CCP Physique 1 PSI 2007

Thème de l'épreuve Conductivité d'anneaux mésoscopiques isolés. Approche d'un projecteur de diapositives.
Principaux outils utilisés électrostatique, magnétostatique, induction, ondes, optique géométrique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

wc.--52... ? " «w.--:D

... m=9æ:Ë *

...mm mm...--SE - mao...äoËoe ËmmÈ

oeu=o_:=v...-->uooe ":=IOEOV aoe=cu:OU

'

Les calculatrices sont autorisées.

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, & la 
précision et à la concision
de la rédaction. Si un "candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d 'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons

des initiatives qu 'il a été amené à prendre.

Certaines des questions peuvent donner lieu à une application numérique, une 
attention toute
particulière y sera donnée lors de la correction de ce problème.

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préCiser, dans 
chaque cas, la

numérotation de la question traitée.
$$$

DOSSIER REMlS-AUX CANDIDATS

. Texte de présentation (13 pages)
0 Document réponse pour le problème B (3 pages)

L'épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants. Dans chaqùe 
problème, de
nombreuses questions sont indépendantes.

PROBLEME A : CONDUCTIVITE D'ANNEAUX MESOSCOPIQUES lSOLES

Un système mésascopique est un échantillon & une échelle intermédiaire entre la 
matière à l'état
microscopique (l'atome) et macroscopique (le solide). Sa taille, micronique, 
lui confère un grand
nombre d'électrons qui, si la température est assez basse (typiquement de 
l'ordre de quelques
centièmes de degrés Kelvin), vont conserver leur « cohérence quantique ». La 
physique
mésoscopique est une physique récente, qui se développe avec l'avancée des 
nanotechnologies.

On sait fabriquer par lithographie des petits anneaux carrés de quelques 
micromètres de côté
dans lesquels des électrons sont contraints de se déplacer. Un champ magnétique 
constant imposé
perpendiculairement au plan de l 'anneau va forcer les électrons & tourner dans 
l'anneau, créant
ainsi un courant permanent. Il apparaît que la valeur de ce courant est une 
fonction périodique du
flux magnétique. Pour mesurer ce courant, les anneaux sont couplés à un 
résonateur formé d "une
ligne bifilaire en régime harmonique

A.1 LIGNE BIFILAIRE SUPRACONDUCTRICE AU NIOBIUM

La ligne bifilaire est un micro--résonateur constitué de deux fils parallèles 
d'une longueur EUR et
distants de 2d . Celui--ci est fabriqué par lithographie optique sur un 
substrat de saphir. Afin de
limiter la dissipation par effet Joule, un supraconducteur, le niobium, a été 
choisi comme matériau
constitutif de la ligne. Enfin, pour minimiser la taille du résonateur, une 
géométrie en méandre a été
adoptée (voir figure l).

1:« W,.

5
à?"
«u--

m

2

ww"...

Figure 1 : micr0photographie optique d'une partie de la ligne bifilaire en 
meandre et de ses
anneaux mésoscopiques carrés.

Dans cette partie, on cherche à établir l'équation de propagation des ondes de 
courant dans la ligne.
Pour ce faire, la ligne est « déployée » sur toute sa longueur EUR. Le modèle 
de lignes à constantes
réparties est le suivant : on isole une portion de la ligne entre les abscisses 
x et x+ dx. Le schéma
électrique équivalent est donné par la figure 2. On notera que A est 
l'inductance linéique

(inductance par unité de longueur) et que I" est la capacité linéique. On 
remarquera que l'axe des x
est orienté de la droite vers la gauche.

Figure 2 : ligne bifilaire et portion de largeur dx

A.1.1 Quelles sont les unités de A et de F ? Justifier rapidement le fait qu'il 
n'y ait pas de
résistors dans ce modèle.

. . - ' . - , . . Ôu ôi
A.1.2 En se limitant a des termes du premier ordre, etabhr une relation entre 
----à----- et --à-- d'une part,
t x
ôu ôi ,
et une seconde entre ---------- et ----------- d autre part.
ôx ôt

A.1.3 Déterminer alors l'équation différentielle régissant l'évolution de u(x, 
t) et celle régissant
l'évolution de i(x, t) .

A.1.4 Quelle remarque peut--on faire quant à ces deux équations ? Que 
traduisent--elles

(?

1
\/_AÎ .

physiquement ? Que représente la quantité

A.2 CALCUL DE LA CAPACITE LIN EIQUE DE LA LIGNE BIFlLAIRE

On considère deux fils infinis parallèles portant chacun respectivement la 
charge +q , et --q par

unité de longueur. Ces fils sont déposés sur un substrat de saphir qui est un 
milieu diélectrique
linéaire et isotrope (figure 3). Le demi-espace 2 < 0 est occupé par le saphir 
et le demi-espace

z > 0 est occupé par le vide.

Z

mmaænm...m «- '

Figure 3 : portion de ligne bifilaire déposée sur un substrat de saphir

Pour les calculs d'électrostatique de cette partie, il suffira d'employer les 
théorèmes classiques
(théorème de Gauss par exemple) en remplaçant la permittivité du vide 50 par 
EURefi. -80 une

permittivité effective qui tient compte du fait qu'une partie de l'espace est 
occupée par le saphir.

A.2.1 Soit un fil infini portant la charge linéique +q. Calculer le champ 
électrique créé en tout

point M de l'espace en fonction de r (distance de M au fil). On justifiera 
proprement le
calcul (symétries, invariances, théorème utilisé).

On appelle 2d la distance séparant les deux fils, ainsi le fil « positif » est 
situé en y : +d et le fil
« négatif » en y = -----a' .

A.2.2 En déduire le champ électrique créé en tout point P du plan z == 0 (plan 
sur lequel se situent
les deux fils).

Les fils ne sont pas infiniment minces : soit 2a leur épaisseur, négligeable 
devant la distance les
séparant.

A.2.3 Calculer la circulation du champ électrique sur un chemin allant d'un 
point du bord de la
ligne portant la charge linéique +q (abscisse d ---- a) à un point du bord de 
la ligne portant

la charge ------q (abscisse ----- d + a ). En déduire la différence de 
potentiel qui règne entre ces
deux fils.

A.2.4 En isolant une portion de ligne bifilaire de longueur d£ , tout se passe 
comme si l'on était en
présence d'un condensateur. Quelle est la charge portée par chaque armature ? 
En déduire
la capacité de ce condensateur puis la capacité linéique P de la ligne 
bifilaire en fonction de

EURefi% d et a.

A.3 RESONAN CES DE LA LIGNE BIFILAIRE ET IMPEDAN CE EQUIVALENTE

A.3.1 On considère une onde électrique qui se propage dans le sens des x 
croissants, repérée par

l'indice « + ». Les expressions complexes de la tension et du courant sont alors
respectivement :

u+ (x, t) : U+ej(a""kx) et i+ (x, t) = I+ej("""kx) où j2 = -----1

A.3.l.a En reprenant l'équation du A.1.3, quelle est la relation entre k et co 
'?

A.3.1.b En utilisant les équations obtenues en A.1.2, calculer le rapport ZC == 
u+ (x, t)/ i+ (x, t) en

fonction de A et de F . Quelle est la signification physique de ce rapport ? 
Quel nom peut--
on lui donner '?

A.3.2 On considère maintenant une onde électrique qui se propage dans le sens 
des x
décroissants, repérée par l'indice « -----». En suivant la même démarche qu'en 
A.3.1, exprimer

i_ (x, t) en fonction de u_ (x, t) et de ZC.

A.3.3 La ligne bifilaire étant ouverte, les ondes vont se réfléchir en x«= 
EUR). On cherche alors des
solutions pour l'onde électrique sous la forme suivante :

_Z{_(X, [) : U+ej(wt_kx) + U_ej(wt+kx) et £(X, t) : I+ej(wt--kx) +I--ej(wt+kx)

En utilisant les résultats des questions A.3.1 et A.3.2 et le fait que la ligne 
bifilaire est
ouverte en x = 0 , établir une relation entre U + _ et U et calculer le rapport

_Z_(x) =y_(x,t)/i(x,t) en fonction de ZC, k et x.

A.3.4 Tout se passe comme si le générateur qui alimente la ligne était branché 
sur une impédance,
l'impédance d'entrée Ze à _Z_ (x : £) de la ligne bifilaire. Calculer Ze en 
fonction de ZC, k

etfi.

A.3.5 On considère maintenant une bobine pure d'inductance L placée en 
parallèle sur un
condensateur pur de capacité C .

A.3.S.a Calculer l'impédance équivalente de cette association parallèle. On la 
mettra sous la forme
suivante : '

Zo

Zeq=--j...
""'" fl...ÊZQ...
600 a)

Exprimer 20 et 500 en fonction de L et C. Comparer cette expression à 
l'impédance

d'entrée Ze calculée à la question A.3.4.

A.3.5.b Tracer sur la copie l'allure du module Zeq en fonction de la pulsation 
&) . Quel est le

phénomène qui se produit pour a) = (00 ?

A.3.6 On remarque que la ligne bifilaire présente en fait plusieurs pulsations 
de résonance. En
utilisant l'expression de l'impédance équivalente obtenue en A.3.4, montrer que 
les
pulsations de résonance sont des multiples entiers d'une pulsation fondamentale 
que l'on

exprimera en fonction de la longueur £ de la ligne et de \f11\Î . A quel 
système simple vous

fait penser ce résultat ?

A.3.7 Application numérique : la première fréquence de résonance est de l'ordre 
de 320 MHz et
la ligne bifilaire a une longueur de 20 cm, une fois déployée. En déduire la 
valeur de la
vitesse de propagation des ondes sur la ligne bifilaire. Cette valeur vous 
semble-t-elle
cohérente '? '

A.4 QUAN TIF ICATION DU FLUX MAGNETIQUE --- COURANT PERMAN ENT

L 'espace est muni d 'un repère carte'sien (O,x, y,z). Un champ magnétique 
permanent et uniforme

règne en tout point, dirigé selon l'axe ( Oz) : Ë == Be: .

A.4.1 On considère un anneau circulaire métallique de rayon R , situé dans le 
plan 2 : O.
Exprimer la quantité CD = " Ë - ËÊ en fonction de la normeB du champ magnétique 
et du

anneau

rayonR . En quelle unité exprime-t-on CD '?

A.4.2 Un électron de masse m et de charge ------e est assujetti à se déplacer 
dans la circonférence de
l'anneau d'épaisseur très faible. Il est alors soumis à la force de Lorentz. En 
appliquant le
principe fondamental de la dynamique à l'électron, montrer que la norme v de la 
vitesse de
cet électron s'exprime simplement en fonction des grandeurs suivantes : e , CD 
, m et R.

A.4.3 Nous allons utiliser maintenant une hypothèse émise par Bohr au début du 
vingtième siècle
afin d'expliquer les niveaux d'énergie quantifiés des électrons dans les atomes 
: le moment

Cinétique de l'electron est quant1fie. Il ne peut prendre que des valeurs 
multiples de ------------ ou

275
h est la constante de Planck. On donne h = 6, 62 --10'34 J -s. '

A.4.3.a Montrer que h possède bien la dimension d'un moment cinétique.

A.4.3.b En appliquant la condition de quantification de Bohr à l'électron 
toumoyant dans l'anneau,
montrer que la quantité CD est quantifiée, c'est-à-dire qu'elle ne peut prendre 
que des

valeurs multiples d'une certaine autre quantité CI)1 que l'on exprimera en 
fonction de la

constante de Planck h et de la charge élémentaire e. La quantité 1 est 
appelée quantum
de flux.

A.4.3.c Application numérique : calculer la valeur numérique de CD, sachant que 
e = l, 61 -10'19 C.

A.4.4 On peut montrer en utilisant la mécanique quantique que l'anneau est le 
siège d'un courant
permanent périodique avec le flux =<1>DC

co @@ ôË8aoe...u $... ...--83.3È :...... o:> " N «.:--mE

mË.æëËuæ u£mäâ ...»? ...Ëwäæm.

:.UV

B.2.1
B.2.2

B.2.3

B.2.4

B.2.5

B.2.6

B.2.7

B.3

Quel est le grandissement ynécessaire ? Commenter le signe.

Dans un premier temps, on utilise le montage de la figure 2 qui comprend une 
source
lumineuse (que l'on supposera ponctuelle) située en un point S (située sur 
l'axe optique)
située en amont d'un diaphragme et un diffuseur épais. La diapositive sera 
insérée, centrée
en I sur l'axe optique juste devant le diffuseur. L'objectif est constitué 
d'une lentille

convergente de focale j' = O? : ---5Ï" centrée sur l'axe optique en 0. Quel est 
l'intérêt du
diffuseur épais '?

Tracer sur la figure (B.2.3) du document réponse G' et D' les images des points 
G et D
représentant respectivement les bords gauches et droits de la diapositive. Dans 
quel sens
faut-il monter la diapositive '? Justifier votre réponse.

Déterminer les expressions de e, m et f' en fonction du grandissement ;! et de 
[. Réaliser
l'application numérique pour le grandissement souhaité.

On souhaite en plus pouvoir obtenir une image nette par déplacement de 
l'objectif pour des
distances ! comprises entre 2 et 5 m. Quelles sont les grandissements et 
largeurs d'images
horizontales correspondant à ces deux limites (image nette d'une diapositive 
horizontale) ?

Quelles sont les limites de déplacement de la lentille (Cl) entre 0... et O,... 
(donner
10... et ID,... ) '? Quelle est la course nécessaire pour l'objectif?

Quel intérêt/inconvénient voyez-vous à utiliser toute la surface de la lentille 
?

PROJECTEUR DE SECONDE GÉNÉRATION

Pour réaliser un projecteur de seconde génération, on interpose une lentille 
(CO)
convergente entre la lampe et le diaphragme du montage précédent. Cette 
lentille est en
général épaisse, mais pour les besoins de cet exercice, on supposera qu'elle 
est mince et
qu'on se trouve toujours dans les conditions de GAUSS (cf. figure 3). On 
remplace le
diffuseur par un verre parfaitement transparent permettant de séparer 
thermiquement les
deux parties du projecteur. On supposera qu'il est suffisamment fin pour qu'on 
puisse
négliger le décalage de rayons qu'il induit.

(C0) (C1)

Figure 3 : Vue du projecteur de diapositives de seconde génération

:oOEË......Êw «...:--83 $... 8>ËËÊË % .533 .--oÈ :c «:> " m «.:--mE

.K

(

:.U...

B.3.1

B.3.2

B.3.3

B.3.4
B.3.5

B.3.6

B.3.7

B.3.8

On a placé la lentille convergente (C0) de manière à ce que le pinceau lumineux 
issu de S
englobe toute la largeur de la diapositive et se focalise en 0, centre optique 
de la lentille
(Cl). Sur la figure (B.3.1) du document réponse :

- tracer l'enveloppe « utile » du pinceau lumineux entre S et E (définie par 
les rayons
limites)

- construire les images G ' et D ' de G et D respectivement (co...entaire)

- indiquer explicitement la position du plan focal image de (CO).

Donner la relation entre la distance focale image fg' de (CO) et O'O pour un
grandissement transversal associé à (C0) G; = -4.

Pour des raisons d'encombrement, on est contraint de fixer la distance ÎSÎ à 5 
cm. En
déduire la valeur de la distance SO' pour une image nette pour une distance 
[3200 cm.

Quelle est alors la valeur de la distance focale de la lentille (CO) '?

Dans le cadre des conditions aux limites imposées pour le réglage de la netteté 
dans B.2,
on a prévu de pouvoir déplacer la lentille (Cl) entre O,... et O...x déterminés 
dans B.2.5.
Ceci implique un mouvement conjugué de (CO) entre les positions O'... et 
O'...ax. Donner

les distances SO'... et SO'mx correspondantes de manière à toujours respecter 
les

conditions explicitées dans B.3.1.

Quelle est la relation entre la course ASO' de la lentille (CO) et la course 
AIO de la lentille
(Cl) '? Application numérique. '

Doit-on toujours mettre la diapositive dans le même sens ? Commenter.

Quels sont les avantages à placer (Cl) au point conjugué de S par (CO) ?

FIN DU PROBLEMEB

FIN DE L'ENONCE.

' - - n' uements'fls'a it d'un examen):
Note : Appoeczatzon du correcteur (u :q 9

20

* Uniquement s'il s'agit d'un examen.

DOCUMENT REPONSE

***

' N.B. : Le candidat veillera à bien remettre le présent document réponse avec 
sa copie eta le placer
dans le même sens que les autres copies rendues afin de préserver son anonymat.

É Les tracés d'optique étant délicats, le correcteur attachera une importance 
au soin et à le clarté du
document rendu.

***

, Figure B.1.1 :

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \

Proposé sur le site

[""/""""z/"""/"";

?

'IlIII/IIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

1/3

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ \\\\\ \\\\\\\\\\\

Figure B.l.3

;

(C1)

. ËËÎ3-

Figure B.l.7

rx

_(C1)

Figure B.2.3 :

Système schêmfique '

Figure B.3.1 :

(C1)

(C1)

FIN DU DOCUMENT REPONSE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Emmanuel Loyer (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Aymeric Spiga (École Polytechnique) et Jean-Julien Fleck (Professeur en 
CPGE).

Ce sujet est constitué de deux problèmes indépendants. Le premier est consacré
à la conductivité d'anneaux mésoscopiques isolés. Constitué de sous-parties 
relativement indépendantes, il représente environ les deux tiers de l'épreuve. 
Même si la
thématique générale (la physique mésoscopique) est originale, elle est abordée 
dans
le cadre du programme, au travers de sous-parties relevant de la physique des 
ondes,
de l'électrostatique, de la magnétostatique, de l'induction et de 
l'électrocinétique.
Certaines questions sont très classiques, aussi l'énoncé attire-t-il tout 
particulièrement l'attention des candidats sur la rédaction. La dernière partie 
recèle quelques
questions difficiles.
Le second problème propose une approche d'un projecteur de diapositives ; il est
constitué de trois parties qui s'enchaînent, à traiter dans l'ordre comme le 
demande
l'énoncé. Il ne fait appel qu'aux connaissances d'optique géométrique de 
première année. En plus de questions où les calculs utilisent essentiellement 
les formules de conjugaison, l'énoncé demande des constructions géométriques 
qui devaient être réalisées
sur le document réponse. Si ce problème est dans l'ensemble de difficulté 
moyenne,
la fin de la dernière partie est plus ardue et relativement calculatoire. On 
peut par
ailleurs regretter quelques imprécisions qui peuvent dérouter.
L'ensemble constitue une épreuve intéressante, abordant des parties très 
diverses
du programme de première et de deuxième année. C'est l'occasion de rappeler que
l'ensemble du programme des deux années est susceptible de faire l'objet de 
tout ou
partie d'un problème de concours. Enfin, la progressivité du sujet et la 
variété de ses
questions en font une bonne base de révision.

Indications
Problème A
A.1.2 Utiliser la loi des noeuds et la loi des mailles.
A.2.1 Attention : au-delà du résultat (très classique), c'est surtout la 
rédaction qui
importe dans cette question.
A.2.2 Penser au théorème de superposition.
A.3.3 Exprimer I+ et I- en fonction de U+ et U- , puis utiliser la condition en 
x = 0.
A.4.1 Le signe du flux dépend de l'orientation du circuit.
A.4.4 La fonction I() est impaire.
A.5.3 Commencer par orienter le carré : le signe de M dépend de cette 
orientation.
A.5.4 Ne pas oublier que le flux magnétique a pour origine le champ magnétique
créé par les deux fils qui entourent l'anneau.
A.5.7 Le flux magnétique total à travers la ligne est la somme de deux termes :
le flux propre de la ligne et le flux du champ créé par les anneaux.
A.5.10 Le résultat s'exprime en fonction de I0 , 1 et DC (et non ).
A.5.12 Déterminer la « période » de Im (G) en fonction de B sur la figure et 
relier
cette période à 1 .
Problème B
B.1.4 L'énoncé ne précise pas s'il faut définir G comme la largeur du faisceau 
incident divisée par la largeur du faisceau émergent, ou l'inverse. Il faut 
faire un
choix et s'y tenir. Pour l'application numérique, la valeur de f1 fournie par
l'énoncé n'intervient pas.
B.1.10 Que se passe-t-il si |f2 | > f1 ?

B.2.2 Attention l'énoncé comporte une erreur : il faut lire f  = OF = -OF au 
lieu
de f  = OF = -OF .
B.2.4 On peut utiliser les formules de conjugaison de Descartes et de Newton.

B.2.6 S'assurer que dans les deux cas, on a IO > f  . En quoi est-ce important ?
B.3.3 Utiliser les résultats des questions B.2.5 et B.2.6, ainsi que le 
résultat de la
question B.2.2.
B.3.5 On arrive à une équation du second degré fixant O ; comment sont 
positionnées les deux solutions par rapport à I et O (qui sont fixés) ?
B.3.6 Penser à différentier la formule de conjugaison de Descartes.

A. Conductivité d'anneaux mésoscopiques isolés
A.1

Ligne bifilaire supraconductrice au niobium

A.1.1 La grandeur  dx est une inductance, donc  est une inductance linéique.
De même,  est une capacité linéique. Ainsi, dans le Système International,
 s'exprime en H.m-1 et  en F.m-1
Le modèle ne comporte pas de résistor, car la ligne est constituée d'un matériau
supraconducteur de résistance nulle, il n'y a pas de dissipation par effet 
Joule.
A.1.2 Appliquons la loi des noeuds au schéma électrique équivalent de la figure 
2 :
u
i(x, t) = i(x + dx, t) + ( dx)
(x + dx, t)
t
i
u
 i(x, t) + dx
(x, t) + ( dx)
(x, t)
x
t
au premier ordre en dx. On en déduit
i
u
= -
x
t
De même, en appliquant la loi des mailles, on obtient au premier ordre en dx
i
u
u(x, t) - ( dx) (x, t) = u(x + dx, t)  u(x, t) + dx
(x, t)
t
x
u
i
= -
x
t

soit

Il faut bien faire attention aux signes. Pour une bobine d'inductance L
et un condensateur de capacité C, les relations
di
du
u=L
et
i=C
dt
dt
sont vraies en convention récepteur.
Le rapport du jury signale de nombreux problèmes de signes à cause
d'une mauvaise connaissance des conventions.
A.1.3 Dérivons la première équation aux dérivées partielles par rapport à t, et 
la
seconde par rapport à x ; il vient
2i
2u
= - 2
t x
t
dont on déduit

et

2u
2i
=
-
x2
x t

2u
2u
- 2 = 0
2
x
t

De même, en dérivant la première équation aux dérivées partielles par rapport à 
x,
et la seconde par rapport à t, on arrive à
2i
2i
- 2 = 0
2
x
t

A.1.4 Les grandeurs u(x, t) et i(x, t) vérifient la même équation, l'équation de
d'Alembert unidimensionnelle, 
qui décrit la propagation d'ondes non dispersive et
sans absorption. La quantité 1/   est la vitesse de propagation des ondes.
A.2

Calcul de la capacité linéique de la ligne

A.2.1 On considère un fil infini portant la charge linéique +q. Soit M un point 
de
l'espace en dehors du fil ; le plan P1 , contenant le fil et M, et le plan P2 , 
orthogonal
au fil contenant M, sont des plans de symétrie de la distribution de charge 
(voir
schéma de gauche ci-dessous). Ainsi, en M, le champ électrostatique, qui est un
vecteur polaire, appartient à P1 et P2 : en coordonnées cylindriques, il est 
donc radial.
L'axe de révolution étant l'axe Ox, ceci s'écrit

-

E (r, , x) = E(r, , x) -
e
r

Par ailleurs, les invariances par translation selon Ox et par rotation autour 
de Ox
impliquent respectivement
E
E
=0
et
=0
x

-

d'où
E = E(r) -
er
D

P1
x
-

ex
r M

P2

x
-

e

-
e
r

O

-

ex
r

L

-

e

-
e
r

M

O

z

z

y

D

y

Raisonnons sur un cylindre , d'axe Ox et de hauteur h, dont on note D et D
les bases et L la surface latérale. On oriente ce cylindre vers l'extérieur. 
Calculons
le flux  du champ électrique à travers  :
ZZ
ZZ

 -
-
 -
-
=
E · dS =
E · dS

L

-

- -

-
-
puisque E · dS est nul sur 1 et 2 (car E est radial et dS selon 
ex ). Finalement,
-

-
comme dS = r d dz er sur L , on a directement
 = 2  r h E(r)
Il ne reste plus qu'à appliquer le théorème de Gauss à la surface fermée 
Qint
=
avec
Qint = +q h
eff 0
pour obtenir

-

E = E(r) -
er

avec

E(r) =

q
2  eff 0 r