CCINP Physique 2 PSI 2008

 

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......=o_zzu...-->_ooe ...::EOEou mz=ovzcu

'

Les calculatrices sont autorisées.
*****
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu'il a été amené à prendre.
*****
/¶pSUHXYH FRPSRUWH XQ SUREOqPH GH chimie et un problème de physique. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes daQV O¶RUGUH GH OHXU FKRL[ HW OHV UpGLJHURQW GH IDoRQ VpSarée. 
Le sujet comporte 12
pages.
Durées approximatives : Chimie

: 2 heures

Physique : 2 heures

PROBLEME DE CHIMIE
Toutes les données nécessaires à la résolution de ce problème apparaisVHQW DX  
9, HQ ILQ G¶pQRQFp

AUTOUR DU DIOXYDE DE TITANE
Le dioxyde de titane est un solide minéral largement utilisé dans des domaines 
YDULpV GH O¶LQGXVWULH
(production mondiale entre 4 et 5 Mt/an). Sa principale application (> 90%) 
concerne les peintures
auxquelles il apporte, comme pigment, une couleur blanche très lumineuse. Dans 
des secteurs de
pointe, on utilise également ses propriétés catalytiques (synthèses diverses) 
ou photo-catalytiques
(vitrages auto-nettoyants). Le problème ci-dessous évoque la synthèse et les 
propriétés de ce
composé.

1/12

I. /¶pOpPHQW WLWDQH
I.1. Ecrire la structure électronique du titane. Pourquoi cet élément fait-il 
partie de la famille des
éléments de transition ?
I.2. 3RXUTXRL O¶LRQ 7L4+ possède une grande stabilité ?
I.3. &RPSWH WHQX GH OD YDOHXU GH OD PDVVH DWRPLTXH GH O¶pOpPHQW WLWDQH TXHO HVW 
OH QRPEUH GH
neutrons de son isotope, très probablement majoritaire dans la nature ?
II. Le titane métallique
II. 1. A température ordinaire, le titane métallique cristallise, comme de 
nombreux métaux, dans le
système hexagonal. Calculer sa compacité en utilisant les paramètres de maille 
fournis au § VI.
&RPSDUHU OD YDOHXU REWHQXH j FHOOH G¶XQ HPSLOHPHQW VWULFWHPHQW FRPSDFW $%$% GH 
VSKqUHV GXUHV
LGHQWLTXHV HW GLVFXWHU O¶Dppellation de « pseudo-compacte » généralement 
utilisée pour la structure
du titane hexagonal.
II.2. Calculer la masse volumique du titane hexagonal.
II.3. Au-dessus de 880°C environ, le titane métallique cristallise dans le 
système cubique centré.
Quelle évolution de coordinance observe-t-on au passage de la variété 
allotropique basse
température à la variété allotropique haute température ?
II.4. Montrer, en observant le diagramme e-S+ IRXUQL TXH OH WLWDQH PpWDOOLTXH 
UpGXLW O¶HDX (FULUH
les bilans correspondant à cette réduction à pH = 2 et à pH = 12 (on 
considérera que le titane
V¶R[\GH DX GHJUp ,, &DOFXOHU O¶DIILQLWp chimique standard de la réaction à pH = 
12. Conclure.
II.5. 4X¶REWLHQW-on en théorie par ajout G¶un excès de titane métallique en 
poudre à une solution
aqueuse de chlorure titanique TiCl3 ?
II.6. Pourquoi le titane est-il un métal passif dans les eaux naturelles aérées 
? Schématiser le
montage électrochimique permettant de mettre en évidence cette passivité par 
tracé des courbes i/e.
III. Préparation du dioxyde de titane
III.1. La méthode de préparation de TiO2 par voie humide a comme point de 
départ le trioxotitanate
de fer (II), composé naturel de formule FeTiO3, disponible sous forme de 
minerai. Ce titanate solide
est solubilisé GDQV O¶acide sulfurique concentré, donnant un mélange de sulfate 
ferreux FeSO4 et de
sulfate de titanyle TiOSO4 (TiO2+ + SO42±). Montrer HQ XWLOLVDQW OHV QRPEUHV 
G¶R[\GDWLRQ que cette
WUDQVIRUPDWLRQ Q¶HVW SDV XQH UpDFWLRQ G¶R[\GR-réduction.
III.2. Après séparation du sulfate ferreux par cristallisation, la solution de 
sulfate de titanyle est
traitée par une base qui précipite le dioxyde de titane. Dans quelle partie du 
diagramme e-pH de la
Figure 1 (page 5) envisageriez-YRXV GH SODFHU OH GRPDLQH GH O¶Lon titanyle 
TiO2+(aq) ?
III.3. Par quelle réaction de dismutation, dont on écrira le bilan complet, 
pourrait-on également
obtenir le dioxyde de titane ?

2/12

IV. Purification du dioxyde de titane

IV.1. Le dioxyde de titane obtenu par cette méthode ainsi que le dioxyde de 
titane naturel doivent
toujours être purifiés. Cette purification utilise le passage par le 
tétrachlorure gazeux TiCl4. Quelle
est la formule de Lewis de cette molécule ? Quelle est sa géométrie ?

IV.2. La méthode utilisée industriellement pour préparer le tétrachlorure n'est 
pas la réaction
directe :

T102 (s) + 2 Clg (g) = T1Cl4 (g) + 02 (g) [Réaction 1]
mais la « Réaction d'Oerstedt », une carbo--chloration de TiOz à température 
élevée selon :
T102 (s) + 2 Clg (g) + 2 C (s) = T1Cl4 (g) + 2 CO (g) [Réaction 2]

Pour comprendre la nécessité de l'ajout de carbone aux réactants TiOZ et C12, 
calculer la constante
d'équilibre à 1 100 K de la réaction sans carbone (réaction 1). En déduire la 
quantité de TiCl4(g)
formée dans un réacteur fermé porté à 1 100 K et contenant initialement un 
excès de TiOz solide et
10 mol de dichlore gazeux a la pression de 1 bar. Rendement ?

IV.3. Comment évoluerait cette quantité (IV.2.) si on travaillait avec les 
mêmes quantités de
matière dans un réacteur de volume 10 fois plus petit ?

IV.4. On place maintenant dans le même réacteur 10 mol de dichlore, un excès de 
TiOz et un excès
de carbone, ce dernier supposé occuper un volume négligeable. Calculer, de la 
façon la plus concise
possible, la quantité de tétrachlorure de titane formée par la réaction 2 dans 
ces conditions et
comparer au résultat de la question IV.2. Conclure.

V. Utilisation du dioxyde de titane dans l'industrie de la peinture

La majeure partie du dioxyde de titane produit dans le monde est utilisée comme 
pigment blanc
dans les peintures. Une peinture est un mélange de plusieurs phases :
0 Une phase liquide constituée d'un solvant dans lequel est dissous un composé 
filmogène qui
génère le feuil de peinture par évaporation du solvant (séchage de la peinture),
0 Une phase solide pulvérulente d'un pigment apportant la couleur désirée (TiOz 
dans le cas
présent),
0 Une ou plusieurs phases solides pulvérulentes accessoires, les charges, 
conférant des
propriétés mécaniques ou anti--corrosion.

V.1. Les composés organiques ont longtemps constitué l'essentiel des solvants 
de peintures. Ce sont
des hydrocarbures, des alcools, des esters, des cétones et des dérivés chlorés. 
Combien d'isomères
de chaîne compte--t--on pour le monométhylhexane ? Quel est le nom de celui qui 
est optiquement
actif ? Représenter son stéréoisomère R.

V.2. L'acide acrylique (acide 2--méthyl, propénoïque) est le composé qui a 
donné son nom aux
peintures acryliques. De nombreux dérivés polymères et polycondensés de cet 
acide sont employés
comme composants filmogènes des peintures. Ecrire la formule développée de cet 
acide et celle du
carbanion qui se forme quand il est attaqué par la base amidure NH{ (ce 
carbanion est le précurseur
de polymérisation anionique de l'acide acrylique).

V.3. Donner le mécanisme de formation du dimère a partir de ce carbanion. 
Quelle est la formule du
motif de l'acide polyacrylique ?

3/12

VI. DONNÉES NUMÉRIQUES

Numéro atomique :
Ti : 22

Masse molaire atomique :

Ti = 47,9 >< 1073 kg.molfl Constante des gaz parfaits : R = 8,314 J.Kfämofi Charge élémentaire : q = 1,60 >< 10719 C Nombre d'Avogadro : N = 6,02>< 1023 mor1 Constante de Nernst à 298 K : ln 10 >< RT/OE ... 0,06 V Rayon atomique Ti (S): rTi : 144,8 pm Paramètres de maille du titane hexagonal : a = 295,0 pm 0 : 468,6 pm Enthalpies libres de formation à 1 100 K (kJ.mol_l) : ArG°1 = -- 744,803 ArG°2 = -- 209,075 ArG°3 = -- 630,638 Tl02(5) C0
TiCl4(g)

4/12

0.0
Ti3+(aq)
-0.5

E (V)

TiO2 (s)
-1.0
Ti2+(aq)

Ti2O3 (s)

-1.5

TiO

( s)

Ti(s)

-2.0
-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

pH
Fig. 1. Diagramme potentiel-pH du titane tracé pour une concentration en 
espèces dissoutes
de 10±2 mol.L±1.

5/12

PROBLEME DE PHYSI! QUE

A PROPOS DE LA MACHINE SYNCHRONE

Le principe de la conversion d'énergie électrique en énergie mécanique repose 
sur une
interaction champ magnétique -- courant électrique. Dans la machine synchrone, 
le stator est
alimenté par un système de courants triphasés. Il crée à l'intérieur de la 
machine un champ tournant.
Le rotor s'apparente à une bobine alimentée en courant continu. L'interaction 
du champ magnétique
créé par le stator sur le courant du rotor est à l'origine d'un couple 
électromagnétique.

La machine peut être alimentée par un réseau de fréquence fixe ou par un 
onduleur
autopiloté. Cette dernière solution permet d'optimiser les performances du 
moteur. Il délivre alors
un couple maximum pour des courants d'intensité minimale, tout en ayant un 
fonctionnement
stable.

Un formulaire se trouve en fin de problème.

PARTIE I - Préliminaire : champ magnétique créé par une spire en un point de 
son axe.

On considère une spire circulaire de centre O, de rayon R, contenu dans le plan 
Oxy,
orthogonal à l'axe 02 et parcourue par un courant électrique constant I. Elle 
est située dans l'air
assimilable magnétiquement a du vide. Elle est orientée dans le sens 
trigonométrique comme le
montre la figure 1. On considère un point M, de cote 2, situé sur l'axe Oz.

M(Z)

Figure 1
1) Par des considérations de symétrie, déterminer la direction du champ 
magnétique Ê(M ) , créé

par la spire au point M. Déterminer ensuite son expression en fonction de I, R, 
2 et de la
splitéabilité magnétique du vide ,uo .

6/12

PARTIE II - Principe de la conversion d'énergie électromécanique :

A] Etude du stator :

Le stator est constitué de trois bobines, dont les axes principaux contenus 
dans le plan xOy

, , 27r . , .
sont decales de -- les uns par rapport aux autres. Elles sont ahmentees par un 
systeme de courant

3
triphasé d'amplitude maximale I..., (de valeur efficace Ieff) et de fréquence 
fs (de pulsation cas) . On a

i1(t) : Im cos(wÿt + (z))

i2(t) : Im cos(wÿt + ça -- 2%)
2
i3 (t) : Im cos(wÿt + ça + %)

Chaque bobine crée dans la machine un champ magnétique proportionnel au courant 
qui la traverse
et dirigé suivant son axe principal.
On note K le coefficient de proportionnalité et on a :

Ëj(z) =K.ij(z).ëj , avecj = 1, 2 ou 3

EUR1=EURx

ê2 et @ se déduisent de ê1 par les rotations d'angle respectif 2% et "2% .

Figure 2

A.1) Donner l'expression du champ magnétique Ës créé par le stator à 
l'intérieur de la machine

dans la base (êx, êy) . On exprimera chaque composante en fonction de K, Im, 
cost et (p .

A.2) Montrer que ce champ est de norme constante et porté par un vecteur 
unitaire dont on
précisera le sens et la direction dans la base (êx, êy) . Justifier 
l'appellation de champ tournant et

préciser son sens de rotation.

A.3) Que se passe t--il si on inverse les phases 1 et 2 de la machine c'est à 
dire si on a :

7/12

i1(t) : Im cos(æJ + ça -- 2%)

i2 (t) : Im cos(wJ + (p)
2n'

i3 (t) : Im cos(æg + (p + Î)

A.4) On donne K = 0,05 T.A'1, leff : 15 A, fS : 50 Hz. Calculer la valeur 
numérique de HËSH et

la vitesse de rotation de ce champ tournant en tr/min.

B] Couple exercé sur le rotor :

Dans la suite du problème, on pose Ë, : BS .it (I) , où B, est l'amplitude du 
champ magnétique

créé par le stator et ü(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) tel que 
l'angle êx,ü(t) : cost + ça .

Le rotor tourne autour de l'axe Oz, à la vitesse angulaire constante Q : Qêz. 
D'un point de

vue électrique, il est assimilable à une bobine plate rectangulaire de surface 
géométrique S : 2.ro.H,
de largeur 2.r0 et de longueur H suivant 02. Cette bobine comporte p spires en 
série. Elles sont
géométriquement confondues. Chaque spire est parcourue par le courant continu 
d'intensité 1.

Soit ñ(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) , normal à la surface S 
orientée du rotor. On

note 0 l'angle (êx,ñ) . On pose 6'(t) : 490 + Qt .

Figure 3

B.1) Déterminer le moment mécanique Î(t) : F(t)ëz des actions 
électromagnétiques, exercé sur
le rotor .

B.2) La pulsation (05 étant imposée et constante, établir, suivant les valeurs 
de Q , le couple
moyen FW associé à Î(t) . Pourquoi ce type de moteur est--il qualifié de 
synchrone ? Ce type de

moteur, connecté a un réseau de fréquence fixe peut--il démarrer seul ?

B.3) Tracer la courbe représentant FM en fonction du décalage angulaire 1// : 
ça --90 . Délimiter

les intervalles de w correspondant aux fonctionnements moteur et générateur. 
Que vaut (//
lorsque FM est maximum ? Donner l'expression de ce couple maximum, noté 1"... .

8/12

Que vaut le flux magnétique (Ü...g créé par le stator, c'est à dire le flux de 
ËS a travers le

rotor lorsque F,... : l"max ?

B.4) Pour un couple OSFM STI... donné, il existe deux valeurs (éventuellement 
une valeur

double) de l'écart angulaire l// = ça -- 190 . Discuter de la stabilité du 
fonctionnement de la machine
pour chacune de ces deux valeurs. Cette étude doit aussi prendre en compte la 
valeur double.

On étudiera ! 'eflet sur le couple moteur d'une perturbation (motrice ou non) 
de la position du
rotor, c'est-à-dire la répercussion d 'une variation de l'angle ru sur le 
couple moteur.

PARTIE III - Autopilotage de la machine synchrone :

Le principe de l'autopilotage de la machine consiste à mesurer, à l'aide d'un 
capteur de
position angulaire, appelé résolveur, la position 6 du rotor de la machine. On 
alimente alors le
stator de la machine par un onduleur (ou alimentation à fréquence variable) qui 
délivre trois

courants triphasés : i1(t) , i2 (t) et i3 (t) . Ces courants sont asservis en 
fréquence et en phase de sorte

que :cog : Q et que (p =90 +--. On obtient alors un fonctionnement 
1ntr1nsequement stable de la

2
machine et un couple maximum.

Dans toute cette partie II, on supposera que la machine tourne a une vitesse 
angulaire

% I 619 I . . . , . , , . .
Q : Qez =--ez. Compte tenu de l'1nert1e de la machme et des echelles de temps 
cons1derees 1c1,

dt
Q sera supposée constante. Q & [O, Qmax] , Qmax est la vitesse maximale de 
rotation de la machine.

On supposera la relation 9 : Qt + 90 toujours valable.

A] Etude du résolveur :

Le résolveur s'insère autour de l'arbre reliant la machine et sa charge. Il est 
composé d'une
partie tournante, solidaire de l'arbre de la machine, appelée roue polaire, et 
de deux autres bobines
fixes dans le référentiel (O,x,y,z) lié au stator de la machine. On définit le 
référentiel (O,u,v,z) lié à
l'arbre de la machine et qui se déduit du référentiel (O,x,y,z) par la rotation 
autour de l'axe Oz.

Vi(t)

Figure 4

9/12

La roue polaire, solidaire de l'arbre de la machine, est assimilable à une 
bobine BO parcourue par un

courant j. Cette bobine crée à l'intérieur du résolveur un champ magnétique É, 
dont l'intensité est
proportionnelle au courant j et dont le sens et la direction dépendent de la 
position de l'arbre. On

pose B : a.j.ü où oc est un coefficient de proportionnalité connu et 11 est le 
vecteur unitaire de l'axe

Ou du référentiel (O,u,v,z) lié à l'arbre de la machine, en rotation à la 
vitesse angulaire Q par
rapport au référentiel fixe (O,x,y,z) lié au stator. On a 9 = (êx, ü ) .

Les deux autres bobines B1 et B2 sont fixes, identiques et ont pour axe 
principal respectif Ox
et Oy. Les spires de ces bobines ont pour vecteur normal respectif EUR, et êy . 
Elles ne sont parcourues

par aucun courant. Elles possèdent chacune n spires de surface 2.

A.1) La bobine BO est ici alimentée par un courant continu j : JO . Déterminer 
en fonction de
05, JO, 9, n et 2 les expressions des tensions V1( t) et V2(t) aux homes des 
bobines B1 et B2. Ces

deux tensions permettent--elles toujours de déterminer la position Ûdu rotor ?

A.2) On alimente maintenant la bobine BO par un courant sinusoïdal de fréquence 
fi, ou de
pulsation a),,_ On a j(t) : J0m c0s(a)pt) .

Dans le cas où la pulsation oep est très grande devant Q, montrer que
V1 (t) : n.Z.a.caP.J0m.sin(a)pt).cos 6. Puis, déterminer l'expression de la 
tension V2(t).

Dans toute la suite du problème on supposera oep>>Q.

A.3) Tracer les deux graphes représentant l'allure des tensions V;(t) et V2(t) 
lorsque la machine
est à l'arrêt. On choisira une valeur quelconque de «9.

AA) Reprendre ces graphes lorsque la machine tourne a vitesse constante. On 
donnera la valeur
numérique de l'amplitude de ces tensions. On prendra a : 4T / A, Jo... : 200mA, 
n = 10,

E : 0,lcm2 et fp : 10 kHz.

B] Conditionnement du signal délivré par la bobine B1 :

B.1) On rappelle que pour un multiplieur de constante multiplicative k, on a

Vî(t) : k"/el(t)'V62(t)'

Vel @)
l V,...) ..."
Figure 5

Préciser l'unité et la valeur numérique de k, pour le multiplieur que vous avez 
utilisé en travaux
pratiques.

10/12

B.2) On considère le montage de la figure 6. Donner l'expression de la tension 
de sortie s...(t) et
représenter son spectre en amplitude.

>< î V0 sin(æpt) --W_ifiî-- Figure 6 v1 S ...

B.3) Quelle est l'opération de traitement du signal nécessaire pour retrouver 
un signal
proportionnel à cos(9) ? Proposer un montage ne comportant que des composants 
passifs
permettant d'effectuer cette opération.

B.4) Donner la (ou les) contrainte(s) sur les composants, pour que les 
composantes résiduelles
hautes fréquences soient atténuées de 40 dB.

B.5) Donner alors l'expression de la tension relevée, en pratique, en sortie de 
ce dernier
montage. On précisera son amplitude et sa phase. En déduire la valeur de 
l'erreur commise sur 9
lorsque la machine tourne à Q : 3000tr/ min.

B.6) Quelle est alors la perte relative de couple, exprimée en %, par rapport a 
un autopilotage

. , 7r
parfait ou (p vaut exactement 90 +--. Commenter.

2

PARTIE IV - Démarrage en fonctionnement asynchrone :

Lorsque la machine est directement reliée à un réseau de fréquence et de phase 
fixe, on
effectue parfois un démarrage en fonctionnement asynchrone. Lors du démarrage 
de la machine, la
vitesse angulaire @. du rotor augmente avec le temps. Néanmoins, compte tenu 
que les constantes
de temps électriques sont bien plus petites que les constantes de temps 
mécaniques, on assimilera

£). à une constante inférieure à cos .

Lors de cette phase de démarrage, la bobine plate constituant le rotor n'est 
pas encore
alimentée en courant continu comme en régime établi, mais fermée sur elle même. 
Elle est en court
circuit ! Elle est modélisée d'un point de vue électrique par une inductance 
pure L et une résistance

R. La position du rotor est toujours repérée par l'angle 6 que fait la normale 
à la surface de la
bobine et l'axe des abscisses. On a toujours : 6(t) : 90 + Qt (cf ILE).

Le stator est toujours alimenté par un système de courant triphasé. Il crée à 
l'intérieur de la

-->

machine un champ tournant : B, : Bs.ü(t), où B, est l'amplitude du champ 
magnétique créé par le

stator et ü(t) le vecteur unitaire de la base (êx, êy) tel que l'angle êx, ü(t) 
: a)St +(p .

11/12

De par les phénomènes d'induction électromagnétique, il existe une tension 
induite dans la
bobine du rotor. Elle engendre des courants induits. L'interaction de ces 
courants et du champ

magnétique Êy est à l'origine d'un couple électromagnétique.

A) Donner en fonction de B, , p, S , cas , Q, 90 et de (I) l'expression de la 
tension induite dans la
bobine du rotor.

B) L'intensité du courant électrique induit dans la bobine du rotor est de la 
forme
iÏ(t) = I, sin(at +b) . Après avoir dessiné le schéma électrique équivalent au 
rotor, préciser les

expressions de a, b et de I, en fonction de BS , p, S , cos , Q , 90 , (p , R 
et L.

C) Préciser les éléments de réduction du torseur des actions de Laplace 
(résultante des forces et
couple) exercées par le champ magnétique ÊS (t) sur les enroulements du rotor.

D) Préciser l'expression de la valeur moyenne dans le temps, noté F..., du 
couple exercé sur le
rotor lors de cette séquence de démarrage.

Pourquoi ce fonctionnement asynchrone est--il complémentaire du fonctionnement 
synchrone
étudié dans la partie I ?

Formulaire :
cos(p)+cos(q) =2cos(p;q)c0s(pgq)
c0s( p) --cos(q) = --2sin(p ; q)sin(p ?)

cos(29) : l -- 2 sin2 (6)
cos(a + b) : cos a cos b -- sin a sin b
sin(a+b) : sinacosb +sinbcosa .

Fin de l'énoncé.

12/12