CCP Physique 2 PSI 2008

Thème de l'épreuve À propos de la machine asynchrone. Autour du dioxyde de titane.
Principaux outils utilisés conversion de puissance, électromagnétisme, électrocinétique, atomistique, cristallographie, équilibres, diagrammes potentiel-pH, polymères, courbes intensité-potentiel
Mots clefs dioxyde de titane, empilement pseudo-compact, trioxotitanate de fer(II), sulfate de titanyle, tétrachlorure de titane, peinture, acide acrylique, machine synchrone, moteur, courants triphasés, autopilotage, machine asynchrone, modulation d'amplitude, filtrage

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                   

Rapport du jury

(télécharger le PDF)
     

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

mm.--52-- .v " mm.--fifi

...... mao...æ>Ë

...wm ammfiE - a:oËoËoe Ë5...ËË

......=o_zzu...-->_ooe ...::EOEou mz=ovzcu

'

Les calculatrices sont autorisées.
*****
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené à prendre.
*****
/¶pSUHXYH FRPSRUWH XQ SUREOqPH GH chimie et un problème de physique. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes daQV O¶RUGUH GH OHXU FKRL[ HW OHV UpGLJHURQW GH IDoRQ VpSarée. 
Le sujet comporte 12
pages.
Durées approximatives : Chimie

: 2 heures

Physique : 2 heures

PROBLEME DE CHIMIE
Toutes les données nécessaires à la résolution de ce problème apparaisVHQW DX  
9, HQ ILQ G¶pQRQFp

AUTOUR DU DIOXYDE DE TITANE
Le dioxyde de titane est un solide minéral largement utilisé dans des domaines 
YDULpV GH O¶LQGXVWULH
(production mondiale entre 4 et 5 Mt/an). Sa principale application (> 90%) 
concerne les peintures
auxquelles il apporte, comme pigment, une couleur blanche très lumineuse. Dans 
des secteurs de
pointe, on utilise également ses propriétés catalytiques (synthèses diverses) 
ou photo-catalytiques
(vitrages auto-nettoyants). Le problème ci-dessous évoque la synthèse et les 
propriétés de ce
composé.

1/12

I. /¶pOpPHQW WLWDQH
I.1. Ecrire la structure électronique du titane. Pourquoi cet élément fait-il 
partie de la famille des
éléments de transition ?
I.2. 3RXUTXRL O¶LRQ 7L4+ possède une grande stabilité ?
I.3. &RPSWH WHQX GH OD YDOHXU GH OD PDVVH DWRPLTXH GH O¶pOpPHQW WLWDQH TXHO HVW 
OH QRPEUH GH
neutrons de son isotope, très probablement majoritaire dans la nature ?
II. Le titane métallique
II. 1. A température ordinaire, le titane métallique cristallise, comme de 
nombreux métaux, dans le
système hexagonal. Calculer sa compacité en utilisant les paramètres de maille 
fournis au § VI.
&RPSDUHU OD YDOHXU REWHQXH j FHOOH G¶XQ HPSLOHPHQW VWULFWHPHQW FRPSDFW $%$% GH 
VSKqUHV GXUHV
LGHQWLTXHV HW GLVFXWHU O¶Dppellation de « pseudo-compacte » généralement 
utilisée pour la structure
du titane hexagonal.
II.2. Calculer la masse volumique du titane hexagonal.
II.3. Au-dessus de 880°C environ, le titane métallique cristallise dans le 
système cubique centré.
Quelle évolution de coordinance observe-t-on au passage de la variété 
allotropique basse
température à la variété allotropique haute température ?
II.4. Montrer, en observant le diagramme e-S+ IRXUQL TXH OH WLWDQH PpWDOOLTXH 
UpGXLW O¶HDX (FULUH
les bilans correspondant à cette réduction à pH = 2 et à pH = 12 (on 
considérera que le titane
V¶R[\GH DX GHJUp ,, &DOFXOHU O¶DIILQLWp chimique standard de la réaction à pH = 
12. Conclure.
II.5. 4X¶REWLHQW-on en théorie par ajout G¶un excès de titane métallique en 
poudre à une solution
aqueuse de chlorure titanique TiCl3 ?
II.6. Pourquoi le titane est-il un métal passif dans les eaux naturelles aérées 
? Schématiser le
montage électrochimique permettant de mettre en évidence cette passivité par 
tracé des courbes i/e.
III. Préparation du dioxyde de titane
III.1. La méthode de préparation de TiO2 par voie humide a comme point de 
départ le trioxotitanate
de fer (II), composé naturel de formule FeTiO3, disponible sous forme de 
minerai. Ce titanate solide
est solubilisé GDQV O¶acide sulfurique concentré, donnant un mélange de sulfate 
ferreux FeSO4 et de
sulfate de titanyle TiOSO4 (TiO2+ + SO42±). Montrer HQ XWLOLVDQW OHV QRPEUHV 
G¶R[\GDWLRQ que cette
WUDQVIRUPDWLRQ Q¶HVW SDV XQH UpDFWLRQ G¶R[\GR-réduction.
III.2. Après séparation du sulfate ferreux par cristallisation, la solution de 
sulfate de titanyle est
traitée par une base qui précipite le dioxyde de titane. Dans quelle partie du 
diagramme e-pH de la
Figure 1 (page 5) envisageriez-YRXV GH SODFHU OH GRPDLQH GH O¶Lon titanyle 
TiO2+(aq) ?
III.3. Par quelle réaction de dismutation, dont on écrira le bilan complet, 
pourrait-on également
obtenir le dioxyde de titane ?

2/12

IV. Purification du dioxyde de titane

IV.1. Le dioxyde de titane obtenu par cette méthode ainsi que le dioxyde de 
titane naturel doivent
toujours être purifiés. Cette purification utilise le passage par le 
tétrachlorure gazeux TiCl4. Quelle
est la formule de Lewis de cette molécule ? Quelle est sa géométrie ?

IV.2. La méthode utilisée industriellement pour préparer le tétrachlorure n'est 
pas la réaction
directe :

T102 (s) + 2 Clg (g) = T1Cl4 (g) + 02 (g) [Réaction 1]
mais la « Réaction d'Oerstedt », une carbo--chloration de TiOz à température 
élevée selon :
T102 (s) + 2 Clg (g) + 2 C (s) = T1Cl4 (g) + 2 CO (g) [Réaction 2]

Pour comprendre la nécessité de l'ajout de carbone aux réactants TiOZ et C12, 
calculer la constante
d'équilibre à 1 100 K de la réaction sans carbone (réaction 1). En déduire la 
quantité de TiCl4(g)
formée dans un réacteur fermé porté à 1 100 K et contenant initialement un 
excès de TiOz solide et
10 mol de dichlore gazeux a la pression de 1 bar. Rendement ?

IV.3. Comment évoluerait cette quantité (IV.2.) si on travaillait avec les 
mêmes quantités de
matière dans un réacteur de volume 10 fois plus petit ?

IV.4. On place maintenant dans le même réacteur 10 mol de dichlore, un excès de 
TiOz et un excès
de carbone, ce dernier supposé occuper un volume négligeable. Calculer, de la 
façon la plus concise
possible, la quantité de tétrachlorure de titane formée par la réaction 2 dans 
ces conditions et
comparer au résultat de la question IV.2. Conclure.

V. Utilisation du dioxyde de titane dans l'industrie de la peinture

La majeure partie du dioxyde de titane produit dans le monde est utilisée comme 
pigment blanc
dans les peintures. Une peinture est un mélange de plusieurs phases :
0 Une phase liquide constituée d'un solvant dans lequel est dissous un composé 
filmogène qui
génère le feuil de peinture par évaporation du solvant (séchage de la peinture),
0 Une phase solide pulvérulente d'un pigment apportant la couleur désirée (TiOz 
dans le cas
présent),
0 Une ou plusieurs phases solides pulvérulentes accessoires, les charges, 
conférant des
propriétés mécaniques ou anti--corrosion.

V.1. Les composés organiques ont longtemps constitué l'essentiel des solvants 
de peintures. Ce sont
des hydrocarbures, des alcools, des esters, des cétones et des dérivés chlorés. 
Combien d'isomères
de chaîne compte--t--on pour le monométhylhexane ? Quel est le nom de celui qui 
est optiquement
actif ? Représenter son stéréoisomère R.

V.2. L'acide acrylique (acide 2--méthyl, propénoïque) est le composé qui a 
donné son nom aux
peintures acryliques. De nombreux dérivés polymères et polycondensés de cet 
acide sont employés
comme composants filmogènes des peintures. Ecrire la formule développée de cet 
acide et celle du
carbanion qui se forme quand il est attaqué par la base amidure NH{ (ce 
carbanion est le précurseur
de polymérisation anionique de l'acide acrylique).

V.3. Donner le mécanisme de formation du dimère a partir de ce carbanion. 
Quelle est la formule du
motif de l'acide polyacrylique ?

3/12

VI. DONNÉES NUMÉRIQUES

Numéro atomique :
Ti : 22

Masse molaire atomique :

Ti = 47,9 >< 1073 kg.molfl

Constante des gaz parfaits :
R = 8,314 J.Kfämofi

Charge élémentaire :
q = 1,60 >< 10719 C

Nombre d'Avogadro :
N = 6,02>< 1023 mor1

Constante de Nernst à 298 K :
ln 10 >< RT/OE ... 0,06 V

Rayon atomique

Ti (S): rTi : 144,8 pm

Paramètres de maille du titane hexagonal :

a = 295,0 pm
0 : 468,6 pm

Enthalpies libres de formation à 1 100 K (kJ.mol_l) :

ArG°1 = -- 744,803
ArG°2 = -- 209,075
ArG°3 = -- 630,638

Tl02(5)
C0
TiCl4(g)

4/12

0.0
Ti3+(aq)
-0.5

E (V)

TiO2 (s)
-1.0
Ti2+(aq)

Ti2O3 (s)

-1.5

TiO

( s)

Ti(s)

-2.0
-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

pH
Fig. 1. Diagramme potentiel-pH du titane tracé pour une concentration en 
espèces dissoutes
de 10±2 mol.L±1.

5/12

PROBLEME DE PHYSI! QUE

A PROPOS DE LA MACHINE SYNCHRONE

Le principe de la conversion d'énergie électrique en énergie mécanique repose 
sur une
interaction champ magnétique -- courant électrique. Dans la machine synchrone, 
le stator est
alimenté par un système de courants triphasés. Il crée à l'intérieur de la 
machine un champ tournant.
Le rotor s'apparente à une bobine alimentée en courant continu. L'interaction 
du champ magnétique
créé par le stator sur le courant du rotor est à l'origine d'un couple 
électromagnétique.

La machine peut être alimentée par un réseau de fréquence fixe ou par un 
onduleur
autopiloté. Cette dernière solution permet d'optimiser les performances du 
moteur. Il délivre alors
un couple maximum pour des courants d'intensité minimale, tout en ayant un 
fonctionnement
stable.

Un formulaire se trouve en fin de problème.

PARTIE I - Préliminaire : champ magnétique créé par une spire en un point de 
son axe.

On considère une spire circulaire de centre O, de rayon R, contenu dans le plan 
Oxy,
orthogonal à l'axe 02 et parcourue par un courant électrique constant I. Elle 
est située dans l'air
assimilable magnétiquement a du vide. Elle est orientée dans le sens 
trigonométrique comme le
montre la figure 1. On considère un point M, de cote 2, situé sur l'axe Oz.

M(Z)

Figure 1
1) Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ 
magnétique Ê(M ) , créé

par la spire au point M. Déterminer ensuite son expression en fonction de I, R, 
2 et de la
perméabilité magnétique du vide ,uo .

6/12

PARTIE II - Principe de la conversion d'énergie électromécanique :

A] Etude du stator :

Le stator est constitué de trois bobines, dont les axes principaux contenus 
dans le plan xOy

, , 27r . , .
sont decales de -- les uns par rapport aux autres. Elles sont ahmentees par un 
systeme de courant

3
triphasé d'amplitude maximale I..., (de valeur efficace Ieff) et de fréquence 
fs (de pulsation cas) . On a

i1(t) : Im cos(wÿt + (z))

i2(t) : Im cos(wÿt + ça -- 2%)
2
i3 (t) : Im cos(wÿt + ça + %)

Chaque bobine crée dans la machine un champ magnétique proportionnel au courant 
qui la traverse
et dirigé suivant son axe principal.
On note K le coefficient de proportionnalité et on a :

Ëj(z) =K.ij(z).ëj , avecj = 1, 2 ou 3

EUR1=EURx

ê2 et @ se déduisent de ê1 par les rotations d'angle respectif 2% et "2% .

Figure 2

A.1) Donner l'expression du champ magnétique Ës créé par le stator à 
l'intérieur de la machine

dans la base (êx, êy) . On exprimera chaque composante en fonction de K, Im, 
cost et (p .

A.2) Montrer que ce champ est de norme constante et porté par un vecteur 
unitaire dont on
précisera le sens et la direction dans la base (êx, êy) . Justifier 
l'appellation de champ tournant et

préciser son sens de rotation.

A.3) Que se passe t--il si on inverse les phases 1 et 2 de la machine c'est à 
dire si on a :

7/12

i1(t) : Im cos(æJ + ça -- 2%)

i2 (t) : Im cos(wJ + (p)
2n'

i3 (t) : Im cos(æg + (p + Î)

A.4) On donne K = 0,05 T.A'1, leff : 15 A, fS : 50 Hz. Calculer la valeur 
numérique de HËSH et

la vitesse de rotation de ce champ tournant en tr/min.

B] Couple exercé sur le rotor :

Dans la suite du problème, on pose Ë, : BS .it (I) , où B, est l'amplitude du 
champ magnétique

créé par le stator et ü(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) tel que 
l'angle êx,ü(t) : cost + ça .

Le rotor tourne autour de l'axe Oz, à la vitesse angulaire constante Q : Qêz. 
D'un point de

vue électrique, il est assimilable à une bobine plate rectangulaire de surface 
géométrique S : 2.ro.H,
de largeur 2.r0 et de longueur H suivant 02. Cette bobine comporte p spires en 
série. Elles sont
géométriquement confondues. Chaque spire est parcourue par le courant continu 
d'intensité 1.

Soit ñ(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) , normal à la surface S 
orientée du rotor. On

note 0 l'angle (êx,ñ) . On pose 6'(t) : 490 + Qt .

Figure 3

B.1) Déterminer le moment mécanique Î(t) : F(t)ëz des actions 
électromagnétiques, exercé sur
le rotor .

B.2) La pulsation (05 étant imposée et constante, établir, suivant les valeurs 
de Q , le couple
moyen FW associé à Î(t) . Pourquoi ce type de moteur est--il qualifié de 
synchrone ? Ce type de

moteur, connecté a un réseau de fréquence fixe peut--il démarrer seul ?

B.3) Tracer la courbe représentant FM en fonction du décalage angulaire 1// : 
ça --90 . Délimiter

les intervalles de w correspondant aux fonctionnements moteur et générateur. 
Que vaut (//
lorsque FM est maximum ? Donner l'expression de ce couple maximum, noté 1"... .

8/12

Que vaut le flux magnétique (Ü...g créé par le stator, c'est à dire le flux de 
ËS a travers le

rotor lorsque F,... : l"max ?

B.4) Pour un couple OSFM STI... donné, il existe deux valeurs (éventuellement 
une valeur

double) de l'écart angulaire l// = ça -- 190 . Discuter de la stabilité du 
fonctionnement de la machine
pour chacune de ces deux valeurs. Cette étude doit aussi prendre en compte la 
valeur double.

On étudiera ! 'eflet sur le couple moteur d'une perturbation (motrice ou non) 
de la position du
rotor, c'est-à-dire la répercussion d 'une variation de l'angle ru sur le 
couple moteur.

PARTIE III - Autopilotage de la machine synchrone :

Le principe de l'autopilotage de la machine consiste à mesurer, à l'aide d'un 
capteur de
position angulaire, appelé résolveur, la position 6 du rotor de la machine. On 
alimente alors le
stator de la machine par un onduleur (ou alimentation à fréquence variable) qui 
délivre trois

courants triphasés : i1(t) , i2 (t) et i3 (t) . Ces courants sont asservis en 
fréquence et en phase de sorte

que :cog : Q et que (p =90 +--. On obtient alors un fonctionnement 
1ntr1nsequement stable de la

2
machine et un couple maximum.

Dans toute cette partie II, on supposera que la machine tourne a une vitesse 
angulaire

% I 619 I . . . , . , , . .
Q : Qez =--ez. Compte tenu de l'1nert1e de la machme et des echelles de temps 
cons1derees 1c1,

dt
Q sera supposée constante. Q & [O, Qmax] , Qmax est la vitesse maximale de 
rotation de la machine.

On supposera la relation 9 : Qt + 90 toujours valable.

A] Etude du résolveur :

Le résolveur s'insère autour de l'arbre reliant la machine et sa charge. Il est 
composé d'une
partie tournante, solidaire de l'arbre de la machine, appelée roue polaire, et 
de deux autres bobines
fixes dans le référentiel (O,x,y,z) lié au stator de la machine. On définit le 
référentiel (O,u,v,z) lié à
l'arbre de la machine et qui se déduit du référentiel (O,x,y,z) par la rotation 
autour de l'axe Oz.

Vi(t)

Figure 4

9/12

La roue polaire, solidaire de l'arbre de la machine, est assimilable à une 
bobine BO parcourue par un

courant j. Cette bobine crée à l'intérieur du résolveur un champ magnétique É, 
dont l'intensité est
proportionnelle au courant j et dont le sens et la direction dépendent de la 
position de l'arbre. On

pose B : a.j.ü où oc est un coefficient de proportionnalité connu et 11 est le 
vecteur unitaire de l'axe

Ou du référentiel (O,u,v,z) lié à l'arbre de la machine, en rotation à la 
vitesse angulaire Q par
rapport au référentiel fixe (O,x,y,z) lié au stator. On a 9 = (êx, ü ) .

Les deux autres bobines B1 et B2 sont fixes, identiques et ont pour axe 
principal respectif Ox
et Oy. Les spires de ces bobines ont pour vecteur normal respectif EUR, et êy . 
Elles ne sont parcourues

par aucun courant. Elles possèdent chacune n spires de surface 2.

A.1) La bobine BO est ici alimentée par un courant continu j : JO . Déterminer 
en fonction de
05, JO, 9, n et 2 les expressions des tensions V1( t) et V2(t) aux homes des 
bobines B1 et B2. Ces

deux tensions permettent--elles toujours de déterminer la position Ûdu rotor ?

A.2) On alimente maintenant la bobine BO par un courant sinusoïdal de fréquence 
fi, ou de
pulsation a),,_ On a j(t) : J0m c0s(a)pt) .

Dans le cas où la pulsation oep est très grande devant Q, montrer que
V1 (t) : n.Z.a.caP.J0m.sin(a)pt).cos 6. Puis, déterminer l'expression de la 
tension V2(t).

Dans toute la suite du problème on supposera oep>>Q.

A.3) Tracer les deux graphes représentant l'allure des tensions V;(t) et V2(t) 
lorsque la machine
est à l'arrêt. On choisira une valeur quelconque de «9.

AA) Reprendre ces graphes lorsque la machine tourne a vitesse constante. On 
donnera la valeur
numérique de l'amplitude de ces tensions. On prendra a : 4T / A, Jo... : 200mA, 
n = 10,

E : 0,lcm2 et fp : 10 kHz.

B] Conditionnement du signal délivré par la bobine B1 :

B.1) On rappelle que pour un multiplieur de constante multiplicative k, on a

Vî(t) : k"/el(t)'V62(t)'

Vel @)
l V,...) ..."
Figure 5

Préciser l'unité et la valeur numérique de k, pour le multiplieur que vous avez 
utilisé en travaux
pratiques.

10/12

B.2) On considère le montage de la figure 6. Donner l'expression de la tension 
de sortie s...(t) et
représenter son spectre en amplitude.

><

î V0 sin(æpt)

--W_ifiî--

Figure 6

v1 S ...

B.3) Quelle est l'opération de traitement du signal nécessaire pour retrouver 
un signal
proportionnel à cos(9) ? Proposer un montage ne comportant que des composants 
passifs
permettant d'effectuer cette opération.

B.4) Donner la (ou les) contrainte(s) sur les composants, pour que les 
composantes résiduelles
hautes fréquences soient atténuées de 40 dB.

B.5) Donner alors l'expression de la tension relevée, en pratique, en sortie de 
ce dernier
montage. On précisera son amplitude et sa phase. En déduire la valeur de 
l'erreur commise sur 9
lorsque la machine tourne à Q : 3000tr/ min.

B.6) Quelle est alors la perte relative de couple, exprimée en %, par rapport a 
un autopilotage

. , 7r
parfait ou (p vaut exactement 90 +--. Commenter.

2

PARTIE IV - Démarrage en fonctionnement asynchrone :

Lorsque la machine est directement reliée à un réseau de fréquence et de phase 
fixe, on
effectue parfois un démarrage en fonctionnement asynchrone. Lors du démarrage 
de la machine, la
vitesse angulaire @. du rotor augmente avec le temps. Néanmoins, compte tenu 
que les constantes
de temps électriques sont bien plus petites que les constantes de temps 
mécaniques, on assimilera

£). à une constante inférieure à cos .

Lors de cette phase de démarrage, la bobine plate constituant le rotor n'est 
pas encore
alimentée en courant continu comme en régime établi, mais fermée sur elle même. 
Elle est en court
circuit ! Elle est modélisée d'un point de vue électrique par une inductance 
pure L et une résistance

R. La position du rotor est toujours repérée par l'angle 6 que fait la normale 
à la surface de la
bobine et l'axe des abscisses. On a toujours : 6(t) : 90 + Qt (cf ILE).

Le stator est toujours alimenté par un système de courant triphasé. Il crée à 
l'intérieur de la

-->

machine un champ tournant : B, : Bs.ü(t), où B, est l'amplitude du champ 
magnétique créé par le

stator et ü(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) tel que l'angle êx, ü(t) 
: a)St +(p .

11/12

De par les phénomènes d'induction électromagnétique, il existe une tension 
induite dans la
bobine du rotor. Elle engendre des courants induits. L'interaction de ces 
courants et du champ

magnétique Êy est à l'origine d'un couple électromagnétique.

A) Donner en fonction de B, , p, S , cas , Q, 90 et de (I) l'expression de la 
tension induite dans la
bobine du rotor.

B) L'intensité du courant électrique induit dans la bobine du rotor est de la 
forme
iÏ(t) = I, sin(at +b) . Après avoir dessiné le schéma électrique équivalent au 
rotor, préciser les

expressions de a, b et de I, en fonction de BS , p, S , cos , Q , 90 , (p , R 
et L.

C) Préciser les éléments de réduction du torseur des actions de Laplace 
(résultante des forces et
couple) exercées par le champ magnétique ÊS (t) sur les enroulements du rotor.

D) Préciser l'expression de la valeur moyenne dans le temps, noté F..., du 
couple exercé sur le
rotor lors de cette séquence de démarrage.

Pourquoi ce fonctionnement asynchrone est--il complémentaire du fonctionnement 
synchrone
étudié dans la partie I ?

Formulaire :
cos(p)+cos(q) =2cos(p;q)c0s(pgq)
c0s( p) --cos(q) = --2sin(p ; q)sin(p ?)

cos(29) : l -- 2 sin2 (6)
cos(a + b) : cos a cos b -- sin a sin b
sin(a+b) : sinacosb +sinbcosa .

Fin de l'énoncé.

12/12

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tiphaine Weber (Enseignant-chercheur à l'université) 
et Antoine Bréhier (Professeur en CPGE) ; il a été relu par Mickaël Profeta
(Professeur en CPGE), Brice Gabrielle (ESPCI), Thomas Tétart (ENS Cachan) et
Jean-Julien Fleck (Professeur en CPGE).

Le problème de chimie est consacré au dioxyde de titane. Il est divisé en cinq
courtes parties indépendantes.
· La première aborde l'élément titane via une brève introduction atomistique.
· La deuxième, un peu plus longue, traite de la structure cristallographique du 
titane métallique ainsi que de ses propriétés d'oxydoréduction en solution à 
travers l'étude de son diagramme potentiel-pH.
· La troisième poursuit l'étude du diagramme afin de trouver les réactions 
susceptibles de former TiO2 .
· On envisage alors, dans la quatrième partie, deux réactions qui font 
intervenir
TiO2 en phase gazeuse, dans le but de le purifier.
· Enfin, la dernière partie s'intéresse à la fabrication de polyacrylate de 
méthyle,
l'un des composants des peintures contenant du dioxyde de titane, par 
polymérisation anionique.
Tout le programme est abordé dans ce sujet extrêmement complet, qui pourra être
mis à profit au cours des révisions pour identifier les points à approfondir. 
Toutefois,
au cours de l'épreuve, il ne faut pas hésiter à sauter les questions portant 
sur une
partie que l'on maîtrise moins, quitte à y revenir ensuite.
Le problème de physique, qui porte principalement sur la conversion de 
puissance,
traite du fonctionnement d'une machine synchrone. Il se compose de quatre 
parties
indépendantes.
· La première partie amène à redémontrer un résultat très classique du cours de
magnétostatique de première année, qui n'est cependant pas utilisé 
explicitement dans la suite du problème.
· La deuxième partie décrit le principe de fonctionnement d'une machine 
synchrone dont le stator est alimenté par un système de courants triphasés 
sinusoïdaux. On établit l'expression du champ tournant créé par les courants
statoriques et on montre notamment que la machine ne peut fonctionner que
si la condition de synchronisme est réalisée.
· La troisième partie introduit la notion d'autopilotage de la machine synchrone
et présente le dispositif électronique de traitement du signal qui lui est 
associé.
· Enfin, la quatrième partie revient sur la possibilité du démarrage de la 
machine
en mode asynchrone.
Ce problème, de longueur raisonnable (pour peu que l'on ne se perde pas dans les
calculs des premières questions de la partie II), ne présente pas de difficulté 
majeure.
Il aborde des aspects de l'électromagnétisme spécifiques à la filière PSI et 
développe
un concept théorique présenté en cours (l'interaction d'un champ tournant et 
d'un
moment magnétique permanent) pour aboutir à des applications plus techniques
(autopilotage, impossibilité du démarrage en mode synchrone...).

Indications
Chimie
I.3 La masse molaire d'un atome, en g.mol-1 , est approximativement égale à son
nombre de masse.
II.1 L'énoncé donne la nature du système cristallin du titane mais ne précise ni
le réseau, ni la maille : il s'agit d'un empilement hexagonal compact déformé,
comme on peut s'en douter en lisant la question dans son intégralité.
II.4 Sur le diagramme e-pH fourni, la ligne pointillée représente le potentiel 
du
couple H3 O+ /H2 . Les potentiels des couples concernés par la réaction peuvent
être lus sur le diagramme e-pH pour une valeur de pH bien choisie.
Rappelons que le Faraday représente la charge portée par une mole d'électrons
F =e×N

III.3 Rechercher un domaine de pH pour lequel l'un des degrés d'oxydation du
titane n'existe pas.
IV.2 Utiliser la loi de Hess pour calculer l'enthalpie libre standard de la 
réaction.
IV.3 La loi de Le Chatelier décrit le déplacement d'équilibre d'un système 
soumis
à des variations de pression.
IV.4 La constante d'équilibre de cette réaction étant très grande devant 1, elle
peut dans un premier temps être supposée totale.
V.2 À la différence du méthacrylate de méthyle, l'acide méthacrylique possède
également un caractère acide dont il faut tenir compte avant d'envisager la
formation du carbanion.
V.3 Raisonner sur la stabilisation de la charge afin de trouver l'intermédiaire
réactionnel après addition nucléophile du carbanion sur la double liaison.
Physique
II.A.1 Faire attention aux calculs et utiliser les formules de trigonométrie 
rappelées
à la fin de l'énoncé.
II.A.3 Utiliser le résultat de la question II.A.1.
II.B.1 Le rotor peut être modélisé comme un moment magnétique permanent : 
utiliser l'expression du couple exercé par un champ magnétique sur un moment.
II.B.3 La machine fonctionne en moteur si syn est positif et en récepteur sinon.
II.B.4 Pour un point de fonctionnement donné, étudier comment évolue le couple
électromagnétique lors d'une augmentation ou d'une diminution de  à la
suite d'une petite perturbation.
III.A.1 Que valent V1 (t) et V2 (t) lorsque le rotor est à l'arrêt ?
III.A.4 Les tensions V1 (t) et V2 (t) sont modulées en amplitude par 
l'enveloppe basse
fréquence de pulsation .
III.B.5 L'exigence d'une atténuation de 40 dB des composantes hautes fréquences
de sm (t) impose la valeur de la pulsation de coupure du filtre : comparer
cette valeur à la fréquence du signal utile contenu dans sm (t) et observer
qu'il n'est pas possible de négliger l'influence du filtre.
IV.B Utiliser la notation complexe pour déterminer Ir et b.
IV.C Que vaut la résultante des forces de Laplace exercées par un champ 
magnétique uniforme sur un circuit fermé ?

Autour du dioxyde de titane
I. L'élément titane
I.1 Le numéro atomique du titane étant de 22, l'atome neutre possède 22 
électrons.
Sa configuration électronique est obtenue en appliquant les règles
· de Klechkowski, à savoir que les orbitales sont remplies dans l'ordre 
croissant
des valeurs de (n + ) et à (n + ) égaux par n croissant ;
· et de Pauli, c'est-à-dire que deux électrons du cortège électronique doivent
différer par au moins l'un de leurs nombres quantiques. Il y a donc au maximum
deux électrons de spin opposé par orbitale.
Ti : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d2
Il s'agit d'un élément de transition car il possède une sous-couche d 
partiellement remplie.
I.2 L'ion Ti4+ correspond à la perte de tous les électrons de valence du titane.
Ti4+ : 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6
Cet ion possède la même structure électronique que l'argon (Ar) qui est le gaz 
noble
le plus proche. Il est par conséquent particulièrement stable.
I.3 La masse molaire du titane étant de 47, 9 g.mol-1 , le nombre de masse de 
son
isotope le plus abondant doit être de 48. Son noyau comportant donc 48 nucléons
dont 22 protons, son nombre de neutrons vaut
nneutrons = 48 - 22 = 26

II. Le titane métallique
II.1 À température ordinaire, la maille triple dans
laquelle cristallise le titane métallique peut être schéa
a
matisée comme ci-contre. La maille hexagonale, sur laquelle seront effectués 
les calculs, correspond aux atomes
pleins. Chaque maille hexagonale contient 1 atome sur le
c
plan médian ainsi que 8 atomes, sur les sommets, partagés chacun entre 8 
mailles. La multiplicité de cette
maille vaut donc
1
Z=1+8× =2
8
La maille hexagonale représentée n'est pas la maille élémentaire, dont la
multiplicité est de 1. Toutefois cette dernière est bien plus complexe à 
étudier,
ce qui justifie ici le choix de la maille hexagonale pour effectuer les calculs.
La compacité de cette structure s'exprime alors
Z × Vatome
Z × 4  r3atome /3
C =
=
Vmaille
a×h×c
avec h la hauteur de la base.

Elle vaut

3
h = a sin  = a
2

a
 = 60

Z × Vatome
8 Z  r3atome
= 
d'où C =
Vmaille
3 3 a2 × c

a

h

Application numérique :
C = 72, 0 %
Cette valeur est légèrement moins grande que pour les structures compactes
(C = 74 %) mais reste élevée et même bien plus que pour le réseau cubique centré
(C = 68 %), l'autre structure qualifiée de pseudo-compacte.
II.2 Chaque maille contenant deux atomes, la masse volumique du titane s'exprime
µTi =
Application numérique :

2 Z MTi /N
Z × matome
= 
Vmaille
3 a2 × c
µTi = 4500 kg.m-3

Les métaux ont des masses volumiques pouvant varier de 500 kg.m-3 pour
les alcalins des premières lignes du tableau périodique (Li : 530 kg.m-3 ,
K : 850 kg.m-3 ) à quelques dizaines de milliers de kg.m-3 pour les métaux
de transition de la 3ème ligne (Au : 19 300 kg.m-3 , Pt : 21 450 kg.m-3 ,
Ir : 22 560 kg.m-3 , Os : 22 610 kg.m-3 )
II.3 Ainsi qu'on peut le voir sur le schéma de la maille hexagonale proposée
à la question II.1, chaque atome de titane comporte 6 voisins dans le plan et 3 
voisins
dans chacun des plans supérieur et inférieur. La coordinence du titane est donc
de 12 dans cette structure.
On remarque toutefois que, le paramètre de maille a étant plus grand que
deux fois le rayon atomique, il n'y a pas contact entre les atomes d'un même
plan. Il y a donc deux longueurs de liaisons, différentes mais proches, entre 
les
atomes de titane. Les liaisons les plus courtes correspondent aux tétraèdres
de coordination, les plus longues à des liaisons moins fortes, dans le plan,
entre ces tétraèdres.

À plus haute température, le titane cristallise dans un réseau cubique centré.
Ainsi qu'on l'observe pour l'atome situé au
centre de la maille, chaque atome est alors
entouré de 8 voisins. Comme on pouvait s'y
attendre, la coordinence du titane diminue lors de cette transition allotropique
à haute température.