Centrale Physique et Chimie PSI 2008

Thème de l'épreuve Les déchets nucléaires
Principaux outils utilisés cinétique, thermodynamique, oxydoréduction, systèmes linéaires, diffusion thermique, diffusion de particules

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière

PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

PHYSIQUE-CHIMIE
Les calculatrices sont autorisées.
Les différentes parties sont pour l'essentiel indépendantes.

Déchets nucléaires
Ce sujet aborde quelques aspects de la gestion des déchets nucléaires, de leur 
origine à un éventuel stockage en couche géologique profonde. Il s'agit ici 
uniquement de mettre en évidence certains aspects du problème, et de fournir 
des ordres
de grandeur : on ne prétendra pas valider ou non la faisabilité du stockage. Un
document-réponse est joint au sujet et devra être rendu avec la copie.
Les données numériques ont été rassemblées à la fin du sujet.

Partie I - L'origine des déchets
I.A - La radioactivité
La radioactivité est un phénomène physique naturel au cours duquel des
noyaux atomiques instables se désintègrent en dégageant de l'énergie, pour se
transformer en noyaux atomiques stables. L'évolution de la concentration c r ( 
t )
d'une substance radioactive suit une loi cinétique d'ordre 1 :
dc r ( t )
---------------- = ­ c r ( t ) .
dt

I.A.1)
Exprimer c r ( t ) en fonction de c r ( 0 ) ,  et t .
L'usage est de caractériser l'activité d'un atome par sa période T , temps au 
bout
duquel la concentration initiale a été divisée par deux.
I.A.2)
Relier  et T .
L'uranium présent dans l'écorce terrestre s'y trouve essentiellement sous forme
238
235
de deux isotopes : U et U :
abondance

T

238

99, 3 %

4, 5 10 ans

235

0, 7 %

0, 7 10 ans

U
U

9
9

I.A.3)
En supposant qu'au moment de la création de la Terre les quantités
des deux isotopes étaient égales, donner une évaluation de l'âge de la Terre.

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

Filière PSI
235

U possède la propriété d'être fissile : il peut capter un neutron lent ( n ) 
pour
fissionner en plusieurs atomes plus légers et plusieurs neutrons rapides ( n ) .
140
235
93
Par exemple : U + n  Kr + Ba + 3n .
235
En moyenne sur toutes les réactions possibles, chaque atome U qui fissionne
libère 200 MeV et 2, 5 neutrons.
235
I.A.4)
Évaluer l'énergie récupérable dans un gramme de U .
I.A.5)
Quelle masse d'octane ( C 8 H 18 ) , dont l'enthalpie de combustion vaut
­1
­ 5 kJ  mol , faut-il brûler pour obtenir la même énergie ? Conclure.

I.B - Modélisation du réacteur
Cette énergie est récupérée au sein
Fission
d'un réacteur nucléaire. Le combusc
m
c*
k1
­
tible nucléaire est essentiellement
+
235
U (envide l'uranium enrichi en
ron 4% contre 0, 7% pour le minerai
naturel). Il est accompagné d'un
modérateur (souvent de l'eau)
k2
------------------chargé de ralentir et d'absorber le
1 + 2 p
surplus de neutrons dû à la fission.
Figure 1
Enfin, il faut prendre en compte le
Ralentissement, absorption, diffusion
temps de diffusion  2 d'un neutron
235
avant qu'il ne soit capturé par un nouvel atome de U . Un réacteur peut alors
être modélisé comme indiqué ci-dessus en figure 1 ( c et c représentent les 
concentrations en n et n ).
m traduit l'action modératrice de barres de contrôles (signe ­ ), qui peuvent
être introduites mécaniquement dans le réacteur pour absorber des neutrons,
avec une constante de temps  3 = 1 s . Dans la suite, on pose k = k 1 k 2 .
I.B.1)
m = 0 . Déterminer l'équation différentielle vérifiée par c ( t ) .
I.B.2)
Montrer que si le coefficient k est inférieur à une valeur k c à déterminer, le 
système est stable. La réaction de fission peut-elle être entretenue dans
ces conditions ?
c
I.B.3)
m  0 . Calculer la fonction de transfert H ( p ) = ----- .
m

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I.B.4)
m = m 0, c ( 0 ) = c 0 . Montrer que l'équation différentielle vérifiée par
c ( t ) s'écrit :
dc
= ­m0 .
dt
La résoudre complètement pour t > 0 .
I.B.5)
k > 1 . Montrer qu'il existe une valeur critique m c de m 0 telle que :
m 0 > m c  c ( t )  ­  ( cas a ) ; m 0 < m c  c ( t )  +  ( cas b ) .
( 1 ­ k )c +  2

I.B.6)
Interpréter en une phrase le cas a .
I.B.7)
Interpréter en une phrase le cas b .
­4
k = 1, 001 ,  2 = 10 s . Calculer la constante de temps du réacteur.
I.B.8)
Conclure.
Certains produits de fis235

sion des U sont radioac------------------+
1
4 p
tifs, et se désintègrent avec
une période  4 »  2 : une
fraction  des neutrons
c
c*
rapides est retardée. Le m ­
k1
1­
++
+
fonctionnement du réacteur est mieux modélisé
par la figure 2 ci-contre.
I.B.9)
Donner la nouk2
Figure 2
velle fonction de transfert
c
T ( p ) = ----- du réacteur.
m
235
I.B.10) k = 1, 001 . Pour U ,  4 = 12 s et  = 0, 65% . Définit et calculer la 
nouvelle constante de temps du réacteur. Comparer au résultat du I.B.8.
235
I.B.11) Lorsque que la teneur en U devient trop faible, en fin de vie du 
combustible, k diminue et le réacteur ne peut plus fonctionner. Justifier ces 
affirmations.
I.C - Le retraitement
La composition du combustible, pour 1000 kg de métal lourd initial, est donnée
dans le tableau 1 ci-après.
Le combustible usagé peut alors être retraité, pour séparer les divers éléments.
Le retraitement consiste à concasser le combustible usagé, qui se présente sous
forme d'oxydes, et à le dissoudre dans une solution aqueuse d'acide nitrique. Le
plutonium et l'uranium se dissolvent suivant les réactions :
U O 2 ( s ) + 4HN O 3 = U O 2 ( NO 3 ) 2 + 2 N O 2 + 2H 2 O ;

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Filière PSI

PuO 2 ( s ) + 4HN O 3 = Pu ( N O 3 ) 4 + 2H 2 0

Tableau 1 :
atome
235

Actinides majeurs

U

238

U

Autres U
239

Pu

combustible
neuf ( kg )

combustible
usagé ( kg )

37

7

963

929

-

8

-

10

Actinides mineurs

Np , Am , Cm

-

1

Produits de fission

Cs , Sr , Tc , ...

-

35
­

I.C.1)
Préciser les nombres d'oxydation de N dans N O 3 et N O 2 . Une de ces
réactions est une réaction d'oxydoréduction. Laquelle ?
I.C.2)
En déduire les nombres d'oxydation de U et Pu dans les produits de
ces réactions.
Les produits de dissolution des autres actinides, Np , Am et Cm , ont pour 
nombres d'oxydation respectifs +V , +III et +III . Dans cette solution aqueuse 
( A 0 ) ,
­2
­1
la concentration totale en Pu vaut [ Pu ( aq ) ] 0 = 10 mol  L . Elle est 
mélangée à
une solution organique ( O 0 ) de phosphate de tributyle ( TBP ). Après 
agitation
et décantation, chaque élément X se partage entre les deux phases ( A 1 ) et ( 
O 1 ) ,
non miscibles, ainsi obtenues.
Le coefficient de partage est défini par
[ X ( org ) ]
D p = -------------------- , où [ X ( f ) ] représente la concentration totale 
en élément X
[ X ( aq ) ]
2

dans la phase f . Pour les actinides, D p = 10 si le nombre d'oxydation est 
pair,
­2
D p = 10 sinon. D p est également très faible pour les produits de fission.
I.C.3)
On mélange 1 L de la solution aqueuse ( A 0 ) avec 10 L de TBP . Après
agitation et décantation, on sépare ( A 1 ) et ( O 1 ) . Calculer [ Pu ( aq ) ] 
1 dans la solution ( A 1 ) .
I.C.4)
L'opération est répétée une seconde fois : on mélange 1 L de la solution
aqueuse ( A 1 ) avec 10 L de TBP . Après agitation et décantation, on sépare ( 
A 2 )
et ( O 2 ) . Calculer [ Pu ( aq ) ] 2 dans la solution ( A 2 ) .

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Filière PSI

I.C.5)
Dans quelle phase se trouvent maintenant les déchets ultimes, produits de 
fission et actinides mineurs ? Ceux-ci sont alors vitrifiés et placés dans
des colis en acier (Déchets C).
( O 1 ) et ( O 2 ) sont rassemblées pour former ( O 3 ) . ( O 3 ) est mélangé à 
une solution
aqueuse ( A 3 ) de nitrate uraneux U ( N O 3 ) 4 en excès. Celui-ci agit avec 
le plutonium selon la réaction :
2Pu

4+

+U

4+

+ 2H 2 O = 2Pu

3+

2+

+

+ U O 2 + 4H .

Soient ( A 4 ) et ( O 4 ) les phases obtenues après agitation et décantation.
I.C.6)
Quel est l'intérêt de cette dernière opération ?

Partie II - Le stockage de déchets
Les parties suivantes étudient de manière extrêmement simplifiée la possibilité
d'un stockage géologique de ces déchets, sous une couche argileuse d'épaisseur
l = 50 m (Figure 3). Les vecteurs seront notés en gras.
II.A - Aspect thermique
x
Du fait de la radioactivité des produits de fission, l
les déchets sont très exothermiques. Le champ de
température T ( x, t ) est supposé unidimensionnel,
dans un cylindre d'argile (masse volumique  a , conductivité thermique K a , 
capacité calorifique massique c a , diffusivité thermique D T ) de section S .
L'énergie thermique s'évacue suivant la loi de
Fourier :
0
j T ( x, t ) = ­ K a grad ( T ) .
II.A.1)

S

Argile

Quel est le nom et l'unité du vecteur

j T ( x, t ) ?

Figure 3

II.A.2) Établir l'équation de la chaleur vérifiée
par T ( x, t ) .
II.A.3) Relier D T aux caractéristiques de l'argile.
II.A.4) Interpréter le résultat obtenu lorsqu'on remplace t par ­ t dans
l'équation de la chaleur de la question II.A.2.
Après 30 ans d'entreposage en surface, N colis de déchets C sont uniformément
répartis sur la surface S en ( x, t ) = ( 0, 0 ) . La puissance dégagée par un 
colis suit
­t / 
approximativement la loi p ( t ) = p 0 e
avec p 0 = 1 kW et  = 43 ans .
II.A.5) Interpréter les conditions aux limites :
T
Np ( t )
T ( x, 0 ) = T 0 ; T ( l, t ) = T 0 ; ------- ( 0, t ) = ­ ---------------- .
x
2K a S

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La solution T ( x, t ) est représentée sur l' annexe 1, au bout de 10 , 40 et 
100 ans,
avec T 0 = 25° C , dans le cas où la température maximale tolérée est de 100° C 
.
II.A.6) Compléter le diagramme de l'annexe 1 en identifiant les trois courbes
et en justifiant rapidement.
­1
­1
II.A.7) K a = 1, 5 W  K  m . À partir de ce diagramme, expliquer comment
on peut accéder à la surface nécessaire à l'enfouissement du stock des déchets
C français, estimé à 36 000 colis. Donner une estimation numérique de cette
surface.
II.A.8) Il est envisageable d'attendre 30 années supplémentaires avant
d'enfouir les déchets en profondeur. Quelle est la nouvelle surface de stockage
nécessaire ?
II.B - Confinement des déchets
Les colis en acier (assimilé ici à du fer) ont pour but de retarder le contact 
entre
les déchets et l'argile. Cette partie étudie l'interaction d'un colis avec 
l'eau présente dans l'argile. L'annexe 2 donne le diagramme potentiel ­ pH du 
fer, à
T = 25° C , tracé pour une concentration de référence C R (à déterminer) pour 
les
2+
3+
espèces solubles. Les espèces prises en compte sont : Fe ( s ) , Fe , Fe ,
FeOOH ( s ) (goethite) et Fe 3 O 4 ( s ) (magnétite).
II.B.1) Compléter le diagramme en précisant les espèces associées aux 
différents domaines.
II.B.2) Établir la configuration électronique du fer ; en déduire celle des ions
2+
3+
ferreux Fe et ferriques Fe .
2+
II.B.3) Déterminer la valeur du potentiel standard E° ( Fe / Fe ( s ) ) à 25° C 
.
Faire l'application numérique. Pourquoi  f G° ( Fe ( s ) ) est-elle nulle ?
II.B.4) En déduire, à l'aide du diagramme, la concentration de référence C R
choisie.
II.B.5)

Déterminer par le calcul la pente de la frontière entre les domaines de
2+
.
II.B.6) Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des
2+
domaines de Fe ( s ) et Fe 3 O 4 ( s ) et Fe .
II.B.7) Donner les équations des frontières du diagramme potentiel ­ pH de
l'eau (aux frontières, la pression sera prise égale à P° = 1 bar pour les 
espèces
gazeuses). Représenter ces frontières sur l' annexe 2.
II.B.8) Pendant la phase de remplissage, le site de stockage souterrain est
bien ventilé, l'oxydant est l'oxygène. Quel est alors le produit solide de 
corrosion
du fer ?
Fe 3 O 4 ( s ) et Fe

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

Une fois le site de stockage fermé, la présence d'argile impose un pH voisin de
8 et un potentiel voisin de ­ 0, 3 V . Le seul oxydant présent est l'eau.
II.B.9) Quel est alors le produit de corrosion du fer ? Écrire l'équation-bilan
correspondante ( E 1 ) , pour une mole d'oxyde formé.
II.B.10) La vitesse de corrosion d'un colis (diminution de son épaisseur par
unité de temps) au sein du stockage est approximativement multipliée par deux
lorsque la température passe de 25° C à 80° C .
En déduire une énergie d'activation apparente E a , et donner sa valeur 
numérique en kJ  mol ­1 .
Aux temps longs, la densité de courant j s associée à la corrosion, conformément
à l'équation ( E 1 ) , est estimée à 2 mA  m ­2 .
II.B.11) Exprimer la vitesse de corrosion (diminution de l'épaisseur par unité
de temps) en fonction de j s , M ( Fe ) ,  ( Fe ) et F .
Application numérique : évaluer le temps nécessaire pour corroder un colis de
50 mm d'épaisseur. On donne  ( Fe ) = 7690 kg  m ­3 .
II.B.12) Déterminer le volume de dihydrogène gazeux produit par unité de
temps et par unité de surface du colis, en considérant que H 2 ( g ) est 
produit à
T = 25° C et P = P° = 1 bar .
­2
­1
Application numérique : exprimer le résultat en L  m  an .
II.B.13) Une partie du dihydrogène s'accumule au voisinage du colis. Quelle est
l'avantage de cette accumulation, du point de vue thermodynamique ?
II.B.14) Les produits de corrosion solides ont en général une masse volumique
inférieure à celle du fer, d'où un phénomène d'expansion. On met ici en évidence
ce phénomène sur le cas simple de l'oxyde ferreux FeO , de masse volumique
 ( FeO ) = 5900 kg  m ­3 .
En déduire la valeur numérique du facteur de gonflement f , rapport du volume
d'oxyde formé sur le volume de fer oxydé. Quelle conséquences cela peut-il
avoir ?
Les espèces chimiques issues des colis de déchets sont susceptibles d'interagir
avec les produits issus de la corrosion. Par exemple, à la surface d'un oxyde de
fer, il apparaît des sites amphotères, notés  FeOH . Ces sites seront considérés
comme des espèces en solution, en assimilant notamment leur activité chimique
à leur concentration. Ces sites sont susceptibles d'accepter ou de céder un 
proton
+
+
H ; les pKa respectifs des couples acido-basiques  FeOH 2 /  FeOH et
­
 FeOH /  FeO sont notés pK a1 et pK a2 . Le « point de charge nulle » de
l'oxyde de fer est défini comme le pH pour lequel sa surface est globalement
neutre.

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI
+

II.B.15) Quelle est au point de charge nulle la relation entre [  FeOH 2 ] et
­
[  FeO ] ? Établir en ce point l'expression du pH , en fonction de pK a1 et
pK a2 .
II.B.16) En déduire, qualitativement, dans quelles zones de pH respectives
des cations ou des anions pourront se fixer préférentiellement à la surface de
l'oxyde.
II.B.17) Sachant que le point de charge nulle de la magnétite est proche de 6 ,
quelles conséquences cela peut-il avoir pour des actinides présents sous forme
de cations, tels que Am 3+ ou Cm 3+ par exemple ? De nombreuses espèces sont
ainsi fortement retenues dans les produits d'altérations des verres et des 
colis.
II.C - Barrière géologique
On s'intéresse maintenant à une espèce non retenue au voisinage du colis. Cette
espèce est alors susceptible de diffuser dans l'argile environnante. La 
géométrie
utilisée est la même que dans la partie II.A (figure 3), et le problème est 
encore
considéré unidimensionnel. On négligera ici la décroissance radioactive des 
concentrations.
Simultanément à la diffusion, une partie des déchets se fixe dans l'argile 
(phénomène de sorption). On écrit donc la concentration totale de l'espèce 
considérée
(en mol  m ­3 ) sous la forme c t ( x, t ) = c ( x, t ) + c f ( x, t ) , où c ( 
x, t ) et c f ( x, t ) représentent respectivement la concentration en espèce 
mobile et la concentration en
espèce fixée. Ces deux concentrations sont liées par c f ( x, t ) = K s c ( x, 
t ) , où K s
est une constante.
Le vecteur densité de courant de particules (en mol  m ­2  s ­1 ) s'obtient 
alors par
la loi de Fick, à partir de la concentration c ( x, t ) en espèce mobile
j c ( x, t ) = ­ Dgrad ( c ) , où D est le coefficient de diffusion (en m 2  s 
­1 ) de l'espèce
mobile.
II.C.1) À l'aide d'un bilan de matière dans une tranche d'argile de section S ,
comprise entre x et x + dx , montrer que c ( x, t ) vérifie une équation de
diffusion :
2

 c
c
D --------2- = ----- ,
t
x

où l'on exprimera D en fonction de D et K s .
On impose les conditions aux limites :
c ( 0, t ) = C 0
c ( l, t ) = 0
c ( 0 < x < l, 0 ) = 0

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PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

II.C.2) Justifier que la solution c 0 ( x ) de l'équation de la diffusion en 
régime
permanent soit une fonction affine de x . Expliciter complètement cette 
solution.
On pose c ( x, t ) = c 0 ( x ) ­ c ( x, t ) .
II.C.3) Donner l'équation et les conditions aux limites vérifiées par c ( x, t 
) .
On cherche pour c une solution de la forme c ( x, t ) = f ( x ) g ( t ) où f ( 
x ) et g ( t )
sont deux fonctions à déterminer.
­t / 
II.C.4) Montrer que g ( t ) est nécessairement de la forme Ae
, où A et  sont
deux constantes. Justifier  > 0 .
II.C.5) En déduire la forme de f ( x ) . En tenant compte des conditions aux 
limites en x = 0 et x = l , montrer que  ne peut prendre que les valeurs 
discrètes
2
 n =  1 / n , où n est un entier non nul, et préciser la valeur de  1 en 
fonction de
D et l .
La fonction c *0 ( x ) , périodique de période 2l , impaire, et qui coïncide 
sur ] 0, l [
avec c 0 ( x ) admet comme développement en série de Fourier :
2C 0
c *0 ( x ) = ---------

II.C.6)

+

n=1

1
x
--- sin  n --- .
n
l

Vérifier soigneusement que
2C 0
c ( x, t ) = c 0 ( x ) ­ ---------

+

n=1

x
1
t
--- sin  n --- exp  ­ -----
l
n
n

est solution de ce problème de diffusion.
II.C.7) Donner l'expression littérale du flux  ( l, t ) à travers la surface S 
, en
x = l.
II.C.8) En déduire la quantité de matière N ( t ) évacuée à la surface entre 0 
et
t ; on donne :
+

n

2

( ­1 )

------------- = ­ ------ .
2
12
n=1 n

II.C.9) Montrer que N ( t ) admet une asymptote pour t »  1 , dont les 
paramètres permettent de déterminer les valeurs de D et de D .
La courbe expérimentale de l'Annexe 3 a été réalisée pour une expérience
+
modèle de diffusion des cations lithium Li
dans une argile, avec
­2
­1
2
C 0 = 10 mol  L , S = 30 cm et l = 0, 5 cm .
II.C.10) En déduire graphiquement les valeurs numériques de D et D . Calculer K 
s .
II.C.11) Déterminer l'ordre de grandeur du temps nécessaire au lithium pour
atteindre la biosphère, que l'on considérera distante de 50 m . Quel serait ce
temps en l'absence de sorption ?

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9/10

PHYSIQUE-CHIMIE

Filière PSI

Données :

Constante des gaz parfaits

R

8, 32 J  K

F

Constante de Faraday

1 eV

NA

Nombre d'Avogadro

 mol

­1

96 500 C

e

Charge élémentaire

­1

1, 6 10

­ 19

1, 6 10

­ 19

C
J

6, 02 10 23 mol ­1

Numéro atomique Z

Masse molaire M ( g  mol ­1 )

C

6

12

H

1

1

O

8

16

Fe

26

56

Les données suivantes sont fournies à 25°C
RT
2, 3 --------- ln = 0, 06 log .

F

Potentiel standard ( E° )
O2 ( g ) / H 2 O( l )
2+

Fe 3 O 4 ( s ) / Fe ( aq )

enthalpie libre
standard de formation
(  f G° )

1, 23 V

Fe

0, 98 V

H

2+

+

­ 85, 0 kJ  mol

­1

0

··· FIN ···

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10/10

Annexe du sujet de Physique-Chimie

Filière PSI

Annexe du sujet de Physique-Chimie
Cette annexe doit être rendue avec les autres copies. Il ne pourra pas être 
délivré d'autres exemplaires de ce document.
Annexe 1

Concours Centrale-Supélec 2008

1/3

Annexe du sujet de Physique-Chimie

Filière PSI

Filière PSI

Annexe 2

Concours Centrale-Supélec 2008

2/3

Annexe du sujet de Physique-Chimie

Filière PSI

Annexe 3

N

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3/3

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Jeannin (École Polytechnique) et Tiphaine
Weber (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Nicolas Agenet 
(ENS
Ulm), Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université), Emmanuel Bourgeois
(ENS Lyon) et Mickaël Profeta (Professeur en CPGE).

Ce sujet balaie les problèmes posés par la gestion des déchets nucléaires, 
depuis
leur production jusqu'à leur stockage de longue durée, sous l'angle tant de la 
chimie
que de la physique. Il introduit aux ordres de grandeur mis en jeu : il faut 
par conséquent rester critique vis-à-vis des résultats numériques obtenus.
· La première partie aborde la production et le traitement des déchets 
nucléaires.
La sous-partie I.A porte, au travers de l'étude de la radioactivité de 
l'uranium,
sur une cinétique du premier ordre traitée de manière complète. La souspartie 
I.B est l'occasion d'appliquer à un sujet original les méthodes d'étude
des systèmes bouclés. Enfin, la sous-partie I.C s'intéresse au retraitement du
combustible usé et fait appel à l'exploitation tant qualitative que quantitative
de l'extraction liquide/liquide.
· La seconde partie se préoccupe des problèmes liés au confinement des déchets
enterrés : ceux-ci subissent des transferts thermiques (II.A) et des échanges de
matière (II.C) avec leur environnement. Les équations qui décrivent ces 
processus d'échange sont posées et résolues de manière exhaustive, afin 
d'estimer
certaines caractéristiques du confinement. On détermine ainsi la surface de
stockage nécessaire pour éviter un échauffement trop important des couches
géologiques, ainsi que le temps de remontée des espèces à travers une couche
d'argile. La sous-partie II.B, assez longue, étudie quant à elle la corrosion du
surconteneur métallique, tout d'abord en exploitant le diagramme potentiel-pH
du fer, puis du point de vue des effets de cette corrosion sur les conditions de
stockage. Certaines questions nécessitent l'utilisation de la densité de courant
associée aux réactions d'oxydoréduction. Cette approche, qui peut être 
déstabilisante, est courante dans les sujets de Physique et Chimie proposés au 
concours
Centrale.
Le sujet est assez long mais ne présente pas de difficulté particulière, à 
l'exception
de la dernière sous-partie qui est technique et calculatoire. Il permet de 
réviser entièrement la modélisation des phénomènes de diffusion à une 
dimension, dans un contexte
offrant une application directe des résultats obtenus. Physique et chimie 
alternent à
chaque nouvelle sous-partie de manière indépendante. Dans son rapport, le jury 
souligne que « les compétences évaluées par ce sujet son variées » mais 
consistent pour
beaucoup en une lecture de courbes et diagrammes, limitant les aspects plus 
calculatoires. Dans l'ensemble, un grand nombre de questions qualitatives font 
appel
à la culture scientifique des candidats. Ce sujet constitue par conséquent un 
bon
entraînement pour aller plus loin que la simple application du cours.

Indications
I.A.4 La masse molaire d'un atome, exprimée en g.mol-1 , est approximativement
égale à son nombre de masse.
I.A.5 D'après la convention du banquier, une enthalpie de réaction négative 
correspond à de l'énergie libérée par la réaction. Elle peut donc être fournie
au milieu extérieur. Ainsi, l'énergie produite par la combustion d'une mole
d'octane vaut -Hcomb
I.B.2 L'instabilité correspond ici à une concentration tendant vers l'infini.
I.B.3 Ne pas remplacer m par m0 avant d'être repassé en variables temporelles.
I.B.8 Se demander ce que signifie une telle valeur, et si elle est compatible 
avec un
bon fonctionnement du réacteur.
I.B.10 Le dénominateur de la fonction de transfert est de la forme 1 +  p.
I.B.11 À partir du schéma-bloc, interpréter k comme le rapport du nombre de 
neutrons réagissant à cette étape sur le nombre de neutrons ayant réagi à 
l'étape
précédente.
II.A.2 Faire un bilan énergétique sur une tranche de cylindre de base S et de 
hauteur dx, entre deux instants t et t + dt.
II.A.5 Récrire la condition aux limites en x = 0 en faisant apparaître le flux 
du
vecteur densité de courant à travers la base du cylindre d'argile.
II.A.7 Utiliser la condition aux limites en x = 0 pour calculer S.
II.B.3 La loi de Hess, en toute rigueur établie pour l'enthalpie H, est 
démontrée
en utilisant un cycle. Elle est par conséquent applicable à toute autre 
fonction d'état. Ici on peut s'en servir pour calculer l'enthalpie libre 
standard de
réaction r G .
II.B.4 Les frontières du diagramme représentent les zones où deux espèces du fer
sont à l'équilibre. Le potentiel de la solution sur ces frontières est donc égal
au potentiel du couple à l'équilibre. Pour les applications numériques à partir
de la loi de Nernst, l'indication donnée par l'énoncé est erronée. Il faut lire
RT
RT
RT
ln x =
ln 10 log x = 2, 3
log x = 0, 06 log x
F
F
F
II.B.10 On rappelle que l'unité du système international pour la température 
est le
Kelvin avec T(K) = T( C) + 273.
II.B.11 Une mole d'électron transporte une charge d'un faraday.
II.B.12 Une année correspond à 60 × 60 × 24 × 365 = 31 536 000 s  .107 s.
II.C.1 C'est la concentration totale qui varie sous l'effet du flux de 
particules.
II.C.4 Séparer les variables. Si une fonction de x uniquement est égale à une 
fonction
de t uniquement, alors elles sont toutes deux constantes. Il est commode de
noter -1/ cette constante.
II.C.6 Montrer que chaque terme de la somme est solution de l'équation de 
diffusion.
Penser au principe de superposition et ne pas oublier de montrer que c(x, t)
vérifie les conditions initiale et aux limites.
II.C.7 Utiliser la loi de Fick.
II.C.8 La quantité de matière évacuée s'obtient en intégrant le flux sortant en 
fonction du temps.
II.C.9 La quantité de matière est la somme d'un terme affine et d'un terme qui 
tend
vers 0 quand t est grand.

I. L'origine des déchets
I.A

La radioactivité

I.A.1 Les désintégrations radioactives sont des réactions d'ordre 1.
dcr (t)
dcr (t)
= - cr (t)
soit
= - dt
dt
cr (t)
On obtient l'équation décrivant l'évolution de la concentration en élément 
radioactif en fonction du temps en intégrant cette relation entre l'état 
initial (t = 0 et
concentration initiale en élément radioactif cr (0)) et un instant t quelconque
ln cr (t) - ln cr (0) = -t
et finalement

cr (t) = cr (0) exp (-t)

I.A.2 Lorsque le temps est égal à la période, ou temps de demi-vie, de l'atome 
sa
concentration vaut
cr (0)
cr (T) =
2
En utilisant la relation de la question précédente liant la concentration en 
radioélément au temps, il vient
cr (0)
cr (0) exp (-T) =
2
d'où

=

ln 2
T

I.A.3 On suppose qu'à t = 0 on a
c238 (0) = c235 (0) = c0
Les concentrations de ces deux isotopes valent par conséquent, en fonction du 
temps
c238 (t) = c0 exp (-238 t)

et c235 (t) = c0 exp (-235 t)

En notant A238 et A235 les abondances relatives des deux isotopes, on a

c238 (t)
A238
=
= exp (235 - 238 ) t
A235
c235 (t)

A238
ou encore
ln
= (235 - 238 ) t
A235

ln 2
ln 2
=
-
t d'après la question I.A.2
T235
T238

A238
T238 - T235
ln
=
t ln 2
A235
T235 T238
soit

t=

Application numérique :

ln (A238 /A235 )
T235 T238
×
ln 2
T238 - T235
t = 5, 9.109 ans

À la différence des méthodes de datation dites directes, comme celle
au 14 C, cette technique nécessite la mesure des concentrations en deux 
isotopes de l'uranium. Toutefois, elle a l'avantage d'être indépendante de la
concentration totale en uranium alors que la datation au 14 C, pour être 
précise, nécessite de prendre en compte des termes correctifs dus aux variations
de concentration en CO2 de l'atmosphère.
La valeur de l'âge de la Terre obtenue dans ce calcul est plutôt bonne,
compte tenu des approximations faites. En effet, les isotopes de l'uranium
ne réagissent pas à la même vitesse lors des réactions chimiques ou physiques 
qu'ils subissent. Il se produit alors pour toutes les réactions non totales
ce que l'on appelle un fractionnement isotopique : l'une des deux phases se
retrouve enrichie dans certains isotopes tandis que l'autre en est appauvrie.
Cette différence, très faible, est toujours négligée en chimie compte tenu des
durées de réaction, mais pour des échelles de temps géologiques, la différence
peut devenir notable. Comme on ne peut connaître les abondances relatives
de ces deux isotopes de l'uranium pour l'ensemble de la Terre, il faudrait,
pour estimer l'âge terrestre de manière plus précise, faire ces mesures sur une
roche originelle n'ayant subit aucune réaction.
Une telle roche n'existant plus à la surface de la terre, les meilleures
valeurs que l'on puisse obtenir proviennent de météorites originaires de 
planètes s'étant formées en même temps que la Terre. À l'aide de cette technique
et en utilisant des couples d'isotopes plus sensibles, on a établi dans les 
années 70 un âge approximatif pour la Terre de 4,55 milliards d'années.
I.A.4 Si on note Eatome l'énergie libérée par la fission d'un atome de 235 U, 
l'énergie
potentiellement libérée par un gramme vaut
m235
E=
× NA × Eatome
M235
Application numérique :

E = 8, 2.1010 J

En réalité, dans une centrale en fonctionnement, seule une faible proportion
de cette énergie est réellement récupérée sous forme de chaleur. En effet,
une partie de l'énergie libérée par les fissions sert à entretenir la réaction
tandis que le reste est absorbé grâce à des barres de contrôle afin d'éviter
que la réaction ne s'emballe.
I.A.5 L'énergie libérée par la combustion de l'octane vaut
moctane
E=
× (-Hcomb )
Moctane
avec

Moctane = 8 MC + 18 MH

Soit, pour la même quantité d'énergie,
moctane = -
Application numérique :

E Moctane
Hcomb

moctane = 1, 9.106 kg

Pour produire la même énergie qu'un gramme d'uranium 235, il faudrait brûler
près de deux mille tonnes d'octane.