Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2015

Thème de l'épreuve Le projet Hyperloop
Principaux outils utilisés thermodynamique générale, électrostatique et magnétostatique, électromagnétisme, cristallographie, oxydoréduction
Mots clefs pompe, compresseur, écoulements stationnaires, transferts thermiques, induction, ondes progressives, lithium, batterie, accumulateur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                       

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
        

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


1
2

% Ph ' -- h' ' 1 L0
ts yaquec |m|e _

(

_/ PSI @
cnucnuns EENTHHLE-SUPÊLEE 4 heures Calculatrices autorisées N
Le projet Hyperloop

Le projet de transport commun terrestre Hyperloop1 a été présenté en 2013. Son 
principe est de transporter
des passagers à haute vitesse dans des capsules placées à l'intérieur d'un tube 
partiellement vidé pour réduire
les frottements. L'objet de ce sujet est l'étude de quelques caractéristiques 
du projet Hyperloop.

Ce projet étudie la possibilité de relier Los Angeles à San Francisco, villes 
californiennes distantes d'environ
600 km, en 35 minutes. Les passagers sont transportés dans des capsules, 
propulsées par un moteur à induction,
qui se déplacent sur coussin d'air dans un tube à pression réduite. L'ensemble 
est alimenté par des cellules
solaires disposées le long du tube. Les capsules sont équipées d'un compresseur 
utilisé pour produire le coussin
d'air et une force de poussée additionnelle. L'alimentation électrique des 
éléments de la capsule est assurée par
des batteries au lithium, rechargées a l'aide des cellules solaires.

Certaines données et formules sont données en fin de sujet.

I L'air dans le tube

Le tube, de volume V, a une longueur L = 600 km et son diamètre intérieur est d 
= 2,23 m. Initialement, le
tube est rempli d'air à la pression atmosphérique PO. Pour abaisser la pression 
à l'intérieur du tube, on prévoit
d'utiliser des pompes à palette.

I.A -- Modélisation du fonctionnement d'une pompe à palette

Une pompe a palette simple étage est constituée

-- d'un stator cylindrique creux muni d'un orifice d'aspiration et d'un orifice 
de refoulement équipé d'une
soupape qui ne peut se soulever pour libérer l'air que si la pression sous 
celle--ci atteint la pression atmosphé-
rique ;

-- d'un rotor excentré par rapport au stator afin de modifier le volume offert 
au fluide lors de la phase de
compression ;

-- de deux palettes coulissantes installées dans le rotor, plaquées au stator 
par des ressorts (non représentés)
et par la force centrifuge.

Réservoir à vider Extérieur
volume VO, pression P pression atmosphérique

Aspiration Transfert Compression Refoulement

Figure 1 Cycle de fonctionnement d'une pompe a palette2

L'air est aspiré dans la pompe, transféré, comprimé, puis refoulé. On note Vb 
le volume de fluide aspiré, a la
pression P. L'air sera considéré comme un gaz parfait, à la température T. Ses 
évolutions lors de l'aspiration
et du transfert seront supposées isothermes. On admet, pour l'instant, qu'il 
n'y a aucun espace libre entre la
soupape de refoulement et l'orifice d'aspiration, et donc pas de fluide 
résiduel subsistant dans la pompe entre
la phase de refoulement et la phase d'aspiration suivante.

I.A.1) Cette pompe est raccordée à un réservoir à vider, de volume V0- 
Initialement, la pression dans le
réservoir est égale à la pression atmosphérique Po-

(1 ) Déterminer la pression P1 dans le réservoir à l'issue du premier cycle 
d'aspiration.

http : //www . teslamotors . 
com/sites/default/files/blog_attachments/hyperloop_alpba3 . pdf
d'après http: //nte--serveur . univ--lyonl . 
fr/pfcp/1cp/commun/pompe_palettes/pompe_a_palettes . htm

2015-04-24 09:23:13 Page 1/8 [_

b ) De la même façon, déterminer la pression P2 à l'issue du second cycle puis 
la pression Pk à l'issue du k-ième
cycle.

c ) Déterminer la pression minimale Pmin théoriquement atteignable dans le 
réservoir.

0! ) Le débit volumique D d'une pompe est défini comme étant le volume aspiré à 
la pression du réservoir par
unité de temps. On note 1/ le nombre de cycles d'aspiration de la pompe par 
unité de temps. Exprimer D en
fonction de u et Vb.

I.A.2) La figure 2 présente la caractéristique (c'est-à-dire le débit volumique 
D en fonction de la pression P
dans le réservoir) d'une pompe a palette a gros débit.

1000

100

._\
©

Débit volumique (m3--h'1)

0,1 1 10 100 1000
Pression (mbar)

Figure 2 Caractéristique de la pompe Becker U 4.3003

a ) Pour quelles valeurs de la pression P la modélisation du fonctionnement 
d'une pompe effectuée à la question
précédente permet-elle de rendre compte de cette caractéristique ? Proposer une 
interprétation qualitative des
écarts les plus importants entre les résultats de cette modélisation et la 
caractéristique D = f (P) mesurée par
le constructeur.

1) ) On fait l'hypothèse qu'un volume d'air Vf, a la pression P0 et à la 
température T, est réintroduit dans
le réservoir à chaque cycle de pompage. Montrer que cette hypothèse permet de 
mieux rendre compte de la
caractéristique de la pompe donnée figure 2.

c ) Quelle est alors la pression minimale Pfgm que l'on peut obtenir dans le 
réservoir à vider ?

d) Quels processus peuvent conduire à rajouter une certaine quantité d'air dans 
le réservoir à chaque cycle de
pompage ?

8) Est-ce que la modélisation du fonctionnement de la pompe a palette faite a 
la question b) permet de rendre
compte correctement de la caractéristique présentée à la figure 2 ?

I.B -- Faire le vide

On installe N pompes identiques placées tous les 2 km du trajet. La 
caractéristique D = f (P) de ces pompes
est celle présentée en figure 2.

On souhaite évaluer le temps nécessaire pour atteindre une pression de 2 mbar 
dans le tube du projet Hyperloop,
a partir de la pression atmosphérique.

I.B.1) Compte tenu de la pression à atteindre, justifier qu'on peut 
raisonnablement faire confiance a la
modélisation effectuée à la question I.A.1. En déduire l'expression du débit 
volumique total D, des N pompes,
en fonction de 1/, N et Vb.

d'après http: //www . becker-intemational . com

2015-04-24 09:23:13 Page 2 / 8 [_

I.B.2) En utilisant le résultat de la question I.A.1 et en considérant que V >> 
N Vb, déterminer littéralement
le temps nécessaire pour atteindre une pression P dans le tube.

I.B.3) Déterminer les valeurs numériques du volume V du tube et du nombre N de 
pompes. Puis en utilisant
la figure 2, calculer numériquement le temps nécessaire pour atteindre la 
pression P = 2 mbar dans le tube à
partir de la pression atmosphérique.

I.C' -- Déplacer l'air restant

Compte tenu de l'espace occupé par les capsules dans le tube et malgré la 
faible pression, à la vitesse de
déplacement souhaitée, il se forme en avant de la capsule un coussin d'air 
produisant une force de pression
importante. Il est donc prévu de disposer un compresseur à l'avant de la 
capsule afin de transporter l'air vers
l'arrière. Ce dispositif réduit le frottement, apporte une force de poussée 
supplémentaire et permet de générer
un coussin d'air pour assurer la sustentation de la capsule.

I.C.1)

a ) Exprimer le premier principe de la thermodynamique pour un écoulement 
stationnaire. On prendra soin de
définir les notations utilisées.

b ) Compte tenu des conditions, on peut considérer que la compression est 
adiabatique, réversible, sans variation
d'énergie cinétique ni d'énergie potentielle. Appliquer le premier principe au 
compresseur en tenant compte de
ces conditions.

I.C.2) Dans le tube, l'air est a la température T = 292 K et sous la pression P 
= 100 Pa. Déterminer la
masse volumique de l'air.

I.C.3) Rappeler l'expression d'une variation d'enthalpie massique de l'air dans 
le tube en fonction d'une
variation de la température.

1.0.4)

(1 ) Définir le débit massique Dm d'air entrant dans le compresseur.

() ) En considérant que la surface d'entrée du compresseur est de forme 
circulaire, de rayon R = 63 cm, que la
vitesse de la capsule est 1} = 1,20 >< 103 km-h"1 et que l'écoulement est 
uniforme, calculer le débit massique Dm
entrant dans le compresseur.

I.C.5) À l'aide de l'équation obtenue au 1.0.1 et en faisant intervenir le 
débit massique D..., établir le bilan
de puissance pour le compresseur.

I.C.6) Le document de présentation d'Hyperloop indique que le compresseur 
fournira une puissance méca-
nique de 328 kW à l'air. Déterminer littéralement puis numériquement la 
température TCS de l'air en sortie du
compresseur.

I.C.7 ) Déterminer la pression en sortie du compresseur cs.

I.C.8) La valeur de la température obtenue à la question 1.0.6 est élevée. Pour 
cette raison, le projet prévoit
de refroidir l'air à l'aide d'un échangeur à deux fluides. D'une part, l'air 
issu du compresseur, d'autre part de
l'eau issue d'un réservoir embarqué. L'air se refroidit en circulant dans un 
tube autour duquel circule l'eau qui
se réchauffe puis se vaporise. Après passage dans l'échangeur, l'eau est 
stockée dans un réservoir dans la capsule.
On considère que l'échangeur est globalement calorifugé, c'est-à--dire que les 
seuls échanges thermiques qui se
produisent se font entre les deux fluides. Il n'y a pas de partie mobile et les 
évolutions dans l'échangeur sont
isobares. En entrée d'échangeur la température de l'eau est Tee : 293 K, sous 
la pression atmosphérique. En
sortie, une fraction a: = 88% de l'eau s'est vaporisée et sa température est 
Tes : 373 K. Le débit massique de
l'eau dans l'échangeur est De = 140 g-s"1. Les températures de l'air seront 
notées Tae en entrée et T,... en sortie.

a) Appliquer le premier principe de la thermodynamique pour un fluide en 
écoulement stationnaire a chacun
des deux fluides entre son entrée et sa sortie de l'échangeur.

b ) Donner les variations d'enthalpie massique de chacun des deux fluides en 
fonction de leurs capacités ther-
miques massiques, des températures d'entrée et sortie, de l'enthalpie de 
vaporisation de l'eau et de $.

c) En déduire les transferts thermiques massiques reçus par l'eau et par l'air 
dans l'échangeur en fonction des
capacités thermiques massiques, des températures, de l'enthalpie de 
vaporisation de l'eau et de x.

I.C.9) Exprimer les puissances thermiques reçues par chaque fluide à sa 
traversée de l'échangeur.

I.C.10) L'échangeur étant calorifugé, quelle relation lie ces puissances ? En 
déduire la température de l'air en
sortie de l'échangeur littéralement puis numériquement.

En réalité, pour des raisons pratiques, le projet prévoit une compression en 
deux étages, avec deux échangeurs.

II L'alimentation électrique du compresseur

Pour alimenter le compresseur embarqué dans la capsule, le projet prévoit de 
recourir à des batteries rechar-
geables de type lithium--ion.

2015-04-24 09:23:13 Page 3/8 [_

II.A -- Le choiæ du lithium
L'isotope le plus abondant du lithium est le âLi.

II.A.1) Quelle est la composition d'un tel atome ?
II.A.2) Donner sa configuration électronique dans l'état fondamental.
II.A.3) Où le lithium se situe-t-il dans la classification périodique des 
éléments ? À quelle famille appartient-il ?

II.A.4) Comment l'électronégativité des éléments évolue-t-elle si l'on se 
déplace dans la classification pério-
dique de la gauche vers la droite ? Que peut-on en déduire concernant 
l'électronégativité du lithium ?

II.A.5) Justifier le caractère réducteur du lithium. Quel ion le lithium 
peut-il former ?

II.A.6) À température ambiante, le lithium possède une structure cubique cen-
trée. Sa maille élémentaire est cubique, les atomes occupant les sommets du cube
et le centre du cube. On caractérise cet arrangement par le côté du cube élémen-
taire, nommé paramètre de maille, noté (1. Déterminer le nombre d'atomes par
maille, la coordinence et la compacité de cette structure.

II.A.7 ) Le paramètre de maille vaut a = 0,35 nm. Déterminer la masse volu--
mique du lithium.

II.A.8) Justifier l'intérêt de l'utilisation du lithium pour la constitution 
d'accu-
mulateurs de forte énergie massique.

II.B -- Accumulateur Li-ion

Un accumulateur lithium--ion fonctionne par l'échange réversible d'ions lithium 
entre une électrode négative et
une électrode positive.

Figure 4 Schéma de fonctionnement du générateur lithium--ion représenté lors de 
sa charge4

II.B.1) L'électrode négative

L'utilisation d'une électrode en lithium pour constituer l'électrode négative 
d'un accumulateur pose de nombreux
problèmes, c'est la raison pour laquelle on a choisi d'utiliser le lithium en 
insertion dans une structure hôte. Les
atomes de lithium sont insérés dans une structure carbonée, par exemple du 
graphite, on parle d'électrode au
graphite lithié. Lors de la charge, la réaction électrochimique qui se produit 
est la réduction des ions lithium qui
s'accompagne de l'insertion des atomes de lithium dans le graphite. Lors de la 
décharge, les atomes de lithium
sont oxydés et les ions lithium se désinsèrent.

a) La formule chimique du composé d'insertion est LiOECG, oe variant de zéro 
dans l'état déchargé a un dans
l'état chargé.
i. Rappeler la demi--équation de réduction des ions Li+.

ii. Ecrire la réaction d'insertion des atomes de lithium dans le graphite.
iii. Les deux réactions se produisent simultanément, écrire la demi-équation 
bilan traduisant ces phénomènes
pendant la charge.

d'après Audrey Martinent, 2001 (http: //e lectro ch imie . minatec . grenoble-- 
inp . fr/THESEAMaxt inent . pdf)

2015--04--24 09:23:13 Page 4/8 [_

b ) On souhaite déterminer la quantité maximale d'électricité que peut stocker 
cette électrode.

i. Déterminer le nombre maximum Nmax d'atomes de lithium qui peuvent être 
insérés dans 1 g de graphite.

ii. Lors de la décharge, chaque atome de lithium peut libérer un électron. 
Déterminer la charge électrique maxi-
male qmax que peut délivrer l'électrode de graphite lithié par gramme de 
graphite, en C--g'1 puis en mA--h--g'1.

II.B.2) L'électrode positive

L'électrode positive est constituée d'un cristal d'oxyde de cobalt (0002) dans 
lequel des ions lithium s'insèrent
pour former un cristal d'oxyde de cobalt lithié (Li0002). Lors de la charge, le 
cobalt s'oxyde pendant que les
ions lithium se désinsèrent. Pendant la décharge, le cobalt est réduit pendant 
que les ions lithium s'insèrent.

a ) En considérant que le nombre d'oxydation de l'oxygène dans 0002 et dans 
Li0002 vaut --II et que celui du
lithium dans Li0002 est +I, déterminer le nombre d'oxydation du cobalt dans 
0002 et dans Li0002. Identifier

l'oxydant et le réducteur dans le couple 0002 / Li0002.

() ) Écrire la demi-équation qui se produit a cette électrode lors de la charge 
en tenant compte de l'insertion des
ions lithium.
II.B.3) Écrire l'équation bilan du fonctionnement de l'accumulateur lors de la 
charge et lors de la décharge.

II.B.4) Le document de présentation de l'Hyperloop indique que la batterie 
lithium--ion utilisée devra fournir

une puissance de 328 kW au compresseur pendant une durée de 45 minutes. La 
masse totale de cette batterie
est de 1500 kg.

(1 ) Déterminer l'énergie nécessaire au fonctionnement du compresseur pendant 
le trajet (en joule) puis convertir
cette énergie en watt heure.

b ) Déterminer la puissance massique que doit pouvoir fournir la batterie 
prévue, c'est-à-dire la puissance fournie
par kg de batterie.

c ) Déterminer l'énergie massique que doit pouvoir emmagasiner la batterie.

d ) La figure 5 présente les puissances et énergies massiques accessibles en 
fonction des différentes technologies
d'accumulateurs.

10000!

%a==--*%æ=
___--__--
......--..._----
m Li-ion , ___--=
... HIghPUMI' ÀQO-fi'l _
___ 1-- _--

Speci ic Power, Wlkg
% _ ?

"â

..\
CD

Lllll

II"..."

ll---iulÊ'" '

Ill"""

'Illlllllllllllllrtl

lllllllllllllluw

_L
C:
N
O

40 60 80 100 120 140
Specific Energy, Whlkg

â

180

Figure 5 Puissance massique en fonction de l'énergie
massique pour différentes technologies d'accumulateurs5

5 d'après NASA/TM 2003 212730 (http: //ntrs .nasa. gov/archive/nasa/casi .ntrs 
.nasa. gov/20040010319 . pdf)

2015-04-24 09:23:13 Page 5/8 [_

Existe-t-il une technologie d'accumulateur compatible avec les indications 
données par le document de présen-
tation. Si oui, laquelle ?

II.C -- Le choiæ de l'électrolyte
II.C.1)

a ) Écrire la réaction entre le lithium et l'eau.
() ) Justifier que cette réaction est très exothermique.
c) Justifier pourquoi on doit choisir un électrolyte non aqueux dans un 
accumulateur utilisant le lithium.

II.C.2) Dans les accumulateurs au lithium, on utilise des électrolytes 
organiques non aqueux. Un électrolyte

couramment utilisé est constitué de sel de lithium LiPF6 dissous dans un 
mélange de solvants organiques. La
mesure de la conductivité de cet électrolyte donne les résultats consignés dans 
le tableau 1.

T ... ...
a(ms--cm-l) 5 6,3 7,6 9,1 10,4
Tableau 1 Conductivité du LiPF6

On souhaite comparer sa conductivité à celle d'un électrolyte aqueux couramment 
utilisé, le chlorure de potas-
sium KCl à 3 mol-L'1, complètement dissocié. La conductivité d'une solution 
peut être déterminée à l'aide de

la loi de Kohlrausch : a = 2 À,--[c],-- où a est la conductivité de la 
solution, À,-- la conductivité molaire ionique

'L
des ions et [c], leur concentration.

Déterminer la conductivité du chlorure de potassium. La comparer à celle de 
l'électrolyte étudié à 25 °C. L'élec-
trolyte utilisé est--il bon conducteur ?

III La propulsion de la capsule

Il est prévu d'assurer les accélérations et freinages de la capsule par un 
moteur linéaire à induction. Ce moteur
est constitué d'un stator, fixe par rapport au tube et produisant un champ 
magnétique variable et d'une partie
mobile, appelée «rotor», solidaire de la capsule (cf figure 7). Dans ce moteur, 
le «rotor» ne suit pas un
mouvement de rotation, mais un mouvement de translation dans la direction du 
tube.

III.A -- Production du champ magnétique

Le champ magnétique est produit par des paires de bobines disposées de part et 
d'autre du rotor. En première
approximation, on peut considérer que ces bobines sont assimilables à des 
solénoïdes infinis.

III.A.1) On considère un solénoïde infini, d'axe Oz, de rayon @, comportant n 
spires par unité de longueur,
parcouru par un courant lentement variable d'intensité i(t). On admet que l'on 
peut travailler dans le cadre
de l'approximation des régimes quasi permanents. On considère que le champ 
magnétique créé à l'extérieur du
solénoïde est nul.

a ) Énoncer le théorème d'Ampère.

b) Établir l'expression du champ magnétique créé à l'intérieur du solénoïde. On 
notera BD le module de ce
champ.

III.A.2) Pour produire le champ statorique, on dispose régulièrement le long du 
tube des paires de solénoïdes
en inversant le sens du courant à chaque changement de paires de solénoïdes. Ce 
dispositif permet de créer un
champ magnétique dirigé selon üz dont la représentation graphique est donnée 
figure 6.

Z A axe des solénoïdes

Bo
ç,4 axe du tube
Oy À/2 oe
_ Bo
Solénoïdes 1 Solénoïdes 2 Solénoïdes 3
Figure 6

2015-04-24 09:23:13 Page 6/8 [_

Le champ produit possédant une périodicité spatiale, il est possible de le 
décomposer en somme de fonctions

_» 4B 27T _,
s1nus01dales. En ne conservant que le prem1er terme de cette somme, on peut 
ecrire B(oe) = --0 sm (--oe uz.

7r À
Le courant circulant dans les solénoïdes varie lentement de façon périodique 
i(t) = 10 cos(wt).
4u0n10

a) Exprimer Ë(oe,t). On pourra poser 36 = .
7r

() ) Montrer que B(oe, t) peut s'écrire comme la superposition de deux ondes 
progressives circulant en sens inverse.
Donner l'expression de ces deux ondes, préciser leur sens de propagation, leur 
vecteur d'onde et leur vitesse de
phase.

III.A.3) Pour le moteur étudié, on doit éliminer l'onde progressant selon --ûæ. 
Pour cela, on va remplacer
chaque paire de bobine par trois paires, décalées spatialement de À/ 3 et 
alimentées par des courants déphasés

de 27r/3.

Rotor (lié à la capsule)

Stator (lié au tube)

Figure 7 Moteur linéaire à induction6

Le champ produit est alors la superposition des champs produits par les 3 
paires et s'écrit

--» , _ 27r 27r . 27r À 47r _ 27r 2À _,
B(oe,t) = B0 (cos(wt) s1n (Îoe) + cos (cut -- ?) sm (Î (a: -- EUR)) + cos (cut 
-- ?) s1n (ï(x -- ?)))uz

Montrer que le champ résultant peut s'écrire comme une onde progressive unique 
se propageant selon ûæ. Préciser
l'amplitude de cette onde.

III.B -- Force s'eæerçant sur le rotor

Le rotor, solidaire de la capsule, peut être modélisé par une spire filiforme 
carrée de côté 1 << À et de résistance
R. Cette spire est située dans le plan Oxy de la figure 6 et se déplace à la 
vitesse 5 = vü,c selon l'axe du tube.
Initialement, le centre C de la spire est en a: = O.

III.B.1) En considérant pour cette question que le champ magnétique créé par le 
stator est uniforme à l'échelle
de la spire, de valeur sa valeur en C , évaluer le flux de ce champ à travers 
la spire que l'on orientera préalablement
sur un schéma.

III.B.2) Déterminer la force électromotrice induite @ dans le rotor en tenant 
compte du choix d'orientation.

III.B.3) Déterminer l'équation électrique décrivant l'évolution du courant 
induit circulant dans le rotor. En
déduire l'expression du courant induit i(t) en régime sinusoïdal établi.

III.B.4) En conservant l'expression de i(t) obtenue à la question précédente 
mais en ne considérant plus que le
champ magnétique est uniforme à l'échelle de la spire, déterminer la résultante 
des forces de Laplace s'exerçant
sur le rotor ainsi que sa valeur moyenne.

d'après http: //www . teslamotors . 
com/sites/default/files/blog_attachmentS/hyperloop_alpha3 . pdf

2015-04-24 09:23:13 Page 7/8 [_

III.B.5) La capsule peut-elle démarrer par l'action de cette seule force ?

III.B.6) Que faut-il faire si l'on souhaite freiner la capsule à l'aide de ce 
système ?

Données et formulaire

Conversion 1 bar = 1 >< 105 Pa
Constante des gaz parfaits R = 8,31 J -K_1-mol_1
Constante d'Avogadro Na = 6,02 >< 1023 mol"1
Charge électrique d'un électron qe : --1,60 >< 10"19 C
Pression atmosphérique Po : 1,00 >< 105 Pa

Masse molaire de l'air Mair = 28,8 g--mol"1
Capacité thermique massique à pression constante de l'air cpm = 1,00 >< 103 J 
--K_1--kg_1
Coefficient 7 pour l'air 7 : cp/cv = 1,40

Capacité thermique massique de l'eau liquide ce... : 4,18 >< 103 J --K_1--kg_1
Enthalpie massique de vaporisation de l'eau le = 2,25 >< 106 J -kg"1
Capacité thermique massique de la vapeur d'eau ce,, : 1,85 >< 103 J -K"1-kg_1
Capacité thermique massique à pression constante du dihydrogène cp(H2) : 14,2 
kJ--K"1--kg_1
Masse molaire du dihydrogène M H2) : 2,02 g--mol'1

(
Masse molaire du lithium (Li : 6,94 g--mol"1
(C) = 12,0 g--mol_1
(O) = 16,0 g--mol"1

Conductivités molaires à 25°C ÀK+ = 7,35 mS-m2--mol_1

M
Masse molaire du carbone M
Masse molaire de l'oxygène M

Données thermodynamiques a 298 K

Enthalpie standard de formation
AfH° (kJ--mol--1)

Trigonométrie

sin(a + b) + sin(a -- b) = 2sin(a) cos(b)

sin(a + b) = sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b)

sin(a -- b) = sin(a) cos(b) -- cos(a) sin(b)

oooFlNooo

2015-04-24 09:23:13 Page 8/8 [_

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique et Chimie 1 PSI 2015 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Virgile Andreani (ENS Ulm) et Fabrice Maquère 
(Professeur agrégé) ; il a été relu par Cyril Jean (ENS Ulm), Christelle Serba 
(Docteur
en chimie), Alexandre Hérault (Professeur en CPGE) et Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Ce sujet évoque différents aspects du projet Hyperloop. Il s'agit d'une 
proposition
de transport terrestre à très haute vitesse dans des capsules propulsées par un 
moteur
à induction, voyageant sur coussin d'air dans des tubes à pression réduite. Le 
sujet
est constitué de trois parties dont chacune détaille une particularité du 
projet.
· La première partie s'intéresse aux propriétés thermodynamiques de l'air 
contenu
dans les tubes de guidage. Elle commence par l'étude d'une pompe à palette,
utilisée pour créer et maintenir un vide partiel dans le tube dans lequel 
circulent
les capsules ; on modélise son fonctionnement par une série de transformations
isothermes d'un gaz parfait, d'abord dans un modèle idéal puis en considérant
l'existence de fuites. Dans un second temps, le sujet se penche sur le 
comportement de l'air au voisinage du véhicule. Enfin, la question du 
refroidissement de
celui-ci au moyen d'un échangeur à deux fluides est abordée dans les dernières
questions. Cette partie fait appel à une proportion assez large du programme
de thermodynamique ; la difficulté des questions est progressive.
· La deuxième partie porte sur des thématiques liées à la chimie et s'intéresse 
à
l'alimentation électrique du compresseur. Elle commence par l'étude de 
l'élément lithium (atomistique, cristallographie) puis se poursuit par des 
questions
sur les deux électrodes utilisées dans un accumulateur au lithium 
(oxydoréduction, bilan énergétique d'une pile). À la fin de la partie est 
abordé le choix de
l'électrolyte (détermination d'une enthalpie de réaction et de la conductivité 
de
cet électrolyte). Cette partie est globalement facile.
· La troisième partie étudie le moteur à induction responsable de la propulsion
des capsules. Le champ magnétique nécessaire au fonctionnement du moteur
est produit par des paires de bobines, modélisées par des solénoïdes infinis.
Le champ généré par ces bobines n'est exploitable pour la propulsion du 
véhicule que s'il forme globalement une onde progressive se propageant vers 
l'avant.
On considère pour cela le champ produit par une succession de trois paires de
bobines alimentées par du courant triphasé. Les dernières questions de cette
partie sont relatives à la force de Laplace, subie par la capsule, qui découle 
de
ce champ. Mêlant les chapitres sur l'induction et sur les ondes progressives, 
cette
partie est d'un niveau plutôt basique mais une ou deux questions se révèlent
assez calculatoires.
Ce sujet analyse un projet réel, dont on pourra trouver une description plus
complète en suivant les références fournies en bas de page dans l'énoncé. La 
capacité
à calculer des ordres de grandeur pour juger de la faisabilité d'une idée est 
une
aptitude essentielle pour des ingénieurs et à ce titre, ce sujet est bien 
ciblé. Proposant
par ailleurs des questions de difficulté variable, il est accessible à tout le 
monde.

Indications
Partie I
I.A.1.a Appliquer l'équation des gaz parfaits au système composé du gaz dans le
réservoir et dans la pompe.
I.B.2 Reprendre le résultat de la question I.A.1.b et effectuer un développement
limité.
I.C.8.b La variation d'enthalpie de l'eau est la somme de deux termes décrivant
des processus de nature différente.
Partie II
II.A.5 Un élément de très faible électronégativité a tendance à ne pas retenir 
un
de ses électrons.
II.A.6 Pour calculer la compacité, il faut regarder où sont tangents les atomes
entre eux et relier ainsi RLi et a.
II.A.8 Comparer la masse volumique du lithium à celle d'autres métaux usuels.
II.B.1.a.ii Les nombres stoechiométriques dans une équation de réaction ne sont 
pas
forcément des nombres entiers. Le nombre décimal x peut être utilisé.
II.B.4.a 1 W.h est l'énergie fournie, pour une puissance de 1 W, pendant une 
heure.
II.C.1.a Écrire les demi-équations électroniques en milieu acide puis ajuster 
l'équation finale pour qu'elle corresponde à un milieu basique.
II.C.1.c Il faut s'intéresser à la thermodynamique de la réaction du lithium sur
l'eau, ainsi qu'aux produits formés.
II.C.2 Une estimation à un chiffre significatif de la conductivité de 
l'électrolyte
suffit.
Partie III
III.A.2.b Utiliser la première formule trigonométrique du formulaire à la fin 
du sujet.
III.A.3 Développer chacun des produits de sinusoïdes, remarquer que la somme de
trois des termes obtenus est nulle, puis regrouper les termes restants.
III.B.1 Ne pas oublier que la spire est en mouvement.
III.B.4 Considérer la valeur de la force de Laplace sur chacun des côtés de la 
spire
carrée.
III.B.6 Quel est le seul moyen pour orienter la force de Laplace dans l'autre 
sens ?

Le projet Hyperloop
I. L'air dans le tube
I.A.1.a Le réservoir à vider, de volume V0 et de pression initiale P0 , 
contient,
d'après la loi des gaz parfaits, une quantité de matière de gaz n0 donnée par
P0 V0 = n0 RT
La pression que l'on cherche est celle du réservoir au moment où l'orifice 
d'aspiration
se ferme. Or si l'on suppose que l'équilibre hydrostatique a le temps de 
s'établir
pendant une rotation de la pompe, cette pression est aussi celle qui existe 
dans le
volume constitué du réservoir et de la pompe pendant la phase d'aspiration. 
Comme
il s'agit de la même quantité de matière de gaz et qu'on suppose une évolution
isotherme, on peut aussi appliquer l'équation des gaz parfaits au volume 
constitué
de l'union du réservoir et de la pompe, soit
P1 (V0 + Vb ) = n0 RT = P0 V0
d'où

P1 = P0

V0
V0 + Vb

I.A.1.b Pour le second cycle, les calculs sont identiques mais la pression 
initiale
dans le réservoir est cette fois P1 au lieu de P0 . Il suffit donc de la 
remplacer dans le
résultat de la question précédente :

2
V0
V0
P2 = P1
= P0
V0 + Vb
V0 + Vb
Selon le même principe, on observe que pour tout k > 1,
V0
V0 + Vb

k
V0
Pk = P0
V0 + Vb
Pk = Pk-1

d'où

V0
<1
V0 + Vb
à chaque cycle, Pmin est donc la limite de la suite géométrique Pk , soit 0.
I.A.1.d Le volume d'air aspiré à la pression du réservoir pendant un cycle de la
pompe est Vb , que l'on multiplie par , le nombre de cycles par seconde, pour 
obtenir
le débit, d'où
I.A.1.c La pression dans le réservoir diminue d'un facteur constant

D = Vb
I.A.2.a La valeur du débit trouvée à la question précédente ne dépend que des
caractéristiques de la pompe et pas de la pression du réservoir. La courbe 
représentant D en fonction de P devrait donc être une droite horizontale, ce 
que l'on observe
à peu de choses près entre 2 mbar et 1 bar. À des pressions inférieures à 2 
mbar, le
débit volumique réel de la pompe s'effondre. Cela peut être expliqué en partie 
par le
fait que Vb n'est jamais totalement vide, il contient donc du gaz résiduel à 
une faible
pression qui est réintroduit dans le réservoir à chaque cycle. Ce processus 
devenant
de moins en moins négligeable à mesure que la pression du réservoir diminue, le 
débit
d'extraction est réduit en conséquence.

I.A.2.b Comme à la première question, on peut appliquer la loi des gaz parfaits 
à
la quantité d'air contenue dans le réservoir à la fin du cycle précédent :
Pk V0 = nk RT
De l'air s'introduit dans le réservoir pendant la phase d'aspiration, soit
Pk+1 (V0 + Vb ) = nk+1 RT
où nk+1 = nk + nf , nf étant la quantité d'air introduite et obéissant à 
l'équation
P0 Vf = nf RT. Par conséquent,
Pk+1 (V0 + Vb ) = Pk V0 + P0 Vf
d'où

Pk+1 = Pk

V0
Vf
+ P0
V0 + Vb
V0 + Vb

Cette équation montre que la pompe ne produit qu'un vide partiel dans le 
réservoir,
du fait du terme constant dans l'expression de la pression. Cela explique la 
chute du
débit volumique d'aspiration que l'on observe lorsque la pression dans le 
réservoir
diminue en-dessous d'un certain seuil.
I.A.2.c Sans chercher une expression explicite de Pk pour toutes les valeurs de 
k,
on se contente d'une recherche de point fixe pour en déterminer la limite quand 
k
tend vers l'infini :
Vf
V0
+ P0
P min = P min
V0 + Vb
V0 + Vb
soit
d'où

P min Vb = P0 Vf
P min = P0

Vf
Vb

L'énoncé n'est pas très clair sur la manière dont l'air est réintroduit à 
l'intérieur du réservoir : selon le modèle de fuite que l'on choisit, on peut 
obtenir
des résultats légèrement différents pour P min . Par exemple, si l'on considère 
que le volume d'air qui fuit provient d'une cavité dans la pompe et
s'ajoute alors à ceux du réservoir et de la pompe lors du cycle d'aspiration,
Vf
alors P min = P0
. Ces différences ne sont pas fondamentales et ne
Vb + Vf
changent pas l'interprétation physique des résultats.
I.A.2.d Les causes potentielles de la réintroduction d'air dans le réservoir 
sont
multiples : fuite dans le réservoir lui-même, mauvaise adhérence des palettes 
de la
pompe au stator de celle-ci, ou encore existence d'une petite cavité d'air dans 
la
pompe qui n'est pas balayée par les palettes, et qui a pour conséquence la 
présence
d'une quantité d'air résiduelle.
I.A.2.e Soit P la pression du réservoir. Le volume d'air extrait lors d'un 
cycle est
toujours Vb , mais ce débit est diminué par la quantité d'air qui fuit vers 
l'intérieur du
réservoir, soit un volume Vf à la pression P0 , ce qui correspond à un volume 
Vf P0 /P
P0
à la pression P. En fin de compte, le volume net extrait à chaque cycle est Vb 
-Vf .
P
Le débit volumique total est donc

P0
D =  Vb - Vf
P