CCP Physique 2 PSI 2007

Thème de l'épreuve Autour de la mesure de la vitesse. Les divers procédés de nickelage.
Principaux outils utilisés ondes sonores, électronique, mécanique des fluides, thermochimie, électrochimie, atomistique
Mots clefs effet Doppler, traitement du signal, écoulement de Poiseuille cylindrique, nickelage, passivation, piles, dépôt électrochimique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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WOH5OÉ .--v " 0@H5ñ--...

« ...ËOOEËE

...mm ËH--A--h .. OEDOËËOHÆOE HËËAN

......=a.z=v...-->dooe ...::lzou mu=0uzcu

'

Les calculatrices sont autorisées.
***aa

N.B.----: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d'énonce', il le signalera sur sa copie et devra pourSuivre sa composition en 
expliquant les raisons

des initiatives qu'il a été amené à prendre.
***a*

L'épreuve comporte un problème de physique et un problème de chimie. Les 
candidats traiteront les
deux problèmes dans l'ordre de leur choix et les rédigeront de façon séparée. 
Le sujet comporte 12
pages et un document réponse de 2 pages à joindre àla copie.

Durées approximatives : Physique : 2 heures

Chimie : 2 heures

PROBLEME DE PHYSIQUE
AUTOUR DE LA MESURE DE VITESSE

Les trois parties de ce probléme sont indépendantes. Au sein d'une même partie, 
plusieurs questions
sont largement indépendantes. Un formulaire se trouve en fin de problème.

PARTIE I : Célérité des ondes acoustiques et effet Doppler

. Soit (R) m (0, x, y, z) le référentiel d'étude supposé galiléen, et (R') 
«**--« (O', x', y, 2) un autre
référentiel, en translation uniforme àla vitesse 2320 == uoêx par rapport au 
référentiel (R). A la date

t x 0, le point O' coïncide avec le point 0. On suppose de plus, que no << c0 , 
'où co est la vitesse de
propagation du son.

On remarquera qu'en l'absence d'onde sonore, l'air est au repos dans le 
référentiel (R) et en
écoulement uniforme à la vitesse --iïo dans le référentiel (R').

Dans toute cette partie, l'air est assimilable à un gaz parfait non visqueux. 
Les
transformations thermodynamiques sont supposées adiabatiques et réversibles. On 
note Po et po, la
pression et la masse volumique de l'air au repos (pg == 1,25 kg.m'3 et P0 = 105 
Pa).

1l1fl

On note XS le coefficient de compressibilité isentropique de l'air (XS = 6,8 
10'6 Pa'l). L'effet
de la pesanteur sera négligé.

Σ.

C

V

constante des gaz parfaits R = 8,31 J K"1mol'1 et la masse molaire de l'air M = 
29 g mol'1 .

On donne : le rapport 7 = = 1,4 des capacités thermiques à pression et à volume 
constants, la

A] Ondes sonores dans le référentiel (R) :

On se propose d'étudier la propagation unidirectionnelle des ondes sonores 
planes. Après une
perturbation élémentaire, les caractéristiques de l'air sont alors décrites par 
les grandeurs suivantes,
fonction de la position x et du temps t :

v(x, t) : la vitesse de l'air (dirigée suivant ëX ),
P(x, t) : P() + p(x, t) la pression de l'air,

p(x, t) : po + ,u(x, t) la masse volumique de l'air.

-A.1) Rappeler en quoi consiste l'approximation acoustique.

A.2.a) Ecrire l'équation vectorielle d'Euler (on notera El l'équation 
correspondante).

A.2.b) Simplifier cette équation dans le cadre de l'approximation acoustique. 
On notera E2
l'équation correspondante. '

A.3.a) Ecrire l'équation locale de conservation de la masse ou équation de 
continuité (E3).

A.3.b) Simplifier cette équation dans le cadre de l'approximation acoustique. 
On notera E4
l'équation correspondante.

A.4.a) Rappeler l'expression de XS en fonction de V (le volume) et de P (la 
pression), puis en

fonction de p (la masse volumique) et P, ou de leurs dérivées partielles, on 
notera Es l'expression
correspondante. '

A.4.b) Simplifier cette équation dans le cadre de l'approximation acoustique. 
On notera E6
l'équation correspondante.

A.5.a) En déduire l'équation de propagation de l'onde acoustique vérifiée par 
la grandeur p(x, t).

A.5.b) Quelle est l'expression et la valeur numérique de la célérité co des 
ondes acoustiques dans
l'air à la température TO = 298 K?

A.6) Pour modéliser une onde sonore plane progressive sinusoïdale (O.S.P.P.S.), 
se propageant
suivant les x croissants, on adopte les notations suivantes pour lesquelles les 
fonctions complexes
associées aux grandeurs sinusoïdales réelles sont soulignées :

j(wt--kx)

£(JC, [) : pOe
j(wt-kx)ê

3206» t) = }:(x, 0%. = Voe x

Etablir la relation de dispersion liant ou et k.

B] Ondes sonores dans le référentiel (R') et effet Doppler simple :

On décrit une onde sonore dans le référentiel (R') par les grandeurs suivantes, 
fonction de la
position x' et du temps t :

P '(x ', !) =--= R, + p'(x ', t) la pression de l'air,
V'(x',t) = ----uo + v'(x ', t) la vitesse du fluide,

' p'(x',t) = p() + y'(x',t) la masse volumique de l'air.
On remarquera que dans cette étude, l'opérateur [I7 '. g?ad ] s'écrit : 
[(v'------ u0) %x ,] .

. B.1) - Préciser dans le cadre de l'approximation acoustique : quelles sont 
les grandeurs supposées
comme infiniment petites du premier ordre ? On supposera par la suite, que 
leurs dérivées partielles
sont aussi des infiniment petites du premier ordre.

B.2) On rappelle que l'équation (E'3) traduisant l'évolution isentropique des 
particules de fluide

Dp' DP' D
s'écrit: ------------------ ---- p '------------zs ----------- est la dérivée 
particulaire.
Dt Dt Dt

Etablir deux autres équations aux dérivées partielles, notées E'1 et E'2 
couplant les trois grandeurs
P'(x',t), V'(x',t) et p'(x',t). '

B. 3. a) En effectuant une linéarisation (développement limité al' ordre 1), 
comm 1 équation E'4 entre

et) âv 'ôp'

les grandeurs --------------- ------------- et
ôx' ôt Ôx'
B. 3. b) De même, déterminer la relation E' 5 entre les grandeurs êÏ----, 
---ô--E-- et tÊE----.
ôx' ôx' ôt
B.3.c) Enfin, déterminer la relation E'6 entre les grandeurs ÊE-- ,--ô--Ï--, 
êË----, ÊE----.
- ôx' ôt ôx' ôt

B.4) Pour modéliser l'O.S.P.P.S.dans le référentiel (R'), on adopte les 
notations suivantes pour
lesquelles les fonctions complexes associées aux grandeurs sinusoïdales sont 
soulignées :

£'(X',Ï) : pûej(w't--k'x')

v î'(x' t) = v'(x' t)ë : v' ej(w't'k'x')ê
.... ' _ ' x 0 x
,U'(X',Ï) : flvo ej(w't--k'x')

B.4.a) Comment se simplifient les équations E'4, E'5, E'6 avec les notations 
complexes proposées
ici '? On notera E'7, E'g et E'g les équations correspondantes.

B.4.b) Par élimination, en déduire l'équation vérifiée par p'(x ', t), puis la 
relation de dispersion
reliant oe', k ' , c0 et u0 . Cette relation est--elle compatible avec celle 
obtenue à la question A.6) ?

CO

B.4.c) En remarquant que k et k' sont positifs, en déduire que k' = .
co ---- u0

B.5.a) Justifier que le champ de pression est indépendant du référentiel 
galiléen dans lequel on
travaille.

B.5.b) Quelle relation existe--t--il entre x,x', uo et t '?

B.5.c) En déduire une relation simple entre k et k', puis exprimer 00 en 
fonction de (D', k' et uo .

B.5.d) En notant f la fréquence de l'onde sonore dans le référentiel R, et f' 
la fréquence de l'onde
sonore dans le référentiel R', déterminer la relation liant f, f", uo et co.

Fait expérimental :

B.6.a) Pourquoi un piéton, marchant en avant sur la voie de droite, perçoit-il 
un changement de
tonalité de l'onde sonore émise par une automobile au moment où celle-ci le 
double ?

B.6.b) Soit fe la fréquence de l'onde sonore émise par l'automobile dans le 
référentiel lié à celle--ci.
Déterminer les deux fréquences fp2 et fp1 de l'onde sonore reçue par le piéton, 
respectivement après
et avant son dépassement par l'automobile. On exprimera ces deux fréquences en 
fonction de fc, co
et de la vitesse v de l'automobile par rapport au piéton.

La nouvelle tonalité est--elle plus grave ou plus aiguë après le dépassement 
qu'auparavant ?

$

PARTIE II : Double effet Doppler, application au radar

Rappel sur l'effet Doppler simple :

E R
------------------------------------------------>
O _ x

On considère un émetteur E, fixe à l'origine de l'axe Ox, qui délivre une onde 
ultrasonore
plane progressive sinusoïdale, de fréquence fE , se propageant à la célérité 
co, dans le sens des x
positifs.
On rappelle qu'un récepteur R, situé en avant de E, qui se déplace le long de 
l'axe Ox, à la vitesse

v > O, perçoit une onde de fréquence f,, : fE (1 ----Y--) .
Co

A] Double effet Doppler :

On considère ici un émetteur E et un récepteur R, immobiles au même point O. On
s'intéresse au changement de fréquence entre l'onde émise à la fréquence fE et 
l'onde reçue à la
fréquence fR, après réflexion sur une cible C, située en avant de O et qui se 
déplace à la Vitesse

v>0, sur cet axe, avec v << co .

0 x
......
E,R C

En remarquant que tout se passe comme si R était l'image de E, par la symétrie 
de centre le 'miroir
cible' C, déterminer l'expression liant fE, fR , co et v.

B] Principe du radar Doppler, traitement du signal :

On assimile l'onde issue de l'émetteur au signal électrique : SE (1) : EO 
sin(wEt ------ $) et l'onde

perçue par le récepteur au signal électrique : s,, (t) = R0 sin(th) .

Le signal sR(t) est d'abord mis en forme par un comparateur simple utilisant un
amplificateur opérationnel parfait, de tension de saturation :L-V

sat'

Le signal sc(t), issu de ce comparateur et le signal sE(t) sont ensuite envoyés 
dans un
multiplieur. ,
Le signal sm(t), issu du multiplieur est ensuite filtré puis envoyé dans un 
compteur.

' sm t _ s t N

On rappelle qu' un multiplieur attaqué par deux signaux s1(t) et sz(t) délivre 
un signal
s...(t)== k*sl(t)*sz(t) où k est une constante multiplicative égale' a 0.1 VI.
Le fonctionnement simplifié d'un compteur est le suivant . une initialisation 
permet de le mettre à
zéro. Le compteur est ensuite incrémenté de 1 à chaque fois que le signal sF(t) 
passe au-dessus
d'une tension critique positive Vc choisie au préalable. La durée de comptage 
choisie est de To
secondes avec To >> l/fg.

B.l.a) Quelle est l'utilité du comparateur '?

B.l.b) Sur un même graphe, dessiner l'allure du signal sR(t) et du signal 
sortant du comparateur

sc(t).

B.2) Effectuer une décomposition en fréquence du signal s...(t) (Série de 
Fourier), puis représenter
l'allure de son spectre.

B.3.a) Quel type de filtre permet de ne conserver que la composante à la 
fréquence fg-fR du signal
issu du multiplieur '?

B.3.b) Proposer une réalisation simple de ce filtre, n'utilisant que des 
composants passifs, et
préciser sous forme d'une ou plusieurs inégalités les contraintes que doivent 
respecter les
composants utilisés pour réaliser la fonction désirée.

B.4) Montrer que la valeur N, fournie par le compteur est proportionnelle à la 
vitesse v de la cible
C, pourvu que la tension critique Vc soit inférieure à une tension maximale 
V......

On exprimera le coefficient de proportionnalité q, tel que N = q*v, en fonction 
de To, fg et co et on
précisera la valeur de la tension maximale Vmax en fonction de Vsat, k et E0.

PARTIE III : Mesure de la vitesse mo enne d'écoulement d'un fluide vis ueux

Le capteur de vitesse est constitué d'un tube cylindrique d'axe Oz, de diamètre 
2a, dans lequel
s'écoule en régime permanent, le fluide incompressible de masse volumique p et 
de viscosité

n connue. Soit AP = P1-P2 la différence de pression entre deux sections 81 et 
82 du tube, située
autour des points 01 et 02 de côte 21 et 22, et distantes de 0102 = L. On 
rappelle que la densité
volumique de force de viscosité s'écrit nAîz' . On négligera les forces de 
pesanteur. Le référentiel

d'étude est supposé galiléen.

A.1) On suppose que l'écoulement est laminaire et s'effectue suivant êz. Quelle 
hypothèse nous

conduit à chercher iî sous la forme ?: v(r,z)êz et P sous la forme P(r,z) '?

A.2) Montrer que l'expression de la vitesse v(r,z) est indépendante de z et ne 
dépend donc que
de r.

B.1) En appliquant le principe fondamental de la dynamique ou équation d'Euler, 
montrer que P
ne dépend que de z et que : _
dz r dr dr

B.2) Préciser les conditions aux limites qui permettent de déterminer P(z) et 
v(r).

)] : K1 où K1 est une constante.

B.3) Exprimer v(r) et P(Z) en fonction de P], AP, n, L, a, r et 2.

Cl) Montrer que le débit volumique peut se mettre sous la forme Dç = K2 AP, où 
K2 est une

constante que l'on exprimera en fonction de a, L et n. ,
. . . D '
C.2) On définit la Vitesse moyenne du lubrifiant par V,... = " montrer que v... 
= K3 AP, ou

29
m1

K3 est une constante que l'on exprimera en fonction de a, L et n.

C.3) Quel instrument est encore nécessaire pour accéder à la vitesse moyenne de 
l'écoulement '?

FORMULAIRE :

On donne la décomposition en série de Fourier d'un signal carré c(t) de 
fréquence f, dont
l'amplitude varie entre -E et +E :

4E °° sin 2 +127z t
75 p=0 2p+1

On donne en coordonnées cylindriques :

div(Ü) : ------ ' --------------------- +
ôr r 59 62

rat(ç)= 3-- ÔVZ ---Y--"--ê-- ê + avr--ô": ê +1 ô("9)--ô"r ê
r 66 r 0 z

_. ôU.. 15U.. ÔU...
"" d U ==-------------e +=---------------- +-------e
gra ( ) ôr r r6969 ô'z :

ô(rÊY--j 2
_l_ ôr 8 v __

+--------EUR.

[r ôr 522 Z

1 ô(rv ) 1 ôvEUR ôvz
r

Pour 5 : v(r,z)ê}; on & Ai; :

PROBLEME DE CHIMIE

LES DIVERS PROCEDES DE NICKELAGE

Toutes les données nécessaires à la résolution de ce problème apparaissent en 
fin d'énoncé. Sauf
indication contraire, la température est fixée à 298 K.

1. La pile fer-nickel

On souhaite vérifier la valeur du potentiel redox standard du couple Ni2+(aq)/ 
Ni(S) donné par la
littérature. '

Pour ce faire, on dispose d'une électrode constituée d'un fil de nickel 
métallique de très haute
pureté, d'une solution aqueuse de sulfate de nickel (II) de concentration 1,00 
mol.L"', d'une
électrode de référence au sulfate mercureux (MSE pour Mercury Sulfate 
Electrode) dont le potentiel
est fourni dans les données numériques et d'un voltmètre de précision de très 
grande impédance
d'entrée. On précise que les ions sulfate sont électro-inactifs dans de telles 
solutions aqueuses peu
concentrées. '

1.1. Quelle différence de potentiel doit--on relever entre les deux électrodes 
partiellement immergées

dans la solution ?
|

1.2. On réalise maintenant une pile Ni(s) | NiSO4(aq) : F eSO4(aq) | Fe(s). Les 
solutions aqueuses utilisées
ont une molarité de 0,01 mol.L_l. Elles sont séparées par une paroi poreuse.

Calculer et comparer les potentiels redox des deux couples ion métallique/métal 
mis en jeu,
exprimés par rapport à l'électrode standard à hydrogène (ESH). Ecrire les deux 
demi-réactions
redox qui interviennent, dans le sens où elles se produisent quand la pile 
débite du courant.

1.3. Quelle différence de potentiel en circuit ouvert mesure-t--on aux bornes 
de cette pile ?

1.4. F aire un schéma de la pile en y portant les signes des pôles (+ ou --) 
ainsi--que leur nom (cathode
ou anode). On indiquera le sens de circulation des électrons quand la pile 
débite.

1.5. Ecrire le bilan de la réaction chimique mise en jeu quand la pile débite. 
Calculer l'affinité
chimique de cette réaction. Commenter son signe.

1.6. Une réaction parasite, gênant le fonctionnement de cette pile, provient du 
fait que le cation F e2+

. . , . . . . . 3+ . .
est sensrble a 1 oxydation par le dioxygene dissous qui le transforme en P e . 
Ecrire les deux dem1--
réactions mises en jeu et le bilan global redox de cette réaction parasite qui 
intervient quand on ne
prend pas la précaution de travailler à l'abri de l'air.

II. Le nickelage par déplacement chimique

On prépare deux récipients distincts, l'un rempli d'une solution aqueuse de 
NiSO4, l'autre d'une
solution aqueuse de F eSO4. On plonge dans le premier une lame de fer 
métallique, dans le second
une lame de nickel métallique. On observe que la lame de fer se recouvre de 
nickel métallique.
Cette opération est nommée « nickelage par déplacement ».

11.1. Pourquoi la lame de nickel ne se recouvre--t-elle pas de fer ?

11.2. Ce procédé de nickelage n'est utilisé que pour préparer des couches de 
nickel très fines car on
observe que sa vitesse s'annule quand le dépôt de nickel compact atteint une 
épaisseur de l'ordre de
quelques dizaines de nanomètres. Pourquoi ?

III. Le nickelage par électro-dépôt

Le dépôt électrochimique de nickel métallique est largement utilisé 
industriellement. Ce procédé
consiste à immerger la pièce en fer à revêtir, dans une solution de sulfate de 
nickel et à effectuer une
électrolyse, la pièce en fer étant placée en cathode. L'anode est inerte. 
L'épaisseur de nickel déposé
n'est alors pas limitée; elle est fonction de la densité de courant, de la 
durée de l'opération et de
l' intervention éventuelle o.. réactions eathodiques parasites.

Compte rendu d'expérience :

0 Pièce traitée : disque de fer, diamètre 10 cm, épaisseur 0,5 mm (épaisseur 
négligée pour le
calcul de l'aire totale) ; dépôt sur les deux faces.

Masse initiale : 30,866 g

Intensité du courant : 2,4 A

Durée d'électrolyse : 65 mn
Masse finale : 32,051 g

111.1. Quelle est la quantité d'électricité mise en jeu au cours de cette 
expérience '?

111.2. Quelle masse de nickel aurait-on dû obtenir si le rendement de 
l'opération avait été 100 % '?
111.3. Déterminer le rendement effectif de cette opération de nickelage.

111.4. Quelle eSt l'épaisseur du dépôt de nickel obtenu ?

111.5. Quelle autre demi--réaction a pu se produire à la cathode en parallèle 
avec la réduction de
Ni2+ conduisant' a la baisse du rendement ?

111.6. Cette autre demi-réaction conduit à l'insertion d'une partie de l'espèce 
chimique formée dans
les sites interstitiels («lacunes ») du réseau cubique à faces centrées du 
nickel. Rappeler les
géométries des deux types de sites interstitiels, les positionner sur le schéma 
d'une maille et préciser
leur nombre par maille.

III.7. On emploie aujourd'hui souvent l'anion amidosulfate en lieu et place de 
l'anion sulfate dans
les bains de nickelage par électro-dépôt. Cet anion est la base Conjuguée de 
l'acide amidosulfurique
qui dérive de l'acide sulfurique H2804 par substitution d'un groupe --OH par un 
groupe ----NH2.
Ecrire deux formules de Lewis de l'acide amidosulfurique, l'une sans séparation 
des charges,
l'autre avec la séparation totale des charges.

IV. Dépôt chimique autocatalytique à l'hydrazine

Le procédé de nickelage chimique autocatalytique repose sur la réduction d'un 
sel de nickel, non
par la polarisation électrique cathodique, mais par un réducteur chimique 
ajouté à la solution
aqueuse, ici l'hydrazine HgN--NH2 ou N2H4. Ce procédé a été mis au point en 
France à l'Office
National de la Recherche Aéronautique (ONERÀ).

IV. 1. Quelle est la formule de Lewis de l'hydrazine ? En vous aidant des 
règles VSEPR, montrez

que cette molécule ne peut pas être plane et proposez une représentation 
perspective de sa
conformation édipsée.

IV.2. A température ambiante, l'hydrazine pure est un liquide. Calculer son 
enthalpie libre standard
de formation à 25°C et conclure quant à sa stabilité.

IV.3. On observe que l'hydrazine pure se décompose quand on la chauffe. Est--cé 
dû à une raison.
thermodynamique ou à une raison cinétique '? Expliquez.

IV.4. La solution aqueuse d'hydrazine est une base N2H5+(aq) + OH"(aq). 
Préciser le nom du cation de
cette base par analogie avec un autre cation de la chimie de l'azote.

IV.5. Ecrire la demi-réaction d'oxydation de N2H5+ générant le diazote gazeux 
et appliquer la loi de
Nemst pour en déduire l'équation qui décrit l'évolution avec le pH du potentiel 
redox du couple
N2/ N2Hs+ dans les conditions suivantes :

. [N2H5+]==10"3 mol.L"l
. P(N2) = 1 bar

IV. 6. La Figure 1 du document réponse présent; le diagramme potentiel-pH muet 
du système
nickel- -eau à 25°C pour une concentration de Ni2+ égale à lO""4 mol. L_1. Y 
porter les noms des
espèces de chaque domaine, en précisant selon le cas: « domaine d'existence 
de.. .» ou « domaine
' de prédominance de. .» Identifier le couple redox correspondant a la droite 
en pointillés. Placer la
courbe relative au couple N2 / N2H5+ dans les conditions précisées ci- dessus.

IV.7 . Déduire- graphiquement de ce diagramme :

o Le domaine de pH où le cation nickel (Il) est insensible à la précipitation 
sous forme
d'hydroxyde de nickel (Il)

: le domaine de pH où le nickel métallique n'est pas oxydé par l'eau
0 le domaine de pH où le cation nickel (Il) est réductible par N2H5+

IV. 8. Le diagramme intensité--potentiel schématique de la Figure 2 du document 
réponse, tracé à
pH= 4, présente la courbe (l) de réduction de Ni2+ (aq). Cette courbe n'est pas 
modifiée quand on la
trace sur diverses électrodes (Ni, Fe, Pb, .) La courbe d'oxydation de N2H5 
est, elle, fortement
dépendante de la nature de l'électrode. Cette oxydation est lente sur la 
plupart des électrodes
métalliques, mais rapide sur une électrode de nickel (ce qui a fait appeler le 
procédé
« autocatalytique »). Tracer sur ce diagramme, de façon schématique, la courbe 
d'oxydation de
N2Hs+ dans les deux situations suivantes:

. Courbe (2) : oxydation rapide, pas de surtension, réduction rapide de Ni2+
. Courbe (3) : oxydation très lente, surtension très élevée, pas de réduction 
possible de Ni2+

V. Dépôts de nickel protecteurs contre la corrosion par le fluor
Parmi les nombreuses applications du nickelage des aciers, la protection contre 
la corrosion gazeuse

à chaud par le difluor mis en jeu dans l'enrichissement isotopique de l'uranium 
est un des succès les
plus marquants.

V.1. Calculer l'enthalpie libre standard de formation du difluorure de nickel 
solide à 373 K à partir
des valeurs à 298 Ken considérant que les diverses grandeurs thermodynamiques 
ne varient pas
avec la température. Le nickel est--il corrodable par le difluor gazeux à cette 
température ?

V.2. En fait, le difluorure de nickel qui se forme, passive fortement le 
nickel. Citer deux adjectifs
caractérisant un produit de corrosion solide apportant une passivité de qualité.

DONNÉES NUMÉRIQUES

Numéros atomiques :
H1N708816Fe26Ni:28
_Masse molaire :
Ni = 58,71 >< 10""3 kg.mol"'
Constante des gaz parfaits :
R = 8,314 J.1<"'.moi"1
Charge élémentaire :

q== 1,60 >< 10--190

Nombre d'Avogadro :
N = 6,02x 1023 m1"1
Constante de Nernst à 298 K :
ln 10 >< RT/Î ... 0,06 V
Enthalpies de formation à 298 K (kJ.mol"l) :
N2 (,,) + 2 H2 @ : N2H4 ... ' A,H°m = + 50,60
Ni(s) + F2 (,) : Nin (,) A,H°298 = -- 657,73

Entropies à 298 K (J....1"1 K"l) :

H2 @ : 130,68
F..., : . 202,80
N2 (g) : 191,61
N2H4... : 61,05

Ni(s) : 29,87
NiF2 (,) : 73,60

Potentiels redox standard à 298 K :

02 (g) / 1120 e° = + 1,23 V/ESH
Fe2+(aq) / Fe@ e° = --- 0,44 V/ESH
Niï,... / Ni(s) e° == -- 0,23 V/ESH '

Fe3+(aq) / Fe"..., e° = + 0,77 V/ESH

N2 (,) / N2H5+(aq) e° = - 0,22 V/ESH

Potentiel à 298 K de l'électrode de référence

au sulfate mercureux (saturée en K2SO4) : e° = + 0,66 V/ESH

Masse volumique du nickel métallique :

p... = 8,90 >< 103 kg.m_3

Fin de l'énoncé.

Note . ' / Appréciation du correcteur {uniquement s'il s'agit d'un examen} :

"20

* Uniquement s'il s'agit d'un examen.

DOCUMENT REPONSE

0 2 4 6 8 10 12 14

Fig. 1. Diagramme potentiel--pH du système nickel--eau prenant en compte les 
trois espèces
an), Ni(OH)2 @, Ni"... Concentration de l'espèce dissoute : 1 x 104 mol.L"'.

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(1)

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Fig. 2. Diagramme intensité--potentiel à 298 K (unités arbitraires).

FIN DU DOCUMENT REPONSE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 2 PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Antoine Senger (Professeur en CPGE) et Tiphaine
Weber (Enseignant-chercheur à l'université) ; il a été relu par Jean-Christophe 
Tisserand (ENS Lyon), Sandrine Brice-Profeta (Professeur agrégé en école 
d'ingénieurs),
Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Mickaël Profeta (Professeur en CPGE).

Ce sujet se compose de deux grands problèmes indépendants : l'un de physique,
autour du thème de la mesure de la vitesse ; l'autre, de chimie, aborde un grand
nombre de points du cours de manière assez disparate, de la thermodynamique à
l'électrochimie en passant par l'architecture de la matière.
Le problème de physique comporte trois parties indépendantes.
· La première partie s'attache à établir les équations de propagation d'une onde
sonore dans le référentiel de la source sonore, puis dans un référentiel en 
translation rectiligne uniforme par rapport à cette même source. Cette partie 
s'achève
par l'établissement de la formule de l'effet Doppler.
· La deuxième partie traite de l'application de l'effet Doppler au radar. On 
s'intéresse plus particulièrement au montage électronique qui permet de mesurer
la vitesse d'un objet à partir de son signal radar.
· La troisième porte sur l'écoulement de Poiseuille cylindrique.
Ce problème d'une difficulté raisonnable, peu calculatoire, permet de réviser la
physique des ondes, l'électronique et la mécanique des fluides.
Le problème de chimie étudie le nickelage des pièces métalliques, un traitement
de surface qui peut être réalisé par différentes techniques.
Il ne faut pas se laisser déstabiliser par la juxtaposition de questions qui, 
au sein
d'une même partie, traitent de chapitres très éloignés du programme. De plus, 
l'autonomie des questions permet de poursuivre la résolution du sujet même si 
l'on n'a
pas répondu à l'ensemble des questions précédentes. Du fait de cette approche 
transversale de la chimie, mieux vaut privilégier ce sujet au moment des 
révisions plutôt
qu'en cours d'année. Un grand nombre de questions de cours permet d'ailleurs de 
vérifier ses acquis. Le sujet nécessite également de prendre du recul vis-à-vis 
du cours,
car la résolution du problème requiert de mobiliser simultanément des 
connaissances
issues de chapitres très différents.

Indications
Problème de physique
I.A.2.b
I.A.4.a
I.B.2
I.B.4.b

I.B.5.a
I.B.5.c
I.B.5.d
I.B.6.b
II.B.2
III.A.1
III.A.2
III.B.1

III.B.3

Identifier correctement l'ordre de chaque terme puis simplifier.
Utiliser l'expression de la masse volumique en fonction du volume.
Pour trouver (E1 ) et (E2 ) suivre le même cheminement que dans la partie A.
Des relations (E7 ), (E8 ) et (E9 ), déduire une relation ne dépendant que de p.
À l'aide de cette dernière, établir la relation de dispersion, puis faire 
apparaître des multiplications par j et -jk  que l'on identifie à des 
dérivations.
Partir de la formule de la pression établie en théorie cinétique des gaz.
Utiliser les résultats des questions B.5.a et B.5.b pour obtenir une relation
dépendant de t et de x (ou x ) qui doit être vérifiée pour tout t et x (ou x ).
Combiner les résultats des questions B.4.c et B.5.c. Puis, simplifier le 
résultat
à l'aide de l'hypothèse faite sur u0 dans l'énoncé.
Quel est le signe du vecteur d'onde avant et après le dépassement ?
Utiliser le formulaire.
Identifier une symétrie du problème.
Écrire l'équation locale de conservation de la masse.
Utiliser l'hypothèse de régime permanent et exploiter le résultat de la 
question A.2. Ensuite, projeter le résultat sur deux axes bien choisis. Enfin, 
obtenir une égalité entre une fonction de v et une fonction de P. De quelle(s)
variable(s) dépend(ent) chacun des deux membres de cette dernière égalité ?
Intégrer les équations différentielles obtenues à la question B.1 et appliquer
les résultats de la question B.2.
Problème de chimie

I.1 Ne pas oublier d'utiliser l'approximation proposée par l'énoncé pour 
simplifier
l'expression des potentiels,

I.5

III.5
III.7

IV.1
IV.4
IV.7

RT
ln x  0, 06 log x
(en V)
F
La constante de Faraday F est définie comme la charge portée par une
mole d'électrons, soit F = N q où N et q sont respectivement le nombre
d'Avogadro et la charge élémentaire donnés dans l'énoncé.
Le potentiel standard du couple H3 O+ (aq) /H2(g) , non rappelé dans l'énoncé,
vaut, par définition, 0 V.
Le soufre, élément de la troisième ligne, possède des orbitales 3d vides qui lui
permettent une hypervalence. Le nombre de liaisons formées par cet élément
n'est donc pas limité par la règle de l'octet.
On peut raisonner à partir de l'un des deux atomes d'azote et conclure par
symétrie pour la molécule entière.
Penser à la base conjuguée de l'ammoniac.
D'un point de vue thermodynamique, deux espèces, dont les domaines d'existence 
ou de prédominance sont disjoints, ne peuvent coexister : il y a donc
réaction entre elles.

Les conseils du jury
Le rapport souligne que les copies sur cette épreuve ont été globalement
bien rédigées et sont bien présentées ; les candidats semblent par ailleurs
avoir compris les différentes notions mises en jeu. Cependant, le jury précise
qu'« il convient de répondre entièrement aux questions posées, sans négliger
les questions qualitatives, les applications numériques qui doivent comporter
un nombre de chiffres significatifs en accord avec la précision de l'énoncé et
sans oublier l'unité. » Le rapport insiste également sur un « défaut » de 
certaines copies : « Quelques copies ont par ailleurs une rédaction très 
détaillée
ce qui risque de nuire à l'efficacité d'un travail en temps limité. »
La première partie a été globalement bien traitée mais certains candidats
ont voulu « réciter » leur cours sans suivre la progression imposée par l'énoncé
et ils ont ainsi perdu beaucoup de points. L'étude dans le référentiel (R ) 
suivait la même démarche mais a causé beaucoup de soucis. La deuxième partie
a été la moins réussie : c'est principalement la partie de traitement du signal
qui a posé problème, beaucoup d'élèves se lançant dans des calculs 
inextricables. La dernière partie était proche du cours et sans difficulté 
particulière
mais elle s'est révélée très sélective.
Le jury conclut en conseillant aux candidats, « sur ce type d'épreuve,
de commencer par les parties qui semblent les plus abordables (peut-être la
partie III) de façon à gagner en efficacité, pour finir par les questions un peu
plus délicates. »

Problème de physique
Autour de la mesure de la vitesse
I. Célérité des ondes acoustiques et effet Doppler
I.A.

Ondes sonores dans le référentiel (R)

A.1 L'approximation acoustique consiste à considérer que les grandeurs p(x, 
t)/P0 ,
µ(x, t)/0 , v(x, t)/c0 et leurs dérivées sont des infiniment petits du premier 
ordre, et
à simplifier les équations en ne conservant que les termes d'ordre inférieur ou 
égal à 1.
A.2.a L'équation vectorielle d'Euler pour un fluide parfait, en l'absence de 
forces
extérieures appliquées et en négligeant l'effet de la pesanteur, s'écrit

-- 
1 --
-
v

+ (-
v · grad )-
v = - grad P
t

(E1 )

A.2.b Le problème étant unidimensionnel, (E1 ) s'écrit

soit

v
v
1 P
+v
=-
t
x
 x

v
v
(P0 + p)
(0 + µ)
+v
=-
t
x
x

v
v
v
P0 est une constante, v
et µ
sont des termes d'ordre 2 et µv
est un terme
x
t
x
d'ordre 3. On obtient donc
v
1 p
=-
t
0 x

(E2 )

A.3.a L'équation locale de la conservation de la masse a pour expression

+ div (-
v)=0
t

(E3 )

A.3.b Le problème étant unidimensionnel, l'équation (E3 ) se réécrit
  (v)
+
=0
t
x
(0 + µ)
v
(0 + µ)
+ (0 + µ)
+v
=0
t
x
x
v
µ
0 est une constante et les termes µ
et v
sont d'ordre 2. Il vient
x
x
soit

µ
v
= -0
t
x

(E4 )