Centrale Physique PSI 2006

 

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manu oOEmQ:OE - ÆOEÈOEU 83850

Partie I - Étude d'un aérogénérateur

Ce problème s'intéresse à différents aspects du fonctionnement d'une éolienne
destinée à produire de l'énergie électrique.

Les différentes parties sont largement indépendantes les unes des autres.

Le document annexe à rendre avec la copie concerne les questions I .A.6 et I . 
CS.

LA - Étude des vents dominants

La Terre est considérée comme une sphère de
rayon RT de centre OT . Le référentiel géocentri-
que @@ est considéré gon1}megaliléeg1. On lui lie
un repère direct (OT, ul, u2, u3) où u3 est paral-
lèle à l'axe des pôles et est orienté du Sud vers le
Nord. Le référentiel terrestre 9?T est en rotation

àla vitesse angulaire constanteQ =Qu3 par
rapport à Qïg. À tout point M de la surface de la
Terre; de latitude k, on associe_äun repère local
(M, ex ey, e i,) lié' a 9% , tel que eZ soit colinéaire
à OTM et drienté vers l'extérieur, et que ex soit
dirigé vers le Sud. La latitude )» peut varier de
--n/ 2 (pôle Sud) à +n/ 2 (pôle Nord). On note 53 le
champ de pesanteur à la surface de la Terre, on fera l'approximation de le con--
sidérer comme dirigé selon --ez .L'atmosphère est une fine couche d'air a la 
sur--
face de la Terre. L'airsera considéré comme un gaz parfait de masse molaire
% . On note 3 le champ eulérien des vitesses dans l'atmosphère, par rapport

au référentiel %T, P(x, y, 2) celui des pressions et p(x, y, z) la masse 
volumique
de l'air.

_, Figure 1

Coordonnées et repères utilisés

Pour les applications numériques, on prendra

RT : 6370km, Q : 2n/86164 rad-s'], g : 9,8m-s'2 , %: 29g--mol",

R = 8, 31 J -- K"' -moÎ' (constante des gaz parfaits).

On négligera la viscosité de l'air et en conséquence on considérera les écoule--
ments dans l'atmosphère comme parfaits. L'étude menée dans cette partie I ne
concerne que les vents dominants, c'est-à-dire des écoulements de grande
échelle, relativement réguliers dans le temps (on fera d'ailleurs à partir du 
I.A.4

une hypothèse de stationnarité). Ces vents représentent des vents « moyens »,
auxquels se rajoutent dans la réalité des vents plus locaux et des vents plus 
con-
joncturels (passage d'un anticyclone, d'une dépression...)

I.A.1) Montrer que la relation fondamentale de la dynamique, appliquée à
une particule de fluide de l'atmosphère, s'écrit sous la forme :
.)
pÿ--£ : pê--gradP--2pë> A3 (1)
Dt
Pourquoi ne voit-on pas apparaître dans cette équation de terme de force 
d'iner--
tie d'entraînement ?

LA. 2) En faisant l'hypothèse que l'atmosphère est isotherme à la tempéra-
ture T, établir l'expression que prendrait la pression Pé q,(x y, 2) si l'air 
était à
l'équilibre (c' est- -à- -dire immobile en tout point par rapport a 9? T ) En 
déduire un
ordre de grandeur de l'épaisseur de l'atmosphère.

I.A.3) On note alors p(x, y, z) : P(x, y, z) --Péq(x, y," z) .

Établir l'équation (2) reliant p , 3, p et Î2. (2)
On se limite maintenant à l'étude d'écoulements stationnaires dans @T.

I.A.4) On note U un ordre de grandeur caractéristique des vitesses de l'écou--
lement, L une dimension horizontale caractéristique de celui--ci. On appelle
nombre de Rossby (noté Ro ) d'un écoulement le rapport sans dimension entre
le terme d'accélération et le terme lié à la force de Coriolis dans l'équation 
(2).
Évaluer Ro pour un écoulement atmosphérique typique pour lequel
U = 10 m -s_1 et L-- _ 1000 km. Commenter le résultat obtenu: en fonction de la
valeur de R0 , quels sont les termes prédominants dans l'équation (2) ?

I.A.5) On considère des écoulements atmoSphériques de bas nombre de Ros-
sby (Ro « 1) , appelés écoulements géostrophiques et on ne gardera que les ter--
mes prédominants dans l'équation (2). La faible épaisseur de l'atmosphère (voir
la question I. A. 2) permet également de négliger la composante verticale "Z de
l'écoulement% Ét_athr l'expression du champ de vitesse v de ces écoulements en
fonction dee _z__grad p, p, 9 et >». Expliquer pourquoi seule la composante 
hori--

zontale de grad p intervient en fait dans l'expreSsion de' v.

I.A.6) La figure 2 donne la valeur moyenne de la pression atmosphérique P
au niveau du sol, le long d'un méridien quelconque, en fonction de la latitude,
pour l'hémisphère nord. La figure 3 donne la circulation générale des vents

moyens dans l'hémisphère nord. Faire le lien entre ces deux figures et discuter
de la validité du modèle étudié, suivant la latitude )» . Compléter la figure 
8, qui
a été reproduite en annexe, en faisant figurer la circulation générale des vents
moyens dans l'hémisphère sud (on admettra que la pression moyenne P est une
fonction paire de À ).

F1gure 2 Pôle Courants Figure 3
Nord polaires d'est
@ N
% Courants
5: tempérés d'ouest
Cl 30° N
8
% Alizés de
CD
È. nord-est
80 _ 60 40 20
Latitude Nord (°)
Pression atmosphérique moyenne,
au niveau du sol, dans l'hémisphère Circulation générale des vents moyens
nord, en fonction de la latitude. dans l'hémisphère nord.

I.A.7) Estimer numériquement la norme de la vitesse des vents dominants à
la latitude de 45° .

LB - Étude du prélèvement d'énergie par le rotor de l'éolienne

Dans cette partie, on étudie l'interaction mécanique entre l'air en mouvement
(le vent) et le rotor de l'éolienne. C'est une étude locale, on se placera dans 
le
référentiel terrestre %T, considéré comme galiléen. Il lui est lié un repère 
car--
tésien (Èx,Èy,Èz).

En amont, loin de l'éolienne, le vent est uniforme et permanent de vitesse
30 : v0Èx , et la pression est elle aussi uniforme, de valeur notée Po ; on 
suppose
en effet que les effets de la pesanteur sont négligeables. On note toujours p la
masse volumique de l'air.

L'éolienne est formée très schématiquement d'un mât portant un rotor d'axe
horizontal.

° On suppose que la perturbation apportée par le mât à l'écoulement de l'air
est négligeable.

0 On ne s'intéresse pas pour le moment aux détails de l'écoulement de l'air au
voisinage du rotor, et donc pas non plus à la forme précise des pales qui for-
ment le rotor ; il suffira donc de modéliser la surface balayée par ce dernier
par un disque de centre O et de diamètre D , d'axe x'x (voir figure 4).

L'écoulement de l'air est supposé parfait (sauf au voisinage immédiat du rotor)
stationnaire et incompressible. Il présente une symétrie de révolution autour de
l'axe Ox. On suppose que l'influence du sol est négligeable. La figure 4 repré-

sente l'allure du tube de courant qui s'appuie sur le pourtour du rotor. La 
section
de ce tube de courant est supposée varier lentement avec x : on la note S(x).

F' 4 "
1gure % | Tube de courant IS
----> | s--« S (x)_ _ _ _) _____ S ---->

Schéma du tube de courant s'appuyant sur le pourtour du rotor de l'eo-
lpienne. La vitesse et la pression loin en amont sont uniformes ( vo et
0 P) La pression loin en aval est uniforme P0 , la vitesse n 'est uniforme
lom en aval qu 'à l'interieur du tube de courant considéré et vaut vs. les
normes relatives de vo et vs n'ont pas éte respectées sur ce schema.

Elle varie d'une valeur SE loin en amont, à une valeur S S , loin en aval, en 
pas-
sant parla valeur S R : nD2 / 4 au niveau du rotor.

Du fait de la variation lente de S (x) , la vitesse peut être considérée comme 
uni-
forme sur chaque section x : Cte de ce tube de courant, et dirigée selon Èx :
3 : v(x)Èx. En particulier, on considère qu'au niveau du rotor, la vitesse du
fluide est de la forme 3R : vRêx . On notera P(x) la pression dans le tube de 
cou-
rant à l'abscisse x . Dans le tube de courant, on fait l'approximation de 
considé-
rer l'écoulement comme uniforme, loin en aval du rotor : L'), : v8Ëx . La 
pression
y est aussi uniforme, à la même pression Po qu'en amont. On a donc, dans le

tube de courant :

v(x)--' X_, _oe v0 v(x)_" X_,+oe vs
U(x=0) : UR
S(x)----> x_,_,, S,, R S(x) ""--'X_,+oe sî

On définit (voir figure 4) quatre sections E , A , B , S du tube de courant. A 
et
B sont situées de part et d'autre du rotor, et à sa proximité immédiate.
On considérera ainsi que S A = S B = S R et que ÈA : 33 : 3R : vRêx , conformé-
ment au modèle d'une hélice plate. Enfin, la pression à l'extérieur du tube de
courant est supposée non modifiée par la présence de l'éolienne, et a donc la

valeur uniforme Po- On note F : FÈx la force totale exercée par l'hélice sur le
fluide.

I.B.1) Établir'une relation entre les grandeurs "o , v s , S E et S S et une 
autre
entre v0 , UR , S E et S R . Justifier la forme du tube de courant de la figure 
4.

I.B.2) À l'aide d'un bilan de quantité de mouvement sur un système que l'on
définira précisément, établir une relation entre "0 ,' US , S E , p et F.

I.B.8) À l'aide d'un bilan de quantité de mouvement sur un système que l'on
définira précisément, établir une relation entre P A , P B , D et F . En 
déduire une
relation entre "0: vS , p , F et SE.

I.B.4) Déduire des questions qui précèdent l'expression de la vitesse "R de
l'air au niveau du rotor, en fonction de U0 et U S .

I.B.5) Pourquoi l'écoulement ne peut-il être considéré comme parfait au voi--
sinage immédiat du rotor '?

I.B.6) Déterminer l'expression de la puissance @ prélevée au vent par le
rotor en fonction de p, S R, v() et du rapport oc : vs/v0.

I.B.7) Montrer que cette puissance @ atteint une valeur maximale fin...,
pour une valeur de a que l'on précisera. Exprimer ÿ...x en fonction de p , S R
et vo.

I.B.8) On examine les fiches techniques de deux éoliennes de types très
différents : une de faible puissance, destinée à être montée sur un petit 
voilier
pour l'alimenter en énergie électrique, l'autre de forte puissance destinée à 
pro-
duire de l'énergie électrique pour un réseau de distribution régional. Pour cha-
cune, la fiche technique indique (entre autres données), le diamètre D du rotor,
la « vitesse nominale » "0 du vent pour laquelle elle a été conçue 
préférentielle-
ment, et pour laquelle elle fournit sa « puissance nominale » @. Les fiches 
tech-
niques sont établies en prenant une densité de l'air p égale a 1, 225 kg 111 3 .

° Éolienne de faible puissance : D = 1140 mm ; vo : 24 noeuds (on indique qu'un
noeud représente une vitesse de 1852 m - h--l ) ; ÿ : 400 W.

0 Éolienne de forte puissance : D = 47 m ; v() = 15 m - s_l ; ÿ : 660 kW.

Commenter ces données à l'aide des résultats obtenus précédemment (on attend
ici des commentaires faisant appel à des arguments quantitatifs).

I.C - Les pales de l'éolienne

Dans cette partie, on va modéliser (de manière volontairement rudimentaire) le
rotor de l'éolienne. On indique qu 'un objet placé dans un fluide de masse volu-
mique p en écoulement uniforme et stationnaire la vitesse uniforme vo subit de
la part de ce fluide une force F: T + R, où T, la traînée, est la composante de

\ \ à "> - - "
parallele a vo et R , la portance, en est la composante perpendiculaire. T et

vérifient :

:o4fiu

%

T: 2pv0ACx

|...

C\l/

HRN= ,pv âAC

0" (3)

Dans ces expressions, A est l'aire de la projection de l'objet sur un plan 
perpen-
diculaire à 30 , Cx et C, sont deux fonctions du nombre de Reynolds Re . Cepen-
dant, dans la gamme de nombres de Reynolds dans laquelle va fonctionner
l'éolienne, on peut considérer ces deux fonctions comme indépendantes de Re .

Le rotor de l'éolienne est un solide formé de deux pales diamétralement oppo-
sées par rapport à l'axe de rotation (A). Ce dernier axe est aligné avec la 
vitesse
v0-- _ vOex uniforme de l'air (loin en amont du rotor). On noteQ _Qex la vitesse
de rotation, supposée constante, du rotor.

Figure 5 e 9 > 0 Figure 6

//

Eolienne vue de face Eolienne vue de côté

On utilisera le repère de coordonnées cylindriques (0, Z,, e:,, 9--1) . La 
figure 7 mon-

tre l'aspect du profil de la pale . elle a une longueur L et est inclinée d'un 
angle
01 par rapport au plan de rotation du rotor, 01 E [O, a/ 2] .

I.C.1) Exprimer la vitesse ?),... du vent en amont de la pale, dans le 
référentiel
de la pale, en fonction de 50 , r, 9 et (39 (r étant la distance à l'axe (A) ). 
On
notera i l'angle entre le plan de la pale et & : iE [O, n/ 2] ; i est appelé 
angle
d'incidence du vent sur la pale. Donner la relation qui existe entre i , 01 , 
vo , r et
Q . Compléter la figure 7 (reproduite en annexe) en y ajoutant le vecteur 3r et
l'angle i. Comme la vitesse incidente Ë,. dépend de la position r le long de la

pale, on s'intéresse uniquement à une portion d'une des deux pales, portion
située entre les distances radiales r et r + dr (voir figures 5 et 6).

I.C.2) Montrer que, si l'on néglige l'épaisseur de la pale, ce que l'on 
supposera
valable, l'aire dA de la projection de la portion étudiée sur un plan 
perpendicu-
laire à Êr a pour expression dA : Ldrsini.

I.C.3) En faisant l'approximation que les expressions (3) sont applicables àla
portion de pale étudiée, bien que È,. ne soit pas> uniforme dans le référentiel 
de
la pale, exprimer les normes des forces d T et dR exercées par le vent sur la 
por--
tion de pale, en fonction de p, "... r , Q , L , dr, Cx(i), C,.(i) et i .

Compléter la figure 7 reproduite lx _

en annexe en ajoutant ces deux F1gure 7
forces. \ (Ml

I.C.4) Déduire de ce qui pré- a \ ô

cède l'expression du moment dI'
(par rapport à l'axe (A) ) de la force
exercée par le vent sur la portion

de pale. eo
. ' '
1.0.5) Le tableau su1vant ,' \dâïàaËâÏâent
donne les valeurs de C,, et C, en ,' '
. , ,. . . , Plan de la
fonction de langle d1nc1dence z , / pale

pour une pale de profil donné. "0 ,,
L'angle i dépendant lui-même de î î î + î î

r et de a ' on peut alors tracer Eolienne vue dans l'axe des pales (seule la 
pale
dF/dr en fonct10n de Ot , lorsque proche a été représentée} ; on voit en fait 
une

toutes les autres grandeurs sont coupe de la Pale-
fixées.

___|--_-
___-__|
___--__|
___|--_-
___|--_-

1

___|--_--

, _ _|
La figure 8 donne ce trace pour "0 = 10 m - s , Q = 1 tr - s , pour deux valeurs
de la distance radiale r , à savoir 2 m et 3 m . Les unités verticales sont 
arbitrai-

res. Commenter les tracés obtenus. Quelle forme convient-il de donner aux pales
en vue d'augmenter le rendement de l'éolienne ?

dI' 140

dr
120

1 00
80
60
40

20

Tracé de Ë--î pour deux valeurs de

la distance radiale r : 2 m et 3 m.

Partie II - Utilisation de l'énergie éolienne

L'aéromoteur de la partie précédente entraîne i
maintenant une génératrice électrique destinée à
alimenter une installation électrique. D'autre

EUR

Figure 9 I

' / ° , . .
part, il est necessa1re de prevoer un stockage de
,, . . - ,- {'.--: .
lenerg1e afin de pourvmr aux besoms de l1nstal- ::.--__;3
lation en cas de vent insuffisant. Pour les aéromo-- Ê:Êî U
teurs de faible puissance dont la vitesse de Ë'â
rotation présente certaines fluctuations, on '

adopte le choix d'une génératrice à courant con-
tinu.
II.A - Étude de la génératrice

La génératrice est constituée d'un stator inducteur dont l'excitationest 
indépen-
dante, d'un rotor (induit) alimentant une installation (figure 9). On désigne 
par :

ie , le courant d'excitation circulant dans le bobinage inducteur du stator ;
U , la tension aux bornes de l'induit ;

I , le courant circulant dans l'induit ;

Q , vitesse angulaire de rotation du rotor ;
E0 , la tension à vide (1 = 0) aux bornes de l'induit.

Les caractéristiques de la machine en fonctionnement générateur sont regrou-
pées sur la figure 10 :

Courbes 1 Courbes 2 Courbes 3
Q fixé _ U 1

U EO

Q
/93

0 Figure 10 0 ie max

° Caractéristiques 1 : U (I ) à 9 et ie fixés (Courbes 1)
° Caractéristiques 2 : E0(ie) à 9 fixé (Courbes 2)
0 Caractéristiques 3 : ie(I ) à Q et U fixés (Courbes 3)

En outre, on rappelle que la force électromotrice à vide délivrée par l'induit

s'écrit EO : (PQ, et si R désigne la résistance totale du bobinage induit, alors
U = EO--Rl.

II.A.1) Quelle est l'unité de (D ?
II.A.2) Tracer l'allure des variations de (I) en fonction de ie .

II.A.3) Quel phénomène observe-t-on loquue iEUR >i ?

EUR max

Dans toute la suite, on se placera - Figure 11
dans le cas où ie |:]
. . . . __}
r1st1que de fonctionnement ua : ea--raza ua Figure 15

(figure 15), on remarquera qu'en phase de
charge, ia < 0 et qu'en phase de décharge, ia > 0 .

II.D - Circuit de contrôle de fin de décharge

Lorsque l'interrupteur K d est fermé (et donc K c ouvert), la batterie se 
décharge
et sa tension ua diminue. De plus, ua étant toujours astreinte à rester supé-
rieure à une tension limite ud (1, 8 V par élément), le circuit de contrôle com-
pare les deux grandeurs % et ad, puis commande l'ouverture de K d et la
fermeture de KC dès que ua : ud.

II.D.1) Montrer que si la batterie Figure 16
débite un courant de charge positif ia ,

l'utilisation d'un comparateur simple V
engendrerait immédiatement après M°
l'ouverture de K d un changement de
régime provoquant sa fermeture. Afin
d'éviter cette oscillation de régime au
voisinage du point de basculement, on
utilise le comparateur à deux niveaux de la figure 16. « AO » désigne un ampli-
ficateur opérationnel dont les impédances d'entrée et de sortie sont respective-
ment infinie et nulle, et on désigne par Vsat sa tension de saturation. On
prendra pour valeur numérique Vsat : 12 V. On admettra que l'amplificateur
opérationnel ,. est instanément saturé dès lors que 8 :O et que si a >0 alors

Us = +Vsat,s1 £<0 alors vS ----V sat ' II.D.2) Déterminer et tracer le cycle associé à la caractéristique de transfert, vs en fonction de ve , du montage de la figure 16 en faisant apparaître le sens de parcours. II.D.8) On utilise ce montage pour commander l'interrupteur K d. Le compa- rateur bascule de + VS.... à --V8at lorsque ve atteint u() = 2, 3V par valeur supé-- rieure. Quelle valeur faut-il donner au rapport Rl/R2 pour qu'après une ouverture, l'interrupteur K d ne se referme que lorsque ua atteint 1, 12 u0 par valeur inférieure ? H.D.4) En déduire la valeur de V,,ef . II.D.5) La commande du circuit de charge pose-t-elle un problème analogue ? Justifier. II.D.6) Proposer une caractéristique de transfert pour le circuit de commande de l'interrupteur KC . ILE - Alimentation d'une installation électrique La génératrice ou bien la batterie four-- nit une tension U 0 continue. L'installa- --[>}--Diode --D'âFonction transistor
tion électrique fonctionne avec une
tension sinusoïdale de fréquence
f = 50 Hz et de valeur efficace de
220 volts. La conversion se fait à l'aide
d'un onduleur dont le schéma de prin-
cipe est décrit en figure 17.

Le circuit récepteur, représentant l'ins-
tallation, est de type inductif et sera
modélisé dans ce qui suit par un dipôle Figure 17
de charge (RC, LC) en série.

II.E.1) Déterminer en régime sinu--
so'1'dal à la pulsation oe , la fonction de
transfert ie,/uc en fonction de RC , Le
et w. Quelle--est la nature du filtre
obtenu '?

La commande des interrupteurs est
périodique, de période T : 2n/oe.

La tension uc , obtenue aux bornes du
récepteur, est représentée sur la Figure 18
figure 18. L'angle 6 est lié à la com--

mande des interrupteurs.

II.E.2) Définir la fonction transistor.

II.E.8) On pose 6) : (ot. En adoptant une origine des temps adéquate, calcu-
ler les coefficients an du développement en série de Fourier de la tension uc(0)
tels que :

u (0) : Za cosnf).
C, n "
On donne

2
an : f0nuc(0)cosne de.

Les coefficients seront exprimés en fonction de U 0 , n et 6 .

H.E.4) On souhaite que le courant dans la charge soit sinusoïdal de fréquence
f = 1/ T = 50 Hz .

Montrer en vous appuyant sur l'étude faite à la question ll.E.1 qu'il suffit
d'annuler l'harmonique de rang trois pour y parvenir avec une très bonne
approximation.

II.E.5) Déterminer la valeur de 6 pour lequel a3 est nul.
II.E.6) On définit la valeur efficace de uc suivant l'expression

1 2" 2
Uceff : 2_flj f0 uc(6) dB.

Calculer cette valeur.

Quelle erreur commet-on sur la valeur efficace si on utilise pour expression de
uc celle obtenue à partir de son fondamental '? Conclure.

II.E.7) Déterminer la valeur de U 0 afin d'obtenir une valeur efficace de 220 V 
.
En déduire le nombre d'accumulateurs nécessaires. On assimile pour cette ques--
tion la tension à son fondamental.

II.E.8) Calculer la puissance active consommée par l'installation lorsque
celle--ci est composée de dix lampes de 100 W et d'un moteur dont le facteur de
puissance est égal à cosch : 0,8 et consommant une puissance nominale de
P = 3 kW, le tout branché en parallèle. Déterminer les valeurs RC et Le de

l'impédance équivalente de la charge.

000 FIN ooo

Pôle Courants
Nord polaires d'est

Courants
' tempérés d'ouest

\

/ 30°N .
JJJ JCL/J Alizés de
E . uateur nord-est

Circulation générale des vents moyens

_ dans l'hémisphère nord.

Figure 3

\ -->

Plan de rotation

! éplacement
' \ \de la pale

\
Plan de la
pale

îÉolienLe vue 1dans l'Lxe desÎ pales 3 seule la pale

proche a été représentée) ; on voit en fait une
coupe de la pale.

Figure 7