Centrale Physique et Chimie PSI 2005

Thème de l'épreuve Échauffement d'un moteur à courant continu. Les fils électriques en cuivre.
Principaux outils utilisés diffusion et bilan thermique, moteur à courant continu, cristallographie, oxydoréduction, diagramme potentiel-pH, cinétique chimique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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_OEn_ e@___... ...Ëîo-...:Qoe>ä ......âa...

m8w om@QmOE - ÆOEÈOEU oeÈcocoü

_ Partie I - Étude de régimes thermiques d'une

machine à courant continu
Données :

Masse volumique p F,, = 7, 8 x 103 kg - m'

Capacité thermique massique C Fe,. = O, 46 kJ ' kg--1

Conductivité thermique ' 7'Fer : 50W . m-1 .

Masse volumique : 1, 3 kg -- m"

pair

Capacité thermique massique C - = 1,0 kJ-kg'1

dl?"

Conductivité thermique À - = 9,0 x 10"3 W- m--

atr

Ces six données sont indépendantes de la température.

En coordonnées cylindriques: _
_) ôf --> lô-->f âf -->

grad(f(r, 6, z)) : --ur+ räëug+â-z-uz ;
. --> 13 1ôAe ôA @ af 162f 32f
dw(A)= rôr r 66 62 '=Z)) rô_r(rÔ--r) + r--2£ê+ 8--22

La machine à courant continu étudiée (figure 1) de puissance nominale voisine

de 1 kW , présente les caractéristiques suivantes.

0 L'inducteur (stator) en fer, fixe, comporte un bobinage parcouru par un cou-
rant électrique continu qui permet de créer un champ magnétique perma--
nent. L'inducteur et la carcasse en fer de la machine canalisent les lignes du
champ magnétique vers ses pôles (au nombre de quatre pour cette machine).

Ils constituent un bloc thermi- Rayon H: 3,5 C...
que continu, noté « bloc 3 », de
masse m3 = 7,2 kg.

La surface extérieure de la car--
casse est supposée cylindrique
de rayon r3 : 9,6cm, de lon--
gueur %, = 24 cm, de surface @
totale notée S3 (partie latérale &&

'

et les deux parties aux extrémi-- __ ' \' '
tés). La surface active de \Ïüï'Ëî
l'ensemble des quatre pôles, \ \

Un des pôles de I'inducteur
et son circuit électrique

lnduit (rotor, bioc1) et son
circuit électri .

notée SZ, en contact avec \ -'5"'\
l'entrefer constitué par la cou-

che d'air (figure 1), est assimi-- \

' . ü? .
Direction

lée à la surface latérale d'un ax'a'e
cylindre de rayon r2 : 3,6 cm,

de longueur /2 = 17, 4 cm . Carcasse et inducteur

Le bobinage de I'inducteur est _ b°bi"(ÎgaÎofiubÏâpô'es
constitué d'un fil de cuivre de r2=3,6 ... ,nduitetson circuit

r1 : 3 5 cm électrique (rotor, bloc1)

ä\®ä%%

résistance totale R03 : 100 Q à
T() : 20° C. Cette résistance
dépend de la température selon
la loi RT3 : RO3[1 + a(T-- To)l où
T est la température en ° C et
a son coefficient
thermique : on : 4 x 10"3 K"1

L'induit (rotor) en fer est en
rotation. Il canalise également
le champ magnétique crée par
I'inducteur.

L'induit est assimilé à un cylin-
dre plein homogène de rayon
r] = 3,5 cm, de longueur

/1 = 17, 4 cm , il constitue un bloc thermique continu, noté « bloc 1 » dont la
surface latérale est notée S1 .

Le bobinage de l'induit (circuit électrique de puissance de la machine), est
constitué d'un fil de cuivre de résistance totale R01 : O, 50 9 à TO : 20° C.
Cette résistance dépend de la température selon la loi
RT1 = R...[l +a(T--TO)] avec a = 4><10--3 K"1.

L'entrefer : espace entre la surface totale des pôles de l'inducteur et la sur--
face latérale de l'induit, est constitué d'une couche d'air noté « vol. 2 », 
sans
mouvement, entre les rayons r2 et r! d'épaisseur r2--rl : 1,0 mm , de lon-
gueur /1 =/2 =17,4cm.

La machine n'est pas ventilée, on négligera les échanges thermiques par
convection à l'intérieur de la machine.

La carcasse a une surface extérieure S 3 définie plus haut. Cette surface est
fermée, sa température T3 est uniforme. Elle est en contact thermique avec
l'air extérieur qui est à une température constante et uniforme To : 20° C.
Cette surface S 3 échange avec l'extérieur, par convection, la puissance ther--
mique P = h -S3 - (T3--TO) , avec h = 20 W - m_2 - K"l , ce coefficient h est 
sup-

posé constant.

La machine à courant continu, fonctionnant en moteur, présente les
caractéristiques suivantes (fig. 2) :

ËJEURS couples de Figure 2 Bobine (de lissage):
rottement Inductance L4 = 100 mH

(solide ou fluide) Résistance R 4 = 2 0 52

sont négligés.

Moteur
L1 : 5mH
_ R()] = 0,50 9

Le coefficient 
(constante de

couple magnéti--
U ()

que ou de force
électromotrice
(fem) de la
machine), pour
un courant du circuit de l'inducteur 13 = 0,60 A , est (l) = 0,60 N - m - A"1 
(ou
0,60V--s--rad_l ).

L'inductance du bobinage de l'induit est L1 : 5,0 mH .

Le moment d'inertie d'un cylindre plein, homogène, de masse m et de

. , . , . 1 2
rayon r , par rapport a son axe de symétrie de revolution, est : J = -- >< mr .

2

LA - Étude d'échanges thermiques en régime stationnaire

Afin de fixer les \,

ordres de grandeur,
air (vol. 2*)

on étudie un modèle puissance
...

T1

puissance
therm1que
sortante P2

thermique rudimen- thermique
taire de la machine entrante P ,

précédente où les

éléments « bloc 1 », ,--------4------.--------l------------>x
« vol. 2 >> et « bloc 3 » x 0' Figure 3 'e2
deviennent : « bloc

1* », « vol. ?.fi*< » et « bloc 3* » et où les surfaces d'échanges thermiques 
Sl , S2 et
S 3 sont remplacées par des surfaces ayant toutes la même aire S .

L'étude porte sur une enceinte isolée thermiquement sur ses parois latérales
! / / ' . _2 2

(representees hachurees), de sectmn uniforme S = 4,0 >< 10 m sur toute sa lon-

gueur. Des données physiques utiles sont précisées dans l'introduction de cette

première partie. Seuls les régimes stationnaires sont considérés dans les
parties I.A et LE.

I.A.1) L'enceinte est remplie d'air (vol. 2*). Sa section d'entrée en x = 0 est 
à
la température T] , elle reçoit une puissance thermique Pl , sa longueur est
92 = 1,0 mm (fig. 3).

a) Exprimer simplement la puissance thermique P2 sortante en x : e2 , justi--
fier la réponse.

b) Déterminer la température T(x) de la section en x entre 0 et e2 dans
l'enceinte (en fonction de T1 , Pl , x , S et kat--r ). Exprimer la température 
T2 ,

dans la section en e2 , en fonction des données.
c) Déterminer, en fonction des données, la résistance thermique

9Yz : %2 . Application numérique.
Figure 4 ' T2
T*\//
puissance au V0- *
thermique _ p3 uissa_nce
entrante P' ... Èhermlque

sortante

I.A.2) L'enceinte comporte de l'air (vol. 2* précédent). Sa section d'entrée en
: 0 est àla température T] ,elle reçoit une puissance thermique entrante Pl
On ajoute dans l'enceinte le bloc 3* en fer, de longueur e3 . La surface de 
sortie
en x : e2 + e3 transfère vers l'extérieur une puissance P3 ; sa température est

T3 . On a e3 : 6,0 cm (fig. 4).

a) Exprimer T2 -- T3 en fonction des données. Déterminer la résistance thermi--

que 9Y3 du bloc 8*. Application numérique.
T -- T2

T-----2--- --3T en fonction des résistances thermiques. Application numé--

b) Exprimer----

rique.

0) Pourquoi peut-on supposer que la température du bloc 3* est pratiquement
uniforme ?

I.A.3) L'enceinte comporte de l'air (vol. 2*), le bloc 3* en fer est toujours 
pré--
sent et on ajoute un nouveau bloc 1"< en fer de longueur el qui est du même 
ordre
de grandeur que e3 . La section d'entrée en x = O est thermiquement isolée
(calorifugée). Dans le bloc 1* une source thermique crée une puissance PO . Dans
le bloc 3* une autre source thermique crée une puissance P'O (fig. 5).

T1 Figure 5 T3 T3

VII/ll/I/I/I/lfi/I/l/I/I/l/I/I/I/I/I/I/I

a) On suppose que la température est continue en x = e, et en x = e] + e2 . Jus-
tifier cette hypothèse.

b) On suppose que dans les bloc 1>*< et bloc 3*, les températures T 1 et T3 sont
uniformes et que la température de l'air (vol. 2*), T, est fonction de x .

Exprimer les puissances thermiques Pl , P2 et P3 , dans les sections d'abscisses

respectives x : el , e] + e2 et e] + e2 + e3 en fonction des données. 
Déterminer T 1
en fonction notamment de T3 et Po

I.A.4) L'enceinte est dans le même état qu'à la question précédente I.A.3.

Figure 6
T1 T3 T3

air (vol. 2*) "

el 92 |

x 0 air extérieur x
température uniforme

Te : To: 20°C

P3

On se donne Po : 40 W et P'O : 35 W. La puissance thermique sortante P3 est
imposée par la température externe TO : 20° C de l'air « extérieur » et vérifie 
la

loi de convection thermique : P3 = h -- S - (T3 -- T0) avec h = 20 W - nf2 - 
K"l .

a) On note 9Y4 : (h - S)"l . Montrer que 9% est une résistance thermique, don-
ner sa valeur numérique.

b) Exprimer T3 et T1 en fonction de To , des puissances dégagées dans les deux
blocs de fer, et des résistances thermiques. Application numérique.

LB - Etude des échanges thermiques, en régime stationnaire, dans un
moteur à courant continu

La machine à courant continu décrite dans l'introduction fonctionne en moteur
(voir les données). Ses seuls échanges thermiques avec l'air ambiant (à tempé-
rature uniforme et constante T0 : 20° C ) se font par la surface extérieure S 3 
de
la carcasse du moteur (revoir la définition de S3 dans l'introduction). Dans le
moteur, le bloc 3 désigne l'ensemble carcasse-inducteur--pôles, il est à la 
tempé-
rature uniforme T3. La surface S2 des pôles échange de l'énergie thermique
avec l'air de l'entrefer (vol. 2). L'induit (bloc 1) est à une température 
uniforme
Tl . On considère que la surface de l'induit n'échange de la chaleur que par sa
surface latérale S1 avec l'air de l'entrefer. On se place uniquement en régime
thermique stationnaire. Une puissance thermique P'() est créée, dans le bloc 3,
par effet Joule dans le bobinage des pôles (inducteur). Une puissance thermique
Po est créée dans le bloc 1, par effet Joule dans le bobinage de l'induit. On 
sup-
posera que ces puissances sont produites dans les volumes des bloc 3 et bloc 1.
On considère qu'à l'intérieur du moteur, tous les échanges thermiques sont

radiaux (suivant la direction de ii,. ), tous les autres échanges thermiques 
sont
négligés.

I.B.1) Pourquoi peut-on supposer que T1 (ou 91 : T1 -- T0) et T3 (ou
03 : T3-- T0 ), sont pratiquement uniformes, alors que la température T2 (ou
62 : T2 -- TO) de l'air de l'entrefer, (vol. 2), est dépendante de r (distance 
à l'axe
de rotation de l'induit) ? Pour répondre à cette question on ne demande aucun
calcul nouveau, on fera référence à la partie I.A.

I.B.2) Exprimer Po et P'() en fonction de a , 91 , 83 , I1 , I3 , R01 et R03 .

I.B.3) On étudie le volume d'air dans l'entrefer (vol. 2). Exprimer Po en fonc-
tion de

ln(r2/rl), x /...91 et 93.

air '
Exprimer la résistance thermique 9?2 de l'entrefer (vol. 2) en fonction notam--
ment de ln(r2/ "1) .Application numérique. Montrer que cette résistance thermi-

que peut s'exprimer plus simplement ; évaluer l'approximation relative qui en
résulte.

I.B.4) Exprimer la résistance thermique 9? 4 qui caractérise les échanges
thermiques entre la carcasse du moteur et l'air extérieur. Application numéri--
que.

I.B.5) Calcul des températures dans le moteur pour différents états.

a) Le moteur est arrêté, l'inducteur et l'induit ne sont pas alimentés (I3 : 0 
et
I] = 0 ), déterminer 91 et 93 . Application numérique : calculer T1 et T3.

b) Le moteur est arrêté, l'inducteur est alimenté (I3 : 0,60 A et 11 = 0 ), 
déter--
miner 61- et 63 . Application numérique : calculer T1 et T3.

c) Le moteur est en fonctionnement (I 3 = O, 60 A et I1 : 7,0 A ). Écrire les 
équa--
tions auxquelles satisfont 61 et 63 . Vérifier que les températures d'équilibre 
de
l'induit et de l'inducteur sont respectivement T1 : 143 °C et T3 : 39 °C . 
Quelles
seraient ces températures si l'on pouvait négliger la variation des résistances

RT1 et RT3 avec T (en prenant donc a = O) ? Concluresur la validité de cette
approximation.

I.C - Etude des échanges thermiques, en régime non stationnaire
(variable dans le temps), dans un moteur à courant continu

Pour des raisons de simplification, dans les calculs qui suivent, on choisit de 
ne
pas utiliser le coefficient a et d'introduire des résistances électriques 
moyennes
constantes. On prend pour la résistance du bobinage de l'inducteur
R3 : R03 : 107 Q et pour la résistance du bobinage de l'induit R1 = 0,70 Q.
Dans tout ce qui suit t représente la variable temps.

1.0.1) On note K1 la capacité thermique de l'induit (bloc 1) et K 3 celle de
l'inducteur (bloc 3). Calculer K1 et K 3 . Montrer, par un calcul numérique, que

l'on peut négliger la capacité thermique du volume d'air (vol. 2) devant K1 et
K3 .

I.C.2) Recherche des équations thermiques du moteur. _

a) On note de1 l'élévation de température du bloc 1 pendant la durée dt . 
Déter--

miner l'énergie thermique ôQ1 transférée à travers la surface S 1 du bloc 1, 
dans
le sens de üî , pendant dt , en fonction de de1 et des données.

b) On note de3 l'élévation de température du bloc 3 pendant la durée dt . L'éne-
rgie thermique ôQ2 est transférée à travers la surface S2 du bloc 3, dans le 
sens
de 17; pendant dt. L'énergie thermique ôQ3 est transférée à travers la surface

S3 du bloc 3, dans le sens de Iîî. , pendant dt. Exprimer ôQ3 -- ôQ2 , en 
fonction
de dt , de3 et des données.

c) Exprimer ôQ3 en fonction de 9Y4 : (h - S3)--1 , 03 et dt.
d) Exprimer ôQ2 en fonction de %z , 01 , 03 et dt.

e) En déduire les deux équations thermiques du moteur, que l'on mettra sous la
forme :

d93 93 2
K3--d--t'+ä+A2 : R3'I3 (2)

Exprimer A1 et A2 en fonction de 01 , 03 et 9%.

I.C.8) La résolution numérique des équations (l) et (2) donne les solutions
suivantes :

91 = A] - QXP(--t/'Cl) +B1 - exp(--t/tz) + C1

avec 1:1 & 750 s et 12 a.: 7600 s . Le modèle utilisé n'étant pas très fin, 
avec des pré-
cisions de 10% environ, on peut accepter des solutions approchées de la forme :
01 : D1 - exp(--t/t3)+El (induit) et 03 : D3-exp(--t/t4)+E3 (inducteur). Les
représentations graphiques des solutions calculées justifient ce modèle (surtout
pour l'induit) et donnent les valeurs numériques des constantes de temps ther--

miques moyennes, respectivement de l'induit et de l'inducteur, suivantes:
1:3z76005 et 174==7508.

a) Définition de la constante de temps électrique du moteur : le moteur étant
bloqué, on applique un échelon de tension U 0 au circuit de l'induit, le régime
transitoire correspondant définit alors la constante de temps électrique "Ce du
moteur. Définition de la constante de temps mécanique du moteur : le moteur
n'étant pas chargé, l'inducteur étant parcouru par le courant I 3 = O, 60 A ,
l'inductance totale du circuit d'alimentation de l'induit (figure 2) étant 
négligée,

les seules pertes considérées étant dues à la résistance totale du circuit, on
applique un échelon de tension U 0 au circuit, le régime transitoire correspon-
dant définit alors la constante de temps mécanique rm du moteur. Déterminer
re et Tm , applications numériques. Conclure sur les conséquences des valeurs
de ces constantes de temps 13 , 14 , "17m et Te .

b) Des essais ont donné les résultats suivants pour ce moteur:

, Tm ér r nr m

N°dessai Intensités I et I3 e p atu ese égi e
stationnaire bloc 1, bloc 3

1,,=...I,,=... 912-120°(:- 932-20°C

Dans ce qui suit, on utilise uniquement les résultats qui ont été dégagés dans 
la
présentation de la question I.C.3, avec les valeurs des constantes de temps 173 
et
15 4 .

i)Le moteur étant dans l'état de l'essai 0 depuis très longtemps, à t = 0 s on
passe brusquement à l'état de l'essai 1 , exprimer numériquement 01(t) et

63(t).
ii)Le moteur étant dans l'état de l'essai 1 depuis très longtemps, à t = 0 s on
passe brusquement à l'état de l'essai 2 , exprimer numériquement 01(t) et

63(t) .
iii)Le moteur étant dans l'état de l'essai 2 , depuis très longtemps, à t = 0 s
on passe brusquement à l'état de l'essai 1 , exprimer numériquement 01(t) et
63(t) .
iv)Le moteur étudié fonctionne en mode séquentiel. On considère le régime
forcé périodique obtenu depuis plusieurs heures. Les séquences sont les
suivantes :

0 pendant une durée 111 = 10 min on a I1 : 7,0 A et I3 : 0,60 A (moteur

en fonctionnement),

0 puis pendant une durée t2 : 3 min on a I1 : 0 et I 3 = 0, 60 A (moteur
au repos).

Déterminer la température maximale de l'induit et sa température minimale.

Partie II - Les fils électriques en cùivre

Les fils électriques les plus courants sont constitués de cuivre métallique
entouré de polymère. Le polymère utilisé peut être parfois du polychlorure de

vinyle (PVC) plastifié ou un polysiloxane (silicone SI ) suivant les conditions
dans lesquelles on veut utiliser le fil électrique. Nous allons donc nous 
intéresser
à la structure et àla préparation des deux composants de ces fils électriques.

Données :

Le cuivre (Z: 29) et le zinc (Z: 30) appartiennent àla même période (la
quatrième).

Masse volumique du pCu : 8920 kg - m'3
cuivre métallique :
Masses molaires MH : 1,01 g--mol"l ;MO : 16,00 g--mol"1
atomiques : -1 ]
MS : 32,07g-mol ; MCu : 63,55 g-mol--

Constante d'Avogadro : N A = 6,02 x 1023 mol--1
Faraday: F = N Ae = 96485 C ' mol--1

' 2_ 2-- . . .
Potent1els standard S208 (aq)/804 (aq) . 2,00 V ,02 (g)/H20w . 1,23 V
(1 oxydoreductmn : -

Cu{aq)/Cu(s) : 0,52 V ; Cuqu)/Cu(s) : 0,34 v

2-- 2-
904 (aq)/S206 (aq): _ 0,20 v.

pKe : 14 ,=%ln 006 log à 25°C

Le cuivre

II.A - Cristallographie du cuivre métallique
Le cristal de cuivre a une structure cubique à faces centrées CF (cfc).
II.A.1) Donner le schéma d'une maille cubique conventionnelle du cristal.

II. A. 2) Déterminer le paramètre de maille a et le rayon métallique "Cu du
cuivre. Application numérique.

II.A.3) Déterminer la compacité C du réseau cristallin. Application numéri--
que. Commentaire.

II.A.4) Quelle est la coordinence du cuivre dans cette structure ?

II.A.5) Indiquer par un schéma clair la position des sites interstitiels 
tétraé- '
driques et octaédriques, et préciser leur nombre par maille. Déterminer égale--

ment les rayons maximaux respectifs "t et r0 des atomes pouvant se loger dans
ces sites, sans déformation de la maille. Application numérique.

II.A.6) Le laiton a est un alliage Cu -- Zn dans lequel la proportion d'atomes
de zinc est comprise entre 0 et 30%. S'agit-il à votre avis d'un alliage 
d'insertion
ou d'un alliage de substitution ? Justifier avec précision la réponse.

II.B - Lixiviation d'un minerai de cuivre et purification de la solution
obtenue

Les minerais de cuivre sont de deux types principaux : les minerais dits sulfu-
rés, dans lesquels l'élément cuivre est associé à l'élément soufre et les 
minerais
dits oxydés, dans lesquels il est associé à l'élément oxygène. On considère par 
la
suite, par souci de simplification, que l'on traite d'un minerai contenant 
l'élé-
ment cuivre uniquement sous la forme de l'oxyde de cuivre CuO . Le minerai est
tout d'abord finement broyé, puis subit une lixiviation sulfurique par une solu-
tion d'acide sulfurique H 2S 0 4 de concentration O, 8 mol - L'1 , en excès.

II.B.1) Quel est le rôle de cette opération de lixiviation ? Résumer par une
équation-bilan ce rôle.

Une des principales impuretés métalliques contenues dans le minerai de départ
correspond à l'élément fer. Ce fer passe en solution lors de la lixiviation, 
sous
forme d'ions Fe2+ .Avant de passer à l'étape suivante (l'électrolyse de la 
solution
obtenue), il convient de purifier de ces ions Fe2+ la solution obtenue. En 
annexe,
figure 7, sont donnés sur un même diagramme potentiel- pH les diagrammes du
fer et du cuivre. En trait pointillé celui du fer et en trait plein celui du 
cuivre.
La convention pour le tracé est une concentration totale en espèces solubles de
1 mol - L'1 pour le cuivre et de 0,010 mol - L'1 pour le fer. Les espèces 
prises en
compte pour le fer sont Fe, Fe2+, Fe", Fe(0H)2 et Fe(OH)3 et pour le cuivre

Cu, Cu ', Cu20 et Cu(OH)2. Ce sont toutes des espèces qui possèdent un
domaine de stabilité.

II.B.2) Placer les différentes espèces dans les différents domaines de ce dia--
gramme, en justifiant votre choix.

II.B.3) Calculer le potentiel standard du couple Cu(OH)2/Cu20 et les pro-
duits de solubilité de Cu20 et Cu(OH)2 en utilisant à chaque fois les coordon-
nées d'un point commun à différents domaines du diagramme ; le produit de
solubilité de C u20 est défini comme étant la constante d'équilibre de la 
réaction

Cu20 + H20 : 2Cu+ + 20H" .
II.B.4) Oninsuffle de l'air ou du dioxygène pur dans la solution obtenue après
lixiviation. Ecrire le bilan de la réaction ayant lieu.

II.B.5) Proposer alors une opération à réaliser pour pouvoir séparer ensuite
l'élément fer de l'élément cuivre par simple filtration.

H. C- Électrolyse de la solution sulfurique de sulfate de cuivre

À l'issue des étapes précédentes (lixiviations), on obtient une solution aqueuse
de sulfate de cuivre CuSO4 de concentration cl : 1,10 mol L"1 et d'acide sulfu-
rique H2SO4 de concentration c2 : 0,15 mol- L"1 .Afin de récupérer le cuivre
sous forme métallique, on procède à l'électrolyse de cette solution. Une cuve
d'électrolyse (figure 8 en annexe) se présente sous la2 forme d'un 
parallélépipède
rectangle, de longueur L-- = 4 m et de section 8 = 1 m2 E.lle comporte 171 
anodes
en dérivation au même potentiel électrique, et 170 cathodes intercalées, en 
déri--
vation. Les anodes sont faites d'un alliage de plomb avec 6% d'antimoine, les
cathodes sont en cuivre et ont une masse initiale individuelle mc : 5 kg. On
admettra que l'alliage dont sont faites les anodes est inerte en milieu 
sulfurique.

La cuve est alimentée de manière discontinue en électrolyte: on la remplit de
4 m3 de solution 1ssue de la lixiviation sulfurique, et on procède a 
l'électrolyse.
On interrompt l'électrolyse lorsque la solution est trop appauvrie en ions Cu2+
leur concentration est alors c'1 : 0,47 mol L"1

On procède alors au remplacement total de la solution par 4 m3 de solution
« fraîche » provenant de la lixiviation sulfurique. (La solution « épuisée » est
recyclée pour en récupérer les différents composants par des opérations que
nous n 'étudions pas ici). Lorsque la c2uve est remplie, la surface immergée de
deux électrodes en regard est 3 = 1 m2 .De la sorte, on considérera que ce sys--
tème est équivalent à deux électrodes planes 2en regard (une anode et une
cathode), dont la surface serait S = 340 s = 340 m2 .

II.C.1) Compléter la figure 8 sur l'annexe en représentant le générateur élec-
trique extérieur, le sens de son branchement, ainsi que le sens de circulation
effectif du courant dans le circuit et dans la cuve.

II.C.2) Écrire la réaction principale se produisant sur chaque électrode. Écrire
la réaction bilan de l'électrolyse. On justifiera la réponse par un raisonnement
simple sans aucun calcul lourd.

L'électrolyse est effectuée à densité de courant j = 220 A - m_2 imposée à la 
sur--
face des électrodes (on n'étudiera pas le dispositif de régulation de la valeur 
de
j). On procède au renouvellement descathodes lorsqu'elles atteignent la masse
individuelle m'c : 60 kg.

a) Avec quelle périodicité doit--on procéder au renouvellement des 4 m3 de
solution ?

b) Avec quelle périodicité faut-il procéder au renouvellement des cathodes ?

Le polymère

II.D - Polychlorure de vinyle plastifié (plastifiant : phtalate de dioctyle)

Le monomère utilisé lors de cette polymérisation en chaîne est le chlorure de
vinyle ou 1-chloroéthène CH 2 : CH Cl . La polymérisation est effectuée sur une
suspension du monomère dans un milieu aqueux renfermant un savon, un
émulsifiant et un persulfate comme amorceur. Le PVC ainsi obtenu est un bon
isolant électrique assez peu combustible et résistant àla chaleur.

II.D.1) Le chlorure de vinyle peut être obtenu_à partir d'éthène CH 2 : CH2 en
utilisant comme intermédiaire de synthèse le 1-2-dichloroéthane
CH 2Cl -- CH 2Cl . Indiquer le réactif à utiliser pour préparer cet 
intermédiaire
de synthèse à partir de l'éthène.

II.D.2) En réalité le chlorure de vinyle est préparé industriellement à partir
de l'éthyne HC a CH . Sachant que la troisième liaison d'une triple liaison 
réagit
comme une double liaison donner le mécanisme de formation du chlorure de
vinyle par réaction d'HCl sur l'éthyne.

Le persulfate utilisé pour amorcer la réaction de polymérisation sera noté I 2 
. Le
monomère chlorure de vinyle sera noté M . Le mécanisme proposé pour cette
réaction est le suivant :

172 ---+ 21° k

a
I'+M-->IM' kt

Pour j allant de 1 à (n-- 1) , n étant le degré de polymérisation maximum
atteint:

1Mj+M-->IM}... kp.

Quels que soient i et j compris entre 1 et n :
IM'+IMj -->IMMJ--I k,.
II.D.3) Cette réaction est-elle en chaîne ou par stades ? Justifier.

II.D.4) Calculer la vitesse de disparition du monomère.

II.D.5) Dans le cadre de l'hypothèse des chaînes longues, montrer que la
vitesse de disparition du monomère admet un ordre global que l'on précisera.

ILE - Polysiloxane ou silicone

Les silicones sont utilisés pour leur stabilité thermique exceptionnelle. En 
géné-
ral ils sont utilisables de --50° C à 250° C sans modification des propriétés. 
On
peut donc utiliser ce polymère en particulier dans les cordons d'alimentation 
des

appareils chauffants (agitateur magnétique chauffant) sans risque de voir le
cordon fondre.

Les silicones sont préparés par réaction de (p
polycondensation : par exemple le diphényldichloro-- |
silane (CÔHS)ZSiCl2 traité par l'eau donne un com- H-- O _ Si---- 0---- H
posé de formule brute 012H128i02 . |

'P

Celui--ci donne alors à l'aide d'une catalyse le silicone

cp .
ci-contre, où cp représente le radical phényle --CÔH 5 . |
Le silicium est dans la même colonne de la classifica- H----- 0 Si-- 0 H
tion périodique que le carbone. Il possède donc des |
cp
n

propriétés voisines de celles du carbone.

II.E.1) Donner le bilan de l'action de l'eau sur le
diphényldichlorosilane. Comment dénommeriez-vous cette réaction ?

II.E.2) Donner le bilan de la réaction d'obtention du polymère à n monomères
à partir du composé de formule brute CIZH12SiO2 .

II.E.3) Pourquoi cette réaction n'est pas une polymérisation en chaîne ? Com-
ment la qualifieriez-vous ?

ooo FIN ooo

Figure 7 : diagrammes potentiels --pH du cuivre et du fer

hJ

emuæ

1 .5-

*: .......... '{2-,'- 0, 77)

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Figure 8 : représentation schématique d'une cuve d'électrolyse

170 cathodes (Cu )

I'll'll'l Il I'l î

Électrolyte

4--

171 anodes (Pb+6 % 513)

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Borghetti (ENS Cachan), Julien Dumont (ENS
Cachan) et Sandrine Brice-Profeta (Professeur agrégé en école d'ingénieurs) ; 
il a été
relu par Benoît Lobry (Professeur en CPGE), François-Xavier Coudert (ENS Ulm),
Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Alexandre Hérault (Professeur en CPGE).

La partie physique de ce sujet porte sur l'échauffement d'une machine à courant
continu. On étudie en particulier de façon approfondie la diffusion de la 
chaleur dans
le moteur.
Dans un premier temps, on intègre les équations de la diffusion dans différentes
géométries et à différents régimes. On exploite à cette fin la notion de 
résistance
thermique. Par la suite, on étudie les dynamiques électrique, mécanique et 
thermique
à partir des équations du moteur.
Ce problème, d'une difficulté raisonnable, est bien guidé. C'est un bon exercice
pour s'entraîner à passer des équations locales aux équations macroscopiques 
sans
pour autant se lancer dans des calculs compliqués.
La partie chimie du problème s'articule autour du thème des fils électriques.
· Afin de justifier l'utilisation du cuivre pour la conduction électrique, la 
partie II.A étudie le métal du point de vue cristallographique.
· La fabrication de fils électriques en cuivre nécessite également la 
préparation
d'un métal suffisamment pur. Les parties II.B et II.C décrivent la méthode
la plus répandue de préparation du cuivre à partir du minerai : la lixiviation
(partie II.B) suivie du raffinage électrolytique (partie II.C). La partie II.B 
fait
appel à des connaissances solides sur les diagrammes potentiel-pH tandis que la
partie II.C propose des calculs sur la durée de l'électrolyse au cours du 
raffinage
électrolytique.
· Enfin, les parties II.D et II.E abordent deux mécanismes différents de 
polymérisation, appliqués à la synthèse de deux types de gaines pour fils 
électriques.
La partie II.D donne lieu à des calculs de cinétique chimique sur les 
polymérisations radicalaires. La partie II.E considère quelques réactions 
simples de chimie
organique impliquées dans la synthèse du silicone.
Vu la longueur totale du sujet, il est nécessaire d'être rapide pour aborder 
l'ensemble du problème. Il faut donc savoir ne pas s'enliser dans les calculs 
de certaines
questions, notamment dans la partie II.B, qui feraient perdre du temps sur 
l'ensemble
du sujet.

Indications
Première partie
I.A.1.a Pour justifier la réponse et donc montrer que la puissance est 
conservée,
commencer par écrire la loi locale de conservation de l'énergie.
I.A.1.b Partir de la loi de Fourier pour obtenir une équation différentielle 
sur la
température.
I.A.3.a Recenser les phénomènes qui peuvent expliquer une discontinuité de
température.
I.A.3.b Procéder comme à la question I.A.1.a, sachant que le bilan local 
d'énergie
comprend non seulement l'énergie thermique sortante, mais aussi un terme
de source d'énergie interne locale.
I.B.3 Déterminer d'abord l'équation différentielle de la densité de courant 
thermique et la résoudre avec ses conditions aux limites. Appliquer ensuite la
loi de Fourier pour trouver la différence de température. Simplifier revient
souvent à trouver le moyen d'effectuer un développement limité.
I.C.2.a Procéder comme à la question I.A.1.a. Dans un solide, les capacités 
thermiques à volume et pression constante sont égales.
I.C.2.e Utiliser les résultats des quatre questions précédentes.
I.C.3.a À partir des équations du moteur à courant continu, écrire les équations
exprimant la dynamique du courant et la dynamique de la vitesse de
rotation.
I.C.3.b.iv Pour déterminer les constantes des expressions des températures, il 
faut
trouver suffisamment de conditions aux limites. Les essais en proposent.
Deuxième partie
II.A.2 Le paramètre de maille est calculé à l'aide de la masse volumique du 
cuivre.
II.A.6 La taille des atomes de l'impureté permet de savoir si ceux-ci se 
substituent
à l'atome majoritaire dans l'empilement cristallin ou bien se placent dans
des sites interstitiels.
II.B.3 Afin de calculer les potentiels standard nécessaires, écrire la loi de 
Nernst
pour le couple considéré. Comme suggéré dans l'énoncé, il faut se placer à
une limite de domaine stratégique où la loi de Nernst écrite est valable.
II.B.4 Lister les espèces solubles en solution au pH de la solution lixiviante.
II.C.2.a Établir un bilan du nombre de moles d'électrons ayant traversé la 
cathode
en fonction de la durée de l'électrolyse.
II.D.4 Pour exprimer les concentrations en intermédiaires réactionnels qui 
apparaissent dans la vitesse de disparition du monomère, appliquer 
l'approximation de l'état quasi-stationnaire à tous les intermédiaires 
réactionnels correspondant à des chaînes en cours de polymérisation, puis faire 
la somme
des équations ainsi obtenues.
II.E.3 Quelles sont les possibilités de croissance d'une chaîne lors d'une 
polymérisation radicalaire ? Et lors d'une polymérisation par condensation ?

I. Étude de régimes thermiques
d'une machine à courant continu
I.A

Étude d'échanges thermiques en régime stationnaire

I.A.1.a L'énergie volumique de l'air contenu dans le volume vol 2 suit la loi de
conservation locale de l'énergie qui relie
· la variation d'énergie interne volumique locale  u/ t,
-

· le flux de la densité de courant thermique div JQ ,
· la source d'énergie interne locale Pint (en W.m-3 ).
Cette loi s'écrit
-

u
= - div JQ + Pint
t
En régime permanent (c'est-à-dire lorsque  u/ t = 0) et sans source d'énergie 
in-

terne (soit Pint = 0), il vient div JQ = 0 (le flux de chaleur est 
conservatif). Le flux
d'énergie sur les parois extérieures est nul, donc
Z
ZZ
-

-
  2
div JQ d3 r =
JQ · -
n d r = -P1 + P2 = 0
vol. 2

S1 +S2

d'où

P1 = P2
Si l'on ne connaît plus l'équation fondamentale ci-dessus, on peut en faire la
démonstration à une dimension. On fait alors un bilan de puissance en régime
stationnaire dans un volume d'air de section S compris entre x et x + dx.
L'énergie interne par unité de longueur varie selon l'équation suivante :
dU
= 0 = P(x) - P(x + dx) + Pint
dt
où P(x) est le flux thermique traversant la section S en x. En régime 
stationnaire et sans source d'énergie thermique interne, le flux est 
conservatif dans
tout le volume, d'où le résultat.

I.A.1.b La loi de Fourier postule que la densité de courant thermique est 
proportionnelle au gradient de température :
--
-

JQ (r, t) = - grad T(r, t)
L'énoncé suppose que le problème est unidimensionnel, on ne tient donc pas 
compte
des variations des grandeurs sur les sections de l'enceinte. En intégrant sur 
la section,
il vient
ZZ
ZZ
--
-

dT(x)

P(x) =
JQ (x, t) · -
n dS =
-air grad T(x, t) · -
n dS = -air S
dx
S

S

On a vu à la question précédente que le flux de la densité de courant P est 
conservatif,
c'est-à-dire que P(x) = P1 , ainsi
P1 = -air S

Comme T(0) = T1 ,

T(x) = T1 -

De plus, T(e2 ) = T2 , d'où

T2 = T1 -

dT(x)
dx
P1
x
air S

P1
e2
air S

I.A.1.c L'équation précédente peut s'écrire sous la forme
T1 - T2 = R2 P1

avec

R2 =

e2
= 2,8 K.W-1
air S

I.A.2.a On peut utiliser le résultat précédent entre e2 et e3 puisque seul le 
matériau
au sein de l'enceinte est différent. Ainsi,
e3
T2 - T3 = P 2
fer S
d'où

R3 =

e3
= 3,0.10-2 K.W-1
fer S

I.A.2.b Les deux questions précédentes permettent d'exprimer les températures en
fonction des résistances thermiques. Sachant que P1 = P2 , on trouve
T1 - T2
R2
e2 fer
=
=
= 93
T2 - T3
R3
e3 air
I.A.2.c La chute de température dans le bloc 3 est négligeable devant celle du
volume 2 car R2  R3 . La grande différence entre les résistances thermiques de
chacun des blocs vient de la très bonne conductivité thermique du fer devant 
celle
de l'air.
De façon générale, les métaux sont de très bons conducteurs thermiques.
I.A.3.a Le flux d'énergie thermique est conservé aux interfaces entre deux 
milieux
par continuité locale de l'énergie thermique (cf. question I.A.1.a). Aucune 
énergie
thermique n'est stockée ou créée à l'interface. En revanche, la continuité de 
la température est moins évidente. D'une manière générale, la température est 
toujours
continue, mais en présence de convection dans un fluide au contact d'un solide, 
elle
évolue sur une distance très courte dans le fluide près du solide pour ensuite 
être
uniforme. On la modélise alors par une discontinuité (c'est le cas dans la 
modélisation globale de la machine au niveau de S3). Ici, en l'absence de 
convection dans le
volume d'air 2 , on a bien continuité de la température à l'interface entre le 
bloc 1
et le volume 2 et entre le bloc 3 et le volume 2 .