Centrale Physique PSI 2001

Thme de l'preuve tude d'un tlmtre ondes ultrasonores
Principaux outils utiliss ondes sonores, milieux dilectriques, thermodynamique, fonctions de transfert, lectronique

Corrig

(c'est payant, sauf le dbut): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Extrait du corrig obtenu par reconnaissance optique des caractres



Centrale Physique PSI 2001 -- Corrig
Ce corrig est propos par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) et Yannick Almras
(professeur en CPGE) ; il a t relu par Arnaud Gossart (professeur en CPGE) et
Matthieu Denoual (ENS Cachan).

Ce sujet tudie le fonctionnement d'un tlmtre qui permet de mesurer trs
prcisment des distances par mission-rception d'ondes ultrasonores (comme les
chauves-souris !).
La premire partie rappelle les bases de l'acoustique et calcule la vitesse de 
l'onde
grce  la mesure de sa longueur d'onde. La seconde partie tudie l'effet 
pizolectrique  l'origine de la production de l'onde ultrasonore. La 
troisime partie value
plus prcisment la rponse vibrationnelle du quartz soumis  une tension 
(metteur)
et, inversement, la rponse en tension du quartz soumis  une vibration 
(rcepteur).
Enfin, la quatrime et dernire partie s'intresse au montage lectronique 
permettant
d'exciter correctement le quartz de l'metteur.
Ce sujet, trs complet, permet de revoir les approximations acoustiques, un peu
d'lectromagntisme dans la matire, les quations diffrentielles et leurs 
homologues
complexes, le filtrage passe-bande ainsi que l'lectrocintique des 
amplificateurs oprationnels saturs.

Indications

Partie I
I.D Utiliser la diffrentielle logarithmique de la loi de Laplace.

Partie II

-

-

-
II.A.1 On rappelle que D 1 = P 1 + 0 E 1 .
II.A.2 Penser  utiliser une relation de passage.
II.B.1 Mme indication que pour la question II.A.2 mais il n'y a pas de charge
surfacique.
II.C.4 L'expression diffrentielle est unique pour une fonction d'tat.
II.D.2 Utiliser la question II.D.1.

Partie III
III.A.2 Penser  driver.

Partie IV
IV.A.1.a tude classique d'un filtre passe-bande.
IV.B.1.b Le condensateur est quivalent  un interrupteur ouvert en rgime 
tabli.
IV.B.1.c.i Raisonner par l'absurde.
IV.B.2.a L'intensit en entre est nulle en rgime tabli et le condensateur a 
une
tension continue  ses bornes.
IV.B.3.b La valeur de T3 dans l'nonc n'est pas bonne,  moins de l'adapter en
choisissant l'unit adquate.

Partie prliminaire

 La longueur L entre le tlmtre et l'obstacle est simplement donne par
L=

c (t2 - t1 )
2

 On mesure sur l'enregistrement t1 = 2 ms et t2 = 14, 8 ms. Avec la clrit
c = 345 m.s-1 , il vient
L = 2, 21 m

I.

Mesure de la clrit d'une onde ultrasonore

I.A L'approximation acoustique correspond  l'approximation linaire des 
quations dcrivant la propagation des ondes sonores. On effectue cette 
approximation
en considrant que l'onde perturbe peu le milieu, c'est--dire en faisant les 
calculs 
l'ordre 1 par rapport aux termes
|p|
||
|v|

1
P0
0
c
I.B.1 En ngligeant la pesanteur, l'quation d'Euler s'crit

 -- 
-
v
1 --

+ -
v . grad -
v = - grad P
t

En la projetant suivant -
ux , on trouve

v

1 P
(x, t) + v(x, t)
v(x, t) = -
(x, t)
t
x
(x, t) x
soit

v
v
1
[P0 + p(x, t)]
(x, t) + v(x, t)
(x, t) = -
x
0 + (x, t)
x
|t {z } |
{z
}
ordre 1

ordre 2

On se place alors dans le cadre de l'approximation acoustique ; on ne garde que 
les
termes d'ordre 1 et on obtient ainsi l'quation d'Euler linarise :
v
1 p
=-
t
0 x
Or, l'nonc donne
Donc

h

x i
v(x, t) = v0 cos 2 f0 t -
c

h
p
x i
(x, t) = 2 f0 0 v0 sin 2 f0 t -
x
c

d'o, en intgrant,

p(x, t) = -0 c v(x, t)

(1)

La constante d'intgration est nulle, puisqu' l'quilibre, la tranche d'air est
immobile et que la surpression est nulle.
I.B.2 L'quation de conservation de la masse s'crit

+ div  -
v =0
t
h
i
[0 + (x, t)]
+ div (0 + (x, t)) v(x, t) -
ux = 0
t

soit

Dans l'approximation acoustique, on ne garde que les termes du premier ordre. On
en dduit
h
i
(x, t)
+ 0 div v(x, t) -
ux = 0
t
(x, t)
v
+ 0
(x, t) = 0
t
x

donc

+ 0
t

d'o

-2 f0
c

h

x i
v0 sin 2 f0 t -
=0
c

On intgre par rapport au temps, ce qui permet de conclure :
(x, t) = -

0
v(x, t)
c

(2)

La constante d'intgration est encore une fois nulle, puisqu' l'quilibre, la
tranche d'air est immobile et que la masse volumique est 0 .

I.B.3 La diffrentielle logarithmique de la masse volumique  = m/V de la 
tranche,
de masse constante, donne
d
dV
=-

V
Par consquent, le coefficient de compressibilit isentropique s'exprime par la 
relation

1 
s =
 P S
La masse volumique varie isentropiquement de  lorsque la pression varie de p. 
On a
donc au premier ordre
s =
Par consquent,

1 
0 p

(x, t) = 0 s p(x, t)

(3)