CCINP Physique 1 PSI 2009

 

mou--5...-- e. " mm.--fifi

... amo--mum...--

...mm Ëm3Ë - a:oËoËoe ËËÈ

mu=o_:=u:.>dca u2:l£0v oeoe=cuzOU

'

SESSION 2009

A PSIP103

CONCOURS (0MMUNS POlYTECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu 'il a été amené à prendre.

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la

numérotation de la question traitée.
***

Le sujet comporte 12 pages

PROBLEME A : SEMI-CONDUCTEURS ET JONCTION PN

Aucune connaissance sur les matériaux semi-conducteurs n 'est requise pour 
traiter ce problème.

Dans tout ce problème, k B = 1,38 -10"23 J -- K"1 représente la constante de 
Boltzmann,
N A = 6,02 - 1023 mol"1 représente la constante d 'Avogadro,

et e = 1,6 -10"19 C représente la charge élémentaire.

Modèle de Drude de la conduction électrique (1900)

On considère un matériau conducteur dans lequel les électrons libres sont 
uniformément répartis
dans le volume du matériau. On note ne le nombre par unité de volume de ces 
électrons . Les

interactions entre les électrons sont négligées et celles entre les électrons 
et le réseau cristallin sont
modélisées par une force de type frottement visqueux subie par chaque électron 
de masse m selon

. . _. m --> ' , . --> .
la relat10n vectorielle f = ----v ou 2' est une constante propre au matériau et 
v la Vitesse d'un
*:

électron dans le référentiel lié au matériau conducteur. Un champ électrique Ë 
est appliqué dans le
matériau. On négligera le poids de l'électron devant les autres forces.

A.1 Quelle est l'unité de 2" dans le Système International '? Justifier.

Page 1 / 12

A.2 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron dans le 
référentiel lié au
matériau et supposé galiléen, montrer que la vitesse d'un électron tend, en 
régime permanent, vers

_»

une constante que l'on précisera en fonction de E , m , r et e la charge 
élémentaire (9 valeur
positive).

A.3 En déduire l'expression du vecteur densité volumique de courant électrique 
L, en fonction de

---->

E , e , m , ne et r . Donner alors l'expression de la conductivité électrique 
du matériau en fonction

des paramètres précédents.

A.4 Dans le cas du cuivre, chaque atome libère un seul électron qui participera 
à la conduction

électrique.
La densité du cuivre par rapport à l'eau est d = 8,9 , la masse molaire du 
cuivre est

MCu : 63,5 g-mol'1 , et P... : lO'kg/m3
Donner l'expression littérale du nombre d'électrons de conduction par unité de 
volume ne en

fonction de d, MC,, et de la constante d'Avogadro N A.

Effectuer l'application numérique.
Comparer avec la densité électronique du silicium, semi--conducteur très 
répandu, qui est de l'ordre

de 1019 cm "3 à température ambiante.
Résistivité du silicium en fonction de la température

On réalise une pastille cylindrique de silicium comportant ne électrons de 
conduction par unité de

volume. On mesure la résistance de cette pastille en fonction de la température 
et on en déduit la
résistivité du silicium.

A.5 Rappeler la relation existant entre la résistance R d'une pastille 
cylindrique de longueur EUR et
de section S et la résistivité ,a du matériau.

A.6 Un dispositif permet d'abaisser la température du silicium. On mesure la 
résistivité du silicium
entre 4,2 K (température de liquéfaction de l'hélium) et 12 K. On relève le 
tableau de mesures

suivant :

___"

Montrer à l'aide d'une représentation graphique ou d'une régression linéaire, 
en utilisant la
calculatrice, que la résistivité suit une loi du type : p(T ) : A-eB/T .

Calculer B et A . Ne pas oublier les unités !

A.7 Evaluer la résistivité du silicium à 300 K. La comparer à celle du cuivre 
qui est de l'ordre de
pc,, =10"8Q--m.

A.8 D'après vos connaissances, quand on augmente (ou que l'on diminue) la 
température d'un
métal comme le cuivre, comment varie la résistivité ? En est-il de même pour le 
silicium ?

Page 2 / 12

A.9 En utilisant la formule du A.3, montrer que la densité électronique ne suit 
une loi dite de

_ES
Boltzmann, c'est-à-dire que ne =ng-ekBT

où l'on ne cherchera pas à déterminer nf et où kB

représente la constante de Boltzmann. On donnera la valeur numérique de la 
grandeur Es en

électron-volt.

En plaçant des impuretés dans un matériau semi-conducteur, on peut contrôler la 
résistivité
électrique. Cette dernière varie de façon considérable en fonction de la 
concentration en

impuretés : c'est le dopage.

Les porteurs de charge

Modèle de semi--conducteur :

Pour comprendre la variation de la résistivité du silicium avec la température, 
il faut admettre que
les électrons dans le silicium ne peuvent être que dans << deux états » : soit ils sont libres (électrons conducteurs), soit ils sont liés (électrons de valence). Pour qu'un électron passe de l'état lié à l'état libre, il faut lui fournir de l'énergie. Il laisse alors une place vacante dans l'ensemble des électrons liés : c'est ce qu'on appelle un trou. A.10 Que vaut la << charge électrique >> d'un trou en fonction de la charge 
élémentaire e ?

On montre que le mouvement collectif des électrons de valence (très nombreux) 
peut être décrit par
celui de l'ensemble des trous (beaucoup moins nombreux). De ce point de vue les 
trous peuvent être
assimilés à des porteurs de charge indépendants et distincts des électrons de 
conduction.

On note n le nombre d'électrons conducteurs par unité de volume et p le nombre 
de trous par unité
de volume. On admettra que le produit n -p est une constante, notée n,2 , 
dépendant de la

température et du matériau : n -- p = nf .

A.11 On parvient à fabriquer un matériau semi-conducteur à base de silicium 
dans lequel quelques
atomes de bore (symbole B) ou de phosphore (symbole P) se substituent à des 
atomes de silicium, et
ce, de manière uniforme sur tout le volume du matériau. On parle de dopage au 
bore ou au

phosphore. Soit N B (respectivement N P) la densité volumique d'atomes de bore 
(respectivement
de phosphore) présents dans le matériau .

On donne un extrait du tableau périodique des éléments :

H He
Li Be B C O F Ne
Na Mg Al Si P S Cl Ar

Figure 1: extrait du tableau périodique

Combien d'électrons de valence maximale possèdent le silicium, le bore et le 
phosphore '?

On admet que le phosphore perd un électron : quel ion est formé '?
On admet que le bore gagne, quant à lui, un électron : quel ion est formé '?

Page 3 / 12

A.12 Dans le cas du dopage au phosphore, augmente--t-on la densité d'électrons 
ou de trous ?
Sachant que le matériau est électriquement neutre, que vaut la somme p + N P en 
fonction de n ?

En se ra elant ue n- = 11.2, calculer n et dans le cas où n << N . Com arer n à . On PP q 17 1 P 1 P P P parle alors de dopage N. A.13 Par analogie avec la question précédente, donner l'expression de n et p dans le cas du dopage au bore avec n, << N B . On parle de dopage P. Electrostatique d'une jonction PN à l'équilibre Lorsqu'un semi--conducteur présente, dans une région très localisée de l'espace, une variation très brutale de la concentration en dopant, voire un changement de la nature du dopant, on dit que l'on a une jonction. Au voisinage de la jonction, dans une région dite << zone de charge d'espace », le cristal acquiert une distribution de charge électrique non nulle que l'on se propose d'étudier. Les propriétés qui en résultent sont à la base de la caractéristique des diodes, des transistors et de tous les circuits intégrés. A.14 On supposera que dans le silicium on peut encore appliquer les lois de l'électrostatique à condition de remplacer 80 par 8 = 80 °8,. où 8, est la permittivité relative du silicium. On suppose que la densité volumique de charge pC autour d'une jonction située dans le plan x = 0 a l'allure suivante : Si x<----L1 pc=O Si --L,O
Si L2L2»P1 etp2.

On admettra que, en dehors de la zone de charge d'espace, le champ électrique 
est nul en tout point
d'abscisse x telle que x < --L1 et x > L2

A.15 Rappeler l'équation de Maxwell -- Gauss où l'on remplacera 80 par 8 = 50 
-5,.

Déterminer alors le champ électrique en tout point M appartenant à la zone de 
charge d'espace
(-- L1 < x < L2 ). On distinguera entre les diverses régions de l'espace suivant les valeurs de x. Représenter graphiquement l'allure de la composante selon x du champ électrique en fonction de x. Page 4 / 12 A.16 En déduire l'expression du potentiel électrostatique V dans les différentes régions de l'espace. On choisira l'origine des potentiels dans le plan x = O. Représenter graphiquement V en fonction de x. A.17 Donner l'expression de la différence de potentiel V, : V(L,)--V(-- L,) entre deux points situés de part et d'autre de la zone de charge d'espace en fonction de p1 , L1 , L, et 5 . A.18 La région (x > 0) a été dopée avec du phosphore à raison de N, = 1,6 - 
1021 atomes P par m3 ,

tandis que la région (x < 0) a été dopée avec du bore avec un nombre d'atomes B par unité de volume N1 >> N,. Dans la zone de charge d'espace, chaque atome P est ionisé en 
P+. Les électrons

ainsi libérés traversent spontanément le plan (x = O), et chaque atome B situé 
dans la zone de
charge d'espace, capte un électron se transformant ainsi en ion B'. On a 
réalisé une jonction PN.

En déduire ,01 et p, en fonction de e (la charge électrique élémentaire), N1 et 
N,.
Comparer L1 à L, avec la condition N1 >> N,. En déduire l'expression, en 
fonction de L, , de la

largeur totale de la zone de charge d'espace, que l'on appellera ô.

A.19 Le système ainsi constitué est une diode à jonction dont la tension seuil 
est voisine de V0 .

En déduire une expression approchée de la largeur 5 de la zone de charge 
d'espace en fonction de
8, V,, e et N,.

On donne: VO =O,3V & =1,4-10"10 F-m'1 ete =1,6-10'19C.

Calculer la valeur numérique de 8.

Diffusion de porteurs dans une jonction PN

On réalise la même jonction que précédemment :

Diffusion des électrons

Figure 3 : Diffusion d'électrons et de trous dans la jonction

Page 5 / 12

Par diffusion, les électrons vont se déplacer vers la gauche, se recombinant 
avec les trous, créant
ainsi des charges négatives à gauche de la jonction (et donc des charges 
positives à droite). Un
champ électrique va donc se créer comme on l'a vu précédemment.

A.20 En notant n(x) le nombre d'électrons par unité de volume en fonction de 
l'abscisse x,

donner l'expression du vecteur densité de courant de diffusion à partir de la 
loi de Pick. On note Dn

le coefficient de diffusion des électrons dans le milieu. En déduire 
l'expression du courant électrique
résultant de cette diffusion. On note e la charge élémentaire.

On se propose de trouver une relation entre le coefficient de diffusion D,, et 
la température du

milieu (relation d'Einstein). Pour cela, supposons qu'un électron soit soumis 
en plus de la force

_» m _» ' -->
f = ---- a une force F constante dans le temps.

T

A.21 Quelle est la vitesse atteinte par l'électron en régime permanent ?

Nous considérons alors une tranche de semi--conducteur de type N, de surface 
droite S et comprise
entre les plans x et x+dx. Dans cette tranche, la densité d'électrons est 
toujours n(x). Les

électrons à gauche du plan x exercent une pression P(x) sur la tranche, et les 
électrons à droite
exercent une pression P(x + dx) .

A.22 En déduire la composante dFP selon x de la force de pression s'exerçant 
sur la tranche en

fonction de S , dx et did?) .

A.23 Si on assimile le gaz d'électrons à un gaz parfait, quelle est la relation 
entre P(x) , n(x) , kB
et T ? On rappelle que pour la constante des gaz parfaits, on a la relation R = 
k B --NA.

A.24 En déduire alors la vitesse limite atteinte par les électrons soumis à 
cette force de pression et
montrer que l'on retrouve la loi de Pick avec un coefficient de diffusion D,, , 
dont on donnera

l'expression en fonction de k B , T, r et m la masse de l'électron.

A.25 Quelle est alors, en fonction de n(x), e, r, m, D,, , l'expression de la 
densité volumique de

courant électrique total , somme du courant lié à la diffusion et du courant 
électrique vu dans le
modèle de Drude (voir question A.3) pour le déplacement des électrons sous 
l'effet du champ

électrique E = --E ex . Pourquoi ce champ électrique est orienté dans le sens x 
< 0 ? Potentiel de diffusion d'une jonction PN à l'équilibre A l'équilibre thermodynamique, il n'y a plus de courant électronique : la diffusion est contrecarrée par le champ électrique créé dans la zone de charge d'espace. Page 6 / 12 A.26 En partant de l'expression de la densité de courant totale de la question A.25, donner l'expression de Ll--de en fonction de m,r,Dn,e,n(x=Lz) et n(x=--Ll) à l'équilibre 2 thermodynamique. A.27 Que valent n(x : L2 )et n(x : --L1) en fonction de N1 et N 2 ? On rappelle que n - p : nf et que dans la zone << type P » la densité en dopants est N1 et dans la zone << type N » la densité en dopants est N 2. A.28 En partant de la réponse à la question A.27, donner la relation entre la différence de potentiel 2 n . l . . N N V(LZ)-- V(-- L1) en fonctron de kB , T , e et la quantité ln( 1 2 ] . La quantité V(L2 ) -- V(---- L.) est appelée potentiel de diffusion. Jonction polarisée en direct ou en inverse On porte la zone N à un potentiel VN et la zone P à un potentiel VP . On pose U : VP -- VN A.29 Dans le cas où U est >O , le potentiel de diffusion est-il augmenté ou 
abaissé '? En déduire si
un courant électrique s'établit ou non.
Même question pour U < 0. A.30 La caractéristique courant-tension d'une diode à jonction PN est la suivante : IE! 1 Figure 4 : caractéristique d'une diode Recopier sur la copie le schéma suivant de la diode et préciser la zone N et la zone P. Zone: Zone: /---A'_\f'*'\ Figure 5 : diode PN et zones P/N FIN DU PROBLEME A Page 7 / 12 PROBLEME B : LE JEU DE JOKARI Préambule : Ecoulement sur un obstacle -- Formule de Stokes On s'intéresse à l'écoulement d'un fluide incompressible de viscosité 77 et de masse volumique p autour d'une sphère de centre O de rayon R à très faible nombre de Reynolds (Re << 1). On R pv 77 volumique du fluide et 77 la viscosité. Dans ce problème, la pesanteur est négligée. On note rappelle que le nombre de Reynolds est Re : où v est la vitesse de la sphère, p la masse _-->--p

(ex,ey,ez) la base assoc1ée au repère (0, x, y, 2).

ligne de champ de vitesse

_--
__-

plan perpendiculaire & Oz

y

."

L'angle 9 est l'angle entre OM et EUR; et l'angle ça est l'angle entre 5% et &; 
, vecteur unitaire de

l'axe OX, m étant le projeté orthogonal de M dans le plan (O,x,y).

A une distance 2 très grande devant R , la pression est notée p... l'écoulement 
est uniforme et la
vitesse vw est parallèle à l'axe Oz : voo : vo0 ez . Cet écoulement permanent 
est caractérisé dans un

repère sphérique (O,e,,e6,eæ) par un champ de vitesse v=v(r,9,(p) et un champ 
de pression

p = p (r, 9, ça) qui vérifie l'équation de Navier-Stokes,
p{Æ) = --gradP + "Ai--5
Dt
On rappelle que Æ(ÆÏZ) = grad(dîvî£l)-- A2 ; div(ÆÎËl) : O ; div(gradf) : Af

Page 8 / 12

B.1 Quelle est l'unité du nombre de Reynolds Re dans le Système International 
'? On justifiera

par une analyse dimensionnelle.

B.2 Rappeler dans le cas général, l'équation locale de conservation de la 
matière.
Que devient cette relation dans le cas d'un fluide incompressible '?

B.3 En comparant les différents termes de l'équation de Navier-Stokes, montrer 
que cette

dernière peut approximativement s'écrire gradP : " Ai? .

B.4 En déduire que le laplacien de p vérifie Ap : O .

B.5 Justifier que la pression p est indépendante de la variable ça et préciser 
la direction de la

résultante des forces pressantes F sur la sphère.

â nvoeR cos 9

2 r2
On rappelle qu'en coordonnées sphériques,

@ 2
Af=-ä- Ê-(ÏZÊJÎ') + 2 1_ --Ô-- Sifi9 (f) +__2_1_2__Ô f
r ôr ôr r s1n9 89 69 r sm 9 êça'

B.7 En déduire la résultante des forces pressantes F;. L'élément de surface sur 
une sphère de

rayon R est dS : R2 sin(9) d9 dça .

B.6 Vérifier que p = p,() -- est solution de l'équation de la question B.4.

_

B.8 Sachant que la résultante des forces visqueuses vaut FV : 47mR voe , en 
déduire la force
totale subie par la sphère.

Résistance à l'avancement

Considérons maintenant une sphère de vitesse v , de rayon R en mouvement 
uniforme dans un
fluide de viscosité 77 et de masse volumique p .

B.9 On cherche à déterminer la traînée exercée sur la sphère. Cette force 
exercée par le fluide sur
la sphère est fonction de v, R , p et R,. La force de traînée peut se mettre 
sous la forme :

F =%Cx (R,)Rav'p où Cx (R6) représente une fonction de Re et (X,}! etÀ sont 
des entiers

naturels.
Par une analyse dimensionnelle, déterminer les nombres &, y et À .

B.10 Dans le cas d'un écoulement rampant, (Re < 1) , nous obtenons la loi dite de Stokes : _} F : --67ran . Préciser alors la valeur de C x en fonction de Re . B.11 Que devient cette force pour un fluide parfait ? Page 9 / 12 Le jeu de Jokari : étude à une dimension Le Jokari est un jeu qui se joue à deux ou seul. Il est composé d'une balle en caoutchouc de masse m attachée à un socle par un élastique, permettant ainsi à la balle de revenir. On frappe la balle avec une raquette en bois. L'élastique sera assimilé à un ressort de raideur k et de longueur à vide KO. L'effet de l'élastique ne se produit que si la longueur de l'élastique est supérieure à ÆO, c'est-à-dire l'élastique tendu. Le socle sera placé sur le sol en un point O pris comme origine. L'étude du mouvement s'effectue dans le référentiel terrestre assimilé à un référentiel galiléen. On note g le champ de pesanteur terrestre supposé constant et uniforme. On désigne par (0, x, y, 2) le repère orthonormé direct lié à la terre, l'axe Oz étant dirigé suivant la verticale ascendante. On modélisera la balle par un point M. Données et notations : _-->--)

o Coordonnées du point M, (x, y,z)dans la base (ex,ey,ez) ;

. longueur àvide, &, ;

. masse de la balle, m ;

. raideur de l'élastique, k;

. viscosité de l'air, 77 = 1,8-10'5 Pa-s ;
0 vitesse initiale de lancement, vo ;

. hauteur initiale de lancement, h = 1 m :
. rayon de la balle en caoutchouc , R = 2 cm ;

o le champ de pesanteur terrestre, E, : g 0 = 9,8 m -- s'2 .

A l'instant initial, t= O , on lance la balle M avec une vitesse v; suivant 
l'axe Oz ascendant et à une

hauteur h (h < [0 ). On néglige dans cette partie tout frottement. B.12 Quelle doit être la vitesse minimale VO,... pour que l'élastique se tende '? Etude pour VO < VO,min B.13 Dans l'hypothèse où vo < V0,min , donner l'expression de la vitesse VZ (t) : dz/dt à un instant t donné. En déduire la position z(t). Préciser les expressions de la vitesse vs et de l'instant ts quand la 2 v 2h masse touche le sol. On posera 52 : ---°2-- +-- . go go B.14 En déduire une expression de z en fonction de VZ , vo et h. Quelle est la nature de la courbe obtenue '? Comparer cette expression à celle des courbes de niveau de l'énergie mécanique. En déduire une autre expression de z en fonction de go , v, et V, . Page 10 / 12 B.15 L'espace des phases est un plan où l'on porte en abscisse z et en ordonnée vZ : dz/dt. Tracer la courbe correspondante dans l'espace des phases pour te [O,ts]. On précisera les points remarquables. B.16 Quand la balle touche le sol, on admet que la vitesse se transforme instantanément, en Ü(tS+) : +evs 52 où 6 est un coefficient de restitution 0 < 6 < 1 . On prend une nouvelle origine des temps et on pose t' = t --î,. Exprimer la nouvelle vitesse vZ ([ ') et la nouvelle position z(t ') . En déduire l'expression z en fonction de go , VZ , e et V, Comparer au résultat précédent. B.17 On représente ci-dessous la trajectoire dans l'espace des phases après plusieurs rebonds : V Z Reproduire ce graphique sur la copie en y précisant le sens de parcours. Pourquoi a--t-on des tangentes verticales sur l'axe des 2 '? Par quelle propriété graphique se traduit la conservation de l'énergie ? Quelle propriété présentent ces courbes les unes par rapport aux autres '? B.18 On tient compte maintenant de la force de traînée. La résistance de l'air sur la balle de rayon R et animée d'une vitesse v se traduit par une force qui en norme vaut f = ,6 v2 où ,B est une constante. On lance toujours la balle de masse m d'une hauteur h avec une vitesse v0