Centrale Physique PSI 2007

Thème de l'épreuve Détection de véhicules par induction
Principaux outils utilisés électromagnétisme, électrocinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Concours Centrale - Supélec 2007

Épreuve :

PHYSIQUE

Filière

PSI

PHYSIQUE Filière PSI

PHYSIQUE

Calculatrices autorisées.

Données numériques

Permittivité électrique du vide 80 = 8, 85 - 10_12 F - m_1
Perméabilité magnétique du vide ..., : 4T£ -- 10_7 H - m_1
Vitesse de la lumière dans le vide 0 = 3, 0 - 108 m -- 8--1
Masse d'un électron m = 9, 1 - 10_:'1 kg
Charge d'un électron -- e = -- 1, 6 - 10_19 C
Nombre d'Avogadro N a = 6,0 - 1023 mol--1

Les détecteurs de véhicules dits à boucle inductive sont actuellement de loin 
les
plus répandus, tant pour le contrôle des flux sur autoroutes que pour la 
détection
automatique pour le déclenchement de feux tricolores ou de barrières de 
sécurité.
Ce sujet propose d'étudier les concepts et phénomènes physiques associés à cet
instrument de détection ainsi que d'évaluer ses performances et sa sensibilité.

Le principe de fonctionnement d'un / /
détecteur à boucle inductive est le / / borne de
suivant : un enroulement de fil électri- 4 // détection
que placé dans une tranchée rectangu- /

laire en travers de la chaussée (cf. figure

ci-contre) est relié à une borne contenant un oscillateur quasi-sinusoïdal 
(Partie
1). Ce dernier génère dans la boucle un courant sinusoïdal qui crée au dessus de
celle-ci un champ électromagnétique lui-même sinusoïdal. Lorsqu'un véhicule
est à proximité immédiate de la boucle, ce champ induit des courants a la sur-
face de celui-ci (Partie 11). Ces derniers ont pour effet de modifier 
l'inductance
de l'enroulement (Partie III) et donc la fréquence de l'oscillateur. Un 
fréquence-
mètre permet ainsi de détecter le véhicule passant au dessus de la boucle 
(Partie
IV). Les quatre parties sont dans une large mesure indépendantes.

Dans tout le problème, les amplificateurs opérationnels, notés A. Op. , sont 
sup--
posés parfaits (gain infini, impédances d'entrée infinies, impédance de sortie
nulle, vitesse de balayage infinie). Les tensions de saturation valent : --V8at 
et
+V

sat '

Concours Centrale-Supé/ec 2007 1/16

PHYSIQUE Filière PSI

Filière PSI

Partie I - Étude de l'oseillateur quasi-sinusoïdal

La boucle rectangulaire enterrée dans la :
chaussée est constituée de plusieurs tours â ? Rb
(généralement compris entre 3 et 5 ). Son _

schéma électrique équivalent est le suivant :

L , R 5 et C b représentent respectivement ©
l'inductance, la résistance et la capacité de la

boucle.

I.A - Phénomène de dissipation

La résistance Rb modélise l'ensemble des pertes engendrant une dissipation
d'énergie du fait du passage d'un courant dans la boucle enterrée. On peut dis-
tinguer dans Rb deux contributions : une provenant du câble lui-même et une
autre provenant de son environnement.

I.A.1) Quel phénomène est à l'origine de la dissipation d'énergie dans le
câble '?

I.A.2) Pour une fréquence suffisamment élevée, la résistance du câble com--
mence à dépendre de la fréquence. Donner le nom du phénomène a l'origine de
cette dépendance. Donner, en le justifiant, le sens de variation de la 
résistance
du câble en fonction de la fréquence.

Quand on enterre la boucle, la résistance Rb augmente sensiblement d'une
quantité que l'on appelle « résistance de terre >>, notée GR (« ground 
resistance >>
en anglais). Cette résistance supplémentaire est due à l'apparition de faibles
courants de Foucault dans le macadam.

I.A.3) Préciser la dépendance de GR par rapport a la fréquence: est--elle
indépendante de f, proportionnelle à f ou proportionnelle à f2 ?

Indication : on pourra appliquer la loi de Faraday a une boucle fermée (% ) de
courants de Foucault située dans le macadam et traversée par le champ magné-
tique créé par la boucle inductive enterrée. On introduira l'inductance mutuelle
des deux boucles, et la résistance de la boucle (% ). Il est suggéré de 
calculer la
puissance moyenne dissipée.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 2/16

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I.B - Simulation d'une résistance négative

Pour compenser les pertes dues à la résistance R b , l'oscillateur doit 
comporter
une source d'énergie.

Pour cela, on utilise le dipôle de la figure 1.

I.B.1) Dans le cas où l'A. Op. fonctionne
en régime linéaire, déterminer les rela--
tions donnant V en fonction de I , et V8 en
fonction de I .

I.B.2) Dans le cas où l'A. Op. fonctionne V
en régime saturé avec VS : +Vsat , détermi-- V
ner la relation donnant V en fonction de I . R1 3
Faire de même si Vs : --V

V"

sat '

I.B.8) Tracer la caractéristique statique
V en fonction de I du dipôle de la figure 1. 77777 Figure 1
Montrer que dans un intervalle donné de

V : V E [--V0, V0] ce circuit se comporte comme une résistance négative de 
valeur
--Rn (avec Rn > 0 ). Exprimer Rn et V0 en fonction de R1 , R2 , R et Vsat.

I.C - Étude de l'oseillateur

L'oscillateur est constitué par la
mise en parallèle de la boucle
inductive enterrée, d'un conden--
sateur de capacité C8 et du
dipôle étudié àla question précé--
dente. On suppose que ce dernier

est en régime linéaire de sorte \ /

, , . o \ . A / 0

que 1 on peut/ 1 ass1mfler a u(151e Boucle inductive enterrée D}P°}Î 
model1saünt la
_ . res1s ance ne a 1ve

res1stance negatwe Rn . n Figure 2 g

peut ainsi dessiner le schéma
électrique équivalent de l'oseillateur, représenté figure 2.

U(t)_

() --> ()
CBO
|
':U
:

I.C.1) Justifier que l'on puisse remplacer les deux condensateurs par un seul
de capacité C éq dont on donnera l'expression en fonction de Cb et CS .

I.C.2) Montrer que la tension U (t) aux bornes de la boucle vérifie une équa--
tion différentielle de la forme :

d2U dU _
az?+b--äî+(l--C)U(Î) -- 0.

Donner l'expression de a , b et c en fonction de L , Céq , Rb et Rn .

I.C.8) Quelle est la condition nécessaire sur I) pour que les solutions de
l'équation différentielle soient sinusoïdales ?

Concours Centrale-Supé/ec 2007 3/16

PHYSIQUE Filière PSI

En déduire la valeur à fixer à Rn en fonction de R b et Q , avec :

1 L
Q = ---- /----.

I.C.4) Montrer que les solutions sont effectivement des sinusoïdes si
Q > Qlim , inégalité que l'on supposera vérifiée pour la suite. Que vaut Q lim ?

I.C.5) Calculer la fréquence ;" des oscillations en fonction de L , Céq et Q .
En pratique, la condition Q > Qlim n'est pas suffisante pour assurer une bonne
stabilité et une bonne fiabilité du montage. La valeur de Q minimale recom-
mandée est de l'ordre de 8 .

I.C.6) En déduire dans ce cas que l'on peut écrire la relation approchée :

1 1 . . , . .
f : --------------- avec une erreur relative 1nfer1eure a 1% .

2n: /Lcéq
On désire que la fréquence d'oscillation ;" soit de 50 kHz avec une boucle 
enterrée
ayant une inductance L = 150 uH, une capacité Cb : 10 nF et une résistance
Rb = 0,7 9.
I.C.7) Calculer la valeur de la capacité C8 à intégrer dans le circuit 
oscillant.
La valeur de Q est-elle satisfaisante ?

En pratique, la condition b = 0 ne permet pas d'amorcer les oscillations.

I.C.8) Quel est le signe de b permettant l'amorçage de l'oseillateur '? Rn doit-
il ainsi être plus petit ou plus grand que Q2Rb ?

I.C.9) Par quoi est limitée l'amplitude des oscillations générées par le
circuit ?

Partie II - Réflexion d'une onde êlectromagnêtique sur un
conducteur

II.A - Modèle du conducteur métallique dans le domaine des
hyperfréquences ou inférieur

On considère un milieu conducteur homogène de dimension supposée infinie. On
note y0 sa conductivité électrique en régime statique. On suppose qu'il y a n
porteurs de charge libres par unité de volume, n est supposé indépendant du
temps. Chaque porteur de charge libre est de masse m et possède une charge
électrique q .

II.A.1) On soumet ce conducteur à un champ électrique permanent et uni-

+ . .

forme EO . On admet, suivant le modèle de Drude, que l'1nteract10n des charges
fixes sqr un porteur de charge libre est assimilable à une force de frottement
fluide F : --hÈ.

Concours Centrale-Supé/ec 2007 4/16

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a) Écrire l'équation différentielle du mouvement vérifiée par la vitesse 3 d'un
porteur de charge libre.

b) Montrer que cette vitesse tend vers une vitesse limite 1');... que l'on 
expri--
mera et définir un temps 11 de relaxation du matériau à partir duquel la loi
d'Ohm est valable. En déduire la relation entre y0 , q , n et h .

c) Application numérique

On suppose que le conducteur possède un électron libre par atome.

La matériau considéré est de l'acier (alliage de fer avec du carbone en faible 
pro--
portion). Comme ordre de grandeur, on prendra :

u : masse volumique z 8 -- 103 kg - m_ ;

M : masse molaire z 60 g -mol_1 ; y0z107 S - m_1

Préciser les ordres de grandeurs de n, h et Ti-

11. A. 2) On soumet maintenant ce conducteur à un champ élpctrique sinusoï--
dal E= EO cos(oet) , auquel on associe le champ complexe E= Eoe" °°" .

a) Montrer que le modèle de Drude permet de définir une conductivité complexe
Y que l'on exprimera en fonction de Yo , 11 et w .

b) Justifier que pour des fréquences ne dépassant pas 100 GHz , on peut assimi-
ler la conductivité électrique du matériau à sa conductivité statique y0 , 
c'est-à-
dire que la loi d' Ohm reste encore valable à de telles fréquences.

II. A. 8) Lorsque le matériau est soumis à un champ électrique E(t) variable,
il est le siège de courant de conduction j et de courant de déplacement jD. Jus-
tifier que pour des fréquences au plus de l'ordre de 100 GHz, le courant de 
dépla--
cement est négligeable devant le courant de conduction.

II.B - Propagation d'une onde électromagnétique dans un conducteur
métallique

On considère une onde électromagnétique plane progressive monochromatique
(OPPM ) de fréquence ;" ne dépassant pas 100 GHz qui se propage à l'intérieur
d'un espace métallique de conductivité Yo , supposé neutre en tout point, occu-
pant le demi espace 2 > 0. On note E(z t) et B(z, t) les champs électrique et
magnétique dans le métal. On leur associe les champs complexes . E(z, t) et
l_3(z, t) . On a :

+ + +
E(z,t) : Re(E(z,t)) = Eamp(z)cos(oet--k'z+E) j(oet--ëZ+OEB)
e

+ + + , + %
E(z,t) : E0 avec E() : E0EURx et l_3(z,t) : BOe ,

Êo et Ëo étant des vecteurs réels et constants et 12 : IgËZ : (k' + jk")êz 
étant le
vecteur d'onde complexe (k' et k" étant respectivement la partie réelle et ima-
ginaire de 15 ).
On rappelle que
% H + % . + +
rot(rot(u)) : grad(dzv(u))--Au.
Avec les notations utilisées, pour l'OPPM , on a
% + + + % + + + +
rONE) = --J°Îî A E, r0t(5) = --flî A B , AE = --Îi
II.B.1)
a) Quelle est la direction de polarisation du champ électrique Ê(z, t) ?
b) Quelle est la direction de propagation de l'onde ?
II.B.2)

a) À partir des équations de Maxwell et en utilisant les approximations dédui-
tes des questions II.A.2 et II.A.8, déterminer l'équation aux dérivées 
partielles
vérifiée par le champ électrique à l'intérieur du matériau conducteur. Quel nom
donne-t-on habituellement à une équation de cette forme ?
b) En déduire la relation de dispersion reliant lg et w .
II.B.3)

? % --z/ô
a) Montrer que E(z, t) est de la forme : E0e cos(oet --k'z + q>E) .
b) Comment s'appelle la longueur caractéristique ô ? Exprimer 6 en fonction
de no , VO et ou.
La fréquence des oscillateurs utilisés dans les détecteurs à boucle inductive 
est
de l'ordre de 50 kHz . Les radars à effet Doppler utilisés pour mesurer les 
vitesses
sur route émettent une onde électromagnétique en direction des véhicules de
l'ordre de 10 GHz .
c) Préciser la valeur de 6 associée à ces deux fréquences. Commenter.

(1) Préciser la vitesse de phase de l'onde dans le conducteur en fonction de w 
et
6 . Pourquoi le milieu est-il qualifié de dispersif ?

e) Expliquer le phénomène physique responsable de l'atténuation de l'onde au
cours de sa propagation.

II.B.4) Montrer qu3Ë(z, t) est de la forme Ê)e_2/ôcos(oet -- k'z + %) . 
Calculer le
champ magnétique 30 en fonction de m , ô , E0 et d'un vecteur unitaire appro-
prié. Préciser la valeur du déphasage q) : q>E -- q>B .

Concours Centrale-Supé/ec 2007 6/16

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II.C - Pénétration du champ électromagnétique dans un conducteur
métallique réel

Le conducteur métallique précédent occupe
toujours le demi espace (2 > O) , tandis que l'air,
assimilé au vide, occupe le demi espace (2 < 0) .

plan

conducteur

Air zVidEUR Z = 0 métallique

II.C.1) On impose, da31s l'air, pn champ
magnétique uniforme Bair(t) : Bain Ocosoet
avec Bain 0 : Bal--,., 0Îy .

Ce champ pénètre dans le conducteur métalli-
que et doræe naissance, pour 2 > O , à une onde dont le champ magnétique est de
la forme BOe_Z/ô cos(oet -- k'z + (DB) (cf. question II.B.4).

a) SachanÈqu'il n'y a pas dgcourant surfacique dans le plan 2 = O, exprimer
le champ Bo en fonction de Bain 0 . Déterminer la phase % .

b) En utilisant les résultats de la section II.B, déterminer l'expression 
vecto--
rielle du champ électrique dans le métal en fonction de Bal--,.) 0 , w et 6 .

Cette oncle électromagnétique donne naissance à une distribution volumique de

courant J(z, t) .

à
c) Pré01ser l'unité pour J (2, t) , a1ns1 que son express1on en fonction de B
(D , yo , 6 et d'un vecteur unitaire approprié.

air, 0 ?

II.C.2) Cas limite du conducteur parfait
a) Rappeler la définition d'un conducteur parfait.

+
b) Justifier qu'on peut modéliser la distribution v_çlumique de courant J (2, t)
par une distribution surfacique de courant, notée J s(t) .

+
c) Pré01ser l'un1té de J s(t) et déterm1ner son express1on en fonction de 
Bal--,. 0 ,
(D, %> puis simplement en fonction de Bair(t), Mo et d'un vecteur unitaire
approprié. On donne pour cela une primitive

_ _ --z/ô _ ê
F (2) -- ôe cos<9 6)
de la fonction

f(z) : e_Z/Îcos(B--Ë) -- sin(B--Ë)] : fle_2/ôcos(e_Ë .,.Ë)

où 6 ne dépend pas de z .

Concours Centrale-Supé/ec 2007 7/16

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Partie III - Modification de l'inductance de la boucle
enterrée lors du passage d'un véhicule

HLA - Champ magnétique créé par un fil infini

On considère un fil cylindrique infini d'axe 02 (de vecteur unitaire Iîz ), de 
rayon
a parcouru par un courant I > 0 dirigé vers les 2 croissants. On su pose que la
répartition de courant sur une section du fil est uniforme. On note _]1 le 
vecteur
densité volumique de courant à l'intérieur du fil.

III.A.1) Exprimer Î1 en fonction de I , e et âz. Az
On utilise les coordonnées cylindriques : un point M de l'espace
est repéré par ses coordonnées (r, 6,2). La base orthonormée % s
associée s'écrit (fr... %, fig). \OË
III.A.2) À l'aide des symétries, donner la direction du champ
magnétique BI(M ) créé en un point M quelconque de l'espace.
De quelles coordonnées sa norme est-elle indépendante (justi--
fier la réponse) '?

III.A.3) Calculer Iî (M ) pour un point M situé à l'extérieur du fil à une dis--
tance r > 8 du centre de celui-ci en fonction de I et r .

III.A.4) Calculer Bî (M ) pour un point M situé à l'intérieur du fil à une dis--
tance r < a du centre de celui-ci en fonction de I , a et r .

III.A.5) Donner l'allure de |Bä1 (M )| en fonction de r.

III.B - Inductance linéique de deux fils infinis parallèles

On ajoute au fil étudié dans la question précédente A 2
(noté fil 1 ) un deuxième fil (noté fil 2) infini d'axe
O'z parallèle à Oz , de même rayon, mais parcouru C

par un courant I dirigé dans le sens opposé au pre- I + I
mier fil.

On note 00' = a la distance entre les deux fils. On
suppose les deux fils très éloignés l'un de l'autre de 0 Fil 1 O'
sorte que a » e. L'expression de l'inductance L du

circuit constitué par ces deux fils peut être déduite F1] 2
en calculant de deux manières différentes l'énergie
magnétique Em que possède le circuit. \/ \J

III.B.1) Exprimer Em en fonction de L et I .

III.B.2) Rappeler l'expression de la densité volumi-
que d'énergie magnétique et écrire la formule générique de Em en fonction de
B(M).

Ce dernier calcul est très fastidieux.

--
V

\
_/

4_/\

a

Concours Centrale-Supé/ec 2007 8/16

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Il conduit à l'expression suivante pour l'énergie magnétique linéique dEm/dz
du système constitué par les deux fils :

dEm 12
E = %(1+41"(Î)) '

III.B.3) Déterminer l'inductance linéique Llin du système constitué par les
deux fils.
III.C - Inductance de la boucle enterrée

En général, la boucle enterrée dans la chaussée est
de forme rectangulaire, de longueur 19 (en travers î
a

de la voie) et de largeur a . La longueur 19 corres--
pond a peu de choses près à la largeur d'un Véhi--
cule. La figure ci-contre illustre la route vue de 4_,
dessus où la boucle est sur la voie de circulation de
droite. La boucle est constituée d'un fil conducteur
à section circulaire de rayon 8 « a et b .

III.C.1) À partir des résultats de la section précédente et en supposant que
19 » a, calculer l'inductance L1 de la boucle (on supposera que la perméabilité
magnétique du macadam peut être assimilée à celle du vide).

En pratique, la boucle est un enroulement de N tours de fils (c'est-à-dire N 
spi--
res), N > 1 pour assurer une meilleure stabilité du système de détection (en 
aug--
mentant notamment la valeur de Q introduit au LC). On note L l'inductance de
la boucle pour N tours.

III.C.2) Déterminer l'expression de L en fonction de N et de L1 .
III.C.3) Donner la valeur numérique de L pour s = 1 mm, a = 0,5 m , b = 2 m
et N = 5 . Que dire de la validité du calcul ?

III.D - Effet du passage d'un véhicule

Lorsqu'un véhicule se place juste au-dessus zone Siège de

du détecteur, le dessous de la carcasse courants de Foucault
métallique,/subissant le champ magnetique ô+ véhicule
variable cree par lenroulement, est le s1ege /- -- -- -\

de courants de Foucault sur une épaisseur + \ /B ( t) th
de l'ordre de 6 , grandeur introduite dans la ...

Partie II. La figure, qui est une coupe de pro- //\/f ////
fil, illustre ce phénomène. Ces courants
induits vont à leur tour créer un champ
magnétique qui va engendrer un flux à travers l'enroulement. Ce phénomène
d'induction a pour effet de faire varier l'inductance de la boucle enterrée. 
L'objet

enroulement enterré

Concours Centrale-Supé/ec 2007 9/16

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de cette section est de quantifier cette variation d'inductance ainsi que 
l'aug--
mentation de la résistance due aux pertes par effet J oule dans la carcasse 
métal--
lique. Sauf avis contraire, on se place dans le cas où la boucle enterrée n'est
constituée que d'un seul enroulement (N = 1) .

On note h la distance entre le bas de la voiture et le sol (on néglige la 
profondeur
d'enfouissement de l'enroulement). Compte tenu de la faible valeur numérique
de 6 par rapport à h pour les fréquences utilisées dans les détecteurs à boucle
inductive (cf Partie II), les courants induits, que l'on notera JS , peuvent 
être
considérés dans un premier temps comme surfaciques.

Pour simplifier l'étude analytique, on se
place dans le cas où b » a , c'est-à-dire que
l'enroulement est assimilable à deux fils
infinis de rayon 8 négligeable, distants de 2 conducteur
a et parcourus par deux courants de même V .
intensité I mais de sens opposés. Par î h "
ailleurs, on suppose que la carcasse métal-- I @_ _ _ _ _ _ _ _ _
lique du véhicule, assimilable à un conduc--
teur parfait, occupe tout le demi-espace

y>0. La nappe de courants induits à la WW

surface est donc dans le plan y = 0. La

figure ci--contre synthétise la modélisation {appelée « problème A ») (le sol, 
assi--
milé à du vide, n'apparaît plus).

III.D.1)

a) Que peut-on dire de la direction du champ magnétique dans le vide, en des
points infiniment proches de la surface du conducteur parfait ?

b) Écrire la relation de passage en y = 0 reliant 33 et Ë(y : 0_ ) . Comparer au
résultat de la question II.C.2 c). On prendra garde au changement de direction
de propagation.

On se propose de trouver un problème magnétostatique équivalent, c'est-à--dire
de trouver une distribution de courant simple qui crée le même champ magné-
tique que les courants induits sous le véhicule J s(x) . On remplace pour cela 
le
conducteur occupant le demi--espace y > 0 par deux fils infinis symétriques 
(pro--
blème C) ou antisymétriques (problème D ) par rapport au plan y = 0 des deux
fils représentant la boucle enterrée.

Un seul des deux problèmes respecte la bonne condition-limite imposée en
y = 0_ , pour que le champ magnétique créé par l'ensemble des courants coïn--
cide dans le demi-espace y < 0 avec celui du problème A .

Concours Centrale-Supé/ec 2007 10/16

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c) À l'aide du résultat de la question HID. 1-a), préciser quel problème ( C ou 
D )
est équivalent pour y < 0 au problème A .
Problème D proposé :

A

Problème C proposé:

a/2 Ay a/2 a/2 y a/2
<--><--> <-->
1@ ---------------------- ®] I® -------------------- @]
z îh vide 2 îh vide
@ _d >, © _ >,
îh V1 e îh Vide
I@---------- ------------ @! z@---------- ------------ @!
<--><--> <------><-->
a/2 a/2 a/2 a/2

d) En utilisant les résultats des questions III.A.3 et III.D.1-b), montrer que :

î( )=£_ÎE l _ l +
sx " h2+Véh du
champ magnétique créé par les courants induits sous le véhicule à travers la
boucle enterrée ?

On note (DP le flux propre de la boucle enterrée (en l'absence de véhicule).
III.D.4)

a) Quel est le lien entre (I>p , L et I '?

En présence du véhicule, il faut ajouter au flux propre de la boucle le flux 
(I>Véh .

b) Montrer qu'en présence du véhicule, l'inductance de la boucle enterrée varie
d'une quantité AL que l'on calculera en fonction de b , a et h . Le véhicule 
fait--
il augmenter ou diminuer l'inductance de la boucle ?

On appelle « sensibilité >> de la boucle enterrée, notée Sboucle, la valeur 
absolue
de la variation relative d'inductance IAL/Ll due à la présence d'un véhicule au
dessus d'elle.

c) Donner la valeur numérique de Sboucle pour s = 1 mm, a = 0,5 m et h = 0,2 m
(on rappelle que N = 1 ).

Concours Centrale-Supé/ec 2007 12/16

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(1) On considère maintenant une boucle constituée de N tours. Le rapport
|AL/Ll dépend-ll de N ? Augmenter le nombre de tours améliore-t--il la sensibi--
lité de la boucle inductive '?

Partie IV - Étude du fréquencemètre

Les fréquencemètres actuels sont majoritairement numériques. Cette partie
étudie le fonctionnement d'un fréquencemètre de type analogique qui va per-
mettre de mesurer les variations de fréquence de l'oseillateur dues àla présence
d'un véhicule au dessus de la boucle enterrée permettant ainsi sa détection.
Pour l'ensemble des chronogrammes demandés, il est recommandé de faire figu--
rer les éléments qui vous semblent importants (valeurs particulières, tangen--
tes...).

IV.A - Étude d'une cellule R'C'V0

is = 0
On considère le montage de la figure 8, où Vo , l l >
symbolise un générateur de tension continue. A C A
On suppose nul le courant de sortie is .
IV.A.1) Determ1ner lequat10n differentlelle e,... V ...

reliant e'(t) et V(t).
On s'intéresse à la réponse à une discontinuité @ V0
de tension: e'(t) : +E pour t<0, e'(t) : --E
pour t> 0. On suppose que E > V0/2 et l'on se Figure 3
place en régime permanent pour t < 0 .

77777

IV.A.2) Que vaut V(t) pour t< 0 '? Que vaut V(t : O+) (on précisera également
son signe) ?

IV.A.3) Déterminer pour t > 0 l'expression du signal de sortie V(t) de la 
cellule
R'C'V0 attaquée par cette discontinuité de tension.

IV.A.4) Dessiner sur un même graphe les évolutions de e'(t) et V(t) .

IV.B - Étude du module d'entrée du fréquencemètre

On considère le module d'entrée du +
fréquencemètre représenté sur la A A.Op.

figure 4. Il est attaqué par un _ _ A
signal sinusoïdal e(t) de fréquence

f, avec ;" « 1/(R'C') . Par ailleurs, la e(t) e'(t)

tension continue du générateur est
réglée telle que 0 < Vo < 2Vsat .
Dessiner sur un même graphe les

WW Figure 4
Concours Centrale-Supé/ec 2007 13/16

PHYSIQUE Filière PSI

chronogrammes représentant les évolutions de e(t) , e'(t) et V(t) sur une durée
supérieure à une période.

IV.C - Étude du module de sortie
On considère le module de sortie du fréquencemètre représenté sur la figure 5.

IV.C.1) L'A.Op. fonctionne-t-il en mode linéaire ou non ? Justifier votre
réponse.

On suppose qu'à t = 0 , la charge du condensateur est terminée. On attaque ce
module par le signal U (t), représenté sur la figure 6, de période T, formé
d'impulsions rectangulaires alternatives (avec la double inégalité
O
--2Vsat+V0 _ J
Figure 6

On suppose par ailleurs que t « RC .

IV.C.2) Que vaut la tension en sortie S (t = 0_ ) juste avant le front 
descendant
de l'entrée U (t) ?

IV.C.3) Montrer que la sortie de l'A.Op. bascule entre t = O_ et t : 0+. Que
vaut V+(t : O+) ?

Puisque r « RC , la tension V+ n'a quasiment pas varié entre les dates t : 0+ et
t = T.

IV.C.4) La sortie de l'A.Op. bascule-t--elle à nouveau entre t = EUR et t : r+ ?

Concours Centrale-Supé/ec 2007 14/16

PHYSIQUE Filière PSI

IV.C.5) Étape 1 : 0 < t < &1 (l'instant t1 est défini à la question IV.C.5 b)

a) Déterminer l'équation différentielle vérifiée par V+(t) pour 0 
			

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Centrale Physique PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jérôme Lambert (Enseignant-chercheur à l'université) 
;
il a été relu par Emmanuel Bourgeois (ENS Lyon) et par Stéphane Ravier 
(Professeur
en CPGE).

Ce sujet propose d'étudier différents éléments d'un dispositif de détection de 
véhicules à boucle inductive. Les quatre parties abordent des thèmes distincts 
mais
elles dépendent les unes des autres. Il est judicieux de lire l'intégralité de 
l'énoncé
avant de se lancer dans la rédaction, les réponses à certaines questions se 
trouvant
régulièrement un peu plus loin dans l'énoncé !
· La partie I étudie un oscillateur quasi sinusoïdal et les conditions de son 
bon
fonctionnement lorsqu'il est inséré dans un dispositif dissipant de l'énergie 
par
effet Joule. Cette partie est une bonne révision des notions de base de 
l'électrocinétique et ne présente pas de difficulté particulière. La question 
I.A, qui porte
sur la dissipation dans les conducteurs et sur les phénomènes d'induction, est
plus difficile que les autres car plus qualitative.
· La partie II traite de la pénétration d'un champ électromagnétique oscillant
dans un conducteur dans le cadre de l'approximation des régimes quasi 
permanents. Le modèle microscopique à la base de ce traitement est celui de 
Drude,
objet de la question II.A. Cette partie est calculatoire et propose de revoir,
sous différents points de vue, les relations de passage du champ magnétique à
la surface de conducteurs.
· La partie III s'intéresse aux variations d'inductance d'un circuit enfoui 
lors du
passage d'un véhicule sur la chaussée. Elle est une bonne occasion de revoir
les propriétés de symétrie du champ magnétique, et d'aborder une méthode
très utile pour décrire l'effet d'un conducteur parfait sur le champ magnétique
régnant à l'extérieur de celui-ci : la méthode des courants images.
· L'étude d'un fréquencemètre est l'objet de la dernière partie. Cet élément 
s'insère dans le dispositif de détection du véhicule car il permet de mesurer 
les
décalages de la fréquence propre d'oscillation de l'oscillateur quasi sinusoïdal
induits par le passage du véhicule. Cette partie ne présente pas de difficulté
particulière.
Ce problème est long et, si la partie électrocinétique ne présente pas de 
grande difficulté, celle consacrée à l'électromagnétisme est ardue et offre la 
possibilité de tester
la solidité et la cohérence de ses connaissances dans ce domaine. C'est 
pourquoi l'ensemble constitue un très bon moyen de réviser le cours 
d'électromagnétisme en cours
d'année. En outre, les parties II et III demandent de bien maîtriser les 
arguments
physiques de base.

Indications
Première partie
I.A.2 Penser à l'effet de peau.
I.B.3 Utiliser les résultats de la question I.B.1 pour identifier trois régimes 
de
fonctionnement. Vérifier que dans le régime linéaire on a bien, en convention
récepteur, U = -Rn I.

I.C.3 À quelle condition l'équation obtenue s'identifie-t-elle à celle de 
l'oscillateur
harmonique non amorti ? Ne pas confondre solution sinusoïdale et solution
oscillante.
I.C.9 Penser au régime de fonctionnement de l'AO en saturation : le dispositif
est-il toujours à résistance négative ?
Deuxième partie
II.B.2.a Pour établir l'équation demandée, prendre le rotationnel de l'équation 
de
Maxwell-Faraday.
II.B.3.c Le radar est basé sur la réflexion d'une onde électromagnétique sur le 
véhicule. La description de la propagation d'une telle onde est-elle possible
dans le cadre des approximations formulées dans l'énoncé ?
II.B.3.e Penser à l'induction et au fait qu'il y a des pertes par effet Joule.
II.C.1.a Écrire les relations de passage à l'interface vide-conducteur pour les 
composantes normale et tangentielle du champ magnétique.
II.C.2.b Que devient le courant pour z   ?
Troisième partie
III.B.1 Em est l'énergie magnétique stockée par l'inductance.
III.C.1 Négliger les effets de bords afin d'assimiler le rectangle à deux 
inductances
respectivement de longueur b et a.

III.C.2 Évaluer l'intensité du champ créé par les N boucles et le comparer au 
champ
créé par une boucle, puis calculer le flux total de ce champ à travers ces N
boucles. Il est important de faire la différence entre ce dispositif et 
l'association d'inductances en série dans un circuit. Dans ce dernier cas, le 
terme
de mutuelle inductance est systématiquement négligeable.

-
III.D.1.c Comparer les propriétés de symétrie de B et des problèmes C et D.
III.D.2.a Exprimer la puissance volumique dissipée en fonction du courant 
volumique
et du champ, et appliquer la loi d'Ohm.
Quatrième partie
IV.A.2 Pour cette question et les suivantes, utiliser la continuité de la 
tension aux
bornes d'un condensateur.
IV.C.1 Sur quelle entrée de l'AO la boucle de rétroaction est-elle branchée ?
IV.E.2 Calculer la dérivée logarithmique de l'expression de f .

I. Étude de l'oscillateur quasi sinusoïdal
I.A

Phénomène de dissipation

I.A.1 Le câble conducteur est métallique. Certains électrons du métal sont 
libres de
se déplacer dans le réseau d'atomes constituant le câble et sont responsables 
de l'ap
-
parition du courant électrique lorsqu'ils sont soumis à un champ E . Les 
électrons, ne
se déplaçant pas dans le vide mais dans un milieu matériel, cèdent 
régulièrement une
partie de leur énergie cinétique au réseau cristallin lors de « collisions ». 
Cette énergie est dissipée sous forme de chaleur. C'est l'effet Joule. La 
densité volumique de

-

courant est alors proportionnelle au champ électrique appliqué : -
 =  E (loi d'Ohm

locale), où  est la conductivité du matériau.

L'existence d'un temps caractéristique  a pour conséquence la loi
d'Ohm, puisqu'il est possible de dégager une vitesse moyenne des charges
dans le conducteur, proportionnelle au champ et à  .
Les collisions sont de différentes sortes. Par exemple, à température ambiante, 
dans un métal usuel parfaitement cristallisé, c'est l'interaction des
électrons avec les vibrations du réseau cristallin qui engendre ces collisions,
et non pas ­ comme le laisse penser une interprétation trop rapide du modèle de 
Drude ­ la collision façon « boule de billard » des électrons avec les
atomes du réseau. En particulier, il en résulte une dépendance marquée de la
résistance d'un métal avec la température. Les défauts d'un réseau cristallin,
engendrés par des impuretés, ou les joints séparant deux régions cristallines,
ont eux aussi pour effet d'introduire de nouvelles collisions.
I.A.2 Montrons que Rb augmente avec la fréquence f . À fréquence élevée, l'effet
de peau entraîne une localisation du courant au voisinage des bords du 
conducteur.
Le courant pénètre dans le câble sur une certaine longueur, appelée épaisseur de
peau , qui est proportionnelle à f -1/2 .
Une démonstration de la relation entre  et f est donnée dans la partie II.
Si S,  et  sont respectivement la section du câble
où circule le courant, sa longueur et la conductivité
du matériau dont il est constitué, la résistance Rb du
câble varie selon

Rb =
S
Pour un câble cylindrique de rayon rc , la section S
s'écrit S = 2 rc  pour rc  . La section S correspond à la partie non hachurée
du dessin ci-contre. Il

en résulte que Rb  f et donc, que
Rb croît avec f .

rc

I.A.3 Considérons une boucle fermée (B) dans le macadam. La loi de Lenz stipule 
que les variations du flux B du champ magnétique à travers (B), créé par la
boucle enterrée, engendrent l'apparition d'une f.é.m. induite e = -dB /dt dans 
(B).
Soit MB le coefficient de mutuelle inductance entre la boucle enterrée et (B), 
et I
le courant circulant dans la boucle enterrée. En régime sinusoïdal ce courant 
s'écrit
I(t) = Im cos(2f t). Alors, par définition de la mutuelle inductance,
B = MB Im cos(2f t)
et donc la f.é.m. induite dans le circuit est
e = 2 f MB Im sin(2f t)
Appelons RB la résistance de la boucle. Les pertes instantanées par effet Joule 
dans
la boucle sont de la forme P = e2 /RB , et s'écrivent donc
MB 2 2 2 2
P=
4 f Im sin2 (2f t)
RB
Les pertes moyennes P = hPi période peuvent se mettre sous la forme GR Im 2 /2.
Or, sin2 (2f t) période = 1/2, il en résulte que
P=
si bien que

MB 2 2 2 2
4 f Im
RB
GR  f 2

I.B

Simulation d'une résistance négative

I.B.1 En régime linéaire, les tensions
d'entrée et de sortie de l'AO vérifient
· en entrée V+ = V-

(= V),

R

A I

-
V+

· en sortie -Vsat 6 Vs 6 +Vsat

De plus, l'AO étant supposé idéal, les courants i+ et i- en entrée de l'AO sont 
nuls.
Le courant traversant R est donc I. La loi
des mailles appliquée à la boucle incluant
la résistance R donne

AO

Vs

+

V
R2

I2

R1

B

V - Vs = R I
Le courant traversant R1 et R2 s'écrit de deux façons différentes
Vs
V+
V
I2 =
=
=
R1 + R2
R1
R1
Combinons ces deux relations pour obtenir
V=-

R R1
I
R2

et

Vs = -

R (R1 + R2 )
I
R2

I.B.2 La loi des mailles appliquée à la boucle contenant R donne immédiatement
V = R I + Vs
(
R I - Vsat si Vs = -Vsat
si bien que
V=
R I + Vsat si Vs = +Vsat