Centrale Physique et Chimie PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude des sphères en physique et détermination de certaines constantes fondamentales
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point, thermochimie, électrochimie, cristallographie

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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PHYSIQUE--CHIMIE Filière PSI

PHYSIQUE-CHIMIE

La musique des sphères

(ou quelques apports de l'étude d'une sphère à la physique et à la chimie)

Dans tout le problème les vecteurs % seront notés x et ex , e y , ez désignent 
des
vecteurs unitaires.

Données numériques :

Accélération de la pesanteur g = 9, 81 m 3--2
Masse volumique de l'air pa : 1, 29 kg nf3
Viscosité de l'air na : 1, 8 - 10 _5 P1
Masse volumique du cuivre pCu : 8, 92 - 10 3 kg m_3
Masse molaire atomique du cuivre M Cu : 63, 57 g mol--1

Partie I - Évaluation de la constante d'Avogadro par l'étude
cristallographique du matériau

Une sphère est réalisée en cuivre, lequel cristallise selon une structure type
cubique compact dont le paramètre de maille vaut 362 pm. La sphère pleine
(boule) de rayon R = 0,5 cm a une masse m égale à 4, 67 g.

I.A - Le numéro atomique du cuivre est Z = 29. Donner sa configuration élec-
tronique en précisant les règles utilisées. Le cuivre est-il un métal de
transition ?

I.B - Dessiner la maille élémentaire du cuivre. La qualité du schéma sera appré-
ciée. Placer sur le schéma les sites intersticiels, donner leur type, leur 
nombre
ainsi que le nombre d'atomes par maille.

I.C -

I.C.1) Quelle relation existe-t-il entre m, R , MCu et N A, où N A est la
constante d'Avogadro ?

1.0.2) Déterminer une valeur numérique pour N A . Vous veillerez à donner la
précision correcte pour cette détermination.

Concours Centrale-Supélec 2000 1/10

PH YSIQUE--CHIMIE Filière PSI

Filière PSI

Partie II - Ècoulement d'un fluide visqueux autour d'une
sphère

On considère dans toute cette partie un fluide newtonien visqueux de viscosité
n , incompressible et de masse volumique p .

II.A - Notion de viscosité

II.A.1) En considérant un écoulement unidirec-
tionnel, tel que v = v(y,t)ex, exprimer la force
qu'exerce l'élément de fluide S1 sur l'élément de
fluide S2 du schéma ci-contre.

La surface de contact des deux éléments de fluide
est notée S .

II.A.2) En déduire que l'on peut définir une force

volumique de cisaillement dont on donnera

l'expression dans le cas du champ étudié ici. On admettra par la suite que 
l'effet
de la viscosité peut être traduit par une force volumique d'expression nAv quel
que soit le champ des vitesses (Av est le Laplacien du champ vectoriel v ).

II.A.3) En déduire l'expression que prend dans ce cas l'équation locale de la
dynamique du fluide si celui-ci n'est soumis à aucune autre force volumique.

II.B - Écoulement autour d'une sphère

Par la suite, on s'intéresse à l'écoulement d'un fluide visqueux autour d'une
sphère de rayon R , en l'absence de toute autre force que celle de viscosité. On
utilisera le repère de projection en coordonnées sphériques r, 6, (p d'axe Oz 
où 0
est le centre de la sphère. À grande distance de la sphère, l'écoulement du 
fluide
est uniforme v : Vo ez et la pression dans le fluide est P0 .

II.B.1) Bâtir à partir des grandeurs caractéristiques du fluide p , n , VO une
grandeur DO homogène à une distance.

II.B.2) Exprimer le nombre de Reynolds relatif à l'écoulement étudié à partir
de D : 2R (prise comme distance caractéristique de l'écoulement) et D0 .

II.B.3) Le fluide considéré est de l'air de vitesse V0 = 10 m s_1. Calculer le
nombre de Reynolds pour une sphère de rayon 0, 5 cm , puis pour une sphère de

Concours Centrale-Supélec 2000 2/ 10

PH YSIOUE--CHIMIE Filière PSI

rayon 0, 5 mn . Comment peut--on qualifier l'écoulement dans ces deux cas ? 
Des--
siner sommairement l'allure des lignes de courant correspondantes.

La force résultante, appelée traînée, correspon-
dant aux actions du fluide sur la sphère est
notée F, avec F = F ez.

II.B.4) Justifier que le coefficient de traînée
de la sphère

F
Cx : _2_â
(1/2)pV0nR

ne dépend que du nombre de Reynolds pour un
fluide fixé.

II.B.5) Interpréter la courbe donnant l'évolu-

tion du coefficient de traînée pour une sphère en fonction du nombre de Rey-
nolds Re . Placer en particulier les points correspondant à l'application
numérique de la question II.B.3 si cela est possible.

Dans le cas de la << chute libre » d'une sphère de rayon 0, 5 cm , quelle 
expression
approximative de la force de frottement de l'air peut-on prendre ?

Partie III - Corrosion sèche de la sphère de cuivre

On nomme corrosion sèche l'attaque des métaux par l'air en l'absence d'eau
liquide. On considère les réactions

2Cu(s)+02(g) : 2CuO(s) (1)

Concours Centrale-Supélec 2000 3/10

PH YSIOUE--CHIMIE Filière PSI

4Cu(s)+02(g) : 2Cu20(s) (2)

2Cu2O(s)+02(g) = 4CuO(s) - (3)
On donne en J - mol--1

A,G1°(T) = _ 314600 + 186, 2 - T

A,G2°(T) = 437200 + 151, 6 - T

III.A - Déterminer ArG3°(T) .

III.B - Dismutation de l'oxyde de cuivre (I)

III.B.1) Écrire l'équation--bilan traduisant la réaction de dismutation de
l'oxyde de cuivre (I ).

III.B.2) Déterminer et étudier la variance de cet équilibre.
III.B.3) Conclure quant à la stabilité de l'oxyde de cuivre (I) .

III. C- Tracé du diagramme

On réalise un diagramme en portant() en ordonnées RT ln(P(OZ)/P0 ) et en abs-
cisses la température T en Kelvin (P0 , pression de référence, est égale a 1 
bar.)

III. C. 1) Porter sur ce diagramme les points correspondant aux équilibres (1),
(2) et (3). Échelle: 10 cm pour 100 k] mol_1 ;] cm pour 100 K.

III.C.2) Indiquer, en justifiant la réponse, quelles sont les espèces stables et
quels sont leurs domaines de stabilité.

III.C.3) Quel est l'oxyde stable quand le cuivre est en contact avec l'air de
l'atmosphère (P(02) : 0,2 bar) à la température T ?

III.C.4) Est-il possible que le cuivre ne soit pas attaqué ?

Partie IV - Mesure de la charge de l'électron et nouvelle
évaluation de N A

NA - Expérience de Millikan

L'électron a été la première particule élémentaire mise en évidence et son 
accep-
tation par la communauté scientifique a nécessité près d'un siècle, depuis la
caractérisation des lois de l'électrolyse par Faraday en 1833 jusqu'à la recon-
naissance de l'électron vers 1920. Mais la détermination approximative de la
masse et de la charge du corpuscule par Joseph John Thomson en 1897 marque
la date de la découverte de l'électron. Les expériences de Millikan (à partir de
1909) ont permis la première détermination précise de la charge de l'électron.

Concours Centrale-Supélec 2000 4/10

PH YSIQUE-CHIMIE Filière PSI

Thomson avait pu mesurer avec précision le rapport charge/masse de l'électron.
Décrire un exemple d'expérience simple réalisée au lycée, ou de dispositif 
utilisé
dans la recherche ou l'industrie, permettant de mesurer ce rapport.

Présentation de l'expérience de Millikan

En utilisant un pulvérisateur d'huile (A) , on crée de petites gouttelettes 
sphé-
riques d'huile de rayon a de l'ordre du micromètre. Sous l'action de la 
pesanteur,
elles tombent à travers un trou à l'intérieur d'un condensateur plan constitué
des deux armatures M et N . Lors de leur pulvérisation, les gouttelettes sont
électrisées par frottement. Elles peuvent aussi l'être entre les armatures à 
l'aide
d'une source (X) de rayons X . On observe le mouvement de ces gouttelettes
dans le condensateur à l'aide d'une lunette de visée (T) . On mesure en fait 
leur
vitesse limite de chute en fonction de la différence de potentiel entre les 
arma-
tures M et N .

Hëb ...Ï

X

IV.B - Mécanique

La force de frottement visqueux due à l'air est donnée par la formule de Stokes 
:
F : --6nnaavez .

L'axe Oz sera orienté dans le sens de la verticale descendante.

IV.B.1) Exprimer la résultante des forces exercées sur une gouttelette en fonc-
tion de son rayon a , de sa masse volumique p H , de la masse volumique de l'air
pa , de l'accélération de la pesanteur g , de la viscosité de l'air na , de la 
charge q
de la gouttelette, de la distance D entre les armatures (M) et (N) et de la dif-
férence de potentiel V : VM -- VN.

IV.B.2) Montrer qu'après un régime transitoire la gouttelette prend une
vitesse limite fonction de la différence de potentiel V : voe(V) . Donner une 
esti-
mation de la durée du régime transitoire (la résolution de l'équation différen-
tielle est inutile, un raisonnement dimensionnel suffit).

IV.B.3) Dans le cas d'une différence de potentiel nulle, on note v0oe la valeur
de la vitesse limite. Montrer que le rayon de la gouttelette est donné par
a : k1 /v0oe. Exprimer k1 en fonction des données na, pH, pa , g.

Concours Centrale-Supélec 2000 5/10

PHYSIQUE--CHIMIE Filière PSI

lV.B.4) On appelle Vo la différence de potentiel pour laquelle la vitesse limite
est nulle. Montrer que la charge de la gouttelette est donnée par une formule du

type

Exprimer k2 en fonction de p H, pa , g, k1 et D.
On prendra par la suite les valeurs calculées :

k1 = 1,018-10'4 5.1. et |k2| = 2,071 -10'10 5.1...
et:
pH : 800kg-m*3 etD : 6mm.

NE. 5) Déterminer l'ordre de grandeur de la durée du régime transitoire, cal-
culer la valeur de la vitesse limite v0oe pour une gouttelette de rayon 119 um 
et la
différence de potentiel d'arrêt V0 pour une charge q-- _ e -- _,1 60 10--19.C 
Con--
clure quant à la faisabilité de l'expérience.

IV.C - Optique

La lunette de visée

permet de mesurer la

vitesse verticale des

gouttelettes. Elle

peut être schématisée gouttelette \)
par un système de
deux lentilles conver--
gentes : l'objectif L1
de distance focale { __ +( _ _ _ .)

image f1 et l'oculaire d /

L2 de distance focale

image f 2 . Dans le plan focal objet de L2 , on a placé un micromètre (échelle 
gra-
duée).

micromètre

L'Observateur n'accommode pas et voit donc net un objet « à l'infini >>. La lon-
gueur / de la lunette est réglée de telle façon qu'une gouttelette située àla 
dis-
tance d de l'objectif est vue nette à travers la lunette.

IV.C.1) Pourquoi le micromètre est--il placé dans le plan focal objet de L2 ?
Pourquoi est--il nécessaire de placer l'oeil à proximité de l'oculaire ?

IV.C.2) Quelle relation entre d , / , f1 et f 2 traduit le réglage de netteté 
de la
lunette ?

IV.C.3)

Concours Centrale-Supélec 2000 6/10

Filière PSI

PH YSIQUE--CHIMIE

a) On repère la position verticale 2 de la gouttelette par la graduation z' lue

sur le microm

ètre. Quelle est l'expression de la vitesse verticale v d'une goutte-

O, 5 cm et
pondant à

: f2
tre corres

=20m
è

/etf2.

b) Déterminer les valeurs de d et / sachant que f1

lette si, pendant une durée 1 , elle s'est déplacée de Az' graduations ? On 
expri-
d,
qu'en 1:

mera cette vitesse en fonction de Az' , "E ,

était don-

1née
érique. Justifier le

A

écida d'apporter

le microm

| mesuré sur
-|
est de 0,5 mm.

|Az'
01 mm 5

,

éplacement

10sled

\

Résultats
IV.D.1) A la vue de ses résultats expérimentaux, Millikan d

une correction àla formule de Stokes. Il postula que la force de tra

une gouttelette de vitesse 0

ND-

ù P est la pression atmosph

fait que le terme correctif est en valeur relative plus important pour a et P

2 0

--61ma(a + b/P)ve

F:

)

nee par

11 augmente quand la pression diminue.

m et qu"

sachant que le libre parpours moyen d'une molécule de gaz dans l'air est

de l'ordre de grandeur de 2 - 10

petits,

)v0oe.

t
%

P
& b_a

+
& 1
m (
M k1
r __
&
P a
e C
fæ e
i v
fl &
t
u &
e 3)
1

P
m 1 m
fi b
.oe +
m 1

2

?. /oe_ 0
f... 3......2V
a k
L __
\) q
2.
D.
V
Tl

_J._

_J.__J._l_J--L _L_

_.L__J._-J-L _L__L__ __J-L--_l-- _I_L_

_I_L_

-4--h4-- ---+--
|

-4.-
|

| ||

-+-- ----4-k4 4--+--
| || |. | |

--1--r1-- fi--r--

_ ___|--l'î-- __T_

"T"

"T'"T'F'l"r "r"

-1.__ _

-]..-

_J.__J._LJ-L _L_

..J-L..I- _l_L_

_+_
_T_

_+_
I
_.r_

| ||

-- --F4--F4-- --
| ||

_ '"'|'r'|' _
| ||

--+----4--H4--F --F----+--
| |

_T__T_

'\'F"

Concours Centrale-Supélec 2000

PH YSIOUE--CHIMIE Filière PSI

Comme le coefficient b était inconnu, il décida de faire une première estimation

de la charge élémentaire et de b en introduisant les valeurs approchées

3/2
0000

"PP

Donner à partir des points du graphique précédent, une estimation de A = b/ P
et de la charge élémentaire.

Remarque : l'expérience a été faite en suivant successivement 8 gouttes dont la
charge a été modifiée à l'aide de la source(X ) .
IV.E - Nouvelle évaluation de la constante d'Avogadro

L'électrolyse d'une solution aqueuse de sulfate de cuivre à 2 mol - L "1 
contenant
1 mol - L'1 d'acide sulfurique est réalisée avec une cathode en cuivre et une
anode en plomb. Données :

E°(02(g)/H20(/)) = 1,23 v ;E°(Cu2+(aq)/Cu(s)) = 0,34 v ;
E°(H20(/)/H2(g)) = 0,00 v ;E°(Pb2+(aq)/Pb(s)) = -0, 14 v ;

E°(Ag+(aq)/Ag(s)) = 0,80 v ; E°(Zn2+(aq)/Zn(s)) = _ 0,77 v
E°(SOÎ'/SOÛ = 0,17 v ; pKa(Hsog/soî--) = 1,8 ; sz(PbSO4) = 7,7.

IV.E.1)

a) Écrire les équations bilan des réactions pouvant se produire à la cathode.
b) Écrire les équations bilan des réactions pouvant se produire à l'anode.

c) Il y a passivation de l'anode. En donner une interprétation.

d) Quel est le bilan chimique de l'électrolyseur ?

IV.E.2) L'électrolyse précédente est reprise mais avec deux électrodes en cui-
vre.

a) Ecrire les réactions à chaque électrode en supposant que les surtensions sont
négligeables.

L'électrolyse est tout d'abord réalisée avec du cuivre ultra pur, la masse de 
cui-
vre déposée à la cathode est égale à m = 532 mg lorsque la quantité 
d'électricité
passant dans l'électrolyseur est q = 1615 C .

b) Comment peut-on mesurer la quantité d'électricité passant dans
l'électrolyseur ?

0) Déterminer une valeur de la constante d'Avogadro en prenant 1, 60- 10_19 C
comme valeur pour la charge élémentaire.

d) En fait l'électrode de cuivre n'est pas parfaitement pure et contient des 
impu--
retés que nous schématiserons par des traces d'argent et de zinc. Les réactions

Concours Centrale-Supélec 2000 8/10

PH YSIQUE--CHIMIE Filière PSI

principales de l'électrolyse ne sont pas modifiées. Que deviennent le zinc et
l'argent au cours de cette électrolyse '? Ecrire les réactions qui se 
produisent.

Partie V - Établissement de la formule de Stokes

On reprend les hypothèses et les notations des deux premières parties. On se
place en régime permanent et on suppose que la vitesse est suffisamment faible
pour négliger le terme quadratique d'accélération convective (approximation
linéaire).

V.A - Quelles sont, dans ce cas, les conditions imposées sur le champ des vites-
ses par :

V.A.1) l'incompressibilité du fluide,

V.A.2) la présence de la sphère,

V.A.3) la compatibilité avec l'approximation linéaire de l'équation locale de la
dynamique.
On donne le champ des vitesses suivant :

3
vr : V0cos6{l --Ë+E--3]
27' 27°
3R R3 -
ve : -- VOsin6(1--------3]
47° 47.
v

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie PSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Franck Stauffer (ENS Lyon) ; il a été relu par 
Ludovic
Tricoire (École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris) et Jany 
Keochkerian
(École Supérieure de Physique et de Chimie de Paris).

L'épreuve comporte cinq parties, alternant physique et chimie.
­ Dans la première partie on étudie la structure cristallographique du cuivre 
afin
de déterminer le nombre d'Avogadro. On s'intéresse à notamment la configuration 
électronique du cuivre, ainsi qu'à la maille c.f.c.
­ La deuxième partie traite le problème de l'écoulement dans un fluide visqueux
et dégage quelques résultats intéressants sur la force de traînée.
­ La troisième partie étudie la corrosion du cuivre métallique à l'aide des 
diagrammes d'Ellingham. Elle fait appel à des connaissances en thermochimie et
sur les équilibres entre phases.
­ La quatrième partie, certainement la plus variée, traite la célèbre expérience
de Millikan ; elle alterne mécanique et optique, et comprend aussi une série de
questions en électrochimie.
­ Enfin la dernière partie, plus calculatoire, établit la formule de Stokes par 
des
bilans de forces.

Indications

Partie I
I.A Penser à l'interversion des couches (n + 1)s et nd.
I.C.1 Penser à faire intervenir le paramètre de maille a.
Partie II
II.A.2 Faire un bilan sur une tranche de fluide d'épaisseur dy en utilisant la 
formule
de la question précédente.
II.A.3 Adapter l'équation d'Euler.
II.B.1 Faire intervenir la viscosité cinématique.
II.B.4 Construire à l'aide des données une grandeur pertinente ayant la 
dimension
d'une force.
II.B.5 Penser à la structure de la couche limite.
Partie III
III.A.1 Exprimer la réaction comme une combinaison linéaire des autres 
réactions.
III.B.1 Revenir à la définition de la dismutation.
III.C.3 C'est le signe de r G qui détermine les domaines de stabilité.
Partie IV
IV.A Penser à l'action d'un champ magnétique sur une particule chargée.
IV.B.2 Appliquer la relation fondamentale de la dynamique et trouver le type de
solution de cette équation.
IV.C.2 Utiliser la relation de conjugaison.
IV.C.3.a Faire intervenir le grandissement de L1 .
IV.D.2 Regrouper les points du graphique astucieusement.
Partie V
V.A.3 Déterminer l'accélération en régime permanent.
V.C.1 Résoudre l'équation d'Euler en utilisant les formules de l'énoncé.
V.C.2 En raisonnant sur une force élémentaire trouver le direction de la 
résultante
et faire la projection adéquate.
V.D Utiliser la même technique que pour le calcul de la force de pression.

Partie I

I.

Évaluation de la constante d'Avogadro par
l'étude cristallographique du matériau

I.A Le cuivre possède 29 électrons. Pour établir sa configuration électronique 
nous
avons besoin de deux règles :
­ la règle de Klechkowski, qui stipule l'ordre de remplissage des sous-couches
électroniques ;
­ le principe de Pauli, qui stipule que deux électrons ne peuvent pas être dans 
le
même état quantique.
La règle de Hund, qui stipule que le spin total du système est maximum dans
l'état fondamental, est utile lorsque l'on cherche à déterminer la structure
exacte de la dernière sous-couche.
Si l'on applique scrupuleusement ces règles on obtient
(Cu) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d9
Néanmoins, pour des raisons de stabilité, et comme les sous-couches 4s et 3d 
sont
très proches en énergie, on écrira
(Cu) : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1
Le cuivre est bien un métal de transition (entre Ni et Zn), car on remplit des
couches de types dn .
Ce type d'inversion de l'ordre des sous-couches s et d intervient tout le temps
pour les métaux de transition. On l'appelle parfois formalisme dn .
I.B La structure cubique compact en question est la structure c.f.c (cubique 
faces
centrées) dont on a représenté ci-dessous la maille et les deux types de sites 
interstitiels.

Le schéma précédent représente un des sites octaèdriques. C'est d'ailleurs le 
seul
qui soit entièrement contenu dans la maille représentée. Le schéma qui suit 
représente
quant à lui un des sites tétraèdriques. Les autres sites tétraèdriques et 
octaèdriques
s'obtiennent par translation des sites représentés selon l'un des vecteurs de 
la maille.

Les sites intersticiels sont tétraèdriques ou octaèdriques. Il y a en tout 4 
sites
octaèdriques et 8 sites tétraèdriques par maille. Le nombre d'atomes par maille 
vaut
quant à lui 4. En effet les atomes aux milieux des faces sont au nombre de 6 et
appartiennent à deux mailles, et les atomes aux sommets sont au nombre de 8 et
appartiennent à 8 mailles, donc il y a 6 × 1/2 + 8 × 1/8 = 4 atomes par mailles.
I.C.1 Notons a le paramètre de maille. La masse d'une maille vaut
MCu
NA
Mais on peut aussi évaluer cette masse en disant qu'elle est égale à la masse 
de la
sphère de cuivre divisée par le nombre de maille.
m
D'où
mmaille =
4
(R/a)3
3
donc en égalant ces expressions, on obtient
mmaille = 4

NA =

16 MCu
(R/a)3
3 m

I.C.2 On peut évaluer l'incertitude sur le résultat en utilisant la formule
NA
MCu
m
R
a
=
+
+3
+3
NA
MCu
m
R
a
0, 01
0, 01
0, 1
1
+
+3
+3
=
63, 57 4, 67
0, 5
362
NA
= 0, 61
NA
Le résultat ne peut donc comporter qu'un chiffre significatif
NA =

16 63, 57
×
(0, 005/362.10-12)3 = 6.1023 mol-1
3
4, 67