CCP Physique 1 PSI 2003

Thème de l'épreuve Ondes évanescentes et miroir à atomes. Pendule de Foucault.
Principaux outils utilisés optique, électromagnétisme dans les milieux, composition des vitesses, équations de la dynamique
Mots clefs pendule de Foucault, réflexion totale, onde évanescente, miroir à atomes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


 

SESSION 2003 . | PSIP106

coucouas cominuus _ronncnuiou:s

EPREUVE SPECIFIQUE -- FILIERE PSI

PHYSIQUE 1

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont autorisées.

***

N.B. : Le candidat att'achera la plus grande importance à la clarté, à la 
précision et à la concision de la rédaction. Si
un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d 
'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra
poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été 
amené à prendre.

***

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la
numérotation de la question traitée.

DOSSIER REMIS AUX CANDIDATS

- Texte de présentation (11 pages)

PROBLÈME A: PRINCIPE DU MIROIR À ATOMES PAR CHAMP
ÉVANESCENT

Ce problème comporte de nombreuses questions indépendantes. .

Nota Bene : les vecteurs sont notés en gras, exemple : E pour le champ 
électrique. ..
Dans tout le problème, j sera le nombre imaginaire pur tel que j2 =--I .

On prendra pour la Constante de Planck: h=6,62.10'"J.s, le nombre d'Avogadro:
NA=6,022.1023atomes/mole, la constante de Boltzmann : kB=1,38.10'23 J.K'l, 
l'accélération de

la pesanteur : g=9,81 m.s'2 et pour la célérité de la lumière dans le vide c : 
2,998.108 m.s'l.

A.1

A.1.a

A.1.b

A.1.c

A.2

A.2.a

A.2.b

À PROPOS DES ONDES ÉVANESCENTES...

PHÉNOMÈNE DE RÉFLEXION TOTALE EN OPTIQUE GÉOMETRIQUE

On considère 2 milieux transparents (] ) et (2) d'indices respectifs nl et riz. 
Ces deux
milieux sont séparés par un dioptre plan. On s'intéresse à un rayon lumineux 
qui se
propage dans le milieu ( 1 ) vers le milieu ( 2 ). '

Rappeler dans quelles conditions il n'y aura pas de rayon réfracté. On 
introduira l'angle
limite en... (angle repéré par rapport à la normale au dioptre) que l'on 
exprimera en fonction
de nl et riz.

Donner un exemple concret d'utilisation de la réflexion totale.

On considère le dispositif représenté sur la figure 1, où le prisme de verre, 
d'indice n
présente une section trapézoïdale avec des angles supérieurs de valeur égale à 
7t/4. Le
prisme est plongé dans le vide.

Fig. 1. - Marche d'un rayon dans le prisme

Donner l'intervalle des valeurs possibles pour l'angle oc tel que l'on soit en 
réflexion totale
sur l'interface verre/vide pour n = 1,89. On remarquera que on peut être 
négatif.

ONDES ÉVANESCENTES DANS LE F ORMALISME DE MAXWELL

L'optique géométrique est insuffisante pour décrire plus précisément le 
phénomène de
réflexion totale et plus particulièrement pour décrire l'onde qui règne dans le 
vide au
dessus de la surface du prisme. On utilise donc le formalisme de Maxwell.

Ecrire les équations de Maxwell pour les champs E et B dans un milieu 
diélectrique
linéaire, homogène isotrope et non magnétique, en fonction de l'indice n du 
milieu et de la

' vitesse de la lumière c dans le vide. On rappelle que l'indice d'un milieu et 
la permittivité

relative t--:r sont reliés par la formule er=n2.

En déduire l'équation de propagation'du champ électrique dans ce milieu.
Quelle est la vitesse de propagation de l'onde dans le diélectrique '?

A.2.c

A.2.d

A.2.e

A.2.f

Donner, sans démonstration, les conditions aux limites auxquelles doivent 
satisfaire les
composantes tangentielles E... EQ, Bt1 et Btz et normales E..., En2, B... et 
Bn2 des champs E
et B de part et d'autre de l'interface séparant les milieux (l) et (2). Il n'y 
a pas de

' distribution surfacique de charges libres.

Un milieu diélectrique d'indice n>1 occupe le demi-espace ZO (figure 2). /

vide

Fig. 2. - Géométrie utilisée dans cette partie

Une onde plane monochromatique incidente de pulsation w et de vecteur d'onde 
ki, et se
propageant dans le milieu d'indice n tombe sur la surface de séparation z=O 
avec un angle
6=(uz,ki) tel 'que l'on soit en réflexion totale. On supposera l'onde 
électromagnétique
polarisée de façon rectiligne.

Le champ électrique incident E est perpendiculaire au plan d'incidence, son 
amplitude est
EO. Ecrire les composantes du vecteur ki en fonction des quantités suivantes :

nw nca .
a =--cosô ,B =--s1n9
c c

Ecrire la forme complexe de cette onde en un point M repéré par le vecteur 
position r=OM
en fonction de oc, B, Eo, x, z et t. Au nombre réel cos(wt_) on associe le 
nombre complexe

exp(-- [' wt).

Retrouver la relation vectorielle qui lie B et E pour une onde plane.

En déduire les composantes en valeur complexe du champ magnétique Bi de l'onde
incidente en fonction de EQ, (1), OL, B, x, z et t.

L'onde réfléchie sur le dioptré possède le vecteur d'onderéfléchi k,.

Exprimer les composantes de kr en fonction de oc et B.

A.2.g On admet que le champ électrique de l'onde réfléchie s'écrit en notation 
complexe sous la
' forme :

_ j(k,r--wt)
E,- E0re .uy

E... est une constante éventuellement Complexe.
Calculer les composantes du champ magnétique Br de l'onde réfléchie en fonction 
de E...

(1), OL, B, x, zet t.

A.2.h Montrer que les conditions aux limites rappelées auparavant ne peuvent 
être satisfaites sur
la surface z=O que s'il existe une onde (E',B') transmise dans le vide.

A.2.i On supposera que l'onde transmise est de la forme :
E'=EO 'e--kzzeflk """" .uy
Commenter cette expression.
Quelle est l'expression du vecteur d'onde complexe de l'onde transmise. Donner 
alors
l'expression de B' '

A.2.j En utilisant les conditions aux limites vues précédemment, trouver une 
relation entre k; et'

2
a)

B. Puis montrer que k; : ,B 2 -------,_. Exprimer aussi Eg' en fonction de E0, 
oc et k2.
C .

A.2.k On définit la longueur d'amortissement 6 de l'onde évanescente, comme la 
distance au bout
de laquelle l'amplitude de l'onde transmise est divisée par 2. .
Quelle est l'expression de cette longueur en fonction de la longueur d'onde À 
de l'onde

électromagnétique, de l'indice du milieu n et de l'angle 6 ?

Faire l'applicati0n numérique pour un angle d'incidence de 60° par rapport à la 
normale de

l'interface verre/vide. On utilisera comme milieu le verre du prisme décrit au 
A.2 et on
utilise l'onde associée à un faisceau LASER de 780 nm de longueur d'onde. 
Conclure.

PRINCIPE DU MIROIR ATOMIQUE

En 1924 Louis De Broglie a introduit le concept de dualité onde-corpuscule. 
L'onde
associée à un corpuscule de quantité de mouvement p possède une longueur d'onde

ÀdB=h/p où h est la constante de Planck. Un ensemble d'atomes identiques pourra 
être

étudié du point de vue ondulatoire avec les méthodes de l'optique par analogie 
avec une
onde lumineuse de même longueur d'onde que la longueur d'onde de De Broglie. 
Ainsi par
exemple on peut décrire par une onde plane progressive un faisceau d'atomes 
possédant
tous le même vecteur vitesse. De même qu'une onde lumineuse, un faisceau 
d'atomes
peut--être réfléchi, diffracté. .. .

En optique photonique, les miroirs sont de simples surfaces métalliques sur 
lesquelles
« rebondissent >> les photons associés à l'onde lumineuse. Quand on passe à 
l'optique
atomique, pour laquelle les atomes jouent le rôle des photons, il n'est plus 
possible
d'utiliser de simples surfaces. On se propose ici de décrire un miroir à atomes 
qui utilise le
phénomène d'ondes évanescentes. Une autre technique, non décrite ici, est basée 
sur les
champs magnétiques ; on parle alors de miroir magnétique.

A.3

A.3.a

A.3.b

A.3.c

NÉCESSITÉ DE CONSTITUER UN TRAITEMENT RÉFLÉCHISSANT

On se propose d'expliquer pourquoi sans l'onde évanescente, un atome ou une 
molécule
est attirée par un milieu diélectrique. Il faut utiliser le concept de forces 
de Van der Waals.
On rappelle que l'interaction entre des molécules A et B (pas forcément 
identiques) peut
être modélisée par une énergie potentielle attractive du type :

E...:C/r6
où C est une constante positive qui dépend du type des molécules et r est la 
distance
séparant les deux molécules.

Quelle est l'expression vectorielle de la force de Van-der Waals qu'exerce une 
molécule A
sur une molécule B. On introduira un vecteur unitaire u. Est--elle attractive 
ou répulsive '?

Le milieu diélectrique, supposé semi-infini est composé de molécules B avec la 
densité
volumique de molécules égale à # (nombre de molécules par unité de volume). Une
molécule (ou un atome A) est située à une distance D du milieu semi--infini. 
Précisez la
direction et le sens de la force totale agissant sur la molécule A due au 
milieu semi-infini.

On s'intéresse maintenant à l'expression de l'énergie potentielle d'interaction 
de Van der
Waals U ... (x,z) "entre la molécule A et le milieu semi-infini. On commence 
par découper

le milieu en anneaux à section rectangulaire de hauteur dz et d'épaisseur dx, 
de rayon
moyen x. Combien y a--t-il de molécules B dans cet anneau '? En déduire la 
contribution

d 2U dw (x, z)à l'énergie potentielle totale de l'anneau situé en z et de rayon 
x en fonction de

x=oe .dx 1
[L, C, x, z, dx et dz. Sachant que L_O ----)-c-----3= 4,
.. (x2 +Z2) 4_z

d'interacti0n totale. On la mettra sous la forme U ..., (x, z) = --A/Z3

calculer l'énergie potentielle

En déduire la norme de la force d'interaction.

Fig. 3. - Géométrie pour le calcul de la f0rce de Van der Waals

A.4

A.4.a

A.4.b

A.4.c

A.5

A.5.a

ACTION DE L'ONDE ÉVANESCENTE SUR UN ATOME À DEUX NIVEAUX
D'ÉNERGIE

Dans la suite du problème, on s'intéressera au modèle à 2 niveaux d'énergie 8, 
et EUR,
(e,> de la vitesse sera v0 
et que, la
terre tournant sur elle--même, les points d'amplitude maximale du pendule se 
déplacent

avec une vitesse légèrement différente.

En déduire, le temps T que mettra le pendule, pour un observateur immobile dans 
le
Panthéon, pour faire un tour complet, sachant que la terre tourne autour 
d'elle--même en

TO=24 heures. Justifier votre réponse.

B.2.f Quel est le sens de rotation du plan d'oscillation du pendule pour un 
observateur dans le
Panthéon (justifier votre réponse) '?

B.2.g Que se passe--t-il si on réalise cette expérience en un point de latitude 
48° 51' Sud '?

B.2.'h Que se passe--t-il si on réalise cette expérience sur l'équateur ?

FIN DU DEUXIÈME PROBLÈME

Fin de l'énoncé

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Caudal (ENS Ulm) ; il a été relu par
Stéphane Ravier (Professeur en CPGE) et Vincent Fourmond (ENS Ulm).

Ce sujet se compose de deux problèmes indépendants. Le premier, le plus long,
est un sujet d'optique. Le second traite de mécanique et aborde le cas 
classique du
pendule de Foucault.
Dans le premier problème, on étudie la réflexion totale dans un prisme, d'abord
en optique géométrique selon les lois de Descartes, puis en affinant la 
description en
optique ondulatoire. Il apparaît ainsi qu'une onde évanescente est en fait 
transmise.
On se fonde sur les équations de Maxwell dans un milieu diélectrique, et sur les
équations de continuité des champs à la traversée de la surface séparant deux 
milieux.
L'étape décisive est donc de bien poser ces équations.
On envisage ensuite d'utiliser cette onde évanescente pour réaliser un miroir à
atomes. On crée une force répulsive d'interaction entre le champ et le dipôle 
induit par
polarisation. Afin de pouvoir réfléchir un faisceau d'atomes, cette force doit 
l'emporter
sur les forces de Van der Waals qui les attirent vers le milieu diélectrique. 
Toutefois,
au-delà d'une vitesse d'agitation thermique maximale, la barrière de potentiel 
peut
être franchie, et les atomes ne sont plus réfléchis. Cela oblige à utiliser des 
atomes
froids.
On fait ensuite l'analogie courante entre une onde électromagnétique et un 
faisceau d'atomes se comportant comme une onde, grâce à la relation de Louis de 
Broglie.
Dans la partie A.7, la plus difficile, on réalise ainsi une diffraction 
d'atomes en faisant
onduler la surface du miroir.
Le second problème traite du pendule de Léon Foucault (1819-1868) qui est 
exposé au Panthéon à Paris. Il met en évidence la rotation de la Terre au 
travers de
la perturbation qu'elle induit sur le mouvement d'un pendule. On étudie d'abord 
un
pendule au pôle Nord, ce qui permet de revoir le cas du pendule simple dans un 
référentiel galiléen, avant d'aborder le cas général. Ce problème propose une 
description
approchée, faisant appel au sens physique plutôt qu'aux équations de la 
dynamique
dans un référentiel non galiléen.
Ce sujet est assez long, mais la difficulté est progressive à l'intérieur de 
chaque
partie.

Indications
Premier problème
A.2.b On peut se servir de la formule d'analyse vectorielle
--
- - 
-

rot (rot -
a ) = grad (div 
a ) - -
a
A.2.d On rappelle que le plan d'incidence est défini par le vecteur d'onde 
incident,
la normale au dioptre et le point d'incidence.
 -
-

A.2.e Pour retrouver la relation qui lie E et B pour une onde plane, utiliser 
l'équation de Maxwell-Faraday.

-
A.2.h Remarquer qu'il suffit de montrer que B 6= 0.
A.2.k Le verre du prisme est en réalité décrit à la question A.1.c.
A.3.b Si le terme « semi-infini » paraît peu clair, considérer sur la figure 3 
le demiespace d'équation z > D.
A.5.a S'ils ont une énergie cinétique trop élevée, les atomes peuvent franchir 
la barrière de potentiel et ne sont pas réfléchis.
A.5.d Utiliser de préférence une relation de conservation, au lieu d'intégrer 
les équations du mouvement.
A.6.a On peut trouver trois grandeurs conservées, reliées aux trois dimensions 
de
l'espace.
A.6.b Se servir des grandeurs conservées établies à la question précédente.
A.7.a Pour cette question, plus difficile et plus longue, remarquer que l'onde 
réfléchie par l'interface a la même amplitude que l'onde incidente et qu'elles 
sont
simplement déphasées. La deuxième onde transmise s'exprime en adaptant
l'expression de l'onde transmise à un vecteur d'onde incident différent. 
Ajouter les deux champs transmis. Poursuivre l'approximation de la question 
A.4.b
en négligeant la dépendance temporelle en e -jt , ou bien repasser en notations
réelles pour le calcul de Edip .
Second problème
B.1.d Exprimer d'abord T en fonction de , puis utiliser la conservation de 
l'énergie
mécanique pour remplacer  par une fonction de , indépendante du temps.
B.2.d Après avoir vérifié que   1, faire un développement limité au premier
ordre en .
B.2.f Cette question est délicate. Appliquer la formule de composition des 
vitesses,
en faisant attention à bien définir les différentes vitesses, ou raisonner à 
l'aide
de la force de Coriolis.

A. Principe du miroir à atomes par champ évanescent
A.1.

Phénomène de réflexion totale en optique géométrique

A.1.a S'il existe un rayon transmis, la loi de Snell-Descartes sur la
réfraction s'écrit

1 1

lim
n1

n1 sin 1 = n2 sin 2
Ce rayon transmis n'existe que si
| sin 2 | 6 1, soit
n1
| sin 1 | 6 1
n2

n2

2

rayon rasant

· Si n1 < n2 , cette condition est vérifiée quel que soit l'angle d'incidence 1 
.
Il existe toujours un rayon transmis lorsque la lumière passe d'un milieu moins
réfringent à un milieu plus réfringent.
· Si n1 > n2 , seuls les angles d'incidence tels que | sin 1 | 6 n2 /n1 donnent 
lieu
à un rayon réfracté. L'angle d'incidence limite, au-delà duquel il n'y a pas de
rayon réfracté, vérifie
n2
sin lim =
n1
n2
ou encore
lim = Arcsin
n1
A.1.b Dans une fibre optique, la réflexion totale permet la propagation de 
lumière
sans perte. Les conditions d'obtention de la réflexion totale sont réunies : un 
indice
supérieur à l'indice de l'air ou de la gaine qui entoure la fibre, et des 
angles d'incidence
supérieurs à l'angle limite ; en effet, les rayons sont pratiquement parallèles 
à l'axe
de la fibre.
A.1.c Exprimons  en fonction des angles  puis . La somme des angles du
triangle AIO vaut  :

3  
 +
+
- =
4
2

d'où
 =-
4

z

A

4

3=4

4

0

O

I

La loi de Descartes sur la réfraction s'écrit

sin  = n sin  = n sin  -
4
La réflexion est totale si  > lim ce qui, compte tenu de la croissance de la 
fonction
sinus sur [ -/2 ; /2 ], se traduit par

sin  > n sin lim -
4
h

 i
d'où
 > Arcsin n sin lim -
4
et avec

lim = Arcsin

on obtient
A.2.

1
= 31, 9
n

 > -25, 3
Ondes évanescentes dans le formalisme de Maxwell

A.2.a Le premier groupe d'équations de Maxwell est indépendant des sources et
garde donc une forme immuable :
· Maxwell-flux

· Maxwell-Faraday

-
div B = 0

(M-)

-
-
B
- 
rot E = -
t

(M-F)

Le second groupe d'équations de Maxwell s'écrit de façon générale dans un milieu
matériel :

 div -

D = lib

-
 lib  D
-

-
rot H = -
 +
t
Or, dans un milieu linéaire, homogène, isotrope et non magnétique,

-

-

-
D =  0  r E =  0 n2 E

-

-
-

-
B
B
H =
-M=
µ0
µ0

et

-

lib

 div E =
 0 n2
Ainsi,

-

lib
E
 - -

rot B = µ0 -
 + µ0  0 n 2
t
Enfin, comme il n'y a ici ni charges libres ni courants libres, on obtient les 
équations :
· Maxwell-Gauss

· Maxwell-Ampère

-
div E = 0

(M-G)

-
-
n2  E
- 
rot B = 2
c t

(M-A)