Centrale Physique PSI 2014

Thème de l'épreuve Quelques aspects de la physique du viseur de casque TopOwl
Principaux outils utilisés électromagnétisme, magnétostatique, mécanique du point, induction
Mots clefs cristal liquide, afficheur, bobines de Helmholtz, détection de posture

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


& Ph ' > ; les informations sont projetées
sur sa visière et accompagnent donc les mouvements de la tête du pilote.

Ce problème, constitué de trois parties indépendantes, aborde deux aspects 
majeurs du fonctionnement du
viseur de casque TopOwl®. D'une part, l'affichage, dont on envisage ici deux 
réalisations pratiques : l'utilisation
de tubes cathodiques (partie I) ou d'afficheurs à cristaux liquides (partie 
II). D'autre part, la << détection de
posture >> permettant de repérer l'orientation de la tête du pilote par rapport 
au cockpit, afin de maintenir une
ligne d'horizon << horizontale >> (partie III).

I Affichage par tubes cathodiques

La première technique encore employée aujourd'hui pour l'affichage des 
informations relatives au vol est à
base de deux tubes cathodiques (cylindres de longueur 10 cm, de diamètre 2 cm 
environ) disposés sur les côtés
gauche et droit du casque. Les tubes cathodiques délivrent une << image >> 
lumineuse, représentant l'affichage
des informations. Cette image est ensuite transportée et projetée sur la 
visière du casque par un dispositif à
prismes et miroirs non étudié ici. Un tube cathodique est, en première 
approximation, un dispositif constitué
d'un canon à électrons produisant un faisceau d'électrons, d'un dispositif de 
déviation du faisceau électronique
et d'un écran fluorescent émettant de la lumière à l'endroit où il est frappé 
par le faisceau d'électrons. En réalité,
il faut aussi prévoir un dispositif de focalisation du faisceau, ce qu'on 
appelle une << lentille électrostatique >>. On
n'étudiera pas ici ce dispositif.

Nous allons étudier ici les principaux éléments d'un modèle simplifié de tube 
cathodique.

I.A -- Canon à électrons

Le canon à électrons est constitué d'une électrode métallique plane (appelée 
cathode) chauffée et émettant des
électrons par effet thermoélectronîque. La cathode est au potentiel 0 V. Les 
électrons sont émis avec une vitesse
négligeable et sont ensuite accélérés sous l'effet d'un champ électrique, créé 
par la différence de potentiel régnant
entre la cathode émettrice et une seconde électrode métallique plane (l'anode), 
parallèle à la cathode, portée au
potentiel V0 = 2 kV. On suppose, pour l'instant, que le faisceau électronique 
est parfaitement parallèle à l'axe

de révolution 02: du tube cathodique, perpendiculaire aux deux électrodes et de 
diamètre négligeable. L'anode
est percée en son centre pour permettre au faisceau de la traverser.

I.A.1) Exprimer la vitesse 00 acquise par les électrons lorsqu'ils franchissent 
l'anode en fonction de V0, m et
6, où m désigne la masse de l'électron et e la charge élémentaire.

I.A.2) Calculer 00 numériquement.

I.B -- Dispositif de déviation du faisceau

Le faisceau sortant du canon à électrons est supposé homocinétique (de vitesse 
00) et est confondu avec l'axe de
révolution Oz du tube cathodique. Nous étudions ici le dispositif permettant de 
dévier le faisceau dans le but
de lui faire frapper un point quelconque de l'écran. Ce dispositif est 
constitué de deux paires de bobines plates
identiques d'axes respectifs 0516 et Oy dites « de Helmholtz >> permettant de 
soumettre le faisceau a un champ
magnétique constant et uniforme dans une zone de longueur [ = 5,0 mm. Le 
faisceau traverse ainsi une zone
plongée dans un champ magnétique constant et uniforme BOEÜOE + Byüy. On 
admettra qu'en dehors de cette
zone, le champ magnétique est nul.

I.B.1) Écrire et projeter l'équation du mouvement d'un électron traversant 
cette zone.

I.B.2) On suppose que les composantes de vitesse "UOE et % sont très petites 
devant "UZ. Quelle est alors la
valeur de fUZ ? En déduire l'expression des composantes vOEf et vyf de la 
vitesse d'un électron a la sortie de la
zone de champ magnétique non nul, ainsi que l'expression des déviations 
transversales Aæmag et Aymag subies
par un électron du fait du champ magnétique. On donnera ces expressions en 
fonction de e, m, [, BOE et/ou By
et éventuellement de 00.

I.B.3) Entre la sortie de la zone de déviation et l'écran, l'électron traverse 
une zone de longueur d = 2,0 cm
où le champ magnétique est nul. Le spot obtenu sur l'écran peut être dévié au 
maximum de :l:4,5 mm selon les
deux axes. Calculer numériquement la valeur maximale des composantes B,, et By.

I.B.4) On cherche dans cette question à évaluer la qualité de l'approximation 
faite en I.B.2.

a ) En intégrant directement et sans approximation les équations 
différentielles régissant les composantes fuæ(t)
et vy(t), que pouvez--vous dire des composantes fume et vyf de la vitesse d'un 
électron a la sortie de la zone de
champ magnétique non nul ?

b) Toujours sans faire d'approximation, montrer que fuz(t) est régie par une 
équation différentielle du second
e

ordre et donner l'expression de fuz(t). On pourra introduire la grandeur wc 
définie par : wc : --, /Bâ + 35.
777.

c) En déduire que le temps de vol At de l'électron dans la zone de champ 
magnétique non nul est donné par
lwc

l'équation : sin(wcAt) :
"0

d) Déduire de ce qui précède l'expression et la valeur numérique de la 
composante fuzf a la sortie de la zone de

champ magnétique non nul. On utilisera les valeurs de BOE et By calculée en 
I.B.3. Conclure.

II Affichage par LCD (liquid crystal display)

Ces afficheurs tendent à remplacer les tubes cathodiques. Le temps de latence 
de l'afficheur à cristaux liquides
du viseur de casque est de l'ordre de 5 ms, inférieur au temps de persistance 
rétinienne (lequel est de l'ordre de
120 ms). Nous allons en étudier le principe de fonctionnement.

Les cristaux liquides sont des matériaux présentant des propriétés physiques 
intermédiaires entre les phases
solides et liquides. Ils sont en général constitués de longues macromolécules 
organiques (que l'on peut assimiler
a des bâtonnets).

||||| / \ \ \/
'|'|'|'|'| '\W\'\'\ f//Yô/
||||| \/\\/ /\\Y\
||||| /\\/\ \
||||| \|\/\ >t\\\>
||||| \/\// | \\4/
'|'|'|'|'| '\/\//'l'\ : l/\\
||||| \\/1/ //T
Figure2

Une conséquence immédiate est l'anisotropie des propriétés physiques des 
cristaux liquides, et notamment de
leurs propriétés optiques. Cette anisotropie est généralement plus élevée que 
dans les cristaux. L'existence
d'un ordre liquide garantit par ailleurs le caractère fluide des cristaux 
liquides et dans une certaine mesure le
basculement facile des axes des molécules en bâtonnets. Cette propriété est 
essentielle pour l'application aux
affichages.

2014-03-04 08:21:27 Page 2/8 OE=c BY--NC-SA

Il existe plusieurs phases cristal liquide, présentant différents degrés et 
types d'ordre. Nous ne considérerons
que les cristaux liquides dits « nématiques », qui présentent un ordre 
d'orientation mais non de position : les
bâtonnets ont tendance a s'aligner parallèlement les uns aux autres, mais sont 
libres de glisser les uns sur les
autres. La direction moyenne locale des axes moléculaires est alors repérée par 
un vecteur unitaire ñ, appelé
directeur de la phase nématique. Seule importe sa direction ; son sens n'a pas 
de sens physique.

3i

Figure 3 Molécules de cristal liquide
orientées

II.A -- Eoepérience préliminaire
On considère un cristal liquide contenu dans un prisme creux d'angle au sommet 
A : 20,0°. Les faces de ce

prisme ont été préalablement traitées par frottement pour permettre aux 
molécules de nématique de s'ancrer
sur elles, parallèlement à l'arête du prisme.

A v
Figure 4 Molécules ancrées
sur les faces du prisme

On envoie sur le prisme un faisceau laser non polarisé, perpendiculairement a 
l'arête du prisme et arrivant sur
la face d'entrée du prisme sous incidence normale. On récupère en sortie du 
prisme deux faisceaux polarisés
rectilignement : l'un, polarisé selon le directeur fñ des molécules (décrit par 
son champ électrique EH ), dévié d'un

angle Dll : 13,2° ; l'autre de champ électrique Ël, polarisé 
perpendiculairement au directeur, dévié d'un angle
D i = 9,00.

Ên

prisme

Figure 5

II.A.1) Expliquer comment et avec quel matériel vous procéderiez pour 
déterminer les états de polarisation
des deux ondes émergentes.

II.A.2) L'expérience décrite ci--dessus suggère que les deux composantes du 
champ électrique Êll et Ël « ne

voient pas » le même indice de réfraction dans le nématique : on dit que le 
milieu est « biréfringent >>. Donner

les valeurs numéri ues des deux indices n et n . On su osera ue les ro riétés 0 
ti ues de l'air ambiant sont
q |\ J_ pp 01 p p p q

celles du vide.

II.B -- Cellule d'afiîchage & nématique torsadé

La figure 6 représente une cellule d'affichage à nématique torsadé, 
correspondant a un pixel. Le schéma (a)
montre que les directions d'ancrage des molécules en bâtonnets sur la face 
d'entrée de la cellule (en haut) et
sur la face de sortie (en bas), forment un angle de 90° : de ce fait, le 
directeur ñ tourne de 90° entre l'entrée de
la cellule et la sortie, formant un quart d'héli0e. Toujours sur ce schéma (a), 
on a figuré le faisceau lumineux
incident qui est polarisé rectilignement selon la direction d'ancrage de la 
face d'entrée. Ce schéma montre que la
direction de polarisation de l'onde suit l'évolution du directeur, de sorte 
qu'en sortie, la direction de polarisation
de l'onde est celle de l'azimut du polariseur de sortie (ou analyseur) : la 
lumière passe, le pixel est allumé.

2014-03-04 08:21:27 Page 3/8 OE:C BY--NC-SA

Figure 6 Cellule d'affichage à nématique torsadé

Le schéma (b) correspond au cas où la cellule est soumise à une tension V % 200 
V. Sous l'effet du champ
électrique stationnaire dû a la tension appliquée, les molécules s'orientent 
perpendiculairement aux faces de la
cellule. Dès lors, la direction de polarisation de l'onde n'est plus affectée 
par le milieu. Par conséquent, l'onde
est polarisée perpendiculairement a la direction de l'azimut du polariseur de 
sortie : la lumière ne passe pas, le
pixel est éteint.

L'objet de cette partie est de comprendre le fonctionnement de cette cellule 
et, notamment, l'interaction entre
les molécules du nématique et la polarisation de l'onde lumineuse.

II.B.1) On s'intéresse dans un premier temps au cas où la cellule est sous 
tension (cas de la figure 6b).
L'onde incidente est plane, progressive, monochromatique (de pulsation w) et 
polarisée rectilignement selon 7% :
Ê(z < O,t) : E0 exp(j(wt -- k0z))ño où ko : w/c.

&) On suppose qu'on peut assimiler les molécules de nématique a des dipôles 
électrostatiques dont le moment
dipolaire Î9 est parallèle à leur axe. Expliquer pourquoi l'application de la 
tension V oriente les molécules
perpendiculairement aux faces d'entrée et de sortie.

b) Dans cette configuration, lequel des deux indices de réfraction n" ou nl est 
perçu par l'onde lors de sa
propagation dans la cellule ? Donner l'expression du champ de l'onde dans le 
plan z = d de la face de sortie.
Interpréter les observations correspondant au schéma (b) de la figure 6.

II.B.2) Propagation d'une onde électromagnétique polarisée rectilignement dans 
un nématique
torsadé

On s'intéresse maintenant au cas où la cellule n'est soumise à aucune tension 
(cas de la figure 6a). On modélise
le milieu torsadé par un empilement de couches ]z, z + dz] de faible épaisseur 
: au sein de chaque couche, le
directeur ñ est supposé constant, formant l'angle çb(z) avec la direction 
d'ancrage ñ(0) : ñ0 des molécules dans
le plan d'entrée. « L'enroulement >>, supposé régulier (ce qui signifie que 
çb(z) varie linéairement avec z), se fait
dans le sens indiqué sur la figure 6.

d
&) Exprimer d--Çb en fonction du pas 19 de l'hélice, puis en fonction de la 
distance d entre les faces d'entrée et
z

de sortie.

On introduit un vecteur unitaire ñl(z) défini par le fait que la base (ñ(z), 
ñl(z), @) est orthonormée directe.
On cherche le champ électrique de l'onde se propageant dans le milieu sous la 
forme :

-->

E(Z7 75) = (a(Z)ñ(2) + b(Z)ñi(2)) eXp(jwt)
b) Soit Êe(z, t), le champ pénétrant dans la couche [z, z + dz].
Par définition, Êe(z, t) : (a(z)ñ(z) + b(z)ñfiz)) exp(jwt). Montrer que le 
champ sortant de la couche en z + dz
s'écrit :
Ês(z, t) : (exp(--jkonl] dz)a(z)ñ(z) + exp(--jkonl dz)b(z)ñflz)) exp(jwt)

c) Exprimer le champ électrique Êe(z+ dz, t) pénétrant dans la couche ]z+ dz, 
z+ 2 dz] en fonction notamment

dcb

des fonctions a(z), b(z), de leurs dérivées et de d--'
z

d) En supposant ko dz << 1, déduire des questions b et c que les fonctions a(z) 
et b(z) vérifient le système
différentiel linéaire suivant :

da _ 7T
@ + Jkon|]a(Z) = --ÿb(2)
db

_ 7T
@ +ykonib -- ÿa

2014--03-04 08:21:27 Page 4/8 ]Ë°

6} On en cherche des solutions sous la forme: a(z) : 00 exp(az) et b(z) : bO 
exp(az). Quelle est l'équation
vérifiée par 04 ?
f} On définit l'approximation de Mauguin par la condition : clAn >> ÀO / 2, où 
An : "Il -- nl et ÀO désigne la
longueur d'onde dans le vide de l'onde. Calculer les deux valeurs 051 et 042 de 
oz obtenues dans le cadre de cette
approximation.

9) En s'aidant des résultats de la question II.A.2, justifier que, dans 
l'approximation de Maugin, le champ
électrique est de la forme

---->

E(z,t) : (Aexp(--jkonuz)fñ(z) + Bexp(--jkonlz)ñl(z)) exp(jwt)

h} Compte tenu de la condition aux limites en 2: = 0 (on rappelle que l'onde 
incidente est donnée par
ÊnC(z < 0,75) = E() exp(j(wt -- ka))ñ0), donner l'expression finale du champ 
électrique. Interpréter enfin les
observations correspondant au schéma (a) de la figure 6.

l} Quelle épaisseur minimale doit--on donner a la cellule sachant que ÀO : 
0,555 pm et que An : 0,184 ?
II.B.3) Afficheur extra--plat

Les considérations développées ci--dessus montrent que la cellule d'affichage 
ne remplit correctement son office
que si la condition de Mauguin dAn >> ÀO/ 2 est vérifiée, ce qui suppose de 
conférer a la cellule une épaisseur
importante. Dans la pratique, on cherche à réduire cette épaisseur.

Dorénavant, on ne suppose plus la condition de Mauguin vérifiée : cl est 
quelconque. Dans ces conditions, on
obtient deux valeurs possibles oz+ et of pour la constante 04 (ces deux valeurs 
dépendant a la fois de "Il et n 1):
de sorte que les deux fonctions a(z) et b(z) s'écrivent a priori sous la forme 
: a(z) : al exp(ofiz) + 02 exp(a_z)
et b(z) = 191 exp(ofiz) + 02 exp(o:_z).

&) Compte tenu de la condition aux limites en 2: = O, montrer que la fonction 
b(z) s'écrit :

lEUR lEUR ClA
b(Z) : 2jb1 EURXP <_Jîo

2d

On dispose ici le polariseur de sortie parallèlement au polariseur d'entrée.

Montrer que le rapport T de l'intensité du faisceau émergeant de ce polariseur 
à l'intensité du faisceau émergeant
du polariseur d'entrée est donné par la formule de Gooch--Tarry :

sin2 (%V1 + u2)

_ 1+u2

012 \
0:10 \
\\ / \
Z:Zî \ / \ -
\/ \ /\ -
V V

JË/2Æ/4 u 6 8 10

{LI/2:

Transmission

ul :
Figure 7

c) La figure 7 donne la courbe représentative de la fonction T (u) Quelle 
valeur de u vous paraît optimale ? À
quelle épaisseur d cela correspond--il ? (On prendra ÀO : 0,555 pm et An : 
0,184.) Identifier sur la courbe le
domaine de validité de l'approximation de Mauguin. Conclure.

2014-03-04 08:21:27 Page 5/8 OE:C BY--NC-SA

[--l

d) Dans le cas où le polariseur de sortie est perpendiculaire au polariseur 
d'entrée, pouvez--vous sans calcul

exprimer le facteur de transmission T ' en fonction de T ? Quelle serait alors 
l'épaisseur optimale? À quelle
configuration correspond le schéma (a) de la figure 6 ?

III Détection électromagnétique de posture

Nous abordons dans cette partie l'étude du dispositif permettant de détecter la 
position et l'orientation de la
tête du pilote par rapport au cockpit de l'hélicoptère. Il est constitué d'un « 
cube émetteur >> d'environ 2 cm de
côté, solidaire du cockpit et fixé au--dessus de la tête du pilote, et d'un « 
cube récepteur >> identique au précédent,
situé dans le casque du pilote. Les cubes sont constitués chacun de trois 
paires de bobines plates circulaires
identiques, une paire par axe du cube. Chaque bobine plate est constituée de N 
spires jointives et on néglige
l'épaisseur de l'enroulement correspondant.

Figure 8

III.A -- Paire de bobines parallèles

Chaque paire de bobines est disposée selon un arrangement particulier que l'on 
va déterminer et dont on va voir
l'intérêt dans le contexte du problème posé.

III.A.1) Soit une bobine plate circulaire de centre O, de rayon a, constituée 
de N spires jointives parcourues
par une intensité i. Calculer le champ magnétique créé par la bobine en tout 
point de son axe de symétrie Oz.
III.A.2) On considère maintenant deux bobines identiques à la précédente, de 
même axe de symétrie 0.2: et
parcourues par le même courant i, dans le même sens. Les bobines sont disposées 
symétriquement par rapport
a l'origine O et sont distantes de 2d.

a ) Calculer le champ magnétique total en tout point M de l'axe Oz en fonction 
notamment de la cote z de M ,
du rayon a des bobines et de la distance d.

I)) Montrer que le champ magnétique total en un point M de l'axe, très éloigné 
des bobines, s'écrit :

H N' 3 d 2 2
Boe'uO '(Î) (2+12(--) --3(Î) )ü,
2a 2: z z

III.A.3) À quelle condition sur cl, le champ Ë créé par les bobines a grande 
distance est--il dipolaire ? Que
vaut alors le moment magnétique % équivalent aux deux bobines ? (Le champ 
magnétique créé par un dipôle
magnétique est rappelé en fin d'énoncé.)

La disposition des bobines d'une paire qui vient d'être déterminée, parallèles 
et orientées dans le même sens,
est donc celle qui réalise le mieux l'approximation dipolaire.

III.B -- Détection de posture : principe de fonctionnement

Chaque paire de bobines parallèles émettrices est alimentée séquentiellement 
par un courant sinusoïdal de
pulsation wo pendant une durée T où wOT >> 1. En d'autres termes, la paire de 
bobines d'axe Ox est alimentée
pendant l'intervalle de temps [O, T], la paire de bobines d'axe Oy est 
alimentée pendant l'intervalle de temps
[T, 2T] et la paire de bobines d'axe Oz est alimentée pendant l'intervalle de 
temps [2T,3T]. On recommence
ensuite le cycle.

Au cours de l'intervalle [O, T], on mesure la tension aux bornes des trois 
paires de bobines parallèles réceptrices
(deux bobines étant montées en série au sein d'une paire associée à un axe). On 
procède de même au cours des
intervalles [T, 2T] et [2T, 3T]. Les informations ainsi collectées vont nous 
renseigner sur l'orientation de la tête
du pilote, dont le « cube récepteur >> est solidaire.

III.B.1) La fréquence du signal alimentant les bobines émettrices vaut fo : 
5OkHZ. Y a--t--il lieu de tenir compte

de la propagation entre les bobines émettrices et les bobines réceptrices ? 
Peut--on utiliser la formule du champ
dipolaire employée a la question III.A.3 pour évaluer le champ magnétique créé 
par les bobines émettrices ?

La structure dipolaire du champ nous permet de connaître précisément la 
position du centre du cube récepteur
par rapport au centre du cube émetteur1.

Dans la suite, on supposera, pour simplifier, que le centre O' du cube 
récepteur est a la verticale du centre O
du cube émetteur. On note D, la distance séparant O et O'.

En réalité, le champ n'est pas parfaitement dipolaire du fait, notamment, des 
perturbations électromagnétiques de l'environnement.
On doit alors réaliser une cartographie du champ magnétique dans la zone 
entourant le casque du pilote.

2014-03-04 08:21:27 Page 6/8 [EC BY--NC-SA

III.B.2) On se place dans l'intervalle de temps [O, T] : seules les bobines 
émettrices d'axe 0513 sont donc alimen--
tées et parcourues par le courant i(t) : [ cos(w0t). On considère l'état de 
référence pour lequel le cube récepteur
centré en O' a ses axes (O'oe, O'y, O'z) parallèles a ceux du cube émetteur.

{\ @ Emetteur
: , oe
U 0 U

\1 y Récepteur

D>>a

Figure 9

&) Que vaut le champ magnétique Ë(O', t) ? Selon quel axe est--il dirigé ?
b) Que vaut la force électromotrice eoe(t) induite dans la paire de bobines 
réceptrices d'axe O'a: ? On supposera

ces bobines orientées dans le sens direct relativement a l'axe O'oe. Que 
peut--on dire des forces électromotrices
induites dans les paires de bobines d'axes respectifs O'y et O'z ?

c) On suppose maintenant que le cube récepteur subit une rotation d'angle % 
autour de son axe O'oe par
rapport a l'état de référence. Répondre aux mêmes questions qu'en b. Que 
constatez--vous ?

d) On revient à l'état de référence et on fait subir au cube récepteur une 
rotation d'angle % autour de son axe
O'y. Calculer les nouvelles valeurs prises par les forces électromotrices 
eoe,(t) et ez,(t) induites dans les paires
de bobines d'axes respectifs O'a: et O'z en fonction de eæ(t) et de l'angle %. 
On adoptera la même convention
d'orientation pour les paires de bobines d'axes O'y et O'z relativement a leurs 
axes respectifs que pour la paire
de bobines d'axe O'oe.

@) On revient à l'état de référence et on fait subir au cube récepteur une 
rotation d'angle @ autour de son axe
O'z. Calculer les nouvelles valeurs prises par les forces électromotrices 
ca,/(t) et (ay/(t) induites dans les paires
de bobines d'axes respectifs O'a: et O'y en fonction de e,,(t) et de l'angle @.

f ) Les résultats obtenus aux questions précédentes montrent que la force 
électromotrice est,, (t) dépend a la fois
des rotations d'axes O'y et O'z. La composition des rotations étant une 
opération non triviale, on décide de
s'en affranchir en s'abstenant de mesurer eoe/ (t) pendant l'intervalle de 
temps [O, T]. On posera donc : est,, (t) = 0
dans cet intervalle.

Montrer qu'on peut formellement écrire les résultats obtenus dans l'intervalle 
de temps [O, T] sous forme d'une
matrice liant les vecteurs (eoe,(t), (ay/(t), ez,(t)) et (eæ(t), O, O).

III.B.3) On se place dans l'intervalle de temps [T, ZT], seules les bobines 
émettrices d'axe Oy sont donc ali--
mentées et parcourues par le courant i(t) : ] cos(w0t). De manière analogue à 
la démarche adoptée en III.B.2,
on ne mesure que les forces électromotrices eOE/(t) et (az/(t). En procédant 
comme ci--dessus, établir la relation
matricielle liant les vecteurs (eoe/ (t), ey/(t), ez; (t)) et (O, e,,(t), 0), 
où ey(t) désigne la force électromotrice induite
dans la paire de bobines d'axe O'y dans la configuration de référence

III.B.4) Enfin, on se place dans l'intervalle de temps [27', BT], seules les 
bobines émettrices d'axe 0.2: sont donc
alimentées et parcourues par le courant i(t) : ] cos(wot). De manière analogue 
a la démarche adoptée en lll.B.2,

on ne mesure que les forces électromotrices (aw/(t) et cay/(t). En procédant 
comme ci--dessus, établir la relation

matricielle liant les vecteurs (ca,; (t), cay/(t), ez; (t)) et (O, O, ez(t)), 
où ez(t) désigne la force électromotrice induite
dans la paire de bobines d'axe O'z dans la configuration de référence.

III.B.5) Synthétiser les mesures effectuées au cours des trois intervalles de 
temps [0,7'], [T,27'] et [27',37'] a
l'aide d'une unique relation matricielle. Justifier que l'on a bien réalisé une 
détection de posture. Sachant que
T % 5 ms et que le temps de réponse maximal admissible est de l'ordre de 20 ms, 
le cahier des charges vous
paraît--il rempli ?

2014-03-04 08:21:27 Page 7/8 OE=c BY--NC-SA

Données numériques

Célérité de la lumière dans le vide (: = 3,00 >< 108 ms--1
Masse de l'électron m = 9,11 >< 10_31 kg
Charge élémentaire e = 1,60 >< 10_19 C
Perméabilité magnétique du vide 00 = 471" >< 10_7 H-m_1
Permittivité diélectrique du vide 50 = 8,85 >< 10-12 F-m--1
Constante des gaz parfaits R = 8,32 J-K_1-mol_1
Nombre d'Avogadro NA : 6,02 >< 1023 mol--1
Constante de Boltzmann kB : 1,38 >< 10_23 J-K_1
Constante de Planck h = 6,626 >< 10_34 J-s
Formulaire

Développement limité au voisinage de 0 :

(CL--1)

(1+oe)"=1+aoe+a 2 oe2+0(oe2)

Expression du champ magnetique cree par un d1pole magnet1que m : muz en 
coordonnees spher1ques :

--> _ Mom
B... _ 47T7"3

(2 eos @@ + sin 9%)

oooFlNooo

2014-03-04 08:21:27 Page 8/8 OE:C BY--NC-SA

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique PSI 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Michel Fruchart (Professeur agrégé) ; il a été relu 
par
Stanislas Antczak (Professeur agrégé) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE).

En prenant comme prétexte l'étude d'un viseur de casque militaire, ce sujet 
traite
principalement de mécanique, d'électromagnétisme, de magnétostatique et 
d'induction. Les trois parties sont véritablement indépendantes.
· Une première partie traite de l'affichage par tubes cathodiques : il s'agit 
d'un
exercice de mécanique du point qui demande de l'attention pour bien appréhender 
le dispositif modélisé et suivre le déroulement prévu par l'énoncé, mais
qui est simple d'un point de vue technique.
· Une deuxième partie traite des afficheurs à cristaux liquides nématiques et 
donc
de la propagation des rayons lumineux dans les nématiques, qui sont des milieux 
anisotropes, en particulier du point de vue de la polarisation (on parle de
biréfringence). L'étude de la biréfringence n'étant pas au programme en PSI,
l'énoncé tente d'introduire les notions nécessaires. On peut s'en sortir en 
suivant le sujet sans se poser trop de questions, mais le sujet échoue à 
dispenser
une compréhension satisfaisante du phénomène sans connaissance préalable.
À condition de passer outre l'étape de la biréfringence, le problème est assez
bien guidé dans les grandes lignes mais nécessite de soigner les calculs, dont
la difficulté technique est progressive. Un obstacle supplémentaire consiste à
comprendre le dispositif de la figure 6 et à passer d'une disposition à l'autre
entre celles qu'étudie l'énoncé.
· Une dernière partie est dédiée à la détection électromagnétique de posture :
il s'agit de savoir de quel angle le pilote d'un hélicoptère tourne la tête par
rapport au cockpit. Le début de cette partie est le problème des bobines de
Helmholtz : il s'agit d'un exercice d'application classique. On entre ensuite 
dans
le domaine de l'ingénierie : une succession de mesures permet de remonter à 
trois
angles décrivant la posture du pilote. Cette partie n'est pas particulièrement
difficile conceptuellement, mais la difficulté technique associée à la 
description
d'un système relativement élaboré se fait sentir.
En faisant appel à des compétences issues de plusieurs parties du programme, ce
sujet tourné vers l'ingénierie traite de problèmes concrets. Sans être 
particulièrement
difficile d'un point de vue technique ou physique, il demande un certain recul 
pour
aller au but. Certaines questions s'éloignent du cours, d'autres sont des 
applications
classiques, qui doivent être bien maîtrisées.

Indications
Partie I
I.A.1 Utiliser une méthode énergétique.
I.B.2 On peut utiliser le fait que la force de Lorentz magnétique ne travaille 
pas.
I.B.4 On obtient une équation différentielle du second ordre en dérivant une 
équation différentielle du premier ordre.
Partie II
II.A.2 Traiter indépendamment les deux faisceaux en utilisant la loi de 
SnellDescartes de la réfraction.
II.B.1 Quelle est l'énergie d'interaction entre un dipôle électrostatique et un 
champ
électrostatique ?

).
II.B.2.c Il est utile d'expliciter les vecteurs de la base (-
n (z), -
n(z), -
u

z

II.B.2.d Utiliser le développement limité de l'exponentielle.
II.B.2.f Il est plus simple de résoudre l'équation avant d'utiliser 
l'approximation de
Mauguin. Il est plus pratique d'écrire cette approximation en fonction de k0 ,
mais l'énoncé semble préférer jongler entre k0 et 0 sans raison apparente.
II.B.2.g Il s'agit d'attribuer une solution  à une direction de polarisation.
II.B.2.i Quelle supposition a été faite dans le calcul ? Il faut décider d'un 
critère
arbitraire pour décider si cette supposition est justifiée.
+

II.B.3.a Il faut déterminer les solutions - si cela n'est pas déjà fait.
II.B.3.d Utiliser la conservation de l'énergie dans un polariseur parfait.
Partie III
III.A.1 Utiliser la loi de Biot et Savart.
III.A.2 Il faut utiliser un développement limité à un ordre suffisant. Le 
développement limité pertinent est donné en annexe.
III.B.2.a Il faut utiliser la forme dipolaire du champ à partir de cette 
question.
III.B.2.f Commencer par écrire l'ensemble des résultats comme une égalité entre
vecteurs.
III.B.5 Utiliser le principe de superposition.

Quelques aspects de la physique du viseur de
casque TopOwl
I. Affichage par tubes cathodiques
I.A.1 Notons L la distance séparant l'anode et la cathode. Le champ électrique 
dû

-
. Chaque électron
à la différence de potentiel entre les électrodes est E = - (V0 /L) -
u
z

-

-

-

-
est soumis à la force de Lorentz F = -e E et à son poids P = m g . Dans un canon
à électrons, on s'attend à ce que le poids joue un rôle négligeable. 
Vérifions-le en
calculant le rapport des deux forces

-
kPk
mLg
-15
 = eV0 = 10
-
kFk
en prenant comme ordre de grandeur de L la longueur totale du tube cathodique,
soit 10 cm. On peut donc négliger l'effet de la pesanteur, ce qu'on fera dans 
la suite.
D'après le théorème de l'énergie mécanique, la vitesse finale d'un électron :
1
mv0 2 = eV0
2
r
2eV0
ce qui conduit à
v0 =
m
I.A.2 Numériquement

v0 = 2,65.107 m/s

Cette vitesse est de l'ordre du dixième de la vitesse de la lumière. C'est
habituellement la limite de validité de la mécanique newtonienne : à cette
vitesse, elle ne s'écarte que d'un centième de la mécanique relativiste.
I.B.1 Le principe fondamental de la dynamique appliqué à l'électron soumis 
uniquement à la force de Lorentz donne l'équation du mouvement

-
d-
v

m
= -e-
v B
dt

dvx

m
= evz By

dt

dvy
m
= -evz Bx
Après projection,
dt

dvz

m
= e (vy Bx - vx By )
dt
I.B.2 Comme la force de Lorentz magnétique ne travaille pas, le théorème de 
l'énergie cinétique assure la conservation de la norme de la vitesse lors du 
mouvement :
d  m 2
dv
v =0
donc
=0
dt 2
dt
Ainsi,

vx 2 + vy 2 + vz 2 = v0 2

Dans la limite où les composantes vx et vy sont très petites devant la 
composante vz ,
on en déduit
vz = v0
c'est-à-dire que la vitesse dans la direction de l'axe ne change pratiquement 
pas. Dans
cette approximation les équations différentielles régissant les composantes vx 
et vy
sont à coefficients constants, et s'intègrent en
vx (t) =

eBy
v0 t
m

et

vy (t) = -

eBx
v0 t
m

Déterminons l'instant tf où l'électron sort de la zone de champ magnétique non 
nul :
il vérifie tf = v0 /. À cet instant, les composantes transversales de la 
vitesse sont
vxf =

eBy

m

et

vyf = -

eBx

m

Pour obtenir les déviations transversales, intégrons les vitesses transversales 
entre
l'entrée de la zone où règne un champ magnétique non nul en t = 0 et un instant 
t,
Z t
Z t
eBy 2
eBx 2
x(t) =
vx (t )dt =
v0 t
et
y(t) =
vy (t )dt = -
v0 t
2m
2m
0
0
et prenons pour t l'instant de sortie tf = v0 / pour obtenir les déviations
xmag =

eBy 2
m 2v0

et

ymag = -

eBx 2
m 2v0

I.B.3 L'électron libre parcourt la zone de longueur d en un temps d/v0 . Les 
déviations transversales dans cette zone sont donc
xlib = vxf

d
v0

et

ylib = vyf

d
v0

Les déviations totales sont alors
x

xtot = xmag + xlib
ytot = ymag + ylib

By e 
xtot =
+d
2
mv0

Bx e 
ytot = -
+d
2
mv0

xlib

xmag

O

z

d
Imposons |xtot | = |ytot | = xmax : cela correspond à une valeur maximale de
champ magnétique
Bmax =

xmax
= 6,0 mT
(/2 + d) e /mv0