CCP Physique 1 PSI 2001

Thème de l'épreuve Précession de l'orbite des satellites de la Terre. Cinétique de charge des gouttes formées par la brisure d'un jet capillaire.
Principaux outils utilisés mécanique céleste, hydrostatique, électrostatique, équation de diffusion, électrocinétique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                                   

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2001 PSIOOS

A

CONCOURS (OMMUNS POlYÎECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE - FILIÈRE PSI

PHYSIQUE 1

DURÉE: 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des
conditions définies dans la circulaire n° 99--186 du 16.11.99.

Le candidat doit respecter les notations des énoncés et préciser, dans chaque 
cas, la
numérotation de la question traitée. L'épreuve se compose de deux problèmes 
distincts. Pour ces deux
problèmes, les résultats intermédiaires donnés dans le texte rendent les 
diflérentes questions

relativement indépendantes. Le candidat aura cependant intérêt à lire 
complètement l'énoncé pour
bien comprendre la démarche proposée.

PREMIER PROBLEME

Précession de l'orbite des satellites de la terre.

Description du problème

Sous l'effet de sa propre gravitation, la terre, comme tous les 
corpssuffisamment massifs est
grosso modo sphérique. Néanmoins, à cause de sa rotation, la planète est 
déformée: elle est aplatie aux
pôles alors qu'un bourrelet apparait à l'équateur. De cette déformation, il 
résulte une modification du
champ de gravitation qui n'est plus le champ radial newtonien en 1/r2 qui 
caractérise les corps à
symétrie sphérique. Ce champ modifié induit à son tour une perturbation de 
l'orbite des satellites
(naturels ou artificiels) gravitant autour de la terre. Cette perturbation se 
réduit, dans le cas d'une orbite
circulaire, à un mouvement de précession du plan de l'orbite. L'amplitude de la 
précession est d'autant
plus grande que le satellite est plus proche de la terre. Le but de ce problème 
est de proposer une étude
simplifiée afin de comprendre et éventuellement de prévoir une telle 
perturbation des orbites des
satellites. On se restreint volontairement au cas particulier, mais fréquent en 
pratique, d'une orbite
proche du cercle, cas qui permet de simplifier les calculs et de présenter les 
mécanismes essentiels du
phénomène. Une application--test de notre modèle est proposée àla fin de 
l'étude.

Tournez la page S.V.P.

Si la terre était ronde...

Une masse ponctuelle m0 située au point 0 exerce sur une masse test ponctuelle, 
de valeur

unité et située au point N (N non confondu avec 0) la force attractive (force 
de Newton):

'" ..
g(r)=--G G-------°r
;-°2
----'----æ

où ? == ON désigne le vecteur position de la particule test, ? le vecteur normé 
suivant ? et G la
constante de gravitation universelle. Le champ vectoriel g est appelé champ de 
gravitation de la

masse mo .

1. Calculer l'expression du potentiel de gravitation V(r) défini par :

ê=--gradV(r) et V(r=oo)=0_

Donner son expression en fonction de G , m0 et r.

--.

L'utilité de la définition des champs g et V réside dans l'observation que 
l'interaction

simultanée de plusieurs masses (ceci s'étend au cas d'une distribution 
continue) sur la particule test est

bien décrite par les champs obtenus en faisant la somme (l'intégrale) des 
différentes contributions.

Nous allons utiliser cette propriété pour trouver une expression du potentiel 
gravitationnel de la terre.
On définit un référentiel To ayant pour origine le centre d'inertie 0 de la 
terre et des axes portés

par les vecteurs io, jo, kO formant une base orthonormée directe, k() est porté 
par l'axe des pôles (sud

vers nord) et io, j0 sont situés dans le plan équatorial et pointant vers des 
directions fixes (étoiles
lointaines). Dans tout le problème, on supposera To galiléen.

Pour expliquer son aplatissement, la terre est bien modélisée par une goutte de 
liquide très
visqueux et de masse volumique uniforme p. En l'absence de rotation propre et 
de toute influence

extérieure, on admettra que, sous l'effet de sa propre gravitation, la goutte 
acquiert une forme sphérique
(masse totale M , centre O, rayon R ). Dans ce cas, le fluide est au repos dans 
le référentiel To.

2. On notera que la force de Newton exercée par une masse ponctuelle m0 sur une 
masse unité, Le le

champ de gravitation g(r)---- ---- --G------- 2 --------r , présente une grande 
analogie formelle avec la force de Coulomb
r

exercée par une charge ponctuelle go sur une charge unité, Le le champ 
électrostatique

Ê(r)- --- 4 1 q--î-- r. Pour une distribution quelconque des charges, on 
rappelle que le flux du champ
72780 r

électrique É à travers une surface fermée est égal au quotient des charges 
intérieures par 80 (théorème

_.

de Gauss). En transposant ce résultat au cas de la gravitation, donner les' 
expressions des champs g et
V en fonction de G , M , R et r (O R, établir un développement du 
potentiel V selon les
puissances croissantes de R/ r En déduire que V peut s écrire sous la forme:

7--2

2 3
V(r,a) : V0(r) + V,(r,a) : Vo(r) {1+ B 5-- (1-- 3cosza) + O(EUR--;--)]

Le terme principal : v0 (r) : _.fî
r

correspond au "potentiel newtonien. Le second terme représente la correction 
due à l'aplatissement.
Exprimer A en fonction de G et M puis B en fonction de M et m.
On rappelle le développement en séries entières :

(l + x)" = 1 + a.x + ...... + ... + ...... (rayon de convergence 1)
n.

Et les satellites ne tournent pas rond.

Le terme B peut--être évalué directement en calculant l'intégrale de volume qui 
apparaît dans
l'expression du potentiel de la terre avec rotation. Le calcul de cette 
intégrale étant un peu lourd dans le
cadre de cette étude, on prendra la valeur de B obtenue de façon empirique en 
observant le mouvement
des satellites : B ;: 0,000541 ; de plus, on admet que l'expression du 
potentiel trouvée à la question
précédente est valable dès que r > R.

?!

Etant donné la valeur de B, le potentiel

Vl apparaît comme un terme correctif, petit Plan orbital

devant VO, que l'on décide de négliger dans un

premier temps ; ceci nous ramène à la situation
« terre sphérique ». On considère dans ces
conditions le mouvement le plus général d'un
satellite ponctuel de masse unité dont le vecteur

position est ? , la vitesse Ü dans le référentiel
To.

11. Exprimer le moment cinétique du satellite Ë
au point 0 par rapport au référentiel To_ Montrer
que la trajectoire du satellite est contenue dans
un plan fixe (P).

Plan équatorial

Soit [E un vecteur unitaire normal à ce plan et il
le vecteur unitaire de même direction que k0 A k , on note {? le vecteur tel 
que le tn'èdre (ü , iî , k ) soit
orthonormé direct. Le trièdre (ü ,îî ,Ë ) se déduit du trièdre (il,, ÎO,ËO) par 
une rotation d'angle w

autour du vecteur ËO suivie d'une rotation d'angle 6 autour de L7 . Les angles 
w (appelé précession) et

6 (appelé nutation) définissent la direction du vecteur k et par conséquent le 
plan (P) de l'orbite du

-5-

satellite. La position du satellite dans ce plan est repérée par ses 
coordonnées polaires r et (p (angle
orienté par k entre le vecteur il et le vecteur? ).

dt r 2 dt dt

et en déduire une équation différentielle du second ordre vérifiée par r.

2 2
12. Montrer que L- --- r2------ dcp et E : ----4--+--1-- (_d_r) + r2 (Æ) sont 
deux constantes du mouvement

13. La valeur de L étant fixée (L # O), montrer que pour une certaine valeur 
deE , la trajectoire du

. , . . d
satellite est un cercle (C) (centre O , rayon r) parcouru a v1tesse angulaire 
------qî constante. Pourl' orbite

dt
. . . dço . .
Circulaire, exprimer r, --(--1---- et E en fonct1on de L et A uniquement. 
Donner la valeur rg de r pour
[

l'orbite géosynchrone (caractérisée par ÎÎ= (1) : ---2T--7[-- où T= 23h56mn est 
le jour sidéral, le temps
t

5

que la Terre emploie pour faire un tour sur elle--même dans un référentiel de 
Galilée).

On considère la trajectoire (C) du plan (P) de la question précédente. On prend 
maintenant en compte le
terme du potentiel Vl(r,a) provenant de l'aplatissement. Ce terme étant très 
petit, on suppose que la

trajectoire demeure le cercle (C) de la question précédente (centre O, rayon 
r), mais que l'orientation
du plan (P), définie par le vecteur k change lentement au cours du temps. Le 
modèle proposé dans
cette question et dans les suivantes n' a donc de sens que si les vecteurs k et 
k() ne sont pas alignés, ce

qui exclut a priori le cas d'un satellite en orbite équatoriale (on peut 
néanmoins montrer que les
résultats dans ce cas particulier s'obtiennent comme cas asymptotique de ceux 
du cas général). On
admet qu'au cours de ce mouvement, l'angle de nutation 6 reste constant et que 
seul varie l'angle de
précession l/f . Il s'ensuit que la période de précession du plan de l'orbite 
est grande devant la période

de révolution du satellite sur son orbite. Dans ces conditions, on décide de 
représenter l'interaction
gravitationnelle entre la terre et le satellite par le potentiel Y(r,6) obtenu 
en moyennant le potentiel
V(r,0£) sur une péri0de de révolution autour de la terre. On donne la relation 
: cosa : sin(p sin9 .

l4. Reporter cette expression dans celle du potentiel
V(r,CZ), intégrer sur une révolution et montrer que le

potentiel moyen s'écrit sous la forme :
17(r,6) = v() (r) + @ (ne) .

On exprimera Y,(r,9) en fonction de A, B, r, R et 9.

L'hypothèse précédente revient à imaginer que la
masse (unité) du satellite est uniformément répartie sur sa
trajectoire (C); le satellite est ainsi assimilé à un /

« cerceau » (C) de masse unité en rotation autour de son (I

axe k avec la vitesse angulaire _c_i_(£; le potentiel V0 (1)

dt
Tournez la page S.V.P.

-6-

représente l'énergie gravitationnelle d'interaction d'une sphère de masse M 
(masse totale de la terre)
et du « cerceau >> (C) ; le potentiel Y, (r,6) représente l'énergie 
gravitationnelle d'interaction des deux
« cerceaux » : le bourrelet équatorial (E) de la terre de masse m et le « 
cerceau » (C) du satellite. On

conçoit aisément que cette dernière interaction se traduit par un couple Î' que 
la terre exerce sur le
satellite et qui, en l'absence de rotation du cerceau (C), tendrait à aligner 
les axes des deux cerceaux. Ce

couple est porté par la ligne de noeuds (vecteur directeur ü ). La variation de 
Yl (r,6) entre deux valeurs

de 9 est l'opposée du travail du couple Î' ; on admettra la relation dY, (r,9) 
: --Î'ûd9 .

15. Donner l'expression du couple Ï' que la terre exerce sur le cerceau (C) du 
satellite en fonction de A,
B, r , R et9 .

16. En admettant que l'expression du moment cinétique Ï, trouvée à la question 
(1 l) demeure valable,
appliquer le théorème du moment cinétique au cerceau (C) du satellite et en 
déduire la vitesse angulaire
de précession u? en fonction de B, r, R , 6 et @ puis la précession Al]! de 
l'orbite au cours d'une

révolution du satellite en fonction de B, r , R et 6 .

A titre d'illustration, on considère le cas d'un satellite de cartographie : le 
satellite « SPOT » (trajectoire
circulaire d'altitude 832 km avec 6 : 98°45' et (à > O ).

17. Calculer la valeur numérique de la précession Av de l'orbite au cours d'une 
révolution du

satellite. Combien de jours solaires (le jour solaire est l'intervalle de temps 
entre deux passages

successifs du soleil dans un même plan méridien, c'est à dire 24 heures) 
faut-il pour que la précession
soit de 27z ? Un tel satellite est dit héliosynchrone : pourquoi '?

Fin du premier problème.

DEUXIEME PROBLEME

Cinétique de charge des gouttes formées par la brisure d'un jet capillaire.

Description du problème

Certains dispositifs d'impression industriels très rapides (marquage en série 
des oeufs, des
yaourts, des boîtes de conserve etc) dits à jet continu, utilisent la tendance 
naturelle que possède un jet
liquide suffisamment fin (capillaire) à se briser en gouttelettes sous l'action 
de la tension superficielle.
Dans ces applications, cette tendance «naturelle >> est amplifiée, généralement 
par stimulation du
réservoir contenant le liquide à projeter (encre, peinture..) par une variation 
rapide et périodique de
pression produite par un quartz piézo-électrique. Cette excitation 
supplémentaire a le double avantage
de diminuer la longueur du jet avant brisure et d'obtenir des gouttelettes bien 
calibrées.

Au voisinage du point de fragmentation du jet, on place une électrode de charge 
portée à un
potentiel ajustable par rapport au réservoir (conducteur parfait de 
l'électricité) qui reste relié à la masse.
Par influence électrostatique, cette électrode (supposée également parfaitement 
conductrice de
l'électricité) permet de charger à travers le jet (de conductivité finie non 
nulle) les gouttes formées à la

valeur de charge requise. Une fois les gouttes chargées, elles seront déviées 
de manière contrôlée par un
système d'électrodes déflectrices avant d'atteindre le support d'impression 
(Fig. 1).

Réservoir V0=300 Volts Tension
pressurisé _Q « quelques kV
U, N
"'Ê
@ -o e » 2
l 2
% Quartz Electrode Electrodes
d'excitation de charge déflectrices

Figure 1: schéma de principe du dispositif d'impression

Le jet étudié ici est caractérisé par son rayon a : 20um, sa vitesse moyenne u 
: 20m.s"1 et sa

résistivité électrique ,0 =10Q.m (proche de celle de l'eau). L'électrode de 
charge est un cylindre de
révolution infiniment conducteur de l'électricité (rayon b : 300p.m, longueur 1 
: 2mm , situé à la
distance ze : lmm de l'orifice de sortie du jet).

La fréquence d'excitation imposée par le quartz piézoélectn'que est f : 120kHz 
, ce qui signifie
que l'on fabrique 120.000 gouttes par seconde. Autrement dit, le temps 
nécessaire pour la formation
d'une goutte est Tf : 1/ f : 8,33us . La question, objet de ce problème, est de 
savoir si on a le temps de

charger les gouttes en si peu de temps.

Tournez la page S.V.P.

Modélisation

Il! v0 =300 Volts & +=o*
!

Figure 2: modèle du barreau avec
longueur d'entrée zEUR

L'électrode de charge et le jet constituent
les armatures d'un condensateur dont nous allons
étudier la cinétique de charge dans différents
modèles. Dans tous ces modèles, nous nous
restreindrons à l'étude de la cinétique de charge
des gouttes dans le cas simple, mais
emblématique, où l'électrode de charge est
soumise à un échelon de potentiel :

L'électrode de charge et le jet sont au
potentiel nul jusqu'au temps t= 0 ; puis, à partir
de t=0', l'électrode de charge (infiniment

conductrice) est instantanément (et uniformément) portée au potentiel constant 
V0 =300V.

L'extrémité z = 0 du jet reste constamment reliée à la masse (potentiel nul) 
par l'intermédiaire du
réservoir (conductivité infinie). Nous simplifierons la géométrie du jet (Fig. 
2) qui sera modélisé par un

barreau cylindrique fixe (rayon a : 20um , vitesse u

nulle, résistivité électrique non nulle p : 10£2.m ).

Dans une remière a roche, nous traiterons le cas z = O, uis le cas d'une lon 
ueur d'entrée
EUR

non nulle.

Charge d'un barreau cylindrique fixe avec ze : 0

vo :soo Volts

r'"""""

Réservoir

Figure 3: barreau eT électrode &: t=0+

Le mode opératoire étant celui décrit ci--
dessus, on envisage d'abord le cas où la longueur
d'entrée Ze est nulle (Fig. 3).

Ce cas fera à son tour l'objet de deux
approches successives :

-- la cinétique de charge sera d'abord
étudiée par un modèle très simplifié, discret à un
élément (Fig. 4).

-- le cas intermédiaire du modèle discret à
n éléments ne sera pas abordé ici: on passera
directement au modèle de charge et résistance
réparties (modèle continu) qui en constitue le cas
asymptotique pour n grand.

ze : O : Modèle discret à un élément.

Le système barreau + électrode de charge est
v0 :soo vg|fgà+=o* équivalent au schéma électrique de la Fig. 4:

1 - , . .
' % _ resrstance et condensateur en serre. La résrstance

c1 R1 est la résistance «effective », sorte de

Réservoir R1 moyenne de la résistance vue par les charges qui
.ressurisé "W se répartissent le long du barreau; en première
approximation, on prendra donc pour R,, La

moitié de la résistance totale R du barreau de
longueur [, soit :

Figure 4: schéma équivalent sans
longueur d'entrée Ze

R 1 !
R,=_=_f_.
2 27m2

C1 est la capacité d'un condensateur cylindrique dont les armatures sont 
constituées par l'électrode de
charge et le barreau. On suppose, dans ce modèle discret à un élément, que la 
charge Q portée par le
barreau est uniformément répartie et que chaque armature est une surface 
équipotentielle. En négligeant

les effets de bords, le champ électrique Ë entre les électrodes est alors 
radial et ne dépend que du rayon
r (distance à l'axe de révolution).

1. Dans ces conditions, appliquer le théorème de Gauss à une surface bien 
choisie et en déduire
l'expression de E(r) en fonction de Q, a, b , l et 80, permittivité 
diélectrique du vide.

On admet que la relation dV(r) : --Ë(r).d? de l'électrostatique est applicable 
à ce problème.

2. En déduire la relation permettant de relier la différence de potentiel (V() 
--V) aux homes du

condensateur à la charge Q du barreau; en déduire l'expression et la valeur de 
C,, capacité du

condensateur, en fonction de a, b, l et 80. Pour les applications numériques, 
on prendra

50 ; ----l---10--9 Fm".
367z

3. Donner l'expression du potentiel V(t) du barreau en tenant compte de la 
condition initiale
envisagée. Quelles sont l'expression et la valeur numérique de la constante de 
temps de charge t1 du

condensateur ? Au bout de quel temps tc obtient--on 99% de la charge finale que 
l'on obtiendrait à
t= oo ?

Tournez la page S.V.P.

-10-

z, = 0 : Modèle résistance et charge réparties.

, . R , . " . , C . , . ,
On defin1t 'i = --l---- , la re31stance par unite de longueur du barreau et c] 
= --l--'--, la capacrte par unite de

longueur du condensateur cylindrique. On simplifie le problème en considérant 
un problème
unidimensionnel où le potentiel et l'intensité du courant axial traversant le 
barreau peuvent être
représentés respectivement par des fonctions de la forme V(z,t) et I(z,t). 
Corrélativement, on

remarquera que la densité de charge apparaissant à la surface du barreau peut 
s'écrire Q(z,t). On
considère une tranche de barreau comprise entre les abscisses z et z + dz.

4. Appliquer la loi d'Ohm entre les homes z et z +dz de cette tranche.

5. Ecrire le bilan traduisant la conservation de la charge électrique pour ce 
volume (on admet que
l'expression de C , trouvée précédemment demeure valable).

6. En déduire l'équation de diffusion du potentiel dans le barreau :

?..Y... = & aZV
dt ôz2

Exprimer le coefficient de diffusion a en fonction de r] et c1 puis de l et Il .

L'équation de diffusion étant linéaire, on cherche la solution sous la forme 
d'une série de tenues
(modes) à variables séparées:

V(z,t>=Ëvp 75ë02p+1p[(p)4121[(p)21

ll. En examinant l'allure de différents termes de cette expression, il apparaît 
que l'un d'entre eux est
rapidement prépondérant. En déduire l'expression asymptotique de la fonction 
V(z,t) et la valeur

numérique de la constante de temps de charge t,' du barreau. Au bout de quel 
temps tc' obtient--on, au
bout du barreau (c'est à dire à z=EUR ), 99% de la charge finale que l'on 
obtiendrait à t : oo ?

\

12. Comparer tc' a t

('

: conclusion quant à la validité du modèle discret à un élément par rapport au

modèle continu? Que vaut en fait la résistance «effective » du barreau Rejf 
définie par la relation

. . ,, , R
t,'= Re", C, et qu1 ava1tete approchee par R, = ----2-- ?

13. Comparer la vitesse du front de charge 1) z-£-; à la vitesse du jet u : 
20m/ 5. Conclusion quant à
tC

l'une des hypothèses du modèle '?
Charge d'un barreau cylindrique fixe avec ze # 0

14. Pour tenir compte de l'existence d'une longueur d'entrée ze non nulle, on 
modifie le modèle

précédent en ajoutant, en série avec R, (dont l'expression est maintenant celle 
de R4f ), la résistance
Re correspondant à la résistance d'une longueur ze de barreau (Fig. 5). 
Exprimer la nouvelle constante

de temps de charge t,", d'abord en fonction de R, : Re + R, (avec R, : Re,) et 
C,, puis en fonction

de p, ze, l,a, b et 80 .

Tournez la page S.V.P.

-12-

! vou--300 Volts & +=o+

___--. C1
Re R1

Réservoir

!

- ressuris -

\\\ : \

Figure 5: schéma équivalent avec longueur d'entrée 2

EUR

15. Au bout de quel temps tc" obtient-on 99% de la charge finale que l'on 
obtiendrait à t : oo '?
Comparer tc" à Tf : conclusion quant à la possibilité de charger les gouttes ?

16. Comment varierait la valeur de tc" si on prenait en compte la forme réelle 
du jet (allure analogue à
celle de la Fig. 1) avec ses pincements et ses renflements'? Commenter.

Fin du second problême.
___--___..."

Fin de l'épreuve.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2001 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Jean-Julien Fleck (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Vincent
Fourmond (ENS Ulm) et Stéphane Ravier (ENS Lyon).

Ce sujet traite, dans le premier problème, du phénomène de précession de 
l'orbite
des satellites de la Terre et, dans le second problème, de la cinétique de 
charge des
gouttes formées par la brisure d'un jet capillaire.
· Après quelques rappels sur le champ gravitationnel créé par une masse 
sphérique, le premier problème aborde la non-sphéricité de la Terre due à sa 
rotation.
On étudie par la suite comment la modélisation simple de cette non-sphéricité
va légèrement perturber le potentiel gravitationnel créé par la Terre. Enfin,
après avoir traité le cas d'un satellite soumis au potentiel non perturbé, on
calcule l'effet de cette perturbation sur le satellite.
· Le second problème, quant à lui, se déroule en trois temps. Après avoir étudié
un modèle discret de charge d'un barreau fixe, on s'intéresse au modèle continu.
La dernière partie traite du cas où l'électrode permettant de charger le barreau
n'est pas directement accolée à l'origine du barreau.
Ce sujet, très classique et bien guidé, ne présente pas de grosses difficultés 
(les
questions 10 des deux problèmes demandent cependant de la réflexion). Il 
utilise des
outils de mécanique céleste et un zeste d'hydrostatique pour le premier problème
ainsi que des outils d'électrocinétique élémentaire (circuits RC) pour le 
second.

Indications

Premier problème
2 Prendre garde aux constantes d'intégration.
6 Penser à la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel tournant.
8 La surface terrestre est définie comme la surface de pression nulle.
10 Bien décomposer le vecteur courant sur le cercle suivant les différents 
axes. Penser
à ses formules de trigonométrie et aux valeurs moyennes de cos  et cos2  afin
d'obtenir la formule demandée.

-
16 Comment L varie-t-il ?
17 Utiliser l'énoncé pour vérifier son application numérique.

Second problème
2 Prendre garde aux conventions d'orientation choisies.
3 Établir une équation différentielle pour V(t).
5 Faire un dessin et choisir une convention pour le courant.
7 Séparer les variables. S'inspirer de la question 10 pour prendre directement 
les
bonnes notations.
10 Décomposer le créneau en série de Fourier.
16 Regarder la variation de tc  en fonction de a.

Premier problème
Précession de l'orbite des satellites de la Terre

Si la Terre était ronde. . .
--
-
1 Projetons la relation (1) 
g = - grad V(r) sur rb, on obtient :
+G

D'où, avec V() = 0,

m0
dV
=+
r2
dr

V(r) = -

Gm0
r

Lors de pareilles intégrations, il ne faut pas omettre les constantes que l'on
détermine par la suite grâce aux conditions aux limites. Dans la situation
présente, la constante est nulle, mais ce ne sera pas toujours le cas.
2 Procédons par analogies. La masse m0 (dépendant de la particule) s'apparente à
la charge q0 (dépendant elle aussi de la particule créant le champ). Il ne 
reste que les
constantes : -G s'apparente à 1/ (4  0 ).
ZZ
 -
-
 Qint
Le théorème de Gauss s'écrit
E . dS =
0

Transposé au cas gravitationnnel, cela donne
ZZ

-

-
g . d S = -4  G Mint

où Mint est la masse comprise à l'intérieur de la sphère d'intégration.
Le système est à symétrie sphérique. Tout axe passant par le centre de la 
sphère est
donc axe de symétrie du système. Le champ gravitationnel étant un vrai vecteur 
tout
comme le champ électrique, il est dirigé selon les éléments de symétrie du 
système.
Il est donc dirigé suivant rb et ne dépend pas de la direction du vecteur 
position mais
juste de sa norme.
On intègre sur une sphère de rayon r et de centre O : comme g y est constant, il
suffit de le multiplier par la surface de la sphère. L'intégrale donne donc 
simplement
4  r2 g(r).
On distingue alors deux cas :
· Si r > R, la masse interne est simplement M.
GM
r2

D'où

g(r) = -

En utilisant (1)

V(r) = -

GM
r

· Si r < R, la masse interne s'écrit, puisque  =
Mint =

3M
:
4  R3

4
r3
 r3  = M 3
3
R

D'où

g(r) = -

En utilisant (1)

V(r) =

GM
r
R3

GM 2
r + Cte
2 R3

On détermine la constante d'intégration en utilisant la continuité de V en R.
Il vient

V(r) =

GM 2 3 GM
r -
2 R3
2R

GM

 g(r) = - 2
r
Si r > R

GM

 V(r) = -
r

GM

 g(r) = - 3 r
R
si r < R

GM
3 GM
 V(r) =

r2 -
2 R3
2R

En résumé

Évolution du potentiel gravitationnel en fonction de r :
V(r)
R

r

GM
R
3 GM
-
2R
-

3 La loi de l'hydrostatique s'écrit :
--

-
grad P =  

avec

=

3M
4  R3

-
où  représente la densité massique de forces à distance.
 
-
Dans notre cas, on a simplement  = -
g . À l'intérieur de la Terre :
--
3 GM2 r
grad P = -
rb
4  R6

4 En projetant cette relation sur rb et en intégrant de R à r, il vient
Z r
Z r
dP
3 GM2 r 
dr = -
dr
R6
R dr
R 4
"
#
2 R
3 GM2 r
P(r) - P(R) =
4  2 R6
r