Ainsi, Q s ( h ) = Q s ( 1 )h
et M c ( h ) = M c ( 1 )h .
a) Sachant qu'en pratique la vitesse des écoulements sanguins est à peu près
indépendante de la taille des animaux, exprimer d'une manière différente 
comment varie Q s avec h lors d'un changement d'échelle. En déduire une relation
entre les exposants a et b .
b) En supposant que la masse corporelle est proportionnelle au volume total des
vaisseaux sanguins, trouver une relation entre n et a .
a
c) En déduire en fonction de a l'exposant a de la loi d'échelle Q s _ M c .
d) Si on suppose que L est proportionnel à la taille de l'animal, alors a = 1 . 
En
déduire la valeur de a . Montrer que l'on retrouve cette même valeur de a à 
l'aide
d'un raisonnement complètement différent, en considérant que la puissance
thermique P dégagée par l'animal est proportionnelle à la surface de la peau.
e) En réalité, l'interprétation précédente est fausse car le transfert thermique
dépend de la manière dont est vascularisée la peau. La valeur observée de a
étant de 3 / 4 , calculer les exposants a , b , n . Commenter.

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Partie III - Écoulement stationnaire dans un tube
cylindrique
Dans cette partie on considère un fluide newtonien incompressible de masse
volumique + et de viscosité dynamique d .
III.A - Écoulement de Poiseuille cylindrique
L'écoulement stationnaire du fluide se fait dans un tube cylindrique, d'axe xvx
et de rayon R . Il est induit par un gradient de pression
,P
------- = ­ k ( k > 0 ) constant.
,x

On utilise la base des coordonnées cylindriques ( e r, e e, e x ) et on suppose 
que le
champ des vitesses est de la forme v = v ( r, x )e x .
On donne le formulaire :
grad f =

1 ,f
,f
,f
e +
e
e + --,r r r ,e e , x x

1 ,
1 ,A e ,A x
div A = --- (r A r) + --+
r ,r
r ,e
,x
,A r ,A x
,A r
1 ,
1 ,A x ,
rot A = --­ ( r Ae ) er +
­
e e + --( r Ae ) ­
ex
,x
r ,r
r ,e
,x
,r
,e
Ae ,
,
,
( A u grad )B = A r B + ------- B + A x B
,x
,r
r ,e
III.A.1) Montrer que v ne dépend que de r .
III.A.2) Définir et calculer l'accélération convective.
III.A.3) Donner la signification physique du caractère rotationnel de 
l'écoulement d'un fluide. L'écoulement étudié est-il rotationnel ?
III.A.4) Soit E l'élément
de volume de fluide constir + dr
r
tué de l'anneau d'axe xvx ,
r
x + dx
x
limité par les cylindres de
rayons r et r + dr , et par
les plans d'abscisses x et
x + dx . On néglige les forr + dr
ces de pesanteur.
a) Déterminer la résultante des forces de pression s'exerçant sur E .
b) Déterminer la résultante des forces de viscosité s'exerçant sur les surfaces
latérales de E .

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c) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à E , établir
l'équation décrivant le mouvement du fluide selon xvx et montrer que le 
gradient de pression est nécessairement uniforme.
k
2
2
III.A.5) En déduire l'expression de la vitesse : v = ------ ( R ­ r ) .
4d
Représenter le profil des vitesses et déterminer la vitesse maximale V 0 de
l'écoulement.
III.A.6) Déterminer le débit volumique D v à travers la section du tube ainsi
que la vitesse moyenne V m de l'écoulement en fonction de k , R et d .
III.A.7) Comparer D v au débit à travers N tubes de rayons R / N parcourus
par le même fluide dans les mêmes conditions. Conclure par une application
pratique.
III.A.8) On revient au cas d'un seul tube de rayon R . En notant 6P la chute de
pression sur une distance L , définir une résistance hydraulique R hyd et 
l'exprimer en fonction de d , L et R .
III.A.9) On considère un matériau cylindrique de section circulaire de rayon R ,
de conductivité électrique m , parcouru par un courant d'intensité I , de 
densité
volumique de courant uniforme j , soumis à une tension U sur une longueur L .
Donner les grandeurs hydrauliques analogues respectivement à j , I , U , m .
Définir la résistance électrique R el du tronçon de conducteur de longueur L et
expliquer l'origine de la différence avec l'expression de R hyd .
III.B - Application à la circulation sanguine
On donne les valeurs numériques suivantes relatives au sang :
débit D v = 5 L / min , viscosité dynamique d = 0, 003 Pa u s , masse volumique
3
+ = 1, 05 g / cm .
Vaisseau

Nombre

Longueur ( cm )

Rayon ( cm )

aorte

1

34

1, 3

grosses artères

40

12

0, 4

branches artérielles

7000

12

0, 03

III.B.1) Les résultats du III.A peuvent s'appliquer en première approximation
à la circulation sanguine. Proposer cependant quelques hypothèses qu'il 
faudrait modifier pour obtenir un modèle plus réaliste.
III.B.2) Définir le nombre de Reynolds d'un écoulement et le calculer pour 
chacun des vaisseaux proposés dans le tableau. Comparer à la valeur critique de
l'ordre de 1000 et conclure quant au caractère laminaire de l'écoulement et à
l'affirmation du III.B.1).

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III.B.3) Prendre la tension (artérielle) c'est mesurer les surpressions maximale
p max (appelée pression systolique) et minimale p min (appelée pression 
diastolique) au voisinage du coeur. L'opération consiste à comprimer l'artère 
brachiale
avec un brassard gonflable à la surpression p et à écouter au stéthoscope, au
creux du bras, la modification des bruits en provenance de l'artère lorsqu'on
dégonfle le brassard de la surpression p max à la surpression p min .
a) Quelles sont les raisons qui conduisent à faire la mesure au bras ? 
Pourraiton la faire au mollet ?
b) Pourquoi ne détecte-t-on rien pour p > p max ? Quelle est la nature de 
l'écoulement pour p min < p < p max , quel type de bruit détecte-t-on ? Comment 
est
modifié ce bruit pour p < p min ?
c) Pour une personne en bonne santé on prend les valeurs suivantes :
p max = 13 cm Hg et p min = 8 cm Hg .
5
On rappelle que 76cm Hg correspond à 10 Pa .
Déterminer la chute de pression dans une
grosse artère et dans une branche artérielle
Y3
et la comparer à la différence p max ­ p min .
Dans quel type de vaisseau la résistance
Y2
hydraulique est-elle la plus grande ?
Y1
III.B.4) On suppose établi l'écoulement
dans un vaisseau et on s'intéresse à une
bifurcation. L'allure du profil des vitesses
dans les sections Y 1 (dans le vaisseau) et Y 3
(en aval de la bifurcation) est supposée donnée par III.A.5. Lorsque 
l'écoulement bifurque, dans quelles directions et dans
quels sens se font la convection et la diffusion de quantité de mouvement au 
voisinage de Y 2 ? Tracer l'allure du profil des vitesses dans la section Y 2 
(juste audelà de la bifurcation).

Partie IV - Onde de pression sanguine
Dans cette partie on introduit le caractère non stationnaire de l'écoulement du
sang et on étudie la propagation du pouls. On utilise les mêmes notations qu'à
la Partie III. On assimile une artère à un tube cylindrique d'axe xvx , de rayon
intérieur R ( x, t ) , de rayon extérieur R ( x, t ) + H , avec H « R , de 
longueur L ,
constitué d'un matériau élastique, homogène et isotrope de module d'Young E
défini plus bas et de masse volumique l 0 . Le sang est assimilé à un fluide 
parfait incompressible de masse volumique + soumis aux seules forces de 
pression.
La pression à l'intérieur de l'artère vaut P ( x, t ) et elle vaut P 0 à 
l'extérieur. On
modélise le champ des vitesses du sang par l'expression v 5 v ( x, t ) e x .On 
considère la paroi artérielle comme un assemblage d'anneaux indépendants, ce qui

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revient à supposer qu'elle ne se déforme que suivant la direction radiale e r . 
On
note R 0 le rayon de l'artère lorsque la pression sanguine P est égale à P 0 .
IV.A - Étude de bilans
IV.A.1) Pour une tige cylindrique de section S , de longueur L selon la 
direction définie par le vecteur unitaire u , sur laquelle s'applique une force 
T = Tu
provoquant l'allongement 6L , le module d'Young E est donné par
T L
E = ---- -------- .
S 6L
Que vaut E pour un solide parfait ? Que caractérise ce coefficient ?

xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx
xxxxxxxxxxxxxx

IV.A.2) À l'abscisse x un élément de paroi artérielle P d'épaisseur H , de 
longueur dx , compris
er
entre les angles e et e + de est soumis aux forces
dx
d'élasticité associées au module d'Young dont la H
de
2
e
somme est notée d F y et aux forces de pression
entre l'intérieur et l'extérieur de l'artère dont la
2
somme est notée d F p .
2
R
a) Exprimer d F p en fonction de R , P , P 0 , de , dx
ee
et e r .
b) Déterminer l'allongement relatif de l'élément Élément de paroi artérielle P
de paroi P quand son rayon passe de R 0 à R ; en
déduire l'expression de la somme des forces d'élasticité
R ­ R0
2
d F y = ­ EH ------------------ dx de e r .
R0

IV.A.3)
2
2
a) En notant m = / R ­ / R 0 la variation locale de la section de l'artère 
montrer
que pour de petites déformations on peut écrire : m = 2/ R 0 ( R ­ R 0 ) .
b) En appliquant la relation fondamentale de la dynamique à P et en notant
p = P ­ P 0 la surpression correspondante, montrer que :
2

2/R
E
, m
--------2- = ----------- p ­ ------------2- m
H
l
0
l0 R0
,t

(1)

c) En faisant un bilan de masse entre les instants t et t + dt sur la tranche de
fluide comprise entre les abscisses x et x + dx montrer que :
,m
2 ,v
,m
------ + v ------ + ( m + / R 0 ) ------ = 0
,x
,x
,t

(2)

d) Appliquer l'équation d'Euler pour obtenir l'équation différentielle ( 3 ) 
liant v
et p . On utilisera le formulaire donné en III.A. En évaluant les ordres de 
grandeur du terme d'accélération convective et du terme de viscosité d6v / + 
que l'on

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PHYSIQUE-CHIMIE

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a négligé, justifier la modélisation proposée pour la nature de l'écoulement. On
3
fera l'application numérique avec d = 0, 003 Pa u s , + = 1, 05 g / cm , une 
vitesse de
­1
l'ordre de 1 m u s , une artère de 0, 5 m de longueur et de 5 mm de rayon.
IV.B - Approximation linéaire, relation de dispersion
IV.B.1) En ne gardant que les termes d'ordre 1 en m , v et p , linéariser les
trois équations précédentes.
IV.B.2) Comment se transforment les équations (1), (2) et (3) en notation comi 
( tt ­ kx )
plexe pour des signaux de la forme s = s 0 e
où t et k représentent les
pulsations respectivement temporelle et spatiale ? On notera m , v et p les 
grandeurs complexes associées à m , v et p .
IV.B.3) Établir la relation de dispersion. Tracer la courbe représentant les
variations de t en fonction de k . Faire apparaître une pulsation spatiale 
caractéristique k c pour laquelle t ( k c ) = t max / 2 , et déterminer 
l'expression littérale de la longueur d'onde h c correspondante ainsi que sa 
valeur numérique.
Dans quel domaine de longueur d'onde la propagation est-elle peu dispersive ?
5
3
3
On prendra : E = 4 u 10 Pa , R 0 = 5 mm , l 0 = 1, 06 g / cm , + = 1, 05 g / cm 
,
H = 0, 6 mm .
IV.B.4) Déterminer la vitesse de phase des ondes de pression sanguine et 
montrer que pour les grandes longueurs d'onde elle vaut
c0 =

EH
-------------- .
2+ R 0

··· FIN ···

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Damien Cornu
(ENS Ulm) ; il a été relu par Sébastien Dusuel (Professeur en CPGE), Jean-Julien
Fleck (Professeur en CPGE), Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Tiphaine
Weber (Enseignant-chercheur à l'université).

Ce sujet comporte quatre parties indépendantes.
· La première s'intéresse au milieu sanguin vu comme solution tampon. On étudie
l'influence de l'acide carbonique sur le pH du sang ainsi que les mécanismes
permettant de rester dans des valeurs compatibles avec la vie.
· La deuxième partie est consacrée au dioxygène dans les êtres vivants. Elle 
s'intéresse d'abord à une sonde de Clark permettant de mesurer la teneur en 
dioxygène dans un milieu. Son fonctionnement est analysé par des raisonnements
utilisant l'oxydoréduction et les courbes intensité-potentiel. Un deuxième 
volet traite des lois d'échelle chez les mammifères en suivant des raisonnements
relativement classiques concernant les rapports entre pertes thermiques d'une
part, tailles et nombres des vaisseaux sanguins d'autre part. Il n'est pas 
toujours
facile de comprendre où l'énoncé veut en venir.
· La troisième étudie un écoulement stationnaire dans un tube cylindrique. Elle
débute par un calcul, très guidé, de l'écoulement de Poiseuille cylindrique, 
avec
une analogie électrique. Ceci débouche sur des raisonnements qualitatifs et
quantitatifs concernant les différents types d'artères ; on comprend notamment
la prise de « tension artérielle » par les médecins.
· La quatrième partie modélise une onde de pression sanguine en introduisant
les déformations d'un vaisseau sanguin à l'aide du module d'Young. On obtient
une relation de dispersion en linéarisant un système d'équations 
différentielles.
Les raisonnements sont assez bien guidés dans ce sujet, en dépit de passages qui
semblent tortueux au premier abord. Dans de nombreuses questions, les 
expressions
à trouver sont données par l'énoncé : il est donc possible de traiter une 
grosse partie
du problème, quitte à sauter certaines questions.
Ce sujet très riche est tout à fait dans l'air du temps : les passerelles se 
multiplient entre la biologie et les autres disciplines. Dans ce contexte, il 
ne faut surtout
pas négliger les applications numériques, qui permettent de confronter la 
théorie à
l'expérience et de valider les approches choisies. Elles peuvent également 
susciter des
commentaires susceptibles d'enrichir la compréhension tant de la biologie que 
de la
physique.

Indications
Partie I
I.A.1 L'atome de carbone est lié avec les atomes d'oxygène et ces derniers sont
liés aux atomes d'hydrogène.
I.B.3 Reprendre la question précédente, mais en maintenant constante la 
concentration en acide carbonique.
Partie II
II.A.1 Faire une analogie avec d'autres polymères connus.
II.A.3.b Seule une des deux électrodes peut voir l'intensité qui la traverse 
limitée
par la diffusion.
II.A.3.c Écrire le potentiel à l'électrode de deux manières différentes.
II.A.5.c Penser à d'autres réactions qui peuvent intervenir si la différence de 
potentiel aux bornes des électrodes est trop importante.
II.B.2 Exprimer ln f c en fonction de ln Mc et faire une régression linéaire.
II.B.3.b Que représente f c  vie ?
II.B.4 Les apports journaliers recommandés sont d'environ 2 000 kcal en France.
II.B.5.a Exprimer la puissance thermique traversant une sphère de rayon r et 
écrire
qu'elle ne dépend pas de r.
II.B.5.b Égaler les deux expressions de P en les écrivant en fonction de Ra .
II.B.5.c Exprimer à présent P de deux manières en fonction de Mc .
II.B.6.d La masse est proportionnelle au volume de l'animal ; à quoi est 
proportionnelle la puissance thermique dissipée ?
Partie III
III.A.4.b Écrire l'expression de la force visqueuse exercée par une veine de 
fluide sur
sa voisine, puis faire un bilan sur E .
III.A.5 Le gradient de v ne peut être infini en r = 0.
III.A.8 La résistance hydraulique est le rapport entre la chute de pression et 
le
débit volumique.
III.B.2 Pour déterminer les nombres de Reynolds, utiliser le débit dans une 
artère,
calculé comme le débit total divisé par le nombre d'artères de ce type.
Partie IV
IV.A.2.b On étudie ici l'allongement de l'élément de paroi suite à 
l'élargissement
de la section du tube. Faire un dessin en coupe où l'on fait apparaître les
forces de tension orthoradiales s'appliquant sur le système. Leur norme ne
dépend pas de .
IV.A.3.c Exprimer de deux manières la variation du volume de la tranche pendant
la durée dt. Attention : le tuyau n'est pas cylindrique. On prendra garde
aux ordres de grandeur.

Autour du sang : pH, teneur et consommation
en dioxygène, hydrodynamique et pouls
I. Le sang : un milieu tamponné
I.A.1 L'atome de carbone est l'atome central, lié aux atomes d'oxygène, 
eux-mêmes
liés aux atomes d'hydrogène. Il possède quatre électrons de valence mis en jeu 
dans
deux liaisons simples et une liaison double. Le carbone ne possède donc pas de 
doublet
non-liant. Les deux molécules sont toutes les deux du type AX3 E0 selon la 
théorie
VSEPR, donc de géométrie trigonale plane.

O

O

C

C
H

O

O

H

O

O

H

I.A.2 Le couple mis en jeu dans ce problème est :
H2 CO3 + H2 O  HCO3 - + H3 O+
La concentration totale en élément carbone, notée C0 , s'écrit
C0 = [H2 CO3 ] + [HCO3 - ]
La connaissance du pH et donc de la concentration en ions hydronium H3 O+ permet
de déterminer le rapport [HCO3 - ]/[H2 CO3 ] :
Ka =
soit

[HCO3 - ][H3 O+ ]
[H2 CO3 ]

[HCO3 - ]
Ka
Ka
=
= -pH
[H2 CO3 ]
[H3 O+ ]
10

Remplaçons la valeur de la concentration en HCO3 - dans l'équation de 
conservation
de la matière :
C0 = [H2 CO3 ] + Ka 10pH [H2 CO3 ]
Ici, pour pH = 7,40 et C0 = 0,028 mol.L-1 :
[H2 CO3 ] =

C0
= 2,37.10-3 mol.L-1
1 + Ka 10pH

En remplaçant cette valeur dans l'équation de conservation, on obtient
[HCO3 - ] = C0 - [H2 CO3 ] = 25,6.10-3 mol.L-1
On vérifie bien ici que [HCO3 - ] > [H2 CO3 ], ce qui est cohérent avec une 
valeur de pH
supérieur au pKa du couple (ici, pKa = - log(4,3.10-7 ) = 6,37).
I.B.1 L'acide lactique possède un unique centre stéréogène,
le carbone portant la fonction alcool. Selon les règles de Cahn,
Ingold et Prelog :
OH > COOH > CH3 > H
Ainsi, la forme (S) de l'acide lactique est donnée ci-contre.

CH3
H
HO

C
COOH

I.B.2 On réalise un tableau d'avancement, sachant que la réaction est 
quantitative.
On remarque que l'acide lactique est le réactif limitant.
HB + HCO3 -  H2 CO3 + B-
état initial (10-3 mol.L-1 )

2,00

25,6

2,37

0

0

23,6

4,37

2,00

état final (10-3 mol.L-1 )

Le nouveau pH peut être calculé grâce à la formule
pH = pKa + log

[HCO3 - ]
= 7,10
[H2 CO3 ]

Cette valeur n'est pas comprise dans les valeurs usuelles du pH dans le sang 
données
dans l'énoncé, elle n'est donc pas compatible avec la vie.
I.B.3 La concentration d'acide carbonique est maintenue constante par 
l'expiration
du CO2 et est égale à 2,37.10-3 mol.L-1 . L'ajout de 2,00 mol.L-1 d'acide 
lactique
fait uniquement baisser la concentration en ion hydrogénocarbonate :
[HCO3 - ] = 23,6.10-3 mol.L-1
Cela correspond à

pH = pKa + log

[HCO3 - ]
= 7,36
[H2 CO3 ]

ce qui est bien dans la fourchette fournie par l'énoncé comme valeurs 
acceptables.
L'acide carbonique peut très aisément être transformé en dioxyde de carbone
et en eau par la réaction
H2 CO3(aq)  CO2(g) + H2 O()
Le dioxyde de carbone est éliminé du sang dans les poumons. Lors d'un effort
physique important réalisé violemment, le dégagement du dioxyde de carbone
par la respiration n'est pas suffisant. La baisse du pH cellulaire qui 
intervient
est à l'origine du phénomène assez douloureux des crampes musculaires.

II. Le dioxygène : mesure in vivo
et consommation animale
II.A

Sonde de Clark

II.A.1 Le polymère PTFE, de nom commercial « Téflon », a une structure identique
au polyéthylène en remplaçant les atomes d'hydrogène par des atomes de fluor.

F

F

F

F

F

F

n
n

F

F