Centrale Physique PSI 2009

Thème de l'épreuve Quelques enjeux de la fusion thermonucléaire inertielle laser
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, mécanique du point, ondes, optique géométrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2009

Épreuve :

PHYSIQUE

Filière

PSI

PHYSIQUE

Filière PSI

PHYSIQUE
Calculatrices autorisées.

Quelques enjeux de la fusion thermonucléaire inertielle laser
Les différentes parties sont très largement indépendantes. Tout résultat donné
par l'énoncé peut être utilisé dans les questions suivantes sans justification. 
On
respectera scrupuleusement la syntaxe de numérotation des questions.
Les réserves des principaux combustibles fossiles sont limitées. L'impact 
environnemental de l'utilisation de ces combustibles fossiles ne peut plus être
ignoré. Il est désormais impératif de multiplier les efforts pour développer 
l'unique option actuelle de production d'énergie à long terme, qui puisse 
satisfaire
les besoins énergétiques de nos sociétés à l'avenir : la fusion de noyaux 
légers.
La production d'énergie par fusion thermonucléaire non-contrôlée (explosive)
est une technologie maîtrisée depuis
1952. L'obtention de la fusion thermonucléaire contrôlée fait l'objet de 
recherches intenses depuis les années 60. Une
des méthodes étudiées actuellement est
le confinement inertiel laser, qui consiste simplement à effectuer une micro
combustion d'un microballon rempli de
mélange fusible, relativement peu destructrice. Le choix d'une faible quantité
de mélange fusible, de l'ordre de la
dizaine de milligrammes, permet de
Figure 1 : Irradiation du microballon
préserver relativement l'environnement
immédiat de la cible. Ce type d'expérience permet dans un premier temps de
supprimer totalement les essais nucléaires, la physique de la combustion d'un
microballon étant extrapolable à celle d'un engin militaire. La récupération de
l'énergie dégagée par fusion pourra intervenir par la suite. Des recherches 
actives dans ce sens, dont le projet HIPER (High Power Laser Energy Research),
sont en cours. Le Laser MégaJoule (LMJ) du Commissariat à l'Énergie Atomique, 
en construction près de Bordeaux, et le National Ignition Facility en 
construction en Californie, sont prévus pour atteindre la fusion dès 2011. Le 
principe
sur lequel reposent ces grands instruments (Cf. figure 1) est d'envoyer une

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grande quantité d'énergie sur un matériau fusible contenu dans un microballon
(mélange Deutérium Tritium (DT)) pour le comprimer à haute température, de
2
3
sorte à permettre sa fusion, selon la réaction D + T A _ ( 3, 5 MeV ) + n ( 14 
MeV ) .

Partie I - Instabilités hydrodynamiques
Lorsque l'on irradie le microballon avec des faisceaux laser, comme on le 
réalisera avec les 240 faisceaux lasers du LMJ, on provoque la vaporisation 
partielle
de l'enveloppe externe du microballon. Cette enveloppe externe, ou coquille,
mélange équimolaire de carbone et d'hydrogène ( CH ) , ne peut pas participer à
la fusion ; elle se détend prioritairement vers les zones libres, i.e. 
radialement
vers l'extérieur environnant du microballon. Le plasma de carbone et 
d'hydrogène ainsi créé se détend surtout vers le vide, mais en contrepartie 
comprime le
restant de coquille solide non vaporisé par effet fusée, vers le centre du 
ballon.
La coquille pousse à son tour le mélange DT qui fusionne lorsque sa température 
et sa pression sont devenues suffisantes.
On se propose dans
cette partie d'étuV h = V hex
dier la croissance de
défauts
géométriques à l'interface
entre la coquille
V b = V bex
transformée
en Figure 2 : Équivalence avec la superposition lourd-léger
plasma (léger) et la
coquille solide (lourde), interface appelée front d'ablation. Le CH léger
« pousse » le CH lourd ; Geoffrey Ingram Taylor a montré en 1950 que cette
situation de fluide léger accéléré dans un fluide lourd est analogue, si l'on
observe une petite portion de la coquille ablatée assimilable à son plan 
tangent,
à la superposition d'un fluide lourd sur un fluide léger dans le champ de 
gravitation, représentée figure 2.
On note + h la masse volumique du fluide situé au-dessus de l'interface, et + b
celle du fluide du dessous, toutes deux constantes. On indicera de la même
manière toutes les autres grandeurs. On suppose qu'à l'instant initial le
fluide du bas se déplace en bloc horizontalement en possédant la vitesse 
constante V b = V b e x et que le fluide du haut se déplace aussi en bloc 
horizontale-

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ment en possédant la vitesse constante V h = V h e x . On se propose dans la 
suite
de cette partie d'étudier de manière générale cette superposition de deux 
fluides
dans le champ de pesanteur en gardant à l'esprit que l'équivalence avec la
coquille vaporisée poussant la coquille solide est vérifiée lorsque + h > + b .
I.A - Hydrostatique
On suppose dans cette partie que V h = V b , + h et + b quelconques.
I.A.1)
Comment ramener la situation de la figure 2 à une situation
d'hydrostatique ?
I.A.2)
Cette situation de fluide lourd reposant sur un fluide léger avec une
interface horizontale est-elle une situation stable ?
I.A.3)
Déterminer le champ de pression dans le fluide avant tout mouvement.
On notera p 0 la pression à l'interface, et on choisit l'origine spatiale de 
sorte que
z = 0 sur l'interface.
I.B - Perturbation à l'interface
On considère une perturbation de l'interface
au loin V
h = V hex
entre la coquille vaporisée et la coquille solide,
ce qui donne le profil
représenté figure 3, que
l'on suppose invariant
par translation suivant
au loin V
b = V bex
le vecteur e y . La vitesse
de l'écoulement n'est
Figure 3 : Interface perturbée
plus uniforme dans chaque fluide, on la note v b en bas et v h en haut.
On repère par l'altitude z = 0 l'interface au repos. L'écoulement n'est pas 
perturbé à grande distance de l'interface, ce que l'on a représenté en posant
v b ( ­ ' ) = V b e x très loin de l'interface dans le fluide du bas, et v h ( 
+' ) = V h e x très
loin de l'interface dans le fluide du haut. On suppose dans cette partie que les
grandeurs V h , V b , + h et + b sont quelconques (mais toujours constantes).
On suppose que le mouvement des fluides, supposés parfaits, est irrotationnel.
On néglige tout phénomène de tension superficielle à l'interface, et les deux 
fluides sont d'extension infinie du côté opposé à cette interface commune. On 
note
de manière générique v le champ eulérien des vitesses.
I.B.1)
Quels arguments permettent d'affirmer l'existence d'un potentiel des
vitesses ? On posera v = grad .

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I.B.2)

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En notant p la pression et + la masse volumique, démontrer que
2

p
,
v
------ + ----- + ---- + gz = F ( t )
,t 2 +

dans chacun des deux fluides, où F ( t ) est une fonction propre à chaque 
fluide,
ne dépendant que du temps. On fixe encore l'interface au repose à z = 0 . On
note maintenant c 1 ( x, t ) l'amplitude de la perturbation de l'interface, 
comptée à
partir de z = 0 : la position de l'interface vaut donc z = c 1 ( x, t ) .
Par convention, on décide que l'indice 1 est relatif à des perturbations. En
liaison avec la perturbation de l'interface, les vitesses eulériennes de chaque
fluide, v b et v h , valant initialement V b e x et V h e x sont perturbées de 
sorte qu'on
peut les écrire v b = V b e x + v b1 et v h = V h e x + v h1 . Enfin, ces 
vitesses dérivent des
potentiels respectifs b et h , également sommes d'un terme d'ordre zéro et
d'un terme perturbatif d'ordre 1 . L'objectif est de déterminer si la 
perturbation
c 1 ( x, t ) s'atténue dans le temps ou non, et ce à quelles conditions.
I.B.3)
Exprimer b en fonction de V b , de x et de b1 .
I.B.4)
Que vaut la divergence du champ des vitesses dans chacun des
fluides ?
I.B.5)
En déduire que les potentiels perturbatifs des vitesses b1 et h1 vérifient 
chacun l'équation de Laplace.
I.B.6)
On considère une particule de fluide du fluide situé « en bas » sous
l'interface et au voisinage immédiat de celle-ci. Exprimer la vitesse verticale
v vPF de cette particule de fluide en fonction du potentiel des vitesses 
perturbé
b1 .
I.B.7)
Exprimer maintenant v vPF en fonction de la dérivée lagrangienne du
déplacement de l'interface Dc 1 / Dt .
I.B.8)
En déduire en se limitant à l'ordre 1 temporel et spatial de perturbation, la 
relation en z = 0 entre , b1 / ,z , ,c 1 / ,t , V b et ,c 1 / ,x .
I.B.9)
En déduire de même la relation donnant, en z = 0 , , h1 / ,z en fonction
de ,c 1 / ,t , V h et de ,c 1 / ,x .
I.B.10) Quelle conséquence sur la validité de la solution trouvée pour c 1 ( x, 
t )
le fait de s'être limité à l'ordre 1 en perturbation impliquera-t-elle ? On 
suppose
dorénavant que la perturbation à l'interface est sinusoïdale de représentation
complexe c 1 ( x, t ) = Aexp ( i ( kx ­ tt ) ) .
I.B.11) Pour quelles raisons peut-on se limiter à une telle perturbation ?
I.B.12) Montrer que b1 = B b exp [ i ( kx ­ tt ) + kz ] et h1 = B h exp [ i ( 
kx ­ tt ) ­ k z ] .
On justifiera en particulier le signe devant les termes kz .

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I.B.13) Établir les deux relations reliant respectivement t , k , V b , A et B 
b ,
d'une part, et t , k , V h , A et B h d'autre part.
I.B.14) On a besoin d'une troisième équation pour résoudre ce problème à trois
inconnues A , B b et B h . Que dire de la pression à la traversée de 
l'interface ?
I.B.15) Montrer qu'il existe une constante K ( t ) , telle que pour z = 0 ,
2
2
£, b v
¥
£, h v
¥
+ b ² -----------1 + -----b + gc 1´ = + h ² -----------1 + -----h- + gc 1´ + K
2
2
¤ ,t
¦
¤ ,t
¦

où v b et v h sont les vitesses au sein de chaque fluide. On exprimera K en 
fonction de + b , + h , F b ( t ) et F h ( t ) .
I.B.16) Pourquoi K ( t ) doit-elle en fait être indépendante du temps ?
I.B.17) En déduire K en fonction de + b , + h , V b , V h .
2

I.B.18) Exprimer v en fonction de V et , 1 / ,x en ne conservant que les termes 
d'ordre 1 en les quantités perturbées.
I.B.19) Déduire une troisième équation reliant + b , + h , V b , V h , A , B b 
, B h , t ,
k et g .
I.B.20) Établir la relation reliant la pulsation t et le vecteur d'onde k en 
fonction de + b , + h , V b , V h et g . Comment appeler une telle relation ?
I.B.21) En considérant la longueur d'onde comme donnée, montrer que la solution 
de cette équation peut s'écrire
2 1/2

+b V b + +h V h
+b +h ( V b ­ V h )
g +b ­ +h
t
---- = ----------------------------------- ± --- £¤ -------------------¥¦ ­ 
----------------------------------------2
k +b + +h
k
+b + +h
(+ + + )
b

(1)

h

Les développements précédents permettent de décrire de nombreux phénomènes, à 
des échelles spatiales très différentes. Par exemple à grande échelle des
phénomènes astrophysiques comme l'explosion d'une supernova, à échelle 
terrestre des phénomènes de couches de mélange en dynamique atmosphérique, et
à l'échelle de la microfluidique, les gouttelettes d'eau de condensation pendant
au plafond intérieur d'un réfrigérateur. Enfin, et c'est l'objet du problème, 
les
mêmes instabilités, lors de la compression du microballon pour la fusion 
thermonucléaire inertielle, ont lieu à échelle micrométrique.
I.C - Instabilité de Rayleigh (1883) et Taylor (1950)
On pose ici V h = V b = V et on suppose que + h > + b .
I.C.1)
Que devient la relation (1) ? On exprimera t en fonction de k .
I.C.2)
Réécrire cette relation dans le référentiel en translation à la vitesse
V ex .

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I.C.3)
Comment évolue une perturbation sinusoïdale à l'interface coquille
gazeuse-coquille solide, à partir d'une amplitude initiale très faible ?
I.C.4)
Quelle conséquence pour le confinement sphérique du mélange deutérium tritium 
l'instabilité implique-t-elle ? Pourquoi parle-t-on de pollution du
mélange fusible ? À petite échelle comme celle du microballon, des phénomènes
tels que la tension superficielle doivent être pris en compte en plus de la 
viscosité. Le taux de croissance de l'instabilité est en outre limité par le 
fait que le
gradient de densité entre le plasma de coquille, léger et moteur, et la coquille
solide accélérée est progressif (pas de discontinuité brutale de densité comme 
on
l'a supposé), mais limité aussi par le fait que les perturbations sont évacuées 
par
convection hors du front d'ablation instable, entraînées par le plasma se 
détendant vers la source de rayonnement. la phase non-linéaire n'est 
actuellement
abordée que d'un point de vue numérique et expérimental.
I.D - Instabilité de Kelvin (1871) et Helmholtz (1868)
On suppose dans cette partie que V b & V h , et + b > + h .
I.D.1)
Que dire de la stabilité du système vis-à-vis de l'instabilité de Rayleigh
et Taylor ?
I.D.2)
À quelle condition sur k l'interface peut-elle être tout de même
instable ?
I.D.3)
Citer un phénomène courant mettant en jeu l'instabilité de Kelvin et
Helmholtz.
I.D.4)
Les effets moléculaires à l'interface (i.e. de la « tension superficielle »)
impliquent une suppression des perturbations de très petites longueurs d'onde
h < h critique . En déduire une condition sur V b et V h pour observer tout de 
même
l'instabilité de Kelvin et Helmholtz.
I.D.5)
L'instabilité de Kelvin et Helmholtz peut-elle exister en l'absence de
pesanteur ?

Figure 4 : Phénomène atmosphérique

C

B.Martner et B. Shanon

I.D.6)
Interpréter le phénomène observé sur les photos de la figure 4, qui en
attendant suffisamment donnent des « yeux de chat de Kelvin ».

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I.D.7)
Expliquer pourquoi les pilotes d'avion, en particulier en l'absence de
nuages permettant de visualiser l'instabilité, doivent-ils être particulièrement
prudents dans les zones où l'instabilité de Kelvin et Helmholtz est susceptible
de se produire ? Quels phénomènes l'avion subit-il à la traversée des motifs de
Kelvin et Helmholtz ?
I.E - Effets induits sur le microballon contenant le matériau fusible
I.E.1)
Interpréter la forme du célèbre champignon s'élevant dans les airs
suite à un essai nucléaire et notamment les deux phases : montée d'une langue
de plasma puis incurvation des bords pour donner la corolle du champignon.
I.E.2)
Quel effet les instabilités hydrodynamiques ont-elles à terme sur un
écoulement initialement laminaire ?
I.E.3)
Brisant la symétrie de compression, des champignons apparaissent au
niveau de la coquille au cours de son implosion sous l'influence du rayonnement.
La déformation de la coquille qui en résulte, et l'évolution ultérieure, nuisent
grandement à l'efficacité de la fusion du mélange DT . Pour quelles raisons ?
I.F - Ondes de gravité en surface
On pose ici V h = V b = 0 et on suppose que + h < + b .
I.F.1)
Que devient la relation (1) au I.B.21 ? On exprimera t en fonction de
k.
I.F.2)
Décrire le phénomène observé à l'interface et en donner un exemple
marin courant.
I.F.3)
Dans le cas de la mer, simplifier l'expression obtenue en tenant compte
des ordres de grandeurs.

Partie II - Origine des germes des instabilités
hydrodynamiques : l'empreinte laser1
On sait construire des microballons présentant des défauts de sphéricité 
acceptables dans les limites des développements précédents. On se propose dans 
cette
partie d'étudier dans quelle mesure cette construction rigoureuse est suffisante
pour garantir la compression sphérique du mélange fusible. Que l'on envisage
un schéma dit d'attaque directe ( 240 faisceaux laser directement envoyés sur la
coquille) ou le schéma d'attaque indirecte (envoi des faisceaux laser sur les
parois d'une cavité d'or réémettant des rayons X et faisant office de four à
rayons X pour le microballon placé au centre, voir figure 5), on désire étudier 
les
conséquences d'une non-uniformité d'éclairement sur la coquille.

1. Du terme anglais consacré imprint

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Figure 5 : Schéma d'attaque directe et indirecte

II.A - Modèle unidimensionnel, champ électrique uniforme
On considère une particule chargée de masse m et de charge q , libre de se
déplacer, et soumise à un champ électromagnétique.
II.A.1) Dans quelle mesure peut-on négliger la force magnétique devant la
force électrique ? On supposera cette condition vérifiée dans toute la suite. On
adopte un modèle unidimensionnel dans lequel la particule ne peut se déplacer
que suivant l'axe ( Ox ) . Le champ électrique est un champ polarisé 
rectilignement, découplé en temps et en espace de la forme E ( x, t ) = E ( x ) 
cos ( 1t )e x dans
le référentiel galiléen d'étude. La plupart du temps, la moyenne temporelle sur
une période du champ électrique de la force instantanée exercée par le champ
sur la particule chargée n'est pas nulle. Cette moyenne temporelle est appelée
force pondéromotrice ou séculaire. On se limite ici toujours au cas où la 
pulsation 1 est très élevée devant les fréquences du mouvement lent induit par 
la
force pondératrice, qu'on appellera l'hypothèse de limite adiabatique. Le 
mouvement de la particule chargée dans le champ électrique est vu comme la 
superposition d'un mouvement lent, appelé mouvement séculaire du centre de
vibration, et d'un mouvement très rapide à la pulsation 1 autour du centre de
vibration.
II.A.2) En quoi la forme mathématique du champ électrique permet-elle de
parler de découplage espace-temps ? Le champ électrique est-il alors
stationnaire ? On néglige dorénavant les inhomogénéités de champ électrique,
de sorte que l'on peut poser E ( x ) = E 0 uniforme.
II.A.3) Écrire le principe fondamental de la dynamique appliqué à la particule
chargée. On repérera celle-ci par son abscisse x ( t ) . Doit-on tenir compte du
poids ?
II.A.4) Résoudre cette équation en supposant une vitesse initiale nulle pour
la particule, et en notant x sa position moyenne, appelée aussi centre de vibra-

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tion. On écrira x ( t ) = x + j ( t ) , où l'on exprimera j ( t ) en fonction 
de q , E 0 , m
et 1 .
II.A.5) Quel est le déphasage de la force instantanée de mesure algébrique
F ( t ) vis-à-vis du mouvement de vibration ? Ce résultat dépend-il du signe de 
la
charge ?
II.A.6) Calculer la force pondéromotrice · F ( t )oe dans ce contexte, 
c'est-à-dire :
· F ( t )oe = · force instantanéeoe période du champ électrique .
II.B - Modèle unidimensionnel, champ électrique non-uniforme
On ne suppose plus que le champ électrique est uniforme, il vaut :

E ( x, t )

= E ( x ) cos ( 1t )e x .

E ( x ) est tout de même supposé évoluer spatialement de façon suffisamment
régulière (au moins continûment dérivable). L'hypothèse de limite adiabatique
permet dans ce cas de calculer la vibration j ( t ) en approchant E ( x, t ) par
E ( x, t ) . Autrement dit on a en première approximation lorsque la particule 
se
situe au voisinage de x :
qE ( x )
x ( t ) = x + j = x ­ --------------- cos ( 1t ) .
2
m1

II.B.1) Calculer la force instantanée F ( t ) = q E ( x + j, t ) en utilisant 
un développement limité au premier ordre en espace de E au voisinage de x , en 
tenant
compte que j reste infinitésimal.
dE
On exprimera ce résultat en fonction de j , q , 1 , E ( x ) et -------- ( x ) .
dx
II.B.2) Exprimer la force instantanée F ( t ) en fonction de q , m , 1 , E ( x 
) et
( dE / dx ) ( x ) .
II.B.3) En déduire la force pondéromotrice · F ( t )oe en fonction de q , m , 1 
et
2
( d ( E ) / dx ) ( x ) .
II.B.4) Qu'appelle-t-on énergie potentielle pondéromotrice ?
II.B.5) Que dire du mouvement lent séculaire (i.e. engendré par la force 
pondéromotrice) d'une particule chargée positivement placée dans un champ E ( x 
)
croissant avec x ? Comment ce résultat est-il modifié si la particule est 
chargée
négativement ? Faire l'analyse pour E ( x ) décroissant avec x .
II.C - Modèle tridimensionnel, cas général
On adopte un modèle à trois dimensions, en notant x i la i-ème coordonnée 
cartésienne ( i = 1, 2 ou 3 ) de la position instantanée de la particule 
chargée de

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charge q et de masse m , x i la i-ème coordonnée du centre d'oscillation et j i 
la
i-ème coordonnée de l'oscillation de la particule à la pulsation 1 dans le champ

E ( x1, x2, x3, t )

= E ( x 1, x 2, x 3 ) cos ( 1t ) ,

que l'on notera aussi de manière plus compacte E ( x i ) cos ( 1t ) .
II.C.1) Calculer j i en résolvant le principe fondamental de la dynamique dans
la limite adiabatique E ( x i ) 5 E ( x i ) pour en déduire que
qE i ( x j )
j i = ­ -------------------cos ( 1t ) .
2
m1

II.C.2) Calculer la force instantanée exercée par le champ sur la particule, en
effectuant un développement limité de E au voisinage du centre d'oscillation.
II.C.3) Écrire l'équation de Maxwell et Faraday dans le cas où on peut négliger 
les effets du champ magnétique.
II.C.4) En déduire que TM( i, j )
,E j
,E i
--------- = ---------- .
,x i
,x j

II.C.5) Conclure que dans le cas général, la force pondéromotrice dérive d'une
énergie potentielle, que l'on exprimera.
II.D - Conséquence de l'empreinte sur les germes des instabilités
hydrodynamiques
II.D.1) Les particules sont-elles attirées ou repoussées par les zones de champ
fort ?
II.D.2) Quelle conséquence les non-uniformités d'éclairement laser ou X sur
la coquille du microballon vont-elles avoir ?
II.D.3) Que dire de l'instabilité de Rayleigh et Taylor par la suite ?
On peut montrer que la prise en compe des effets magnétiques, ainsi que des
effets relativistes, ne modifie pas le phénomène d'empreinte laser 
pondéromotrice.

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Partie III - Observation des phénomènes au sein du
microballon
Le rayonnement X très
Objectif
Camera
important par l'explosion
de microscope
de la microcible exerce des
pressions de plusieurs cen- Lentille de focalisation
f0=500mm
taines de milliers de bars,
et les neutrons de fusion
induisent
à
plusieurs
mètres des flux d'énergie
Lentille de
neutronique de plusieurs
refocalisation f23=1m
mégajoules
par
mètre
carré.
L'explosion
des
Lentille de collection
microballons de fusion par
f1=250mm
confinement inertiel est
effectuée dans une chambre à vide au centre de
Enceinte vide
laquelle on focalise des
Figure 6 : Dispositif expérimental
faisceaux laser très intenses, sur le microballon. On étudie ici le problème de 
l'observation des phénomènes qui se
produisent à l'intérieur du plasma. Cette observation ne peut donc se faire 
qu'à distance,
parce que les instruments de mesure trop proches seraient détruits du fait des 
conditions
d'irradiation extrêmes.
Ainsi un des diagnostics utilisés consiste à imager un plan du plasma résultant 
de l'ablation de la coquille sur un capteur CCD (charge-coupled device), au 
moyen d'un système
de lentilles collectant et canalisant la lumière ré-émise par le plasma irradié 
par un faisceau laser. On ne tiendra pas compte des effets de diffraction sauf 
indication contraire.

Le schéma global du
dispositif expérimental est donné sur la
figure 6. Son équivalent dans un plan
contenant l'axe optique
est
donnée
figure 7. Le plasma
étudié s'étend selon
l'axe optique z sur
une longueur de
l'ordre du millimètre.
Un faisceau laser
parallèle de même
direction que l'axe

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Figure 7 : Modèle du diagnostic optique

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optique, de diamètre \ 0 = 30, 00 mm , entre dans la chambre à vide, puis est 
focalisé sur le plasma à l'aide d'une lentille (dite de focalisation) de 
distance focale
f 0 = 500, 000 mm (précision micrométrique sur les distances focales). Le nombre
d'ouverture du faisceau est par définition le rapport de la distance focale au 
diamètre de la lentille focalisante N 0 = f 0 / \ 0 5 16, 67 . Le centre du 
plasma, qui est
en première approximation un ellipsoïde de révolution, est schématisé figure 7
par une ellipse, dont on a très précisément placé le centre sur l'axe optique au
micron près, à une distance f 0 de la lentille de focalisation, à l'aide 
d'actionneurs pas à pas de grande précision. La lentille L 1 de collection, de 
distance
focale f 1 = 250, 000 mm et de diamètre \ 1max = 30, 00 mm est placée au micron
près à f 1 du centre du plasma. La lumière sort ensuite de l'enceinte à vide 
(faisceau quasi parallèle) et se propage sur une distance D 1 = 2050, 000 mm 
vers une
zone de faible encombrement à l'extérieur de l'enceinte, où on a pu placer le 
système de capture d'image.
On refocalise le faisceau quasi-parallèle au moyen d'une lentille L 2 placée à 
la
distance D 1 de L 1 , et de distance focale f 2 = 1000, 000 mm . L 2 donne 
ainsi une
image du plasma au voisinage du système de capture d'image. À D 2 5 1022 mm
de cette dernière lentille, on place un objectif de microscope, modélisé par une
lentille mince L 3 de distance focale f 3 = 16, 900 mm .
Enfin, on place un capteur CCD à la distance D 3 après L 3 .
III.A - Collection de l'information
III.A.1) Faire un schéma analogue à celui de la figure 7 repérant L 0 , f 0 le
plasma, f 1 , L 1 , D 1 , L 2 , D 2 , L 3 , D 3 et le capteur CCD .
III.A.2) Si on fait fonctionner le dispositif sans plasma, quel est le diamètre 
du
faisceau entre L 1 et L 2 ? Justifier.
III.A.3) Quels sont les nombres d'ouverture N 1 de la lentille de collection de
lumière avec et sans plasma ? Les comparer au nombre d'ouverture du faisceau
incident N 0 . Le plasma est un milieu qui aux fortes intensités lumineuses 
n'est
plus transparent, la lumière ne s'y propage pas en ligne droite. Quel peut être
l'intérêt de la différence éventuelle entre N 0 et N 1 ?
III.B - Objectif de microscope
On règle l'ensemble L 3 ­ CCD de sorte à avoir D 3 = 11 f 3 . On observe ainsi 
nettement un objet situé dans un plan en avant de L 3 . Quelle est la distance 
entre
ce plan d'observation et L 3 ? Quel est le grandissement transverse a 3
correspondant ?
III.B.1) Grandissement transverse global
Calculer le grandissement transverse a 12 du dispositif entre le plan focal 
objet
de L 1 et le plan focal image de L 2 .

Concours Centrale-Supélec 2009

12/14

PHYSIQUE

Filière PSI

III.B.2) En déduire le grandissement transverse global entre le plan focal objet
L 1 et le plan du capteur CCD .
III.B.3) Application numérique. On mesure qu'un déplacement 6x 0 = 10+m de
l'objet induit un déplacement de 10 pixels sur l'image donnée par le CCD . En
déduire la taille des pixels (carrés) du capteur CCD .
III.C - Grandissement longitudinal
On place un objet A 1 sur l'axe au voisinage du foyer objet de L 1 . Soient F i 
et
Fvi les foyers principaux objets et images des lentilles. On note 6z 0 = F 1 A 
1 et
6z i = Fv2 , A 2 , A 2 étant l'image de A 1 par L 1 et L 2 . Établir la 
relation donnant
6z i fonction de 6z 0 .
III.C.1) Application numérique : sachant que l'objet observé A 1 appartient au
plasma, en déduire une relation approchée du grandissement longitudinal
a // = 6z i / 6z 0 , uniquement fonction de f 1 et f 2 .
III.C.2) On appelle « avant » du plasma la zone en amont de Fv0 = F 1 
caractérisée par 6z 0 < 0 et « arrière » la zone 6z 0 > 0 . La zone 6z i > 0 
correspond-t-elle à
l'avant ou l'arrière de l'image du plasma ?
On fait en sorte que la lentille L 2 soit réglable en position le long de l'axe 
optique, au moyen d'une vis micrométrique. la distance séparant L 1 de L 3 reste
constante, égale à D 1 + D 2 .
III.C.3) Si l'on avance la lentille L 2 d'une distance d (algébrique) (on 
l'éloigne
donc du plasma si d > 0 ), que se passe-t-il pour l'image du plasma au voisinage
de Fv 2 ?
III.C.4) Comme L 3 ne bouge pas, un tel mouvement de L 2 permet-il d'observer
sur le CCD un plan situé en avant ou en arrière du plasma ?
III.C.5) Donner la plage de variation nécessaire pour la vis micrométrique
positionnant L 2 de sorte à pourvoir observer le plasma sur 1 mm de part et
d'autre de Fv0 = F 1 .
III.D - Profondeur de champ
III.D.1) Expliquer qualitativement, en se limitant à un système simple à une
seul lentille, pourquoi le fait de choisir une lentille de grand diamètre 
permet de
restreindre l'observation à une tranche de plasma de faible épaisseur.
III.D.2) Quel peut être l'avantage de refroidir le capteur CCD, à l'azote 
liquide
par exemple ? On donne sur la figure 8 des images obtenues avec un tel 
dispositif.

Concours Centrale-Supélec 2009

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PHYSIQUE

Filière PSI

14

Vide

40 + m

I = 5 u 10 W / cm

2

Évolution expérimentale de
la distribution d'intensité
fonction du temps :

t = 50 ps

t = 290 ps

t = 640 ps

t = 1500 ps

Figure 8 : image du rayonnement transmis par le plasma

··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2009

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Alban Sauret (ENS Lyon) ; il a été relu par Benoît
Lobry (Professeur en CPGE) et Rémy Hervé (Professeur agrégé en école 
d'ingénieur).

Ce sujet aborde le thème de la fusion thermonucléaire laser contrôlée, qui est
d'actualité avec la recherche de nouvelles techniques de production d'énergie. 
Les trois
parties abordent des thèmes distincts du programme et, exceptées certaines 
questions
qualitatives, elles peuvent être traitées de façon indépendante.
· La partie I est une étude d'instabilités hydrodynamiques à l'interface entre 
deux
fluides. On commence par établir la relation de dispersion générale des 
perturbations à l'interface avant de l'appliquer à des cas particuliers pour se 
ramener à
des instabilités célèbres : Rayleigh-Taylor, Kelvin-Helmholtz, ondes de gravité.
Cette partie est calculatoire et assez technique ; elle nécessite de bien 
maîtriser
l'utilisation des conditions aux limites et les raisonnements perturbatifs.
· La partie II utilise la mécanique du point pour l'étude d'une particule 
chargée
soumise à un champ électrique oscillant. Cette étude est d'abord faite avec un
champ constant dans l'espace ; on considère ensuite une dépendance spatiale
de ce champ et on met ainsi en évidence un effet de migration sur la particule.
On peut relier la présence de cet effet aux instabilités étudiées dans la 
partie I.
· La partie III aborde le système optique utilisé pour l'observation des 
phénomènes dans le plasma nécessaire à la fusion thermonucléaire. On y étudie un
dispositif à plusieurs lentilles, ce qui fait appel aux connaissances d'optique
géométrique de première année. Ces questions permettent d'introduire deux
notions peu connues mais importantes, le grandissement longitudinal et la 
profondeur de champ.
Les questions s'enchaînent bien dans la première partie, ce qui permet une bonne
révision de la mécanique des fluides et de la notion de relation de dispersion.
En revanche, les questions d'optique sont plutôt mal posées : il faut prendre 
le temps
de lire très attentivement l'énoncé pour bien le comprendre. Enfin, les 
questions qualitatives qui parsèment l'énoncé permettent de bien entraîner son 
sens physique.
Le rapport du jury souligne que « dans le cas d'une épreuve longue comme 
celleci, il n'est pas nécessaire de traiter l'intégralité du sujet pour obtenir 
une note fort
correcte mais il convient de répondre de façon constructive avec rigueur et 
précision
à la majorité des questions ».

Indications
Partie I
I.A.3 Faire l'étude dans le référentiel où le fluide est immobile.
I.B.2 Appliquer l'équation d'Euler en utilisant les hypothèses de l'énoncé.
I.B.4 Que devient l'équation de conservation de la masse dans cette situation ?
--
I.B.5 Utiliser la relation div (grad f ) = f .
I.B.7 À l'interface, on a

dz(t)
avec
z(t) = 1 x(t), t
dt
I.B.8 Toutes les grandeurs indicées par 1 sont d'ordre 1.
vz =

I.B.12 Les relations établies précédemment permettent de déterminer la 
dépendance
en x et t. La dépendance en z est déterminée à partir de l'équation de Laplace.
I.B.16 Utiliser les conditions aux limites loin de l'interface.
I.B.20 Un système de trois équations admet une solution non triviale si et 
seulement
si son déterminant est nul.
I.D.2 L'interface est instable si on a une exponentielle divergente avec le 
temps.
I.D.6 Décomposer l'évolution de l'interface en deux étapes : croissance de 
l'instabilité puis entraînement par les fluides.
Partie II
II.A.1 Déduire de la comparaison des forces électriques et magnétiques une 
condition

-

-
sur k E k et k B k.
II.B.4 Calculer le travail élémentaire de la force pour un déplacement dx.
II.D.2 Les particules de plasma migrent sous l'effet des inhomogénéités du 
champ.
Qu'en résulte-t-il ?
Partie III
III.A.2 Faire un raisonnement géométrique.
III.B Déterminer le plan conjugué avec l'écran CCD.
III.B.2 Avec les données de l'énoncé, le plan focal objet de L1 et l'écran CCD 
ne
sont pas correctement conjugués. Raisonner comme si c'était le cas.
III.C Utiliser la formule de conjugaison de Newton.
III.C.1 z0 est très petit devant les autres grandeurs du problème.
III.D.1 La profondeur de champ est l'intervalle de x pour lequel les rayons 
issus d'un
objet ponctuel éclairent un seul pixel de l'écran. Montrer graphiquement que
cet intervalle diminue si le rayon de la lentille augmente.

Quelques enjeux de la fusion
thermonucléaire inertielle laser
I. Instabilités hydrodynamiques
A.

Hydrostatique

Dans cette partie, les deux fluides se déplacent à la même vitesse Vh = Vb
que l'on note V.
I.A.1 On se ramène à une situation d'hydrostatique en se plaçant dans le référen
tiel R en translation à la vitesse V -
ex par rapport au référentiel R (dans
lequel les deux fluides ont pour vitesse V).
I.A.2 La stratification naturelle impose que le fluide léger soit au dessus du 
fluide
lourd pour avoir une configuration statique stable, ce qui n'est pas le cas ici.
La situation est donc instable. En effet, si l'on considère des particules de 
fluides
de densité h au voisinage de l'interface, celles-ci ont tendance à « plonger » 
dans le
fluide léger situé au-dessous à la moindre perturbation.
La suite de cette partie vise notamment à quantifier la croissance d'une 
perturbation, ce qui prouve que la situation est bien instable. Il n'est pas 
évident
de savoir ce qu'on attend du candidat sur cette question puisqu'il n'est 
évidemment pas question de répondre en détail.
Le rapport du jury précise qu'« il était attendu du candidat de justifier le
caractère instable de l'équilibre ».
I.A.3 Écrivons la relation fondamentale de l'hydrostatique pour un fluide incom

pressible en projection suivant -
ex et -
ey dans le référentiel R . On montre que
p
=0
x

et

p
=0
y

Ainsi, la pression ne dépend que de z. La relation fondamentale de 
l'hydrostatique

en projection suivant -
ez conduit à
dp
= -µi g
dz
où µi représente la masse volumique du fluide lourd (µh ) ou du fluide léger 
(µb ) et
est constante. On intègre cette équation différentielle avec la condition aux 
limites
p = p0

en

z=0

où z = 0 correspond à l'interface entre les deux fluides. On a
(
p0 - µb g z si z 6 0
p(z) =
p0 - µh g z si z > 0

B.

Perturbation à l'interface

I.B.1 Il existe un potentiel des vitesses  vérifiant
--

-
v = grad 
car selon l'énoncé, le mouvement du fluide est irrotationnel, c'est-à-dire

-
- 
rot -
v = 0
Le potentiel des vitesses  vérifie alors

-
- -
- --
rot 
v = rot (grad ) = 0
Le rapport du jury indique qu'« il fallait souligner exclusivement le caractère
irrotationnel de l'écoulement et qu'ajouter des conditions supplémentaires
non nécessaires (fluide parfait, extension infinie) a été pénalisé ».
I.B.2 Chacun des deux écoulements est homogène et incompressible (avec µ = Cte 
),
parfait (de viscosité négligeable) et irrotationnel. L'équation d'Euler s'écrit
 -

-- -
--

v

-

µ
+ ( v · grad ) v = - grad p + µ -
g
t
Or, d'après la question précédente, on a
--

-
v = grad 
De plus, on a l'identité vectorielle
 
-- -
-- v 2
-  -

-

( v · grad ) v = grad
+ rot -
v 
v
2
car l'écoulement est irrotationnel. La force volumique de pesanteur pouvant, 
quant
à elle, s'écrire sous forme d'un gradient
--

µ-
g = grad (-µ g z)
L'équation d'Euler se réduit à

--

-

v2
grad µ
+µ
+ p + µgz = 0
t
2
Cette relation étant vraie dans tout le fluide, pour tout instant t, on en 
déduit que
 v 2
p
+
+ + g z = F(t)
t
2
µ
où F(t) est une fonction propre à chaque fluide qui ne dépend que du temps.
Cette relation est l'équation de Bernoulli instationnaire.
I.B.3 La vitesse eulérienne du fluide du bas est
-

v = V -
e +-
v
b

b

x

b1

Or, -
vb dérive d'un potentiel b et -
v
b1 dérive d'un potentiel b1 . On a
-
-

--
-

vb = Vb -
ex + grad b1 = grad (Vb x + b1 )