CCP Physique 1 PSI 2005

Thème de l'épreuve Hydrodynamique du mouillage, physique des plasmas
Principaux outils utilisés mécanique des fluides, électromagnétisme

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2005 PSIP 105

A

CONCOURS (OMMUNS POlYIECHNIOUES

EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision
de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler 
être une erreur
d' énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en 
expliquant les raisons
des initiatives qu 'il a été amené a prendre.

***

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la
numérotation de la question traitée.

L'épreuve comporte deux problèmes totalement indépendants.

PROBLEME A : FABRICATION DE FILMS PHOTOGRAPHIQUES PAR DEPOT
CONTINU DE SUBSTANCE PHOTOSENSIBLE -

Ce problème a pour but d étudier la physique du dépôt d'une substance 
photosensible sur un ruban
plastique tel qu 'il est réalisé dans l industrie. Le ruban est tiré à vitesse 
constante après un passage
dans un bain contenant la substance active pour fabr1quer la pellicule 
photographique.

Aucune connaissance sur la tension superficielle (la force capillaire) n 'est 
requise pour traiter ce
problème.

Dans ce problème, on prendra pour la constante de Boltzmann : k351,38.10'23 
J.K",

l'accélération de la pesanteur : g=10 m.s'2 et pour la tension superficielle de 
l'eau

ym = 72,8-10'3 s1.

A.l

A.1.1

A.1.2

A.2

A.2.1

A.2.2

A.2.3

A.2.4

TENSION SUPERFICIELLE

Considérons deux phases en équilibre, un liquide et sa vapeur, séparées par une 
interface
d'aire A. En prenant en compte les interactions entre molécules, on montre que 
l'interface
porte une énergie E , positive et proportionnelle au nombre de molécules 
situées en surface.

Justifier que cette énergie est proportionnelle àla surface de l'interface. On 
écrira E : yA .
La constante y est appelée tension de surface, et dépend du matériau.

Quelle est l'unité, dans le système international de y ? Donner son ordre de 
grandeur.

LOI DE LAPLACE

La traversée d'une interface courbe (sous l'effet de la tension superficielle) 
s'accompagne
d'un saut de pression. Nous allons quantifier, dans cette question, ce saut de 
pression.
Considérons, alors, la gouttelette sphérique de rayon R de la figure 1.

Po

------------

Figure 1 : gouttelette liquide

Quel est l'accroissement dS de la surface de la gouttelette, lorsque le rayon 
passe de R à
R+dr ?
Quel est l'accroissement d'énergie dE de l'interface, en fonction de 7, R et dr 
?

Calculer le volume élémentaire balayé par la surface de la gouttelette, lorsque 
le rayon
passe de R à R+dr.- , *
On appelle P1 la pression qui règne à l'intérieur de la gouttelette et P0 la 
pression

extérieure. On pose AP : R ---- E, la différence de pression. Calculer le 
travail des forces
de pression sur la surface sphérique de la gouttelette pour la faire gonfler de 
R à R+dr.

En écrivant l'égalité entre le travail des forces de pression et 
l'accroissement d'énergie dE
de la surface de la gouttelette, déduire la loi de Laplace qui relie la 
différence de pression à

y et à R. L'écrire sous la forme suivante, en précisant la valeur du 
coefficient @ :

AP=oc-Y--

R

Application numérique : on considère une gouttelette d'eau de 100 um de rayon. 
Quelle est
la surpression correspondante ?

A.3 HYDRODYNAMIQUE DE MOUILLAGE

'

A.3.1 Equations générales

Nous considérons une lame liquide d'épaisseur h(x), s'écoulant sur un solide 
plan de cote
y = 0 (voir la figure 2).

Le liquide est caractérisé par sa viscosité 11, par sa tension superficielle y 
et par sa masse
volumique p. Autour du liquide, se trouve une phase vapeur à la pression Po et 
de viscosité

négligeable. Nous cherchons à déterminer le champ de vitesse v au sein du 
fluide.

On rappelle l'équation de Navier--Stokes : p' --îl +(17 - grad ) {J = _ grad P 
+ pë + nÂÿ
[

où n est la viscosité dynamique du fluide.

Figure 2 : écoulement d'une lame de liquide sur une paroi solide verticale

A.3.1.a Que vaut div( 17 ) si le fluide est incompressible ?
On note u et w les composantes de la Vitesse iî selon x et y, soit :
V(X, y) : U(X, ÿ)ex + W(.X, y)EURy

A.3.l.b Donner, à partir de l'équation de Navier-Stockes et de l'équation sur 
div(îx), les trois

équations, aux dérivées partielles, auxquelles satisfont les composantes u et w.

A.3.2 Approximation de lubrification

On suppose le film mince c'est à dire d'épaisseur h, négligeable devant la 
longueur
caractéristique La, le long de l'écoulement. Appelons U et W respectivement les 
ordres de
grandeur des composantes longitudinale et transversale de la vitesse du fluide.

A.3.2.a Montrer, à partir de la valeur de dit/(i») , que la vitesse 
transversale peut être négligée.

, . Ôu 5211
Montrer que l'on peut neghger les termes ---- et --2- .
Ôx Ôx

La longueur caractéristique de l'écoulement est La, suivant l'axe (Ox). On 
suppose que le

nombre de Reynolds REUR : p LOU
'l

est petit devant 1. Montrer qu'en régime permanent :

Ôzu ÔP ÔP
n----=--+pg et--=O_

Ôy2 Ôx Ôy

A.3.2.b Que dire de la pression dans l'épaisseur du film ?

1 82h
Au même ordre en (h/L), la courbure de l'interface se réduit à -- z --;3--,--. 
Quelle est
x
l'expression, obtenue à partir de la loi de Laplace, de la pression P dans la 
lame de liquide,
ôzh
en fonction de P0 , de --:3--,-- et de y ?
x

A.3.3 Dépôt sur une plague tirée d'un liquide mouillant

Si la plaque animée de la vitesse V est tirée verticalement du bain de liquide 
(cf. figure 3),
le film d'épaisseur e qu'elle entraîne est mince. En effet, le film 
n'existerait pas en
l'absence d'entraînement et même s'il y a un film microscopique de mouillage.

_ Ménisque statique lorsque
la plaque est immobile

Figure 3 : entraînement d'un film par la plaque tirée d'un bain de liquide

Les trois zones indiquées sur le schéma correspondent aux situations suivantes :
- zone (1) film de mouillage d'épaisseur e

- zone (2) ménisque «dynamique »

- zone (3) ménisque « statique », obtenu lorsque la plaque est immobile.

Ce sont les interfaces qui jouent les rôles primordiaux:
-- l'interface solide/liquide: à cause de sa viscosité, le liquide près du 
solide va à la

vitesse Vdu solide, et donc part avec lui ,

- l'interface liquide/vapeur : elle est déformée par le mouvement du solide ; 
cette
déformation est limitée par la tension superficielle du liquide.

Les forces visqueuses et capillaires jouent donc des rôles antagonistes.

Le nombre qui compare ces forces (écrites par unité de longueur) s'appelle le 
nombre
capillaire, noté Ca. Il est défini comme le rapport de l'ordre de grandeur des 
forces

. . - V
visqueuses aux forces cap1lla1res: Ca- -- Tl
Y
A.3.3. a Que vaut la vitesse du fluide en y=0 ? '
Que vaut le cisaillement du fluide (défini par %)' al' interface liquide--air 
(y= e) ?

ôzu
A.3.3.b Dans la zone du film d'épaisseur e, l'équation de Navier--Stockes se 
réduit à : n-----,z pg .

Donner le profil de vitesse u(x,y), en admettant que cette vitesse ne dépend 
pas de x. On '
montrera que u(y)= By2 -- Ây + V , où l'on donnera l'expression des constantes 
X et B.

Exprimer le débit volumique Q de liquide, par unité de longueur de la plaque 
(dans la zone
du film mince), en fonction de V, e, p, g et n.

A.3.3.c Si on suppose que le nombre capillaire est proche de ], l'épaisseur du 
film est telle "que le
débit volumique Q par unité de longueur est maximal. Donner l'expression de 
l'épaisseur

du film e, en fonction du nombre capillaire Ca et de la constante 161 .Cette 
relation porte le
nom de loi de DERJ AGUIN .

A.3.3.d En fait, il est peu probabled'avoir Ca proche de 1. Dans le cas où le 
nombre capillaire est
petit, l'épaisseur du film est donnée par la loi de LANDAU :

e zK--l Ca2/3_
Dans ce Cas, exprimer le nombre de Reynolds de l'écoulement en fonction de Ca, 
et du
paramètre A = "2 _g_3_ .
PY

A.3.3.e Application numérique : que vaut le nombre capillaire pour lequel on a 
un nombre de
Reynolds voisin de l, pour de l'eau dont le coefficient de viscosité vaut n = 
10"3 SI ?
À quelle vitesse V de tirage de la plaque ce nombre correspond-il ?

A.4

A.4.1

A.4.2

A.4.3

A.4.4

DRAINAGE DES FILMS

Une fois fabriqué, le film n'est plus soumis qu 'à la gravité, ce qui va 1' 
amincir par le haut.
La paroi solide est maintenant immobile. Le fluide va s'écouler vers le bas, 
ainsi nous
prendrons dorénavant l'axe des x vers le bas.

Exprimer le débit volumique algébrique par unité de longueur Q. Il faudra faire 
attention au

signe de Q, l'écoulement du liquide se faisant vers le bas.

On note h(x, t) l'épaisseur du film (voir figure 4) qui dépend maintenant àla 
fois du temps t
et de la position x: le film, qui n'est pas alimenté, s'amincit par le haut. 
Soit L(t) la
longueur de la zone amineie à l'instant t. On a bien évidemment h(L(t),t) : 
EUR. En

écrivant la conservation de la matière, sur une tranche comprise entre les 
plans de cote x et
x+dx et de largeur unité, montrer que. '

ô_t= n ôx

Photo à l'instant t Photo à l'instant t'>t

Figure 4 : drainage d'un film sous l'effet de la pesanteur

Une solution de l'équation (l) est h = e : le bas du film est une zone plate. 
En haut, le film
s'amincit. On se propose de rechercher une solution de l'équation (1) sous la 
forme

h : Ax"L t°. Que valent A, on et B ? On rappelle que la zone amineie s'étend 
sur une
longueur notée L.

2 P8
n

Montrer que L(t)-- .. e --------,t c'est à dire que cette extension progresse 
linéairement avec le

temps.
En déduire la vitesse de progression de la zone amineie.

Comment doit-on choisir la vitesse de retrait de la plaque, pour que la couche 
d'épaisseur
e ait une épaisseur maximale ?

PROBLÈME B: ÉTUDE D'UN PLASMA

Les questions de ce problème constituent une suite logique et sont donc à 
traiter dans l'ordre
indiqué. Certaines des questions peuvent donner lieu à une application 
numérique. Une

attention toute particulière y sera donnée lors de la correction de ce problème.

Nota Bene. les vecteurs sont notés en gras, exemple. E pour le champ 
électrique...
Dans tout le problème, i sera le nombre imaginaire par tel que i 2=-1.

Dans ce problème, on prendra pour la constante de Planck: h=6,62.10'34J.s, le 
nombre
d'Avogadro: N,fi6,022.1023 atomes/mole, la constante de Boltzmann: 
kB=l,38.10'23 J.K'l,
l'accélération de la pesanteur: g=9,81 m.s'z, pour la célérité de la lumière 
dans le vide

c = 2,998.108 m.s'l, 4 1 = 9.109 SI et la masse de l'électron me-= 9,11.10'31 
kg.
7r.eo

B.1 PRÉAMBULE

On considère un petit volume parallélépipédique de longueur 1 suivant l'axe Ox 
et de
section S contenant de l'hydrogène (se comportant comme un gaz parfait), 
maintenu à une
pression de 1 bar et à une température de 25°C. Ce gaz est principalement 
constitué de
molécules H2 et d'un mélange de protons (ions H+) et d'électrons e". Ce mélange 
est plus
ou moins ionisé suivant les conditions physiques qu'on lui impose.

On définit le degré d'ionisation a par :

a = C (bl)
ne +n0

où nc : ne_ : n p est la densité volumique d'électrons et de protons, et no la 
densité

volumique d'atomes non ionisés. On suppose qu'on est en présence d'un plasma 
fortement
ionisé, de degré d'ionisation a =10"3.

B.1.1 Calculer la densité volumique n H. de molécules d'hydrogène. Application 
numérique.
B.1.2 En déduire la densité volumique ne_ d'électrons non liés. Application 
numérique.

B.1.3 Quel est l'ordre de grandeur du rapport des masses m p / me_, entre un 
noyau d'hydrogène
(mp) et un électron (me_) '? On négligera la différence de masse entre un atome
d'hydrogène H et un ion hydrogène È (proton). Application numérique.

B.2 DENSITÉ DE CHARGE

D'après la définition d'un plasma, le gaz contenu dans l'enceinte est composé 
d'un nombre
égal d'électrons et d'ions positifs, uniformément distribués. On applique une 
brève
impulsion de champ électrique E, parallèle à l'axe Ox. On supposera que cette 
impulsion a
une durée dt, suffisamment courte pour que les protons n'aient pas le temps de 
bouger.
Sous l'effet de cette impulsion, les électrons, initialement situés en x, 
subissent un
déplacement 5(x,t).

B.2.1

B.2.2

B.2.3

B.2.4

B.2.5

B.2.6

B.2.7

B.2.8

B.3

B.3.1

B.3.2

B.3.3

_ B.3.4

B.3.5

B.3.6

5.3.7

On considère le parallélépipède de sectionS et de très faible épaisseur, situé 
entre x et
x+Ax. Déterminez le nombre ANe d'électrons compris initialement dans le volume 
AV

correspondant.

Après avoir appliqué l'impulsion, l'ensemble de ces charges se retrouvent dans 
un volume

0"
AV'. Exprimer A V' et A V en fonction de----- EUR.

"En supposant que la variation de volume est très faible devant le volume 
considéré, déduire
de B.2.2 l'expression de la densité d'électrons n 'e_ (x, t) .

En déduire la densité volumique de charge p(x,t) : Pæ: (x,t) dans le plasma.

&" 559

Que représentent physiquement les termes différentiels a et 5?

Etablir l'équation qui relie le potentiel V(x) à la densité p(x) de charge 
d'espace. On
utilisera pour la relation entre E et V la formule 1ssue del' électrostatique.

Quel est le « nom » de cette équation ?

En déduire l'équation différentielle qui relie le potentiel V(x,t) au 
déplacement 5(x, t).

FRÉQUENCE PLASMA

Donner l'expression de la force F (x,t) subie par une charge élémentaire 
(électron), du

fait de la présence du potentiel" V(x,t).

En utilisant le résultat de B.2.8, déterminer sa dépendance en 5(x,t), sachant 
que ë(x, t) est

nul lorsque l'on n'applique aucun champ électrique extérieur. Dites pourquoi la 
constante
d'intégration que vous avez été amené à introduire doit être nulle.

En déduire l'équation différentielle du second ordre en t qui régit le 
comportement
temporel de {.

Donner sa solution.

En déduire l'expression de la pulsation plasma a)Pe_ des électrons. Application 
numérique.

Par analogie, donner l'expression de la pulsation plasma (app des protons. 
Application
numérique.

æPe

Déterminer et commenter le rapport .Application numérique.

(OP;

B.4

B.4.1

B.4.2

B.4.3

B.4.4

B.4.5

B.4.6

B.4.7

B.5

B.5.1

B.5.2

B.5.3

B.5.4

COURANTS PLASMA

On soumet maintenant le plasma à un champ électrique alternatif E = E,, -eiwt 
selon x de
pulsation a). Dans un premier temps, on négligera les collisions.

Dans ces conditions expérimentales, déterminer l'expression du vecteur vitesse 
v, en
fonction du champ électrique appliqué E, en notation complexe.

En déduire la densité de courant électronique Je_ (t) pour une densité 
électronique ne-

constante.

Quelle est l'avance de phase de cette densité de courant Je_ (t) par rapport au 
champ

appliqué E(t) ? En électrocinétique, à quel type de comportement correspond une 
telle
relation ?

Déduire, par analogie, la densité de courant ionique J p (t) pour une densité 
électronique

constante. Comparer au courant électronique.
Déterminer la densité de courant de déplacement JD.

Quelle est la relation de phase entre cette densité de courant et le champ 
appliqué '? En
électrocinétique, à quel type de comportement correspond une telle relation ?

Le courant de protons pouvant être négligé, déterminer la relation entre le 
courant total
J TO, (t) et le champ appliqué.

PLASMA À PRESSION AMBIANTE

Pour un plasma à pression ambiante, on tient compte des chocs dans le plasma, 
via une
force proportionnelle à la quantité de mouvement p des électrons (de masse me-) 
en
mouvement F =----Âp.

Donner le signe et la dimension du coefficient de proportionnalité Â .

Établir l'équation différentielle qui régit la vitesse des électrons dans un 
plasma soumis à
un champ extérieur E : Ew -e'"" selon x.

Résoudre complètement l'équation différentielle, sachant qu'à t=O les électrons 
ont une
vitesse vo (selon x). On donnera la solution sous forme d'une fonction réelle 
du temps et

on posera ça : -- arctan(%).

Que devient la vitesse initiale vo ? Donner une représentation graphique (à 
main levée) de
l'évolution temporelle de la vitesse v(t).

B.5.5 Discuter la trajectoire des électrons.

B.5.6 Établir l'équation différentielle qui régit le déplacement des électrons 
dans un plasma
soumis à un champ extérieur E : EO + Ew ""' selon x avec EO constant dans le 
temps et

l'espace.
B.5.7 Donner, sans calculer les constantes, la forme de la solution physique 
correspondante.

B.5.8 Établir la solution physique de cette équatiOn (fonction réelle du 
temps). Les conditions
initiales n'étant à ce point pas fixées des constantes arbitraires apparaîtront.

B.5.9 Que devient une éventuelle vitesse initiale vo ? Donner une 
représentation graphique de
l'évolution temporelle de la vitesse v(t).

B.5.10 Discuter la trajectoire des électrons.

B.6 TORCHE À PLASMA

On cherche à découper une plaque d'acier d'épaisseur ep=1 cm, d'une masse 
volumique de
7,75 ÿcm3 , à une vitesse de découpe Vd de 1 mm par seconde (cf. figure 1). On 
utilise pour
cela un plasma décrit dans la question B.5.3.

!

<---->

Figure 1 : découpe d'une plaque d'acier d'épaisseur ep=1cm

B.6.1 En supposant que l'acier est essentiellement constitué de fer, de masse 
molaire
pFe : 55,845 g/mole, et sachant que dans les conditions de fonctionnement de la 
torche, on

fait fondre la plaque sur une largeur 1 = 1 mm, déterminer le volume V... de 
fer fondu par
unité de temps et le nombre Npe d'atomes de Fer que l'on doit délier par 
seconde pour
atteindre la vitesse de découpe prévue. Application numérique.

B.6.2 En supposant que chaque choc électron-fer a assez d'énergie pour délier 
l'atome de fer
touché (soit environ 20 eV = 20 * 1,6 10"19 J), quelle devrait être l'intensité 
du courant
d'une telle torche '? Application numérique.

B.6.3 Quelle est la puissance (en watt) du jet d'électrons ? Application 
numérique.

B.6.4 Ces valeurs vous semblent-elles réalistes ? (argumenter)

FIN DU PROBLÈME B

FIN DE L'ENON CE.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Marie Billangeon (ESPCI) ; il a été relu par
Vincent Langlois (ENS Lyon) et Stéphane Ravier (Professeur en CPGE).

Cette épreuve comporte deux problèmes complètement indépendants : il s'agit
d'un sujet assez facile, qui demande juste de bien connaître son cours et de 
mener les
calculs avec soin.
· Le premier problème est consacré au phénomène de mouillage dans le cadre de
la fabrication de films photographiques. On commence par établir quelques 
relations classiques sur la tension superficielle. Ensuite, on est amené à 
modéliser
le phénomène de mouillage : on explicite l'approximation de lubrification, puis
on établit le profil d'un liquide mouillant sur une plaque, pour retrouver 
finalement les résultats de la théorie Landau-Levich-Derjaguin (LLD). Enfin, on 
se
propose d'étudier le drainage de films minces, régime dans lequel la plaque est
immobile et où le fluide n'est plus soumis qu'à la gravité.
· Le second problème a pour thème la physique des plasmas. On commence par
quelques rappels sur les grandeurs caractéristiques d'un plasma (degré 
d'ionisation , densité volumique d'électrons et d'ions), puis on cherche à 
établir
l'équation qui décrit l'oscillation des charges autour de leur position 
d'équilibre
sous l'effet d'une brève impulsion de champ électrique. On modélise ensuite les
courants plasma qui apparaissent sous l'effet d'un champ électrique alternatif :
on distingue le cas sans collisions du cas avec collisions. Enfin, on conclut 
sur
l'exemple de la torche à plasma, qui permet de se faire une idée de l'ordre de
grandeur des puissances mises en jeu dans les applications industrielles.
L'énoncé est assez long, et parfois un peu confus. Le premier problème requiert
une bonne connaissance de la mécanique des fluides : il ne s'agit pas de se 
contenter
d'aligner les calculs, et il est clair que le candidat qui sait mettre en avant 
l'importance
des hypothèses faites implicitement ou explicitement dans ce problème se 
distingue.
Qui plus est, la physique du mouillage a fait l'objet d'un certain nombre de 
problèmes
de concours ces dernières années. Le second problème est plus calculatoire et 
demande
surtout d'être attentif à chaque étape de calcul, certaines notations étant 
pour le
moins troublantes.

Indications
Problème A
A.3.2.a Faire une analyse en ordre de grandeur, et simplifier les équations 
établies à
la question A.3.1.b. Ne pas oublier d'utiliser l'hypothèse de stationnarité.
A.3.2.b Utiliser la loi de Laplace (question A.2.3). Il y a une erreur de signe 
dans
l'expression de R-1 car d2 h/dx2 > 0 : en plus, x 7- h(x) étant une fonction
d'une seule variable, l'emploi de dérivées partielles est incorrect :
1
d2 h

R
dx2
A.3.3.a Traduire la continuité de la contrainte tangentielle à la traversée de 
l'interface.
A.3.3.b Pour déterminer les constantes d'intégration, utiliser les deux 
conditions aux
limites établies à la question A.3.3.a.
A.3.3.c L'expression de la longueur capillaire -1 introduite par l'énoncé est
r

-1 =
g
A.4.1 Utiliser l'expression du débit volumique Q établie à la question A.3.3.b, 
en
tenant compte du fait que la paroi solide est désormais immobile.
A.4.3 Pour déterminer  et , réinjecter l'expression de h sous la forme A x t
dans l'équation aux dérivées partielles établie à la question A.4.2.
Problème B
B.1.1 Appliquer la loi des gaz parfaits.
B.1.3 On rappelle que la masse molaire de l'hydrogène est MH = 1 g.mol-1 .
B.2.3 Faire un développement au premier ordre en /x.
B.2.8 Combiner les résultats des questions B.2.4 et B.2.6.
B.3.2 Intégrer l'équation aux dérivées partielles établie à la question B.2.8 
par
rapport à x.
B.3.3 Appliquer le principe fondamental de la dynamique à un électron.
B.3.4 Penser à l'équation de l'oscillateur harmonique.
B.3.7 Utiliser l'électroneutralité du plasma pour simplifier l'expression du 
rapport
Pe- / Pp .
B.5.3 Utiliser la relation trigonométrique
Arctan (x) + Arctan

1

= sgn(x)
x
2

A. Fabrication de films photographiques par dépôt
continu de substance photosensible
A.1

Tension superficielle

A.1.1 Il est raisonnable de penser que les interactions entre les molécules 
sont à
courte portée : en effet, à l'exception de certains solides (métaux, cristaux 
ioniques),
les phénomènes de tension superficielle mettent en jeu la plupart du temps des 
forces
de Van der Waals ou des liaisons hydrogène qui sont des interactions à courte 
portée.
Par conséquent, seules les molécules proches de l'interface contribuent à cette 
énergie
interfaciale, et on en conclut que cette énergie E est proportionnelle à la 
surface de
l'interface A :
E=A
A.1.2 L'unité de  dans le système international est le kg.s-2 car
[] = [E] L-2 = M T-2
La tension superficielle  varie généralement de 10-2 J.m-2 à 1 J.m-2 .
En fait, l'ordre de grandeur de la tension de surface  est assez variable selon
la substance considérée :
· Dans les liquides organiques, l'ordre de grandeur de  est donné par
=

kB T
a2

où a est la taille caractéristique des molécules mises en jeu.  est de
l'ordre de 10-2 J.m-2 .
· Les molécules d'eau étant liées par des liaisons hydrogène,  eau est
relativement grand (72, 8.10-3 J.m-2 ).
· Pour les métaux et les semi-conducteurs,  est de l'ordre de 50.10-2 à
300.10-2 J.m-2 : on parle de surface de haute énergie.

A.2

Loi de Laplace

A.2.1 L'aire de la surface de la gouttelette s'écrit
S = 4 R2
On en déduit l'accroissement dS de la gouttelette lorsque son rayon passe de R à
R + dr en différentiant l'expression de S :
dS = 8 R dr
En reprenant le résultat de la question A.1.1, on montre que l'accroissement 
d'énergie dE de l'interface qui en résulte vaut
dE =  dS
Par conséquent

dE = 8  R dr

A.2.2 Le volume de la gouttelette est
4
 R3
3
En différentiant cette relation, on déduit que le volume élémentaire dV balayé 
par la
surface de la gouttelette est
V=

dV = 4 R2 dr
Le travail des forces de pression s'écrit
W = -(P0 - P1 ) dV
En notant P = (P1 - P0 ), et en utilisant l'expression de dV établie 
précédemment,
on trouve
W = 4 P R2 dr
A.2.3 On considère que le travail des forces de pression est égal à 
l'accroissement
d'énergie de la surface de la gouttelette. D'où :
W = dE
soit
4 P R2 dr = 8  R dr
La démonstration attendue par l'énoncé est un peu rapide. Pour être
plus complet, on peut écrire le potentiel thermodynamique  du système
{goutte + air}
 = -P0 V0 - P1 V1 +  S
En supposant P0 et P1 constants, ainsi que la température T, on peut écrire
la condition de minimisation du potentiel thermodynamique , et en déduire
la loi de Laplace.
On en déduit la loi de Laplace
P = 

R

où

=2

Dans le cas qui nous intéresse ici, on trouve  = 2, mais si l'on considère le
cas d'une bulle de savon par exemple, alors  = 4 car il y a deux interfaces
air/liquide, donc l'énergie interfaciale mise en jeu est deux fois plus grande.
A.2.4 On considère le cas d'une gouttelette d'eau ( eau = 72, 8.10-3 J.m-2 ), de
rayon R = 100 µm.
P = 1, 46.103 Pa

Application numérique :

C'est une différence de pression très faible (comparée à la pression 
atmosphérique
par exemple, P0 = 105 Pa).
A.3

Hydrodynamique de mouillage

A.3.1.a L'équation de conservation de la masse, sous sa forme locale, s'écrit

+ div (-
v)=0
t
L'analyse vectorielle donne
--

-

div (-
v ) =  div 
v +-
v · grad