CCINP Physique 1 PSI 2013

SESSION 2013 PSIP103

-î- CONCOURS COMMUNS

'=' POLYTECHNIQUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

N .B . : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, a la 
précision et a la concision de
la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être 
une erreur d 'e'nonce', il le

signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les 
raisons des initiatives
qu 'il a été amené à prendre.

Les calculatrices sont autorisées

Le sujet comporte 12 pages.

1/12

PROBLEME A : quelques instruments utilisés en aviation légère

Ce problème a pour but d'étudier les principes physiques intervenant dans 
quelques instruments de
bord d'un avion : l'anémomètre, le compas, l'altimètre, le variomètre et 
l'indicateur de virage.

Unités couramment utilisées en aéronautique :

. Mille nautique (Nm) : 1 Nm = 1 852 m
. Noeud(kt)z1kt=le/h
. Pied (ft) : 1 ft = 0,30 m

L'anémomètre (badin)

Le dispositif utilisé pour déterminer la vitesse par rapport à l'air est \ \ , 
,,
r o - - , , 2 '

appele badm en France (figure 1). La v1tesse de l'av1on est generalement " 16° 
° 40
, , \ ' ' ' , '

mesurée en noeuds. L'anemometre donne la v1tesse md1quee. Cette _14o »

vitesse correspond à la << vitesse propre » à la pression de 1 013 hPa (au niveau de la mer en atmosphère standard) et à la température de 15 °C. La << vitesse propre » est la vitesse de l'avion par rapport à l'air environnant. Avec la baisse de la densité de l'air, la vitesse propre est supérieure à la BED '<2° ..":Lî / 100 8° ""il;--;{; \! vitesse indiquée (une approximation peut être faite en ajoutant 1 % par tranche de 600 pieds au-dessus de la surface isobare 1 013 hPa). Figure 1 : anémomètre A.] Un avion vole au niveau de vol FL60, ce qui signifie qu'il vole à 6 000 pieds au-dessus de l'isobare 1 013 hPa. Le badin indique 150 kt. Quelle est alors sa vitesse vraie en km/h ? Principe de fonctionnement de l'anémomètre A.2 Rappeler le théorème de Bernoulli de la dynamique des fluides ainsi que les hypothèses sous- jacentes. L'anémomètre est en fait un manomètre différentiel (tube de Pitot de la figure 2 placé sous le fuselage de l'avion) : il mesure la différence entre la pression totale Pt exercée par l'air entrant dans l'orifice avant au point A (somme de la pression au point B, PS, dite << statique >> et de la quantité

-- v2, d1te ressmn«d nam1 ue >> et la ressmn de l'or1fice lateral au omt B.
2,0 P Y q P P

manomètre
différentiel
pression
totale
B
A / --|l
\ 41

Figure 2 : tube de Pitot

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pression
statique

A.3 En utilisant le théorème de Bernoulli à l'air, relier PA à PB en notant V 
la vitesse de l'avion
par rapport à l'air. A quelle condition sur V peut-cn établir cette relation ? 
En déduire
l'expression de la vitesse V en fonction de la pression totale P; et de la 
pression statique P,.

L'avion doit suivre une route vraie rectiligne d'une ville D vers une ville E. 
Les deux villes sont
situées sur un même parallèle La ville D est située à l'ouest de la ville E. Le 
vent souffle de
manière uniforme du nord vers le sud avec une vitesse par rapport au sol de 20 
kt (noeuds). La
vitesse indiquée par le badin est de 100 kt.

A.4 On appelle Crn (cap magnétique) l'angle que forme l'axe longitudinal de 
l'avion (dans le sens
queue -- nez) par rapport à la direction du Nord magnétique terrestre. L'avion 
étant entrainé
par le vent, calculer numériquement cet angle Crn ainsi que la vitesse Vs de 
l'avion par
rapport au sol. On pourra faire un schéma représentant la situation et on 
rappellera la loi de
composition des vitesses.

Le compas

Le cap magnétique est mesuré grâce au compas (boussole). Il s'agit d'un petit 
barreau aimanté fixé
à une rosace baignant dans un liquide. Un trait -- la ligne de foi -- 
matérialise l'axe queue--nez de
l'avion.

A.5 On montre que les lignes de champ magnétique d'un dipôle magnétique sont 
les mêmes que les
lignes de champ électrique d'un dipôle électrique. Si on suppose qu'au centre 
de la Terre la
distribution volumique des courants se comporte comme un dipôle magnétique, 
tracer l'allure
des lignes de champ autour de la Terre. On précisera leur orientation ainsi que 
les pôles
magnétiques.

A.6 Est-ce que le compas est utilisable lors d'une accélération ? On pourra 
s'intéresser à deux cas
particuliers : l'accélération longitudinale lors d'une augmentation de vitesse 
puis à une
accélération radiale lors d'un virage.

Pour quel(s) mouvement(s) de l'avion le compas est-il alors utilisable ?

A.7 Un avion doit suivre une route magnétique au cap 090 (c'est-à-dire vers 
l'Est). Le vent lui fait
subir une dérive de 5° vers la droite. Quelle indication doit afficher le 
compas pour que
l'avion suive la bonne route ?

L'altimètre

L'altimètre fournit une indication appelée << altitude-pression >>. En effet, 
la mesure par l'instrument
est basée sur la décroissance de la pression atmosphérique lorsque l'altitude 
augmente. L'altimètre
est en réalité un baromètre gradué en altitude.

A.8 Afin de comprendre le principe de l'altimétrie, nous allons étudier le 
modéle suivant
d'atmosphère : air considéré comme un gaz parfait, à l'équilibre dans le champ 
de pesanteur
uniforme â. On notera (OZ) la verticale d'origine le sol. En raisonnant sur un 
petit élément
d'atmosphère à l'équilibre, établir la relation différentielle liant la 
pression P(Z) à la masse
volumique p(z) de l'air et à l'accélération de la pesanteur.

A.9 Donner la relation entre la masse volumique p de l'air, la masse molaire 
moyenne M, la
température T, la pression P et la constante de Joule R.

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A.10 En supposant la température constante égale à T 0, montrer que le champ de 
pression s'écrit :

P( 2 ) =POe_%i où P0 est la pression atmosphérique au niveau du sol et H une 
constante à

déterminer en fonction de M, g, R et T 0. Que représente physiquement H ?
Calculer numériquement H avec les valeurs suivantes :
M= 29 g.mol", g = 9,8 m.s'2, R = 8,3 J.K".mol" et T0 = 298 K.

A.11 En aéronautique, on a l'habitude, pour simplifier, de dire que la pression 
chute de l hPa pour
28 ft (pieds). Montrer que ce résultat est cohérent avec le résultat précédent 
pour des faibles

altitudes.

En fait, la température diminue lorsque l'altitude augmente On supposera que la 
température
diminue de 0,65 °C pour 100 m. La température au sol sera prise égale à T 0 = 
288 K.

A.12 En écrivant la température T (2) sous la forme T (2) = T 0 (l- az), donner 
la valeur numérique
de la constante 0t.

A.13 En aéronautique, on utilise l'atmosphère << normalisée >> ISA 
(International Standard
Atmosphere) qui tient compte des valeurs moyennes sur des points du globe 
terrestre à la
latitude 45O nord (tableau 1).

Altitude (m) 0 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000
Pression (hPa) 1 013 955 900 845 794 746 700
Température (°C) 15,0 12,0 8,5 5,5 2,0 - 1,0 - 4,5
Altitude (m) 3 500 4 000 5 000 6 000 7 000 8 000 9 000
Pression (hPa) 658 617 541 471 411 357 307
Température (°C) - 7,5 - 11,0 - 17,5 - 24,0 - 30,5 - 37,0 - 43,5

Tableau 1 : atmosphère normalisée ISA

Par une régression linéaire (ou par une représentation graphique), vérifier que 
la température
est bien du type T(Z) = TO (1- az).

A.14 On souhaite connaitre le gradient de pression % pour les différentes 
valeurs de z données

dans le tableau. Expliquer comment estimer simplement ces valeurs à partir des 
données
numériques. Donner une estimation de ce gradient de pression à l'altitude de l 
000 m.

A.15 On peut montrer que la pression P suit la relation P(Z) = PO (1 - flz)" où 
fl = 2,26.10'5 m".

Quelle courbe doit-on tracer (quelle grandeur représente-t-on en ordonnée et 
quelle grandeur
en abscisse) pour vérifier cette loi ? Par une régression linéaire ou par une 
représentation
graphique, donner une estimation de la puissance 5. Le candidat expliquera 
correctement la

démarche suivie.

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Principe de fonctionnement de l'altimètre

L'élément de base de l'altimètre est une capsule barométrique (appelée capsule 
de Vidi) constituée
de deux parois circulaires de diamètre 40 a 60 mm séparées par une paroi qui se 
comporte comme
un ressort. Il règne à l'intérieur de cette capsule un vide poussé. Cette 
capsule est placée dans un
boîtier où règne la pression extérieure qui écrase donc la capsule et ainsi 
comprime le ressort. Les
variations de volume de la capsule sont amplifiées et transmises à un levier 
pour afficher le résultat
(figure 3).

capsule

., - Î"-F-'Ï=Ê-g'æ\'

arrivée de la
prise statique

fenêtre de calage altimétrique

bouton de réglage de la pression de calage

Figure 3 : altimétre

A.16 Montrer que la compression du ressort est proportionnelle à la pression 
régnant dans le boîtier.
On pourra faire un schéma.

A.17 Quand l'atmosphère est très froide, l'indication de l'altimètre est-elle 
sur ou sous--évaluée ?

Le variomètre

A.18 La pression statique PS varie avec l'altitude selon la loi de 
l'hydrostatique. Rappeler cette loi
dans le cas d'un champ de pression ne dépendant que de z dans le champ de 
pesanteur

S

uniforme. Montrer alors que la vitesse verticale VZ est proportionnelle à . On 
précisera la

constante de proportionnalité.

S

Le variomètre est donc un manomètre différentiel qui doit évaluer . Il est 
aussi basé sur une

capsule de Vidi. La figure 4, page suivante, présente un écorché du variomètre 
et la figure 5 un
schéma simplifié.

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capsule

orifice calibré
arrivée directe pression statique

Figure 4 : variomètre

surface déformable
prise statique
tube capillaire ressort (k)
--E PB (;) Ps (i) :
capsule de Vidi

Figure 5 : schéma simplifié du variomètre
A.19 La pression dans la capsule est égale instantanément à la pression 
extérieure P, de l'air. A
cause du capillaire, la pression PB dans le boîtier varie très lentement dans 
le temps : il y a un

effet de retard. Ainsi, la pression PB à l'instant t est égale àla pression P, 
à l'instant t - T.

A quel phénomène physique est dû cet effet de retard ? Montrer que la 
déformation du ressort

. . . , dP
de ra1deur k est env1ron proport10nnelle a d S .
{

A.20 Un avion en approche finale pour atterrir doit descendre en suivant un 
plan d'angle oc par
rapport à l'horizontale, tel que tan oc = 5 % (on parle de pente à 5 %). Sa 
vitesse indiquée par
le badin est stabilisée à 80 kt (noeuds). Quelle doit--être l'indication du 
variomètre en
pieds/minute (ft/min) pour qu'il en soit ainsi ?

L'indicateur de virage

L'indicateur de virage mesure le taux et le sens du virage. On appelle taux de 
virage la vitesse de
changement de cap de l'avion. Le virage est dit standard ou taux = 1 si l'avion 
effectue 3600 en 120
secondes.

A.21 Considérons un avion effectuant un virage circulaire en palier (sa 
trajectoire reste parallèle au
sol) à la vitesse V. Pour réaliser ce virage, il faut incliner l'avion d'un 
angle d) (ce qui signifie
que le plan moyen des ailes est incliné de d) par rapport au plan horizontal). 
Le profil des ailes
est responsable des forces aérodynamiques, dont la portance. La portance est la 
composante
orthogonale (de ces forces aérodynamiques) au vent relatif de l'avion qui 
permet à ce dernier

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d'être sustenté. L'avion est soumis en tout a 4 forces (en négligeant la 
poussée d'Archimède).
Quelles sont ces forces ? Faire un schéma en vue de derrière lorsque l'avion 
est incliné pour
effectuer un virage à gauche. On représentera les vecteurs orthogonaux aux 
plans de la figure
par une croix dans un cercle (vecteur s'enfonçant dans le plan de la figure) ou 
un point dans
un cercle (vecteur sortant du plan de la figure). On travaillera dans le 
référentiel terrestre
supposé galiléen.

A.22 Etablir l'expression de l'accélération sur un cercle de rayon R lorsque le 
point matériel est
animé d'une vitesse uniforme V.

A.23 En appliquant le principe de la dynamique à l'avion, supposé ponctuel, 
établir la relation entre
le rayon R du virage, la vitesse V de l'avion et la tangente de l'angle 
d'inclinaison d).

A.24 Un avion effectue un virage à l'inclinaison d) = 30 ° a la vitesse V = 100 
kt. Que vaut le rayon
du virage ainsi que le temps pour effectuer un tour complet ? On prendra g = 
9,8 m/s2.

Une lourde roue (c'est-à-dire un gyroscope) tourne très vite autour d'un axe. 
Un gyroscope a la
propriété de garder l'orientation de son axe fixe dans l'espace.

On appelle L le moment cinétique de la roue, calculé en son centre, dans le 
référentiel du sol. Si
l'avion tourne avec le vecteur rotation 9 , alors, par réaction, le bâti relié 
a la roue est soumis au
moment appelé couple gyroscopique M = L /\ Q.

A.25 Dans la figure 6, quels sont les directions et sens du vecteur Ï ? Si 
l'avion tourne vers la

droite, quels sont les directions et sens du vecteur Ô ? En déduire dans quel 
sens (D ou G) va
s'incliner la maquette d'avion de l'indicateur. Le candidat devra argumenter 
soigneusement !

sens de rotation
de la roue gyroscopique

système d'inversion et
de transmission

axe longitudinal de l'avion

Figure 6 : indicateur de virage

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PROBLEME B : sismomètre vertical de Wiechert

Pour étudier les séismes, on a développé au début du vingtième siècle des 
sismomètres afin
d'enregistrer les mouvements du sol. On étudie ici le modèle vertical d'Emil 
Wiechert, construit à
Gôttingen, qui a fonctionné à Strasbourg jusqu'en 1968.

Amortisseur pneumatique du sismomètre

Un récipient, cylindre d'évacuation de rayon R = 1 mm et de longueur L = 50 mm, 
est rempli d'air,
de viscosité dynamique 77=l8-10_6 Paz-s. On considère l'air comme 
quasi-incompressible (peu
déformé durant l'écoulement), de masse volumique po constante. La génératrice 
du cylindre est un

axe Oz. Une extrémité de ce cylindre d'évacuation, en z = L, est ouverte sur 
l'atmosphère, à
pression fixe PA, l'autre extrémité, en z = O, est plongée dans une chambre à 
pression Pc. Cette
chambre est uniquement ouverte sur le cylindre d'évacuation, sa forme est 
également cylindrique et
sa base est un disque de rayon R' = 90 mm, de surface S. Du côté opposé au 
cylindre d'évacuation,
la paroi de cette chambre, disque de rayon R' de masse négligeable, est mobile 
et se déplace
perpendiculairement à elle-même à la vitesse Vp. En dehors de l'air dans la 
chambre, le seul contact
sur la paroi est un axe à l'extérieur, solidaire de la paroi mobile, qui exerce 
une force F
perpendiculaire à la paroi. Le reste des parois de la chambre et le cylindre 
d'évacuation sont un
ensemble indéformable (figure 7). L'ensemble paroi mobile et axe coulisse sans 
frottements dans la
chambre, sans écoulement d'air autour de cette paroi mobile.

/;\
i
tube d'évacuation R' : tige fixée àla paroi mobile

i

ression P | "" ' F

p , A Al 'i'r ËR 0: E \\ <--P _ | _ Z | press1on ' P \ VP Z _ L Z = 0 c \ paroi mobile ) chambre Figure 7 : amortisseur du sismomètre B.] Ecrire le lien entre la force exercée sur la paroi, la pression Pc qui règne dans la chambre et la pression de l'atmosphère PA. On supposera que la paroi mobile est constamment à l'équilibre car sa masse est négligeable. B.2 Comment écrire la condition pour la pression qui permet de négliger les variations de masse volumique ? On considérera que l'air se comporte comme un gaz parfait en évolution réversible adiabatique. On notera po la masse volumique de l'air à la pression atmosphérique et pla masse volumique de l'air lors de la transformation. Pour finir, on notera P la pression -- P -- P . M : ;ç--A où l'on expr1mera le po P A coefficient K en fonction du coefficient 7 des gaz parfaits de l'air lors de la transformation et on montrera que : 8/12 w.... Ëoä...ää Êa ...@ %...v: Eäoe5£o a.oeW ...... 5203 ::a 3235 &: Sa...--58 wæ%oes&Ê...oerä ...... AONV om" ...:Êwoezmæä @@ _m ©8Eo: N. --w.A m...êaäQ :... %...v: 5oeoeoefiflo %...5 9Ëm :... 8È:&.o o...... 35253 &... ...m <...8oeoeoe s...... %... ...m 38... Bov=o. w.... ?.moOEQ ...@m oo:&üoä Ëx @o:ümää ©oE ...» <...8oeoeo mg #5 ...Ëô...oe &: 8Èsaä... mEoe... as...... ......oE ...m Ëämm...ob » ......oäâo &: o%::mä m...Ëma aËm ?... o:oeäïa % N n o... 3 ...... ...» moa"... m...Êmo aËm ......ääoëää @: N H @. w.a Ëmoofiaäoä Odoä... ...... ......ËËQË @@ Zoe<...Q oe8w8 ... lv IvN " lv b Wlw+%Ëà ...1 +ëä>m HISU+OE>@.

05 83590 38 mooEoäoe5$ 55%... o@ _o 835 ...:OEàOE... .... oeËo:o... ooe» 
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25

Asservissement mécanique -- Sismomètre de Wiechert

Le sismomètre pendulaire (figure 8) consiste en un bloc de masse m = 6 tonnes, 
suspendu à deux
ressorts verticaux, chacun ayant une raideur k. Les ressorts sont solidaires 
d'un bâti rigide fixé à la
Terre en profondeur. Les tiges EN, IH et KL sont considérées comme 
indéformables et de masse
négligeable. La tige supérieure LM peut coulisser horizontalement sans 
frottements sur des
roulements, elle est fixée à la tige mobile KL au point L. Ses extrémités sont 
fixées respectivement à
l'amortisseur et a un système d'enregistrement de position (stylet ou bobine 
perpendiculaire au plan
du schéma, d'axe central selon x).

_ galvanomètre aimant
amortisseur

L Mi\ @

EOEK$- 1 ? b/obÊe x

tm
% .

//////...//////

Figure 8 : sismomètre pendulaire

B.13 Exprimer le rapport entre la force Fr exercée par le ressort sur la masse 
et la distance 25 - ZA.
Exprimer ce rapport à l'équilibre, sans tension dans le câble EN ni mouvement.

On a alors 25 - ZA = 2D - 23 = EUR, = l 500 mm, où l'axe Oz considéré ici est 
dirigé selon la
verticale vers le haut.
Par ailleurs, la longueur à vide de ces ressorts est de EO = 500 mm. Calculer 
la constante de

raideur du ressort k.

10/12

B.14 Exprimer également, hors équilibre, la somme vectorielle (orientée vers le 
haut) de la force de
rappel des ressorts et du poids du bloc, en fonction de zc - ZA = 2D - 23 (le 
bloc effectue une
translation verticale dans le bâti).

B.15 Lors d'un séisme, le référentiel du bâti rigide est fixé rigidement a la 
Terre. Localement, la
Terre se déplace par rapport a un référentiel galiléen, effectuant un mouvement 
en fonction du
temps t dont la composante verticale est zT(t) dans le référentiel galiléen. On 
nomme ZE,
l'altitude du point E lié a la masse en mouvement dans le référentiel du bâti. 
Exprimer le lien
entre ZE, sa position à l'équilibre ZOE, la force exercée au point N sur la 
partie mobile du
sismomètre (comptée positivement vers le haut) et la composante verticale du 
mouvement de
la Terre.

B.16 Il faut considérer le système de démultiplication constitué du levier NT 
H. Le point T est fixé
pour être en translation avec le bâti, il permet la rotation sans frottement du 
levier autour de
lui. Le levier est quasi horizontal, le point T est respectivement à 100 mm et 
400 mm des
points N et H. Sachant que la masse du levier est négligeable, écrire le lien 
entre la force F H
exercée verticalement par la tige H] sur le levier et la force F N exercée 
verticalement par la
tige NE. Exprimer également le lien entre les altitudes des points N, H et T.

B.17 Sachant qu'une rotation autour de K est permise par un axe dont on néglige 
les frottements,
que des axes rigides sont montés sur la roue avec KL = K] et que la masse de la 
roue est
négligeable, écrire :

- la relation entre la force F H et la force horizontale F L exercée vers la 
droite par la tige KL sur
l'axe supérieur

- le lien entre l'écart à l'équilibre des positions verticale de [, z; - 20], 
et horizontale de L,
XL -- X0L

- le lien avec l'écart à l'équilibre des positions ZH - 20H.

B.18 La barre horizontale supérieure coulisse horizontalement sans frottement, 
entraînée par le
point L. A une extrémité, elle subit dans l'amortisseur a air une force 
proportionnelle à sa
vitesse, Fa= - ocäc, avec oc = 1 483 kg/s.

A l'autre extrémité, un système d'enregistrement, composé soit d'une bobine, 
soit d'un stylet,

se déplace avec la barre mais exerce une force négligeable dessus (on peut 
négliger les

frottements mécaniques ou magnétiques dans cette partie par rapport aux autres 
forces

exercées sur la barre). La masse de cette barre est négligeable. Déduire de ce 
qui précède une
d2xL + 05 de + 2kfl (XL _xî)=_Ë
dt2 mfl dt dt2
exprimera la quantité ,5 en fonction des longueurs TN et TH. On pourra admettre 
cette
équation pour pouvoir continuer.

où l'on

relation entre xL et ZT . On montrera que fl

B.19 Pour une oscillation régulière de la surface terrestre, zT(t) = Re[ %! 
expÛæt)], où j est le
nombre imaginaire pur tel que j2 = - l, montrer que l'on obtient un mouvement x 
'L = xL - x0L
tel que x 'L(t) =Re[x_@ expÛæt)], avec une fonction de transfert Ii(j w) telle 
que )_c 'L = Ii . zT .
HO

f+rwl+W
Q w0 %

Dans les sismomètres historiques, cette position était enregistrée à l'aide 
d'un stylet venant
gratter du papier couvert de noir de fumée, qui défilait régulièrement face au 
stylet.

Donner Ii(j (0) sous forme canonique Æ ( j (z)) =

11/12

B.20 De quel genre de filtre s'agit-il ? Donner la fréquence propre (00 de lil. 
Quelle est sa valeur
numérique ?

B.21 Préciser le facteur de qualité Q. Que vaut lfi(1%% , Où H» = limæoelfi ( 
jw)' ? Calculer

numériquement le facteur de qualité.

B.22 Tracer l'allure du diagramme de Bode réduit, défini par G = ZOlogÛHU 600% 
] en fonction
de log(æ/am).

B.23 L'amortissement oc est réglable. Quel est l'intérêt d'avoir un grand 
facteur de qualité ? Quel est
l'intérêt d'en avoir un petit ?

B.24 Couplage magnétique - Le sismomètre de Galitzine

Au bout de la tige d'enregistrement, est fixée une bobine a N spires enroulées 
sur un cylindre
de rayon R. Cette bobine oscille dans un champ magnétique B permanent créé par 
un aimant.
B est orienté selon la génératrice du cylindre et dépend de la position x, 
localement, comme
B = Bref + 7/(x - xeq), où xeq est la position d'équilibre du cylindre. Les 
forces de Lorentz
exercées sur le cylindre sont négligeables dans ce dispositif par rapport aux 
autres forces
exercées sur la tige. Calculer la tension U(t) apparaissant aux bornes de la 
bobine en fonction
de ZT (t). On négligera l'auto--induction

Dans les sismomètres développés par la suite, comme celui de Galitzine, le 
courant créé par
cette tension induite lorsque le circuit électrique est fermé était envoyé à un 
galvanomètre et
enregistré optiquement.

Fin de l'énoncé

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