CCP Physique 1 PSI 2014

Thème de l'épreuve Refroidissement de l'hélium à 1,9 K
Principaux outils utilisés thermodynamique, mécanique des fluides, électrocinétique, hydrostatique, mécanique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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SESSION 2014 PSIP103

.::=_ CONCOURS COMMUNS
POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'énonce', il le
signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

La découverte du boson de Higgs au CERN (Conseil Européen pour la Recherche 
Nucléaire)
n'aurait jamais été possible sans les installations frigorifiques 
perfectionnées nécessaires pour
refroidir en particulier les aimants supraconducteurs du LHC (Large Hadron 
Collider).

Ce problème propose dans une première partie d'étudier, en la simplifiant 
largement, une
installation de liquéfaction de l'hélium à la température de 4,2 K.

Est abordée dans une deuxième partie la modélisation d'un échangeur de chaleur 
dont le but
est d'assurer à l'hélium liquide de rester à la température nécessaire au 
refroidissement des
aimants supraconducteurs.

Dans une troisième partie, est abordé de manière succincte l'écoulement de 
l'hélium dans une
ligne de distribution cryogénique.

La quatrième partie permet d'étudier un procédé de refroidissement de l'hélium 
liquide
permettant de le faire passer de la température de 4,2 K à la température de 
1,9 K.

Une cinquième et dernière partie se propose d'étudier différents procédés de 
mesure et de
contrôle des paramètres température, pression, débit volumique et hauteur du 
bain d'hélium

liquide.

Les différentes parties sont indépendantes les unes des autres.
L'annexe en page 15 regroupe les principales données.

1/15

A -- Etude du cycle de Claude pour la liquéfaction de l'hélium.
A.]. Bilan énergétique d'un système en écoulement.
Un fluide s'écoule en passant de l'état thermodynamique @ à l'état 
thermodynamique @ en

traversant une machine thermique où il échange du travail et de la chaleur. 
L'écoulement est
considéré comme permanent (figure 1).

Î @
Zz --- _»
Ëi
Zl'i @»

Figure 1 : système en écoulement

Pour une masse dm de fluide circulant entre l'état @ et l'état @, le bilan 
énergétique
appliqué à cette masse s'écrit :

deh2 +âcâ +gzâ--(h1 +%°Î +ng)i = ôWu +ôQ

A.1.1. Préciser la signification de chaque terme de la relation précédente.

A.1.2. Réécrire ce bilan énergétique en faisant apparaître les puissances et le 
débit massique
Dm du fluide.

A.2. Cycle de Claude.

On souhaite refroidir de l'hélium selon un cycle de Claude. Dans ce cycle, on 
pré-refroidit
l'hélium avant de le liquéfler partiellement en lui faisant subir une détente 
de Joule-Thomson.
Le principe de la machine thermique est représenté en figure 2, page 3.

On y distingue :

- le compresseur C où l'énergie est injectée pour comprimer l'hélium à 
température
ambiante ;

- une boîte froide thermiquement isolée dans laquelle sont placés les 
différents échangeurs
de chaleur El à ES ainsi que le détendeur D. La boîte froide ne consomme pas 
d'énergie
mais en rejette sous forme mécanique par l'intermédiaire des turbines T1 et T2.

2/15

--«/WWVV\

--WWVW

Circuit d'eau de
refroidissement ®'

Boîte froide

El

E2

E3

E4

@ '

ES

Figure 2 : cycle de Claude

3/15

+ D...
. \--
L + @
V
/
T1 ' WT1
\
A @
V [\ :
u--Î\_\
L A 't
/
T2 ' WT2
\
[\ ©
' A :
Æ-->DmEUR

Au repère @, l'hélium gazeux entre à la pression P2 = 20 bar et à la 
température T1 avec le
débit massique Dm =l 600 g.s_1 .
Une fraction massique X1 du gaz en sortie de l'échangeur El est prélevée pour 
lui faire subir

une détente dans la turbine T1. De même, une fraction massique X2 du gaz 
sortant de
l'échangeur E3 est prélevée pour lui faire subir une détente dans la turbine T2.

Les débits massiques aux repères @ et @ sont donc respectivement :

Dm2 =(l--X1)Dm et Dm4 =(l--XJ(l--X,)D
Le gaz sortant de l'échangeur ES passe dans le détendeur D où il subit une 
détente
isenthalpique, amenant le fluide de la pression P2 = 20 bar (repère @) à la 
pression P1 =l bar
(repère ®).

L'hélium liquide formé avec un débit massique D... est prélevé en sortie.

m |

Le gaz sortant du détendeur passe dans l'échangeur ES (repère .) pour refroidir 
le gaz
circulant à contre-courant. Le gaz sortant de la turbine T2 se rajoute au gaz 
sortant de
l'échangeur ES (repère ©).

De même, le gaz sortant de la turbine Tl se rajoute au gaz sortant de 
l'échangeur E3 (repère
®).

Le compresseur C comprime le gaz de la pression P1 =l bar à la pression P2 = 20 
bar. Un
circuit d'eau de refroidissement permet alors de ramener le gaz à la 
température T1- On injecte

la quantité de gaz nécessaire pour que le débit massique en @ soit à nouveau Dm 
.

Les écoulements dans les différents échangeurs de chaleur sont supposés 
isobares.
On notera :

- hi l'enthalpie massique du fluide dans l'état thermodynamique n (i), 
correspondant sur la

figure 2 au repère noté i ;
- h et hvap l'enthalpie massique de l'hélium liquide et vapeur à la pression 1 ;

- (PTI et (PT, les puissances cédées par les gaz dans les turbines l et 2 
respectivement. Ces

liq

puissances sont utilisées pour entraîner partiellement le compresseur.

On négligera systématiquement les variations d'énergie cinétique et potentielle 
de pesanteur.
Les soutirages et l'injection de fluide se font sans addition de puissance.
Les données relatives à l'hélium sont regroupées en annexe, page 15.

A.2.1. Donner l'expression du débit massique entrant dans le compresseur 
(repère @ ) en
fonction de Dm et D....

A.2.2. En considérant les puissances entrantes et sortantes de la boîte froide, 
écrire une

relation reliant les grandeurs Dm , D h1, h h (PTI et (PT,.

mEUR' 139 liq?

A.2.3. Par un bilan énergétique sur la turbine Tl, écrire une relation entre 
les variables X1 , Dm
(PTI , h2 et hu.

A.2.4. Par un bilan énergétique sur la turbine T2 , écrire une relation entre 
les variables X1 , X2 ,
Dm, (PT,, h4 et h,.

4/15

. . . . D
On défimt le taux de 11quéfact10n de la machme comme le rapport y = Dmé .

m

A.2.5. Montrer que y : h1 _h13 + Xl (hu _hh2 ) +hX2 (1_X1)(h9 _h4)_
13

liq _

A.2.6. En faisant un bilan énergétique sur le premier échangeur de chaleur El, 
exprimer le
débit massique D... en fonction de Dm et des enthalpies massiquesh1 , h,, h12 
et h13.

En déduire la valeur du taux de liquéfaction. Faire l'application numérique.

A.2.7. En faisant un bilan énergétique sur le deuxième échangeur de chaleur, 
exprimer et
calculer la fraction massique x1 .

A.2.8. Par un raisonnement analogue, exprimer et calculer la fraction massique 
x2 .

Vérifier que la relation établie en A.2.5. permet bien de retrouver la valeur 
de y calculée
précédemment.

A.2.9. Relier le titre en liquide x, du mélange diphasé en sortie du détendeur 
aux grandeurs
h6 ' hliq

celle calculée à la question A.2.6.

et hvap . En déduire une nouvelle expression du taux de liquéfaction et 
comparer avec

A.2.10. En déduire l'expression du débit volumique DW de l'hélium liquide formé 
à la
température de 4,2 K et calculer sa valeur que l'on exprimera en L.s'1_

La puissance frigorifique équivalente (Pf est définie comme la puissance à 
prélever au gaz

,eq
froid de débit massique D... pour le liquéfier : (Pf,eq = D...Lvm où Lvm 
représente la chaleur

latente massique de vaporisation.

A.2.11. Calculer la puissance frigorifique équivalente pour l'hélium à la 
température de 4,2 K.
On considère que les puissances ÇPT1 et (PT, , que les gaz cèdent dans les 
turbines T1 et T2,

sont intégralement récupérées par le compresseur.

A.2.12. Donner l'expression de la puissance mécanique @@ qu'il reste à fournir 
au
compresseur pour que celui-ci comprime effectivement le gaz de la pression P1 à 
la pression
P

2 .

A.2.13. En déduire la puissance à fournir à l'installation pour prélever une 
puissance
frigorifique équivalente de 1 kW. Comparer le rendement de l'installation à 
celui du cycle
idéal de Carnot fonctionnant entre les températures TF = 4,2 K et TC = 280 K.

Les installations du CERN sont capables quant à elles de produire plusieurs 
kilogrammes
d'hélium liquide par seconde. Leur rendement par rapport au cycle de Carnot 
atteint 30 %,
soit un des meilleurs rendements possibles actuellement.

5/15

B -- Etude d'un échangeur de chaleur à contre-courant.

B.]. Résistance conducto-convective.

On considère un cylindre creux constitué d'un matériau de conductivité 
thermique %
supposée indépendante de la température, de rayon intérieur R1 et de rayon 
extérieur R2

(figure 3). Un fluide de température T1 occupe l'intérieur de ce cylindre 
tandis qu'un fluide de
température T2 entoure l'extérieur du cylindre.

On note Ts1 la température du cylindre sur sa surface intérieure et TSZ celle 
sur sa surface

extérieure et on considère que la température au sein du matériau ne dépend que 
de la distance
r par rapport à l'axe du cylindre. On néglige les effets de bord (comme si le 
cylindre était
infiniment long selon l'axe des x) et on raisonne sur une longueur L de ce 
cylindre.

L'étude du système se fait en régime permanent.

Ts2JA T2

/ÆÀ\ \\ k \ A
R1 « R2
©). ' (D

L

Figure 3 : échangeur de chaleur

B.1.1. Rappeler l'expression de la loi de Fourier en précisant la signification 
des différentes
grandeurs.

B.1.2. Relier la puissance thermique (DTh au vecteur densité de puissance ÎTh

Que peut-on dire, en régime permanent, de la puissance thermique (DTh 
traversant les surfaces
latérales 27tR1L , 27trL et 27tR2L? Justifier.

B.1.3. Etablir la loi d'évolution de la température T(r) au sein du matériau de 
conductivité

thermique % en fonction de la puissance thermique (DTh .

B.1.4. En déduire la relation entre la puissance thermique (DTh transférée de 
l'intérieur vers

l'extérieur du cylindre et la différence de température Ts1 -- TSZ

B.1.5. Définir et donner l'expression de la résistance thermique RTh du 
cylindre de
conductivité thermique % .

Le transfert de chaleur entre un solide à la température TS et un fluide à la 
température TF se
décrit en introduisant le coefficient de transfert convectif noté hc: la 
puissance thermique
transférée du solide vers le fluide à travers un élément de surface dE est
dOETh =hC(TS--TF)dE. On notera hCl (respectivement hC2) le coefficient de 
transfert
convectif relatif au fluide de température T1 (respectivement T2 ).

6/15

B.1.6. Relier la puissance thermique (DTh transférée en régime permanent du 
fluide intérieur

au fluide extérieur aux différences de température T1 -- Ts1 et TSZ -- T2 .

B.1.7 . En déduire la relation entre (DH et T1 -- T2 . Montrer alors que 
l'expression de la
résistance conducto-convective RCC de l'ensemble est donnée par la relation :
1 1 ln R /R 1
CC = + ( ' ') + .
271:L R1h01 %. R2hCZ

B.2. Modélisation d'un échangeur de chaleur à contre-courant.

Un échangeur de chaleur à contre--courant est modélisé par deux cylindres 
coaxiaux à
l'intérieur desquels circulent les fluides dans des sens opposés (figure 4). Le 
transfert de
chaleur d'un fluide à l'autre se fait au travers du cylindre de rayon intérieur 
R1, de rayon
extérieur R2 et de conductivité thermique % supposée indépendante de la 
température

L'axe x'x de l'échangeur est horizontal. On admettra que la température des 
fluides ne dépend
que de l'abscisse x, que l'évolution des fluides est isobare et qu'il n'y a pas 
de variation
d'énergie cinétique des fluides.
On notera Dmi le débit massique du fluide de température Ti et cpi sa capacité 
calorifique
massique à pression constante.
Le fluide intérieur chaud n°1 entre dans l'échangeur à la température T1(O) = 
Tel et en sort à

la température T1 (L) = TSI. Le fluide extérieur froid entre dans l'échangeur à 
la température

Te (L) = T62 et en sort à la température T2 (0) = T

SZ"

<--D T T x+dx <--D

X

, R2 R _>Dml

x T1(x + dx)

X

_} Dml T1(X

X

Figure 4 : échangeur de chaleur n°2

B.2.]. En exprimant que la puissance thermique cédée par le fluide n°1 est 
celle reçue par le
fluide n°2, établir une relation entre les variations de température T1(x) --T1 
(0) et

T2(x)--T2 (O) .

B.2.2. On note dû) la puissance thermique élémentaire transférée du fluide n°1 
au fluide n°2 à
travers un élément de longueur dx de l'échangeur. En reprenant le résultat de 
la question

B.1.7, montrer que dCD = K {Tl (x) -- T2 (x)] dx et identifier le coefficient K.

Pour Simplifier, on cons1derera pour la su1te que Dmlcpl = szsz = DmcP .

B.2.3. En combinant les résultats des questions B.2.]. et B.2.2., établir 
l'équation
différentielle régissant l'évolution de la température T1 en fonction de x. En 
déduire T1(x) .

B.2.4. En déduire l'expression de T2 (x) .
7/15

C - Perte de charge dans une ligne de distribution cryogénique.

La ligne de distribution cryogénique, acheminant 1'hé1ium liquide aux 
différents aimants, se
modélise par une conduite cylindrique de rayon R et de longueur L.

L'hypothèse d'un écoulement isobare dans une canalisation revient à négliger 
toute résistance
à l'avancement du fluide, c'est-à-dire sa viscosité. Nous considérons ici le 
modèle plus
réaliste de l'écoulement permanent de 1'hé1ium de masse volumique p constante 
et de

viscosité dynamique n .
On note AP = P@ -- PS > 0 , la variation de pression entre l'entrée et la 
sortie de la canalisation.

On montre que la vitesse du fluide évolue en fonction de la distance r par 
rapport à l'axe du

. . . _, AP _,
cyhndre, su1vant la 101 : v = 4--(R2 --r2 ) eX .

nL
C.]. Etablir l'expression du débit massique Dm d'écoulement du fluide.

C.2. Calculer la perte de charge AP pour de l'hélium liquide à T = 4,2 K 
s'écoulant dans
une conduite de rayon R = 0,5 m et de longueur L = 3 km avec un débit volumique

DV = 10 L.s--1 .
C.3. Que deviendrait l'expression du débit massique si la canalisation était 
verticale ?

C.4. Etablir l'expression de la puissance (P que la pompe doit fournir au 
fluide s'écoulant

pompe

dans la canalisation horizontale. Faire l'application numérique.

D - Refroidissement de l'hélium liquide.

On cherche à refroidir l'hélium liquide de la température de 4,2 K à la 
température de 1,9 K.
Cette température est celle à laquelle doivent être maintenus les aimants 
supraconducteurs en
niobium-titane du LHC. Nous allons étudier dans cette partie une façon usuelle 
de procéder,
mais également faire apparaitre un défaut de la méthode.

On notera : VÆ (respectivement VV) le volume molaire du liquide (respectivement 
de la
vapeur)

LV (respectivement LVm) la chaleur latente molaire (respectivement massique) de
vaporisation.
Données: LV =90,4 J.moï', Ti =4,2 K , TF =1,9 K

Pression de vapeur saturante à la température Ti : Pi = 0,992.105 Pa

Capacité calorifique massique de 1'hé1ium liquide : c, = 5,17 M .K_1.kg_1

Masse initiale d'hélium liquide : mi = 100 kg

. . . dP . .
La relat10n de C1apeyron donnée c1--dessous rehe la pente d_T de la courbe 
d'équ1hbre entre

les deux phases en présence dans le diagramme P(T) de la figure 5, page 9, à la 
chaleur
latente de changement d'état.
dP _ L

Pour1'é ui1ibre 1i --fi_va : -----.
q q p dT T(VV--VÆ)

V

8/15

+ Liquide Vapeur

-+ «+

dT
Figure 5 : diagramme d'équilibre (P,T)

D.]. Rappeler ce que représente la pression de vapeur saturante.
On assimile la vapeur à un gaz parfait et on se place loin du point critique de 
sorte que l'on
fera l'approximation vV >> vf . On suppose que LV est constante dans le domaine 
de

température considéré

D.2. On note Pi la pression de vapeur saturante à la température Ti . 
Déterminer l'évolution de
la pression de vapeur saturante en fonction de la température.

On actionne une pompe qui aspire à débit volumique constant DV la vapeur 
saturante
contenue dans le cryostat contenant le mélange liquide-vapeur (figure 6).

OE
_--> Pompe
He
Vapeur
He
Liquide

Figure 6 : pompage hélium gazeux

D.3. Expliquer physiquement pourquoi le fait de prélever la vapeur au-dessus du 
liquide va
conduire à un refroidissement de celui--ci.

D.4. Déterminer le nombre de mole d'hélium vapeur à la température T aspiré par 
unité de
temps.

D.5. Montrer que la puissance thermique prélevée au liquide peut s'écrire sous 
la forme:

L . . .
PTh = --exp [_R_Ë'J et donner l'express1on du coeffic1ent A.

9/15

On fait l'hypothèse que la masse mi d'hélium liquide que l'on veut refroidir 
reste

sensiblement constante durant le processus. On note c f la capacité calorifique 
massique de
l'hélium liquide.

D.6. Ecrire l'équation différentielle régissant l'évolution de la température 
du liquide en
fonction du temps.

D.7. Justifier que l'hypothèse d'une masse de liquide constante ne peut être 
qu'une
approximation. Relier la variation dm de masse du liquide à sa variation dT de 
température

D.8. Le liquide passant de la température Ti à TF , donner l'expression et 
calculer la masse

Am de liquide évaporé. Conclure quant à la validité de l'hypothèse d'une masse 
de liquide
constante.

Sachant qu'un calcul exact conduit à un même ordre de grandeur pour Am , quel 
inconvénient
voyez-vous à cette méthode de refroidissement ?

D.9. Le fonctionnement d'une pompe à palettes est représenté sur la figure 7. 
On note f la

fréquence de rotation du rotor et AV le volume aspiré à chaque demi--tour.
Donner l'expression du débit volumique moyen de la pompe

aspiration

/\

f'\

Etat 1 Etat 11
refoulement

A

&

Etat III Etat IV

Figure 7 : pompe à palettes

10/15

E -- Contrôle des différents paramètres.
E.]. Contrôle de la température -- correction hydrostatique.

On contrôle la température de l'hélium liquide à l'aide d'un thermomètre à 
tension de vapeur.
Le principe est de mesurer la pression de vapeur saturante pour en déduire la 
température du
liquide.

Le thermomètre à tension de vapeur est constitué d'un bulbe en cuivre contenant 
le mélange
diphasé, relié par un capillaire à un capteur de pression à température 
ambiante (figure 8).

Z T
A \ A
manomètre

'

h--- -- T

(_Hé_\

vapeur

He
liquide
\_/

Figure 8 : thermomètre à tension de vapeur

E.1.1. Le capteur de pression mesure-t-il la pression de vapeur saturante au 
niveau du
liquide ? Expliquer.

Le capteur de pression est à la température ambiante Ta et le bain d'hélium 
liquide à la

température TF. On suppose que la température de l'hélium gazeux évolue 
linéairement le

long du capillaire de hauteur h : T (z) : TF + ( T' LTF )z = TF + ocz .
On assimile l'hélium gazeux à un gaz parfait de masse molaire M.

E.1.2. Ecrire la condition d'équilibre d'une tranche de gaz soumise au champ de 
pesanteur g
. . , . . dP !
et compr1se entre les alt1tudes z et z + dz. En dedu1re la relat10n entre d_ , 
g et la temperature
z

T(z) du gaz parfait.

E.1.3. Déterminer la pression Pcap détectée par le capteur de pression en 
fonction de la

pression de vapeur saturante PV (TF) au niveau du liquide et des variables M, 
g, 06 et R.

11/15

E.1.4. Calculer la variation de pression AP = PV (TF ) --Pcap pour la 
température du bain
d'hélium liquide TF = 4,2 K.
On prendra: PV = 0,9923.105 Pa , h =1m) g =9,8 m.s_2 et Ta =300 K.

E.1.5. En s'aidant de la relation de Clapeyron, en déduire une estimation de la 
correction AT à
apporter pour la détermination de la bonne température du liquide.

E.2. Mesure des faibles pressions.

Le capteur de pression utilisé est un capteur à variation de capacité (figure 
9). Une membrane

flexible se déforme sous l'effet de la pression, faisant varier la distance 
entre son centre et une

membrane fixe de surface S. Une différence de potentiel est appliquée entre la 
membrane

flexible et la membrane fixe et on peut considérer que l'ensemble se comporte 
comme un

condensateur plan de section S et d'épaisseur variable e.

On rappelle que la capacité d'un condensateur plan de section S et d'épaisseur 
e est C = ELS .
e

On note eo la distance entre la membrane fixe et la membrane non déformée (P = 
O) .

L
' '

EUR

{&

60
Figure 9 : capteur de pression

On admet que la variation d'épaisseur Ae=eO--e est proportionnelle à la 
variation de
pression: Ae = oc(P--Poef). L'ultravide a été réalisé dans la chambre contenant 
l'armature

fixe, de sorte que Pref ... 10_4 Pa << P . On écrira donc Ae = ocP .

Données: S=1 cm2, eo =0,2 mm, 80 =8,85.10_12 F.m_l, oc=1,6.10_9 m.Pa_l.

E.2.1. Calculer la variation relative de capacité Ê--C pour une pression 
mesurée de 100 Pa à
0
partir de la pression nulle.

E.2.2. Sachant que le détecteur permet de mesurer une variation de capacité
AC = 2,5105 pF, estimer la pression minimale que peut mesurer ce détecteur.

12/15

E.3. Contrôle du débit volumique du liquide.
Le débit d'écoulement du fluide est mesuré à l'aide d'un débitmètre à ultrasons 
(figure 10).

Deux transducteurs acoustiques piézoélectriques situés en A et B jouent 
alternativement le
rôle d'émetteur et de récepteur d'onde ultrasonore. Ils permettent de mesurer 
précisément les

temps de propagation t AB et tBA de l'onde sonore de A à B et de B à A 
respectivement.

........................... ........................... ........ .............
E ' A+ {; m

\! A

Figure 10 : débitmètre à ultrasons

On considère que le fluide s'écoule dans la canalisation avec une vitesse 
moyenne vm .

On note L la distance entre les deux transducteurs et (p l'angle constant entre 
le vecteur

vitesse vm et le vecteurAB.

Le son étant une onde de compression, l'onde sonore est entraînée par le fluide 
en
mouvement. La vitesse du son dans un référentiel où le fluide est mobile suit 
la loi de
composition des vitesses de la mécanique classique.

On note c la célérité de l'onde sonore lorsque le fluide est au repos dans le 
référentiel d'étude.

E.3.]. Donner l'expression de la vitesse vAB de l'onde sonore dans le fluide en 
mouvement
pour l'onde se déplaçant du capteur A au capteur B.

E.3.2. Donner l'expression de la vitesse vBA de l'onde sonore dans le fluide en 
mouvement
pour l'onde se déplaçant du capteur B au capteur A.

E.3.3. Donner l'expression de la vitesse moyenne d'écoulement du fluide en 
fonction de L ,
(p , t AB et tB A . En déduire l'expression du débit volumique DV du fluide.

E.4. Contrôle de la hauteur h d'hélium liquide dans le cryostat.

La mesure du niveau de l'hélium dans le cryostat est réalisée en mesurant la 
résistance d'un
fil supraconducteur partiellement plongé dans l'hélium liquide (figure 11, page 
14). La
supraconductivité est la manifestation de l'annulation de la résistance 
électrique en dessous
d'une certaine température dite critique.

La partie immergée dans le liquide est supraconductrice et n'a aucune 
résistance. La partie

située dans le gaz est résistive. Le fil électrique de longueur totale L, plié 
en deux (cf. figure
11), plonge dans l'hélium liquide de hauteur h comme représenté sur la figure 
ci-après.

13/15

TT_ @

A
EUR Résistance
/ \
@ t"*
_1 @
TF _ " He
h liquide
\ J

Figure 11 : contrôle niveau d'hélium
E.4.1. Rappeler l'expression de la loi d'Ohm locale.

E.4.2. On raisonne en régime continu de sorte que la densité volumique de 
courant se
répartisse uniformément sur la section transverse S. Démontrer l'expression de 
la résistance

électrique d'un conducteur homogène de résistivité électrique peÉ , de longueur 
L et de
section S.

E.4.3. En supposant peÉ constant pour la partie conductrice, donner 
l'expression de la
résistance du fil en fonction de la hauteur h.

On mesure précisément la résistance électrique par le montage dit à quatre fils 
(figure 12). Les
quatre fils ont la même résistance r. La sonde est alimentée avec un faible 
courant I. La
mesure de la tension aux bornes de la résistance R à déterminer est effectuée 
par
l'intermédiaire de deux fils reliés au voltmètre. Le voltmètre est supposé 
d'impédance
d'entrée suffisamment grande pour que l'on puisse supposer qu'aucun courant ne 
le traverse.

Figure 12 : montage à quatre fils

E.4.4. Expliquer comment on détermine la résistance R dans ce montage.
La résistance r des fils intervient-elle ?

14/15

ANNEXE

0 Masse molaire de l'hélium : M = 4 g.mol"1

. Constante des gaz parfaits : R = 8,31 ] .K"1.mol"1
. Viscosité dynamique de l'hélium à T = 4,2 K : n = 3, 610"6 Pa.s

. Célérité du son dans l'hélium liquide à la température T = 4,2 K : c = 178 
ms--

Données relatives à l'hélium à l'état diphasé

Température T = 4, 2K Masse volumique Enthalpie
(kg.m_3 ) (kJ .kg_1 )
Liquide 125,4 9,90
Vapeur 16,49 30,74
Température T = 1, 9K Masse volumique Enthalpie
(kg.m_3 ) (kJ .kg_1 )
Liquide 145,5 1,186
Vapeur 0,609 24,63

Données relatives à l'hélium à l'état gazeux

1

Etat Pression Température Enthalpie
(bar) (K) (kJ.kg1 )

1 20 280 1 476
2 20 200 1 060
3 20 100 540,3
4 20 50 277,4
5 20 20 110,5
6 20 7,15 29,3
7 1 4,2
8 1 4,2 30,74
9 1 19,9 118
10 1 45,2 250
11 1 98,5 527,2
12 1 193 1 017,9
13 1 277 1 454,2
14 20 370 1 900

Fin de l'énoncé

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Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tom Morel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Louis Salkin (ENS Cachan) et Vincent Freulon (Professeur en CPGE).

Ce sujet analyse une installation frigorifique de refroidissement de l'hélium 
liquide.
Ses cinq parties sont indépendantes.
· La première partie est consacrée au cycle thermodynamique de Claude, qui 
permet de refroidir l'hélium liquide. À l'aide de bilans énergétiques, on 
détermine
le rendement de l'installation.
· L'étude d'un échangeur à contre-courant fait l'objet de la deuxième partie. On
s'intéresse à la notion de résistance conducto-convective thermique, puis on
modélise l'échangeur. L'énoncé s'appuie sur des notions de thermodynamique
telles que la diffusion thermique.
· La troisième partie concerne l'écoulement de l'hélium liquide dans une 
conduite
cylindrique. On y utilise des raisonnements simples de mécanique des fluides
faisant intervenir la perte de charge, les débits volumique et massique,...
· La quatrième partie aborde une méthode de refroidissement de l'hélium liquide
par pompage de la vapeur. En partant de la formule de Clapeyron, on détermine
la puissance thermique prélevée au liquide ainsi que la masse liquide perdue par
évaporation.
· Pour finir, dans la cinquième partie, on s'intéresse à différentes méthodes de
contrôle de paramètres tels que la température, la pression, la vitesse 
d'écoulement et la hauteur de liquide. Cette partie utilise de nombreuses 
notions
d'hydrostatique, d'électrocinétique et de mécanique du point.
De longueur raisonnable pour une épreuve CCP, ce sujet présente cependant une
difficulté : les parties compliquées se situent en début d'énoncé. Il faut vous 
habituer
à lire en entier les sujets pour traiter d'abord les parties où vous vous 
sentez à l'aise.
D'ailleurs, beaucoup de résultats intermédiaires sont donnés, ce qui permet 
d'avancer
sans même avoir répondu à toutes les questions.
Vous pouvez utiliser ce sujet pour réviser la thermodynamique (bilans 
énergétiques, diffusion thermique) et l'électrocinétique. Toutes ses questions 
sont conformes
au nouveau programme.

Indications
A.1.2 Par définition,

Dm =

dm
dt

A.2.1 Utiliser la conservation du débit massique.
A.2.2 Déterminer les enthalpies Dmi hi entrante et sortante. En outre, les 
puissances
reçues par le système sont -PT1 et -PT2 .
A.2.3 L'enthalpie massique h n'est pas une grandeur extensive alors que Dm h 
l'est.
A.2.9 Le titre en liquide s'écrit x = Dm /Dm7 . Introduire ensuite le taux de 
liquéfaction y dans l'expression de x .
A.2.12 Par un bilan énergétique au niveau du compresseur, déterminer la 
puissance
du compresseur sans apport extérieur d'énergie.
B.1.3 Utiliser le fait que Th est constant.
B.1.6 Le transfert thermique se fait réellement du fluide 1 vers le solide donc 
le
solide reçoit du fluide 1
Th = -hC1 (TS1 - T1 ) 2 R1 L
B.1.7 Introduire tous les flux avec la relation
T1 - T2 = T1 - TS 1 + TS 1 - TS 2 + TS 2 - T2
B.2.1 La différence de température est T1 (0)-T1 (x) pour le fluide 1 et T2 
(x)-T2 (0)
pour le fluide 2.
C.3 Ajouter la pression hydrostatique.
C.4 Utiliser une analogie électrique.
D.5 Le nombre de particules aspirées par unité de temps est donné par
P Th
dn
=
dt
Lv
D.7 Écrire le premier principe en considérant que l'énergie reçue est dm Lv .
D.8 Résoudre avec la méthode de séparation des variables.
E.2.1 Prendre le logarithme de l'expression puis la différentier.
E.3.1 Le fluide possède une vitesse v m cos  de A vers B.
E.3.2 Le fluide possède une vitesse -v m cos  de B vers A.
E.4.2 La résistivité électrique et la conductivité électrique sont reliées par 
el =

1
.
 el

A.1.1 Dans le bilan énergétique, on a pour le système constitué de la masse dm :
· Wu , le travail reçu autre que le travail de transvasement, appelé « travail
utile » ;
· Q, l'énergie thermique reçue ;
· h dm, l'enthalpie ;
c2
· dm , l'énergie cinétique ;
2
· z dm g, l'énergie potentielle de pesanteur.
A.1.2 Par définition, Wu = PW dt et Q = PQ dt où PW est la puissance mécanique 
utile reçue par le fluide et PQ la puissance thermique reçue. De même, le débit
massique est défini par
dm
Dm =
dt
Le bilan énergétique se réécrit

1 2
1 2
Dm h2 + c2 + gz2 - h1 + c1 + gz1 = PW + PQ
2
2
A.2.1 Au point de repère 14, le débit massique est de nouveau Dm . La 
conservation
du débit massique impose
Dm13 + Dm = Dm
d'où

Dm13 = Dm - Dm

A.2.2 Le système reçoit -PT1 - PT2 . En négligeant les variations d'énergies 
cinétique et potentielle de pesanteur, le premier principe s'écrit
Dm13 h13 + Dm hliq - Dm h1 = -PT1 - PT2
Avec l'expression de la question A.2.1, on arrive à
Dm (h13 - h1 ) + Dm (hliq - h13 ) = -PT1 - PT2
A.2.3 De même, le premier principe appliqué à la turbine 1 donne
Dm11 h11 - Dm12 h12 = -PT1
Or Dm11 = Dm12 = x1 Dm et h12 = h2 . Ainsi,
x1 Dm (h11 - h2 ) = -PT1
L'enthalpie est une grandeur extensive mais l'enthalpie massique h ne l'est
pas car cette dernière est le rapport de deux grandeurs extensives.
A.2.4 Le bilan énergétique sur la turbine 2 s'écrit
Dm9 h9 - Dm10 h10 = -PT2
Or h10 = h4 et Dm9 = Dm10 = x2 (1 - x1 ) Dm , donc
Dm x2 (1 - x1 ) (h9 - h4 ) = -PT2

A.2.5 Remplaçons les expressions de PT1 et de PT2 des questions précédentes dans
la relation obtenue à la question A.2.2 :
Dm (h13 - h1 ) + Dm (hliq - h13 ) = x1 Dm (h11 - h2 ) + x2 (1 - x1 ) Dm (h9 - 
h4 )
ce qui se réécrit en introduisant y = Dm /Dm
(h13 - h1 ) + y (hliq - h13 ) = x1 (h11 - h2 ) + x2 (1 - x1 ) (h9 - h4 )
d'où

y=

x1 (h11 - h2 ) + x2 (1 - x1 ) (h9 - h4 ) + h1 - h13
hliq - h13

A.2.6 Au niveau du premier échangeur, il n'y a ni transfert thermique ni 
travail.
Le premier principe impose donc
Dm (h2 - h1 ) + Dm13 (h13 - h12 ) = 0
Or Dm13 = Dm - Dm d'après la question A.2.1. L'expression précédente se réécrit
h2 - h1 + h13 - h12
h13 - h12

h2 - h1 
= Dm 1 +
h13 - h12

Dm = Dm
Ainsi,

Dm

ce qui donne

y =1+

h2 - h1
= 4,65 × 10-2
h13 - h12

A.2.7 De même, sur le deuxième échangeur,
Dm (1 - x1 ) (h3 - h2 ) + Dm13 (h12 - h11 ) = 0
Avec l'expression de Dm13 tirée de la question A.2.1, on a
x1 Dm (h3 - h2 ) = Dm (h3 - h2 ) + (Dm - Dm ) (h12 - h11 )
donc

x1 = 1 + (1 - y)

h12 - h11
= 9,97 · 10-2
h3 - h2

A.2.8 Appliquons le bilan énergétique sur le quatrième échangeur pour faire 
apparaître x2 :
Dm4 (h5 - h4 ) + Dm9 (h10 - h9 ) = 0
avec Dm9 le débit massique entrant dans l'échangeur au point de repère 9. On a
Dm4 = (1 - x1 ) (1 - x2 ) Dm ; déterminons l'expression de Dm9 .
Par conservation du débit au niveau de l'intersection du deuxième échangeur,
Dm12 = Dm9 + Dm11
avec Dm12 = Dm13 et Dm11 = x1 Dm . La conservation du débit se réécrit
x1 Dm + Dm9 = Dm13 = Dm - Dm
d'où

Dm9 = (1 - x1 ) Dm - Dm

Le bilan énergétique donne alors

(1 - x1 ) (1 - x2 ) Dm (h5 - h4 ) + (1 - x1 ) Dm - Dm (h10 - h9 ) = 0