Centrale Physique PSI 2008

Thème de l'épreuve Principe de la tomographie par cohérence optique. Oscillateur à boucle de rétroaction.
Principaux outils utilisés optique interférentielle, optique géométrique, interféromètre de Michelson, fonction de transfert
Mots clefs interférences, asservissement, filtre de Wien, tomographie, cohérence optique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2008

Épreuve :

PHYSIQUE

Filière

PSI

PHYSIQUE

Filière PSI

PHYSIQUE
Les calculatrices sont autorisées.
Le sujet est constitué de deux parties indépendantes
Formulaire : On rappelle que :
p­q
p+q
sin x
sin c ( x ) = ----------- , sin p + sin q = 2 sin  ------------- cos  
------------- ,
 2 
 2 
x
1
cos p cos q = --- ( cos ( p + q ) + cos ( p ­ q ) ) .
2

Partie I - Principe de la tomographie par cohérence
optique (OCT)
La tomographie par cohérence optique (OCT) est un procédé interférométrique
non destructif permettant de réaliser des images en coupe de tissus biologiques
avec une résolution de l'ordre du micromètre. On se propose d'en illustrer le
principe.
La base de l'appareil est un interféromètre
de Michelson. On raisonnera pour simplifier sur l'interféromètre « théorique », 
uniz0
( M2)
quement constitué de deux miroirs ( M 1 ) et
( M 1 )
z
( M 2 ) et d'une lame séparatrice ( SP )
idéale, c'est-à-dire infiniment mince et
( SP )
( M1)
séparant un faisceau lumineux incident en
deux faisceaux d'égale intensité. L'appareil
est réglé en lame d'air, c'est-à-dire que
S
( M 2 ) et l'image ( M 1 ) du miroir ( M 1 ) par la
séparatrice sont parallèles. Les positions
de ( M 1 ) et ( M 2 ) sont repérées sur l'axe Oz source
Figure 1
(voir figure 1). ( M 1 ) est en z , ( M 2 ) en z 0 .
La lumière se propage dans l'air dont
l'indice sera pris égal à 1 .

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PHYSIQUE

Filière PSI

Filière PSI
I.A - Préliminaire
I.A.1)
Quelle condition doivent satisfaire deux ondes lumineuses pour produire des 
interférences ? Comment réaliser expérimentalement cette
condition ?
I.A.2)
Qu'est-ce qu'une onde monochromatique ? Donner deux exemples de
dispositifs permettant, au laboratoire, de produire une onde 
quasi-monochromatique.
I.A.3)
L'interféromètre, réglé en configuration lame d'air, est éclairé par une
source quasi-monochromatique ponctuelle située à distance finie.
a) Comment réaliser concrètement une source (quasi) ponctuelle à distance
finie à partir des dispositifs du I.A.2. ?
b) On observe les franges d'interférences sur un écran parallèle à ( M 2 ) . Où
peut-on placer l'écran ? Décrire en quelques mots la figure d'interférence.
c) On remplace la source ponctuelle par une source monochromatique étendue
autour du point S . Comment évolue la figure d'interférence ? Où peut-on voir
des franges ? Comment les nomme-t-on ?
I.A.4)
La source étant toujours étendue, on place l'écran dans le plan focal
image d'une lentille convergente ( L ) de distance focale f  , dont l'axe 
optique est
perpendiculaire à ( M 2 ) .
a) Tracer la marche des rayons lumineux issus d'un point S 1 et interférant en
un point M de l'écran. En considérant un second point S 2 de la source, 
justifier
la position de la surface de localisation.
b) Donner l'expression de la différence de marche au point M en fonction de
r = FM ( F foyer image de ( L ) ), de f  , et de l'épaisseur e de la lame 
d'air. Le
calcul n'est pas exigé. On supposera que les rayons lumineux font des angles 
faibles avec l'axe optique.
I.B - OCT - Domaine temporel
L'interféromètre est utilisé dans la configuration de la question I.A.4, éclairé
par une source étendue.
I.B.1)
Comment nomme-t-on la position particulière z = z 0 ? Que voit-on
alors sur l'écran ?
I.B.2)
Lorsqu'on translate ( M 1 ) , on fait les observations suivantes :

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PHYSIQUE

Filière PSI

· avec une source de lumière blanche, l'éclairement sur l'écran cesse de varier
et devient uniforme après un déplacement de quelques micromètres ;
· avec une lampe à vapeur de mercure équipée d'un filtre interférentiel 
sélectionnant la raie verte, le même phénomène se produit pour un déplacement
de quelques millimètres ;
· avec un laser hélium-néon, le phénomène n'est pas observé.
Interpréter qualitativement ces observations. On introduira les notions de 
contraste et de longueur de cohérence que l'on définira.
I.B.3)
On place au foyer image F de ( L ) , un photodétecteur quasi ponctuel.
La source primaire est une source monochromatique de longueur  0 . On appelle
nombre d'onde la quantité  = 1 /  (  =  / c est donc proportionnel à la 
fréquence  de la radiation lumineuse). Donner l'expression de l'intensité 
lumineuse I ( z ) reçue par le photodétecteur, en fonction de z , z 0 ,  0 et 
de l'intensité
lumineuse I 0 , qu'il recevrait si l'on masquait le miroir ( M 2 ) .
I.B.4)
La source primaire n'est plus monochromatique. L'intensité que produirait 
l'interféromètre en F dans l'intervalle de nombres d'onde [ ,  + d ] si
l'on masquait l'un des deux miroirs est G (  )d , où G (  ) est une fonction 
proportionnelle à l'intensité spectrale de la source.
a) Chaque intervalle spectral élémentaire [ ,  + d ] pouvant être assimilé à
une source monochromatique, que dire de deux intervalles spectraux
différents ? En déduire en la justifiant, sous forme d'une intégrale sur  , la 
nouvelle expression de l'intensité I ( z ) en fonction de z , z 0 et G (  ) .
b) Calculer explicitement I ( z ) dans le cas d'une source à profil spectral 
rectangulaire de largeur  :
 G (  ) = G 0 si   [  0 ­  / 2,  0 +  / 2 ]
.

 G (  ) = 0 sinon

On exprimera le résultat sous la forme : I ( z ) = C [ 1 + V cos ( 4 0 ( z ­ z 
0 ) ) ] où C est
une constante et V le facteur de visibilité (fonction de z ­ z 0 ), grandeurs 
que l'on
déterminera.
I(z)/C
2

1

4.990

4.995

5.000

5.005

5.010

z(mm)

Figure 2

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PHYSIQUE

Filière PSI

 N A0
2 A0
1 A0

c) La figure 2 donne le graphe de I ( z ) . Déterminer z 0 ,  0 et  en 
précisant la
méthode utilisée.
d) Cette modélisation permet-elle d'expliquer les observations expérimentales
du I.B.2. ? Donner les ordres de grandeur des largeurs spectrales  des 
différentes sources. Préciser la relation qui lie  à la longueur de cohérence.
I.B.5)
Le miroir ( M 2 ) est remplacé par une surface plane semi-réfléchissante
de coefficient de réflexion pour l'amplitude  réel. On ne tiendra pas compte
d'un éventuel déphasage lié à la réflexion de l'onde sur ( M 1 ) ou sur la 
surface
plane. On suppose la source monochromatique de nombre d'onde  0 . Comment
est modifiée l'expression de I du I.B.3 ? Comment est modifiée la figure
d'interférence ?
I.B.6)
( M 2 ) est maintenant remplacé par
N surfaces semi-réfléchissantes de positions
zN
z 1 < z 2 < ... < z N et de coefficients de réflexion
pour l'amplitude  1 ,  2, ... N tous réels
(figure 3). On pourra considérer que les coefz2
ficients  i sont tous des infiniment petits de
z1
même ordre (  i « 1 ) de sorte que les coefficients de transmission pour 
l'amplitude sont
( SP )
( M1)
tous égaux à 1 . On limitera les calculs au premier ordre.
a) Dans le cas de la source monochromatique
de nombre d'onde  0 , montrer que :
A0
N

I ( z ) = I 0  1 + 2   i cos  i ,

i=1

Figure 3

en précisant l'expression des  i en fonction
de z , z i et  0 .
b) L'appareil est maintenant éclairé avec la source de profil spectral 
rectangulaire du I.B.4. Calculer I ( z ) . On fera apparaître dans son 
expression le facteur
de visibilité V du I.B.4-b).
c) En partant du graphe de la figure 2, tracer I ( z ) dans le cas N = 2 avec
­2
­2
 1 = 4  10 ,  2 = 2  10 , z 1 = z 0 , z 2 = z 0 + 5 /  .
d) Dans le cas général, montrer que la mesure de I ( z ) permet de déterminer
tous les couples ( z i,  i ) à condition que les quantités z i + 1 ­ z i soient 
supérieures
à une certaine valeur que l'on exprimera à partir de la largeur spectrale de la
source, puis de sa longueur de cohérence. Quelle source choisir pour avoir la
meilleure résolution possible ?

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PHYSIQUE

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I.C - OCT - Domaine fréquentiel
Dans la méthode précédente, l'enregistrement de la fonction I ( z ) est obtenu 
par
translation du miroir ( M 1 ) . On va montrer qu'il est possible d'obtenir les 
mêmes
informations en gardant ( M 1 ) fixe. On part de la même situation qu'au I.B :
l'interféromètre est réglé en lame d'air, la position de ( M 2 ) est repéré par 
sa
coordonnée z 0 > 0 , ( M 1 ) est fixe en z = 0 . L'intensité spectrale de la 
source est
proportionnelle à la fonction G (  ) (cf. I.B.4). À l'aide d'un dispositif 
approprié,
on fait l'analyse spectrale de la lumière émergente, c'est-à-dire que l'on 
détermine la fonction f (  ) = dI / d .
I.C.1)
Donner l'expression de f (  ) en fonction notamment de z 0 et G (  ) .
I.C.2)
A partir de f (  ) , on calcule la fonction :
+

R(u) =

­ f (  ) cos ( 4u )d .

a) Calculer R ( u ) pour une source de profil spectral rectangulaire définie au
I.B.4-b). Montrer que R ( u ) peut se mettre sous la forme :
1
1
R ( u ) = cos ( 4 0 u )r ( u ) + --- cos ( 4 0 ( u ­ z 0 ) )r ( u ­ z 0 ) + --- 
cos ( 4 0 ( u + z 0 ) )r ( u + z 0 )
2
2
où r ( u ) est une fonction paire dont on donnera l'expression.
6

­1

b) La figure 4 donne les représentations de R ( u > 0 ) pour  0 = 2  10 m ,
5 ­1
 = 4  10 m et pour trois valeurs différentes de z 0 . Interpréter les graphes à
partir de l'expression de R ( u ) . Justifier que pour z 0 > d , où d est une 
longueur
caractéristique à déterminer à partir de  , on peut écrire :
1
R ( u > d )  --- cos ( 4 0 ( u ­ z 0 ) )r ( u ­ z 0 ) .
2

I.C.3)
On remplace ( M 2 ) par les N surfaces semi-réfléchissantes décrites au
I.B.6.
a) Que vaut dans ce cas f (  ) (en limitant toujours les calculs au premier
ordre) ? On pourra s'aider de la question I.B.6.
b) Dans le cas de la source à profil spectral rectangulaire, donner la nouvelle
expression de R ( u ) en fonction de z i et des  i .
c) On suppose que z 1 > d . Simplifier l'expression de R ( u > d ) . Tracer 
l'allure de
­2
­2
R ( u > d ) dans le cas N = 2 avec  1 = 4  10 ,  2 = 2  10 , z 1 = z 0 ,
z 2 = z 0 + 5 /  .
d) Donner l'ordre de grandeur du pouvoir de résolution de l'instrument défini
comme la distance de deux surfaces adjacentes en dessous de laquelle la
méthode utilisée ne permet plus de les discerner. Quelle type de source a-t-on
intérêt à choisir ? Comparer au résultat du I.B.6.

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PHYSIQUE

Filière PSI

e) Quels sont les avantages et inconvénients de cette méthode par rapport à la
précédente ?
z0=15,3µm

R(u)

5

R(u)

20

25 u(µm)

15

20

25 u(µm)

15

20

25 u(µm)

10

z0=2,4µm

5

10

z0=1,0µm

R(u)

5

10

Figure 4

I.D - Mesure du spectre avec un réseau
Pour l'analyse spectrale on utilise un réseau par transmission de largeur utile
L , comportant n traits par unité de longueur, éclairé en incidence normale.
I.D.1)
À quelle condition sur les nL ondes
lumière incidente
diffractées par le réseau observe-t-on un maximum d'intensité lumineuse ? En 
déduire la
formule des réseaux donnant les directions
d'émergence  correspondant aux pics d'intenréseau
sité. Définir l'ordre d'un pic.
I.D.2)
Le détecteur est une barrette CCD

constituée d'un alignement de cellules photosensibles identiques, de largeur a 
, délivrant
une tension proportionnelle à l'intensité lumif
neuse qu'elle reçoit. Il est placé dans le plan
a
focal image d'une lentille convergente de distance focale f  , traversée par le 
faisceau émerF
gent du réseau (figure 5). On prend : Figure 5

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PHYSIQUE

Filière PSI
­1

f  = 10 cm ; a = 100µm ; n = 500 traits  mm ; L = 2 cm . Pour la radiation de 
longueur d'onde  , la largeur angulaire d'un pic du réseau est donnée par :
 ( sin  ) = 2 / L . Calculer la largeur sur le détecteur de la tache associée à 
la
radiation rouge  = 750 nm . Conclure. En pratique, la taille de la tache est 
plus

grande que la valeur trouvée. Pourquoi ?
I.D.3)
Déterminer la largeur  de l'intervalle [ ,  +  ] des radiations
reçues par une des cellules du capteur en fonction de a , n , f  et  . En 
déduire
la largeur correspondante en nombre d'onde  . Évaluer numériquement 
pour les radiations bleue (  = 400 nm ) et rouge (  = 750 nm ) .
I.D.4)
Il peut être intéressant, pour certaines mesures spectrales, d'avoir une
largeur  identique pour toutes les cellules du capteur. Comment pourrait-on
utiliser le dispositif, sans le modifier, pour obtenir cette propriété ?
I.E - Mise en oeuvre. Réglage de l'interféromètre
Une des implémentations de
objectifs de
l' OCT fait appel à un interféromèmicroscopes
tre de Linnik. Il s'agit d'un interfé( M2)
romètre de Michelson sur les deux
bras duquel on a placé des objectifs
de microscope identiques (figure
( LE) ( L )
( M1)
2
6), que l'on assimilera dans toute
la suite à deux lentilles minces source
convergentes ( L 1 ) et ( L 2 ) de distance focale f  .
( L1 )
L'interféromètre est éclairé par
une source de lumière blanche spaf E
tialement étendue placée dans le
plan focal objet d'une lentille
( LP)
d'éclairage ( L E ) . La figure d'interférence est enregistrée par un capfP
i
teur CCD plan situé en sortie de
M
x
l'instrument dans le plan focal
capteurs CCD
image d'une lentille achromatique
Figure 6
( L P ) de distance focale f P . L'un
des bras de l'interféromètre comporte le miroir ( M 1 ) , l'autre la lame 
semi-réfléchissante ( L ) dont on veut mesurer la position et le coefficient de 
réflexion. Elle
sera assimilée ici au miroir ( M 2 ) . Un des intérêts de ce dispositif est 
d'améliorer
la résolution sur la mesure de la position.
On s'intéressera uniquement ici au réglage de l'instrument. Dans un premier
temps, on retire les objectifs et on règle l'interféromètre au contact optique.

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7/12

PHYSIQUE

Filière PSI

I.E.1)
On place ensuite un objectif devant ( M 1 ) , puis, après avoir occulté
( M 2 ) , on règle la position de l'objectif de façon à obtenir l'image de ( M 
1 ) sur le
capteur CCD . On procède de la même manière pour le second objectif 
(occultation de ( M 1 ) et image de ( M 2 ) sur le capteur). Quelles sont alors 
les positions
des deux objectifs par rapport aux miroirs ?
I.E.2)
Que devrait-on observer sur le détecteur lorsque les deux miroirs sont
démasqués ? (les deux objectifs sont supposés rigoureusement identiques).
I.E.3)
En pratique, on observe des franges recti( M 1 )
( M2)
lignes dont le contraste diminue rapidement
lorsqu'on s'éloigne du centre de la figure d'interférence. On veut montrer que 
ce phénomène peut
( L2 )
s'expliquer par un défaut d'alignement latéral des ( L 1 )
axes optiques des objectifs. On considère pour cela
O 1
O2
le schéma équivalent du dispositif dans lequel ( L 1 )
et ( M 1 ) ont été remplacés par leurs symétriques
i
i
( L 1 ) et ( M 1 ) par rapport à la séparatrice ( SP )
(figure 7). On note d la distance des deux axes optiques supposés parallèles. 
Pour des raisons de clarté
d
de la figure, la distance d a été exagérée.
Figure 7
a) Reproduire le schéma et tracer le
cheminement, dans chacune des I(x)
voies, de deux rayons lumineux interférant au point M d'abscisse x = f P i
(voir figure 6) sur le détecteur et passant par les centres O 1 et O 2 de
( L 1 ) et ( L 2 ) . On suppose que l'angle
i reste faible et on se place dans
l'approximation de Gauss.
b) En utilisant le théorème de Malus
que l'on énoncera, calculer la différence de marche  ( x ) en M . Montrer
x
que
l'interfrange
vaut :
Figure 8
x = f P / 2d .
Comment doit-on procéder pour réaliser l'alignement des axes ?
I.E.4)
La figure 8 montre un enregistrement de l'intensité I ( x ) obtenue sur
le capteur CCD à partir d'une source de lumière blanche. L'échelle des abscisses
a été volontairement omise.
a) Évaluer la longueur de cohérence de la source.

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PHYSIQUE

Filière PSI

b) La largeur de l'interférogramme, c'est-à-dire l'intervalle des valeurs de x
pour lesquelles on peut voir des franges est de 0, 6 mm . Évaluer d . On 
prendra :
f P = 20 cm .
c) Dans le cas où il subsiste un défaut de parallélisme  (faible) entre les
miroirs ( M 1 ) et ( M 2 ) , l'expression de la différence de marche devient
 =  + 2f i où  est la différence de marche précédente. Expliquer à l'aide d'un
schéma l'origine du terme supplémentaire. Pourquoi la première étape du
réglage (obtention du contact optique) doit-elle être réalisée très
soigneusement ?

Partie II - Oscillateur à boucle de rétroaction
Une méthode pour obtenir des oscillations quasi-sinusoïdales consiste à utiliser
un système bouclé à deux opérateurs : le premier, de fonction de transfert
H ( j ) = u s / u e constituant la chaîne directe ; le second, de fonction de 
transfert
F ( j ) = u e / u s , la chaîne de retour.
II.A - Donner la condition sur les fonctions
H ( j ) et F ( j ) pour que le système soit le
siège d'oscillations sinusoïdales spontanées
de pulsation  0 . Lorsqu'une telle condition
est réalisée, quel phénomène est à l'origine
de l'apparition des oscillations ?
II.B - On se place dans le cas particulier ou
H est une constante réelle H 0 indépendante
de  et où

ue

chaîne directe
H ( j )

us

chaîne de retour
F ( j )
Figure 9

j ----------ue
Q 0
F ( j ) = ------ = F 0 --------------------------------------------2- .
us

1 + j ----------- ­  ------
Q 0   0

II.B.1) Quelle est la nature de la chaîne de retour ? Tracer, en faisant 
apparaître précisément les asymptotes, le diagramme de Bode de F ( j ) / F 0 
pour les
4
­1
2
valeurs de Q = 0, 1 et Q = 10 . On prendra  0 = 10 rad  s ,  varie de 10 à
6
­1
10 rad  s .
II.B.2) F 0 ,  0 et Q étant fixés, pour quelle valeur particulière H m de H 0 
a-ton des oscillations sinusoïdales ? Que vaut la pulsation de ces oscillations 
?
II.C - La condition sur H 0 étant une égalité, elle est, en pratique, 
impossible à
réaliser strictement. u s ( t ) et u e ( t ) ne sont donc pas sinusoïdales. On 
cherche à
préciser l'expression des fonctions u s ( t ) et u e ( t ) .

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PHYSIQUE

Filière PSI

Établir l'équation différentielle satisfaite par u e ( t ) et u s ( t ) et 
discuter la nature
des solutions en fonction de H 0 (on se limitera aux cas des solutions 
oscillatoires). Un des opérateurs comportant un amplificateur opérationnel, 
montrer que,
pour certaines valeurs de H 0 , il sortira de son domaine de linéarité. On 
constate
dans ce cas que le système peut être le siège d'oscillations permanentes plus ou
moins sinusoïdales.
II.D - La chaîne directe est un amplificateur non inverseur réalisé à l'aide 
d'un
amplificateur opérationnel idéal de tension de saturation en sortie ± V sat 
(figure
10).
H0Vm

+

uS

ue

Vsat

­

us
R1

- 

- -

t

R2

-
Figure 10

Figure 11

II.D.1)

Établir la relation entre u s et u e . Tracer le graphe u s ( u e ) pour
­ V sat < u e < +V sat et donner la valeur de H 0 .

II.D.2) On présente à l'entrée de l'amplificateur non inverseur une tension
sinusoïdale : u e ( t ) = V m cos ( t ) , d'amplitude V m > V sat / H 0 .
La tension de sortie u s ( t ) est alors le signal sinusoïdal d'amplitude H 0 V 
m écrêté
symétriquement à ± V sat représenté figure 11.  est appelé angle d'écrêtage
(   [ 0,  / 2 ] ) . u s ( t ) admet un développement en série de Fourier qui, 
compte
tenu de la parité de la fonction est de la forme :

us ( t ) = a0 / 2 +

 an cos ( nt ) . On donne : an
n=1

2 t0 + T
= ---- 
u s ( t ) cos ( nt ) dt .
T t0

Que représente a 0 / 2 ? Donner sa valeur. On appelle
gain au premier harmonique le rapport a 1 / V m . Le calcul
montre qu'il peut se mettre sous la forme :
a 1 / V m = H 0 f (  ) avec f (  ) = [  ­ 2 + sin ( 2 ) ] /  . Le graphe de f ( 
 ) pour   [ 0,  / 2 ] est représenté figure 12.
II.D.3) On considère maintenant le système bouclé
siège d'oscillations périodiques stables. En ne considérant que la contribution 
du terme fondamental ( n = 1 )

Concours Centrale-Supélec 2008

f ()

Figure 12

1

/2

10/12

PHYSIQUE

Filière PSI

du développement en série de Fourier dans la boucle, déterminer la pulsation
des oscillations. Montrer que le gain H 0 de la chaîne directe doit satisfaire 
une
condition par rapport à F 0 et détermine ainsi l'angle d'écrêtage.
II.D.4) H 0 étant fixé, où prélever la tension dans le montage pour avoir un
signal s'approchant au mieux d'une sinusoïde ? Quelle qualité principale doit
posséder la chaîne de retour ? Comment la réaliser simplement par association
d'une bobine, d'une résistance et d'un condensateur ? Aucun calcul n'est
demandé. On fera le schéma du montage et on justifiera qualitativement le 
comportement passe-bande recherché.
II.E - Exemple de réalisation : l'oscillateur à pont de Wien
La chaîne de retour est constituée par le
C
ie
R
quadripôle de la figure 13, la chaîne directe
étant toujours constituée par l'amplificateur de la figure 10.
R
C
uc
II.E.1) Pourquoi le courant i e est-il nul ? u s
Calculer F ( j ) et donner les valeurs de
Figure 13
F 0 ,  0 et Q . La qualité du montage évoquée au II.D.4 est-elle satisfaite ? 
Quelle(s)
conséquence(s) est (sont) prévisible(s) sur la nature du signal obtenu ? Quel
intérêt présente cette chaîne de retour ?
II.E.2) La chaîne directe est constituée par l'amplificateur non inverseur du
II.D. Évaluer l'angle d'écrêtage (en degrés) pour R 1 / R 2 = 3, 4 , et 5 . 
Conclure.
II.F - La limitation de l'amplitude du signal par saturation de la chaîne 
directe
donne des signaux assez éloignés de la sinusoïde dès que H 0 s'écarte de H m .
Une solution consiste à introduire un asservissement du gain de la chaîne
directe à l'amplitude des oscillations. On se propose d'étudier un exemple de 
réalisation de cet asservissement.
u1
A

i
F ( j )

u2

i

B

R

+

­

R1

u

Figure 14
Figure 15

Concours Centrale-Supélec 2008

u s

us
Rd

Cd

R

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PHYSIQUE

Filière PSI

II.F.1) Le circuit de la figure 14 utilise un multiplieur dont la tension de 
sortie
est proportionnelle au produit des tensions d'entrée : u = ku 1 u 2 . Les 
courants
d'entrée du multiplieur sont tous les deux nuls. Donner l'équation de la 
caractéristique du dipôle AB en fonction de R , k , u 1 . À quoi est-il 
équivalent ?
II.F.2) On remplace le système bouclé précédent par le montage de la figure
15. On s'intéresse tout d'abord au détecteur de crête constitué par la diode, R 
d
et C d . On suppose la diode idéale. u s ( t ) étant une tension périodique de 
période
T et d'amplitude V m , comment choisir R d et C d pour avoir u s ( t ) = V m ?
Comment est modifié ce résultat si la diode n'est plus idéale ?
II.F.3) La figure 16 donne l'évolution temporelle de u s ( t ) et u s ( t ) .
4
­1
On a pris  0 = 10 rad  s , R d = 70 k , C d = 1µF . La condition du II.F.2 
est-elle
satisfaite ?
Décrire alors qualitativement le principe de fonctionnement de ce montage. 
A-ton réalisé l'asservissement décrit en II.F ?
II.F.4) On constate que la tension de sortie u s tend rapidement vers une 
fonction quasi-sinusoïdale permanente d'amplitude V m . Quel est alors le gain 
de la
chaîne directe ? On suppose la diode idéale. En reprenant l'équation 
différentielle établie en II.C dans le cas du régime périodique permanent, 
calculer V m
en fonction de F 0 , k , R et R 1 . Comment pourrait-on modifier le circuit pour
avoir une amplitude V m réglable ?
II.F.5) Dans le cas de la figure 16, on a choisi pour chaîne de retour celle de
l'oscillateur à pont de Wien. Les composants ont les valeurs suivantes :
­1 ­1
R 1 = 2k , R = 900 , k = 10 V . Calculer l'amplitude théorique V m . Comment 
expliquer la différence avec la valeur expérimentale ?
2.0V

us(t)
u's(t)

0V

-2.0V
0s

10ms

20ms

Fig. 7

30ms

35ms

Figure 16

··· FIN ···

Concours Centrale-Supélec 2008

12/12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Rémy Hervé (Professeur agrégé) ; il a été relu par
Raphaël Galicher (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants. Le premier traite d'optique
interférentielle. Le second est un problème d'électronique sur un système 
bouclé.
Dans le premier problème, on s'intéresse à l'utilisation de l'interféromètre de 
Michelson dans le cadre de la tomographie par cohérence optique. Ce procédé 
vise à
explorer des couches de matériaux peu réfléchissants pour déterminer leur 
épaisseur
et leur coefficient de réflexion.
Ce problème se décompose en cinq parties permettant une approche très 
progressive des phénomènes mis en jeu. Il débute par des rappels sur 
l'interféromètre de
Michelson avec source ponctuelle ou étendue. On y introduit la notion de 
cohérence
qui est l'enjeu principal du problème. La deuxième partie, assez longue, rentre 
dans
le vif du sujet, à savoir les phénomènes de cohérence temporelle et leur rôle 
vis-à-vis
du contraste des franges d'interférences. Dans la troisième partie, on réalise 
l'étude
spectrale du signal. Cette alternative présente la propriété, rarement 
envisagée dans
des sujets de concours, de permettre de travailler avec l'interféromètre de 
Michelson
sans déplacer les miroirs. La quatrième partie est consacrée à l'étude d'un 
dispositif permettant de réaliser concrètement ce passage dans le domaine 
fréquentiel.
Enfin, la cinquième partie, relativement indépendante, propose de travailler 
sur le
réglage d'un autre dispositif.
Ce premier problème est très intéressant. Toutefois, il peut devenir 
calculatoire si
l'on ne réutilise pas au mieux les calculs déjà faits. De plus, une bonne 
maîtrise des
systèmes optiques est indispensable, les questions ne pouvant être résolues 
sans une
idée claire du parcours des rayons.
Le second problème est consacré aux systèmes électroniques bouclés qui oscillent
spontanément. Toutefois, l'objet principal du sujet est de caractériser les 
problèmes
de déformation du signal qui apparaissent sur de tels dispositifs et de 
proposer une
méthode permettant de les résoudre par le biais d'un asservissement simple et 
efficace.
Ce second problème est nettement plus court que le premier. Les trois premières
petites parties sont consacrées à l'étude théorique des propriétés des systèmes 
bouclés instables. Ces parties sont également l'occasion de travailler sur des 
fonctions
de transfert. La partie suivante est consacrée à l'étude d'un amplificateur non 
inverseur et des déformations qu'il peut induire sur le système du fait de la 
saturation
de l'A.O. La cinquième partie, plus anecdotique, est une étude rapide d'un 
filtre du
second ordre. Enfin, la dernière partie est consacrée à l'asservissement du 
système.
Elle est l'occasion d'étudier un dispositif très simple permettant d'obtenir 
une résistance commandée en tension et de voir l'usage que l'on peut en faire 
en vue d'un
asservissement.
Ce problème d'électronique ne présente pas de réelles difficultés si l'on est à 
l'aise
avec les fonctions de transfert et les équations différentielles de 
l'électrocinétique
linéaire.
En résumé, ce sujet s'avère original et intéressant sur le fond. Il mobilise 
peu de
connaissances et se concentre sur l'utilisation de dispositifs usuels pour des 
applications techniques concrètes.

Indications
Partie I
I.A.4.a Vérifier que les figures d'interférences se superposent correctement.
I.B.2 Raisonner en terme de largeur spectrale des sources.
I.B.4.b La formule donnée en début d'énoncé est fausse ; il faut lire

p-q
p+q
cos
sin p - sin q = 2 sin
2
2
I.B.4.d La largeur de la raie verte du mercure est de l'ordre de la centaine de 
gigahertz
et la largeur spectrale du laser hélium-néon est de l'ordre du gigahertz.
I.B.6.b Le calcul est le même qu'à la question I.B.3. Le facteur V dépend de i.
I.B.6.d S'inspirer du critère de Rayleigh.
I.C.1 Utiliser la relation
I(z) =

Z

dI
(z, ) d
d

I.C.3.b La démarche est la même qu'à la question I.C.2.a. Le résultat peut s'en
déduire directement.
I.C.3.e Penser au problème de la précision sur la position du miroir (M1 ).
I.D.2 Travailler sur le pic du premier ordre. Lier la position r de la tache à 
l'angle 
et en déduire une relation liant la largeur de la tache r à  (sin ).
I.D.3 D'une variation  de , déduire une variation  (sin ) de sin  puis une
variation r de la position de la tache r.
I.D.4 La dépendance sur la cellule vient de la dépendance sur la position r qui
vient elle-même de la dépendance en  et en .
I.E.2 Déterminer l'image de la source par chaque bras du dispositif.
I.E.4.a Voir la question I.B.4.d.
I.E.4.b Lier la largeur de l'interférogramme à la longueur de cohérence.
I.E.4.c Penser que l'interféromètre est supposé réglé au contact optique.
Partie II
II.A Il peut y avoir des oscillations s'il existe des solutions us non nulles.
II.D.3 Injecter us et ue dans l'équation différentielle de la chaîne de retour.
II.E.2 Faire une résolution numérique à la calculatrice.
II.F.1 À quoi est équivalent le dipôle AB à u1 fixé ?
II.F.4 Penser à exprimer H0 en fonction de Vm .
II.F.5 Penser à la diode.

I. Principe de la tomographie
par cohérence optique (OCT)
I.A.1 Pour pouvoir produire des interférences, deux ondes lumineuses doivent 
être
cohérentes. Pour réaliser expérimentalement cette condition, on fait interférer 
des
ondes issues d'une même source.
On qualifie de « cohérentes » deux ondes se superposant, dont la fréquence est 
la même et dont la différence de phase est constante. Deux ondes
issues d'une même source et ayant suivi des chemins distincts sont cohérentes.
Pour deux ondes issues de deux sources différentes, le caractère cohérent 
dépend du temps d'intégration du détecteur (c'est-à-dire du temps pendant
lequel le signal reçu est moyenné) et du temps de cohérence des sources
(c'est-à-dire du temps séparant l'émission de deux ondes successives).
Si le temps de cohérence est grand devant le temps d'intégration du
détecteur, alors il suffit que les deux ondes aient des fréquences voisines pour
être cohérentes et interférer : c'est le cas des sons émis par deux diapasons
légèrement désaccordés du point de vue de notre oreille (on peut entendre
des battements). S'il est faible devant le temps d'intégration du détecteur,
alors deux ondes successives issues d'une même source sont émises avec des
phases différentes « choisies » aléatoirement. Il en résulte que les 
interférences
produites au niveau de l'appareil de mesure changent avec chaque nouveau
couple d'ondes issues des deux sources. L'appareil faisant une moyenne de ces
interférences, le signal finalement obtenu n'est pas un signal d'interférences.
C'est ce qui se passe en optique où les temps de cohérence sont très faibles.
I.A.2 Une onde monochromatique est une onde qui ne contient qu'une longueur
d'onde : elle est purement sinusoïdale. En laboratoire, on peut obtenir une onde
monochromatique en utilisant un laser ou une source spectrale, par exemple une
lampe au sodium basse pression, dont on isole une raie par un filtre.
Les ondes monochromatiques ont également pour propriété d'avoir une longueur de 
cohérence infinie.
I.A.3.a Pour réaliser une source quasi ponctuelle, on éclaire un diaphragme de 
faible
diamètre avec l'une des sources précédentes. Afin d'avoir un maximum de 
luminosité
et d'angles d'émergence différents, on fait converger la lumière issue de la 
source sur
le diaphragme à l'aide d'un condenseur.
I.A.3.b La source étant ponctuelle et monochromatique, les interférences ne sont
pas localisées. On peut donc placer l'écran n'importe où sur l'axe de sortie de 
l'interféromètre. En accord avec la symétrie cylindrique du problème, la figure 
d'interférences
est constituée d'anneaux concentriques dont le centre se trouve sur l'axe 
optique.
De plus, l'espacement entre ces anneaux diminue lorsque l'on s'éloigne du 
centre.
Le jury signale une confusion fréquente entre « nature des franges » et
« localisation des franges ». La nature des franges correspond à leur forme
(anneaux concentriques, lignes parallèles, arcs d'hyperboles). Elle est une
conséquence de la configuration du dispositif, ici un interféromètre de 
Michelson. La localisation des franges pose la question des zones de l'espace où
on peut visualiser ces interférences. La localisation pose la question de savoir

où les interférences peuvent être observées. Il y a normalement deux aspects
à prendre en compte, un lié au dispositif (« où les faisceaux se recouvrentils 
? ») et un lié à la source (« la source est-elle étendue ou ponctuelle ? »).
Avec un interféromètre de Michelson, seul le second aspect présente un intérêt. 
Il faut alors retenir que pour une source quasi-ponctuelle, les interférences
ne sont pas localisées, elles peuvent être observées partout ; tandis que pour
une source étendue, elles ne peuvent être observées qu'à l'infini : c'est la 
localisation à l'infini.
Enfin, le jury signale également une confusion de vocabulaire entre « non
localisée » et « délocalisée ». Attention, ce second terme emprunté à la 
mécanique quantique a un sens sensiblement différent et ne s'applique pas à un
phénomène (ici les interférences) mais à des particules.
I.A.3.c Lorsqu'on utilise une source monochromatique étendue, la figure 
d'interférences se brouille ; les interférences sont alors localisées à 
l'infini. Les franges d'interférences correspondantes sont appelées anneaux 
d'égale inclinaison.
On parle aussi de « franges d'Haidinger ». C'est ici la cohérence spatiale qui
pose problème car deux points de la source sont incohérents en phase.
I.A.4.a L'écran étant dans le plan focal image
d'une lentille, pour que des rayons issus d'un
point S2 de la source parviennent en un point M
de l'écran, il faut qu'ils arrivent sur la lentille
avec la même inclinaison que les rayons issus
de S1 . Cela implique qu'au niveau de la lame
d'air, la configuration est exactement la même
pour les rayons issus de S2 et les rayons issus
de S1 . Il en résulte que le déphasage entre les
rayons issus de S2 est le même que celui entre
les rayons issus de S1 et donc que S1 et S2
produisent exactement la même figure d'interférences sur l'écran. On en déduit 
qu'il en va
de même pour tous les points de la source, ce
qui confirme que la surface de localisation des
interférences est bien située à l'infini.

(M2 )
(M1 )
(SP)
S
S1
(L)

(M1 )
F
M

I.A.4.b Pour des rayons arrivant sur une lame d'air avec un angle d'incidence i 
par
rapport à l'axe optique, la différence de marche est donnée par
 = 2 n e cos i
où n = 1 est l'indice de l'air et e = z - z0 est la distance séparant les deux 
interfaces.
Les rayons étant supposés faiblement inclinés, l'angle i est très petit devant 
1, soit
r
i= 
f
En développant la fonction cosinus, on en déduit finalement
"
 2 #
1 r
 = 2 (z - z0 ) 1 -
2 f
Le jury précise que le barème de cette question a tenu compte de l'erreur sur
la formule de trigonométrie proposée dans l'énoncé.