CCP Physique 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Énergie électromagnétique ; étude d'une machine frigorifique
Principaux outils utilisés électromagnétisme, pression de radiation, thermodynamique

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                       

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


SESSION 2000 PSI006

A

CONCOURS (0HlllN$ POlYTECHNIOUES

ÉPREUVE SPÉCIFIQUE--FILIÈRE PSI

PHYSIQUE 1

DURÉE : 4 heures

Les calculatrices programmables et alphanumériques sont autorisées, sous 
réserve des conditions
définies dans la circulaire n° 99--018 du 01.02.99.

Les candidats doivent respecter les notations des énoncés et préciser, dans 
chaque cas, la
numérotation de la question traitée.

CHAMP ELECTROSTATIQUÈ. ENERGIE ELECTROSTATIQÜE.

Dans toute cette partie (1, 2 et 3), le milieu est le vide ; on prendra c 
(célérité de la lumière) :
3.108 m.s'1 et (4m)'l : 9.109 unités S.I. ; 80 est la permittivité du vide.

1. CALCUL DE L'ENERGIE ELECTROSTATIQUË.
1.1. Définir l'énergie potentielle W d'une charge q dans un potentiel extérieur 
V.

1.2. Calculer Wij pour une charge qi soumise à un potentiel dû à une charge (li 
située à une
distance rij de la charge qi (on fixe Wii : 0 pour fij : °°).

1.3. Calculer W pour n charges contenues dans un volume fini Q. Ecrire W sous 
la forme d'une
somme sur un seul indice i (avec qi , i = l,...,n et V(M. ), où Mi est la 
position de la charge

Qi )-

1.4. Calculer W dans le cas où les charges sont réparties de manière continue, 
en intégrant la
contribution de la charge p(M) dit d'un élément de volume dt en M sur le volume 
9.

1.5. Montrer qu'en utilisant la forme différentielle du théorème de GAUSS on 
peut mettre
l'expression de W sous la forme d'une intégrale dans laquelle n'apparaît plus 
la charge
électrique. Quel est l'intérêt de cette forme de dW/dt ?

1.6. Transformer l'expression de W obtenue à la question 1.5 en utilisant les 
relations

div(A.Ë)=A.divä+ä.gräd«i et HJdiv(A.Ë).dï=flA.Ë.dä, où A et B sont des
Q 2

fonctions des coordonnées de M, et 2 est la surface fermée qui limite le Üblume 
Q.

1.7. Pour Q fini, quel est le comportement de la contribution de _" A.Ë.dä 
quand 2 _) oo '? On
?:

sait que pour une valeur de R très supérieure aux dimensions de la source, 
l'application du

Tournez la page S.V.P.
J. 1001

1.8.

2.1.

2.1a.
2.1b.
2.1c.

2.1d.
2.1c.

2.2.

2.2a.

2.2b.

2..3
2.3a.

théorème de GAUSS montre que V varie en R'1 et |Ël en R'2. En déduire la valeur 
de la
densité d'énergie dW/dr pour R--> °° .

On considère un condensateur constitué par deux électrodes de surface S, 
séparées par une
distance e. A partir de l'énergie W accumulée par un condensateur plan lorsque 
la différence

de potentiel entre les électrodes est V, calculer dW/d't en fonction de E le 
module du champ

électrique. On négligera les effets de bord (e << SW). Comparer ce résultat à 
la valeur
obtenue à la question 1.7. Conclusions.

PUISSANCE TRANSMISE PAR UNE ONDE ELECTROMAGNÈTIQUÈ.

Considérons une onde électromagnétique localement plane, polarisée 
rectilignement,
monochromatique et progressive, se propageant dans le vide; son champ 
électrique s 'écrit

Ë= E0 .ü. cos(k. r -- (1). t), où ü est un vecteur unitaire.

Préciser la signification du vecteur k et donner la valeur de son module k (k = 
k.n , ñ étant
un vecteur unitaire).

Exprimer le champ magnétique de cette onde.

Exprimer la densité moyenne d'énergie électromagnétique (on la notera ).
Exprimer le vecteur de Poynting dont le module est H. Quelle est son 
interprétation ?
Quelle est la valeur de II/w ? Commenter.

On considère une source de rayonnement électromagnétique placée à la surface de 
la terre.

Sa puissance moyenne est Po, elle émet dans le demi--espace supérieur (21: 
stéradians -- voir
figure 1). La densité de puissance par unité de surface P n'est fonction que de 
la distance R à
l'émetteur et ne dépend pas de la direction (antenne « omnidirectionnelle »).

»,..-- ""\____'

Emetteur

Figure 1

Calculer P à la distance R.

Calculer la valeur de E0 à la distance R, en fonction de la puissance totale Pg 
émise par la

source. On admettra que R est toujours très supérieur à la longueur d'onde et 
aux dimensions
de l'antenne émettrice.

Applications numériques.

On considère un émetteur continu puissant: Po: 1 kW.
Calculer EO pour R- -- 1000 m et R: 1000 km.

2.3b.

2.3c.

2.3d.

3.1.

3.2.
3.3.
3.3a.
3.3b.

3.4.

3.5.
3.5a.

3.5b.
3.5c.

3.6.

On considère une source pulsée puissante (radar) : Po : 1 GW.
Calculer E, pour R = 1000 m et R = 1000 km.

Quels sont les ordres de grandeur des différences de potentiel dans un circuit 
intégré ? En
sachant qu'une modification de 10% des potentiels introduit déjà des 
dysfonctionnements
graves, est--il indispensable de blinder les circuits dans tous les cas 
examinés, en 2.33 et
2.3b ? On admettra que la surface du circuit intégré est de 1 cm2.

On admettra que pour ce rayonnement, on sait détecter un signal EO : 10 uV.cm'1 
; peut-on
détecter les deux émetteurs considérés à R = 1000 km ?

PRESSION DE RADIATION.
Quelle est l'énergie d'un photon ?

Ecrire la relation de DE BROGLIE entre p, la quantité de mouvement du photon, 
et sa
longueur d'onde À, et la relation entre la quantité de mouvement et sa 
fréquence v.

Quelle est la valeur de N, le nombre de photons incidents par unité de surface 
et par unité de

temps, à la distance R d'une source de puissance Po émettant dans 211 
stéradians comme en
figure 1 ? Utiliser la réponse àla question 2.2.

Application numérique : P0 = 1 kW ; R = 1000 m ; v = 10 GHz (= 1010 Hz) ; h 
(constante de
PLANCK) = 6,63.10'34 J.s.

Quel sera l'effet du choc d'un photon sur un écran perpendiculaire à la 
direction de
propagation ?

Calculer la pression de radiation pk sur cet écran. Vérifier l'homogénéité de 
votre équation
en écrivant l'équation aux dimensions.

On donnera la valeur de pR dans le cas d'un écran parfaitement noir et dans le 
cas d'un écran
parfaitement réfléchissant. Justifier vos réponses.

Si on souhaite la valeur la plus élevée possible pour une valeur de Po donnée, 
quel est le
meilleur écran ? On gardera ce choix dans la suite.

Application numérique :
Calculer pR pour P0 = 1 kW, avec R = 1000 m et R = 1000 km.

On veut faire voler un aéronef à R = 1000 m, à la verticale de l'émetteur 
continu (Po=l kW),

avec deux techniques différentes (3.6a et 3.6b), l'énergie étant captée au 
moyen d'un écran, de

Tournez la page S.V.P.

surface S, perpendiculaire au faisceau incident (figure. 2). On admettra que 
les dimensions de
l'écran sont très petites par rapport à R.

3.6a.

3.6b.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

Aéronef avec son écran

\

>

Emetteur

Figure 2

L'énergie reçue par l'écran est complètement transformée en chaleur. Celle-ci 
est transférée
à une turbine qui actionne un rotor d'hélicoptère, avec un rendement de CARNOT 
n = 0,2.
On admettra qu'il faut un moteur de 1 kW pour exercer une force de sustentation 
de 100
Newtons, dans l'atmosphère terrestre à basse altitude. Quelle sera la masse 
maximale mo de
l'aéronef pour S : 1m2 ?

On prendra : g (accélération de la pesanteur sur la terre, supposée constante ) 
= 9,8 m .s'2.
Ici, l'écran optimal doit-il être parfaitement noir ou parfaitement 
réfléchissant ?

Quelle sera la masse maximale mo de l'aéronef, toujours pour un écran de l m2 
(avec le

choix optimal d'écran trouvé en 3.5b), si la force de sustentation est 
uniquement due à la
pression de radiation ? Conclusion.

Au vu des conclusions, quel serait l'intérêt de la méthode utilisée au 3.6b ?

Calculer mo, toujours pour la technique de la question 3.6b, si toute la 
puissance émise est
concentrée sur l'écran.

Proposer un système optique donnant une image de la source sur l'écran 
permettant ainsi de
réaliser la concentration évoquée en 3.8. Où faut--il placer la source par 
rapport au foyer du
système ? Illustrer votre réponse par un schéma simple sur lequel on indiquera 
les positions
respectives du système, de son foyer, de la source et de l'écran.

L'image de la source formée sur l'écran associé à l'aéronef (un disque 
circulaire de diamètre
d) est affectée par la diffraction. Soit 6 le diamètre de la tache d'Airy dans 
le plan de l'écran.

Quelle condition doit remplir 6 par rapport à d pour pouvoir recueillir la 
fraction la plus
importante de la puissance émise ?

Le diamètre apparent de la tache d'Airy étant donné par 6 = 1,22 MD, où À est 
la longueur
d'onde électromagnétique et D le diamètre de la pupille d'entrée du système, 
quelle doit être
la valeur minimale de D, si la fréquence de l'émetteur est de 35 GHz ? de 10 
GHz ? de
900 MHz ? Quels commentaires suggèrent les résultats de ces calculs ?

CALORIMETRIE, VARIATION D'ENTROPIE, ECHANGES DE CHALEUR.

Les parties A, B, C et D sont indépendantes. On y admettra que les chaleurs 
massiques et les
capacités calorifiques sont indépendantes de la température, donc constantes.

A. CALORIMETRIE.

On dispose d'un calorimètre, parfaitement isolé, rempli d'un mélange eau-glace 
en équilibre
thermique (à 0°C). Le calorimètre comporte un thermomètre, un agitateur et une 
résistance
chauffante immergés dans le mélange eau--glace. La capacité calorifique totale 
du calofimètre avec
ses accessoires est p....J ; ici tt est sa valeur en eau et J la chaleur 
massique de l'eau. A l'instant
initial t... la masse de glace est mg et la masse totale (eau + glace) est M. 
La résistance chauffante
est alors alimentée avec une puissance constante P. Le thermomètre indique une 
température
constante jusqu'à l'instant t1 qui correspond à la fin de la fusion de la 
glace. Ensuite la température
augmente jusqu'à la température d'ébullition de l'eau (100 °C) qui se produit à 
l'instant t2.

A.1. Soit alors Lp la chaleur latente massique de fusion de la glace. On 
admettra que pour l'eau,
les chaleurs massiques, entre 0 et 100°C, restent constantes : Cp : Cv : J. En 
déduire Lp en
fonction de J, M, u , mg et des instants to, t1 et t2.

A.2. Une fois la température d'ébullition atteinte (à l'instant tz), la 
puissance de chauffage restant

constante (toujours égale à P), l'ensemble du dispositif ayant été placé sur 
une balance, on
suit l'évolution de la masse du calorimètre avec son contenu et ses accessoires 
jusqu'à ce que

la masse totale soit réduite de M/2 ; soit alors t3 l'instant qui correspond à 
cette perte de
masse. Soit alors LV la chaleur latente massique de vaporisation de l'eau, 
exprimer Lv en
fonction de J, M, n, tl, t; et t_--,.

A.3. Application numérique : M/mg =10 ; mg : 100g ; p: : 200g ; tl - to : 2 
minutes ;
t; - tl : 30 minutes ; t3 - t; = 67,5 minutes. On donne J = 4180 J.kg".K".
Donner les valeurs de Lp et Lv, et calculer la valeur de P.

B. VARIATION D'ENTROPIE.

Soient deux masses de même valeur m constituées du même matériau de capacité 
calorifique Cp ;

l'une est à la température absolue T; et l'autre à T2. On les met en contact ; 
elles échangent de la
chaleur sans perte avec l'extérieur.

B.l. Au bout d'un temps suffisamment long, le système atteint l'équilibre 
thermique ; quelle est
alors la température des deux masses ?

B.2. La transformation est-elle réversible ou irréversible ? Expliquer.

B.3. Calculer la variation d'entropie du système constitué par les deux masses 
au cours de cette
transformation.

B.4. Montrer que cette variation d'entropie est strictement positive.

Tournez la page S.V.P.

C.

ENTROPIE DANS UNE POMPE A CHALEUR.

On envisage une machine thermique :

Vanne de détente

Evaporateur Condenseur

Compresseur

Dans les échangeurs (évaporateur et condenseur), il y a des masses d'eau 
identiques (M), elles
échangent de la chaleur avec le fluide ffigofigène qui est propulsé par le 
compresseur. Au départ, le
compresseur étant arrêté, les deux masses d'eau ont des températures identiques 
et homogènes
(T0 en K). Après un certain temps de fonctionnement, les sources ont d'autres 
températures
homogènes (TC pour la source chaude et Tp pour la source froide). On admet que 
les capacités

calorifiques des parois et des serpentins des échangeurs sont négligeables par 
rapport à celle de
l'eau qu'ils contiennent.

C.1.

C.2.

C.3.

C4.

C5.

C6.

C7.

Calculer la variation d'entropie de l'ensemble des deux sources en fonction de 
TC, Tp, To,
M et J. Ici _] est la chaleur massique de l'eau ; sa valeur ne dépend pas de la 
température.

Quelle relation devraient suivre les températures pour qu'il n'y ait pas de 
variation
d'entropie ?

En admettant que la relation de C.2 puisse être vérifiée, exprimer TC en 
fonction de
l'abaissement de la température AT de la source froide (Tp : To - AT) et de To; 
on
effectuera un développement au second ordre en fonction de AT/To.

Quelle serait la variation de la température moyenne des deux échangeurs TM : 
(Tc + Tp)/2
si la variation d'entropie était nulle ?

Le sens de la variation de TM était-il prévisible sans faire de calcul ?

On considère le fonctionnement de la machine thermique en tant que pompe à 
chaleur et on
s'intéresse à l'évolution de la température de l'eau du condenseur TC. Le 
compresseur ayant
été mis en marche, consomme une puissance constante (Po : 400 W) ; on constate 
alors que
la température de l'eau du condenseur s'élève à la vitesse de 2 K par minute. 
L'efficacité EUR
(ou coefficient de performance) de cette pompe à chaleur, dont on donnera la 
définition, est
de 2,5 ; sa valeur reste constante quand la température du condenseur varie. En 
déduire la
capacité calorifique totale du condenseur Ac (supposée indépendante de la 
température).

Calculer alors la masse d'eau M du condenseur (On donne J = 4180 ] .K".kg'1 ).

D. ETUDE D'UNE MACHINE FRIGORIFIQUE.

On envisage une nouvelle machine thermique dont le principe est comparable à 
celle de la partie C,
avec quelques modifications qui nous permettent d'étudier son comportement en 
machine
frigorifique : une résistance chauffante est immergée dans l'évaporateur pour 
permettre d'y apporter
une certaine puissance thermique. Par ailleurs la température étant susceptible 
de descendre en
dessous de 0°C, l'eau de l'évaporateur a été remplacée par un liquide antigel. 
Un agitateur permet
d'égaliser la température dans la masse liquide sans y apporter de chaleur. 
Comme dans la partie C,
les capacités thermiques de la résistance chauffante et de l'agitateur sont 
négligeables devant celle

du liquide de l'évaporateur. Dans la suite, même si la température du liquide 
de l'évaporateur n'est
pas constante, on parlera de source froide.

D.l.

D.2.

D.3.

La machine étant en fonctionnement depuis quelque temps, on note l'évolution de 
la
température de la source froide; la résistance n'étant pas alimentée, on 
constate que la
température baisse. Sur un petit intervalle de température, la vitesse de 
refroidissement
est constante, elle sera caractérisée par une pente - a (= d0/dt où 0 est la 
température et t le
temps). Lorsque la résistance est alimentée avec une puissance Pc, la machine 
restant en
marche, le fluide frigorigène continuant à extraire de la chaleur, on constate 
que la
température de la source froide augmente. Sur le même intervalle de température 
que
celui du refroidissement, on constate que la vitesse de réchauffement est 
également
constante, la pente est maintenant + b. La source froide échange de la chaleur 
avec
l'extérieur qui est à la température ambiante ; soit alors PA la puissance 
correspondant à cet
échange. La source froide échange aussi de la chaleur avec le fluide 
frigorigène ; soit PF la
puissance correspondante. Pour chacune des pentes ( - a et b), établir, en 
fonction de PA ,
P].-- et Pc , le bilan des puissances échangées avec la source froide. Au vu de 
ces bilans,
déterminer la puissance PE que devrait fournir la résistance chauffante pour 
stabiliser,
toujours sur ce même intervalle restreint, la température de la source froide à 
une valeur
constante. Dans un premier temps donner la valeur de PE en fonction des autres 
puissances.
On admettra que la relation, entre les pentes et les bilans des puissances, est 
linéaire;
exprimer alors P,; en fonction des valeurs de a , b et Pc .

Préciser la valeur de la puissance qui provoque l'abaissement de température de 
la source

froide avec la pente d0/dt : - a et en déduire une relation permettant de 
calculer A
(capacité thermique totale de la source froide, supposée indépendante de la 
température).

Application numérique: - a - 0,16 K/minute; b : +0,08 K/minute; Pc : 960 W.
Donner les valeurs de PE et de A . Donner aussi le coefficient de performance de
réfrigération CF sachant que le compresseur consomme une puissance PM : 400 W.

Dans la suite de ce problème, la valeur de PE ayant été déterminée, la 
résistance
chauffante ne sera plus utilisée.

Lorsque la machine est arrêtée, la température de la source froide remonte 
lentement, la
puissance correspondant à cet échange est proportionnelle à la différence des 
températures :

PA : B (TA - 0) où TA est la température ambiante et 0 celle de la source 
froide. Ecrire
l'équation différentielle régissant la remontée en température lorsque la 
machine est arrêtée
et en donner la solution générale 0(t) en fonction de TA, B et A.

Tournez la page S.V.P.

D.4.

D.5.

D.6.

D.7.

D.8.

D.9.

D.10.

D.11.

D.12.

D.13.

Donner la solution particulière de cette équation lorsque la température de la 
source froide

remonte à partir d'une température initiale 60 qui était celle atteinte à 
l'instant où l'on a
arrêté la machine thermique (t = 0).

Par analogie avec les équations régissant la décharge d'un condensateur, 
exprimer la

constante de temps 1:R qui caractérise cette variation de la température et 
commenter son
expression. Indiquer comment augmenter la valeur de cette constante de temps.

La puissance thermique extraite par le fluide frigorigène à la source froide PF 
est elle aussi
proportionnelle à la différence des températures ; celle du fluide circulant 
dans le serpentin

T... est maintenue constante par les organes de régulation de la machine ; elle 
est inférieure
à celle de la source froide. Pour cette puissance échangée Pp, on peut (comme 
en D.3)

écrire : PF = - F (6 - TLV) . Le signe du coefficient d'échange F est positif 
(c'est aussi le cas

pour B). A partir des expressions de PF et PA , déterminer la température la 
plus basse 6...
que peut atteindre la source froide.

On fait fonctionner cette machine entre deux températures de la source froide : 
B.,
température à laquelle s'arrête le compresseur et 6+, température où le 
compresseur se remet
en marche ; ces températures vérifient : EUR... < 9. < 6 < & < TA. Ecrire 
l'équation qui permet
de donner la variation de la température B(t) dans la phase de fonctionnement du
compresseur. Donner la solution complète de cette équation différentielle B(t) 
en partant de

la température B., à l'instant t = 0. On donnera cette solution en fonction de 
&, 9... et une
nouvelle constante de temps tp que l'on précisera.

Exprimer la durée (tv) de fonctionnement de la machine pour atteindre la 
température B., en
fonction de "tp , 9+, 9. et en,.

Pour calculer la durée ( tR ) de repos de la machine, lors de la remontée de la 
température de
9. à &, utiliser les résultats de DA et D.5 et donner ta en fonction de ta , &, 
9- et TA.

En fonctionnement, le compresseur consomme une puissance PM constante, 
déterminer la
puissance moyenne effectivement consommée Peff pour maintenir en permanence la 
source
froide entre les températures & et B.. On exprimera Peff en fonction de PM, tp 
et tR.

La détermination expérimentale de la constante de temps "511 donne 60 heures ; 
calculer B.

Sachant que les pentes évoquées en D.2, ont été mesurées la source froide étant 
à 6 = -5 °C
avec TLV : --20°C et TA: 20°C, donner les valeurs de F, 9... et, en heures, 
celle de TF .

Calculer tp, tR, et la consommation journalière C en {kWh/24h}, de cette machine
frigorifique fonctionnant entre les températures B.. = - 2 °C et B. = --5 °C. 
avec PM : 400 W.

Fin de l'énoncé.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



CCP Physique 1 PSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Derr (École Supérieure de Physique et de 
Chimie
de Paris) ; il a été relu par Nicolas Wawresky (Mines de Paris) et Jean-Yves 
Tinevez
(ENS Lyon).

L'épreuve se compose de deux problèmes indépendants.
Le premier problème, consacré à l'électromagnétisme, est lui-même divisé en 
trois
parties globalement indépendantes. Il s'agit d'abord de généralités sur 
l'énergie électrostatique et sur la puissance électromagnétique. Ensuite, on 
considère la pression
de radiation comme force de sustentation d'un aéronef.
Le second problème, consacré à la thermodynamique, est lui aussi composé de
parties indépendantes. Là encore, il s'agit d'abord de généralités sur la 
calorimétrie
et la variation d'entropie. Enfin, on étudie de façon plus détaillée le 
fonctionnement
d'une machine thermique.

Indications

Champ éléctrostatique. Énergie éléctrostatique.
1.1 En cas de doute, revenir à la définition de W.
1.3 Ne pas considérer trop d'interactions.
1.5 Utiliser l'équation de Maxwell-Gauss.
1.7 Exprimer la dépendance en R de chaque terme.
1
2.1.c Ne pas oublier que la moyenne d'un cos2 vaut .
2

2.1.e Persévérer dans le calcul de ; le résultat doit être remarquable.
w
2.2.a Exprimer la conservation de la puissance.
2.2.b Utiliser le fait que le vecteur de Poynting est la puissance surfacique à 
la
distance R.
3.5.a Faire un bilan de quantité de mouvement avant et après le choc.
3.6.a Le rendement est, par définition, le rapport de l'énergie utile sur 
l'énergie
utilisée.
3.9 Le système le plus simple est constitué de deux lentilles.

Calorimétrie, variation d'entropie, échanges de chaleur.
A.1 Exprimer la puissance de chauffe sur deux périodes différentes.
B.1 Égaliser les transferts thermiques échangés.
B.4 Utiliser un argument mathématique.
d
D.1 Tracer la courbe
= f (P).
dt
D.2 Considérer deux périodes différentes : avec ou sans résistance.
D.3 Égaliser le transfert thermique échangé pendant un temps dt où la 
température
varie de d.
D.5 La constante de temps est caractéristique de la vitesse de décroissance 
exponentielle.
D.7 Faire le même raisonnement qu'à la question D.3.

Champ éléctrostatique. Énergie éléctrostatique.

1

Calcul de l'énergie éléctrostatique

1.1 Par définition, l'énergie potentielle W est l'énergie dont dérive la force 
électrique

-

-
f = q E . On a donc :
--

-
q E = - grad (W)
--
--
-q. grad (V) = - grad (W)

ou encore

On obtient alors l'énergie potentielle électrique à une constante près
W = q.V
1.2 D'après la question précédente, on a Wij = qi Vj (Mi ) + C où Vj (Mi ) est 
le
potentiel créé par la charge qj à l'endroit de la charge qi :
qj
qi qj
Vj (Mi ) =
donc
Wij =
+C
40 rij
40 rij
La condition

lim

rij +

Wij = 0 annule la constante C, d'où
Wij =

qi qj
40 rij

1.3 Pour n charges, l'énergie potentielle totale est la somme des énergies 
potentielles
entre deux particules. Si V(Mi ) représente le potentiel créé à l'endroit de la 
charge
qi par toutes les autres charges, on peut alors écrire :
W=

n
1 P
qi V(Mi )
2 i=1

Le facteur 1/2 vient du fait que l'on compte deux fois chaque interaction 
puisque l'on
somme sur toutes les charges.
1.4 Dans le cas où les charges sont réparties de manière continue il suffit de 
changer
de schématisation par rapport à la question précédente :
­ la somme devient une intégrale sur le volume ;
­ qi devient dq = d .
ZZZ
1
Par conséquent
W=
V(M) d
2

-

1.5 Le théorème de Gauss provient de l'équation de Maxwell div ( E ) =
; on
0
peut donc remplacer  dans l'équation précédente, ce qui donne :
ZZZ

-
1
W=
0 . div ( E )V(M) d
2

La charge n'apparaît plus dans l'expression de

-
dW
1
= 0 . div ( E )V(M)
d
2
De plus, nous verrons dans la suite que cette expression est plus facilement 
exploitable.

-

-
 --
-
1.6 La formule de l'énoncé donne : V. div ( E ) = div (V. E ) - E . grad V, 
donc le
resultat de la question 1.5 se réécrit :
ZZZ

-
 --
-
1
(div (V. E ) - E . grad (V))d
W = 0
2

ou encore

1
0
2

W=

ZZZ

-
-
-

(div (V. E ) + E . E )d

W est donc la somme de deux termes :
ZZ
ZZZ
- -

1
1
W=
0 V. E . d S +
0 E2 d
 2
 2
1.7 Lorsque  est fini et  tend vers l'infini, regardons la contribution du flux 
:
­ V varie en 1/R
­ E varie en 1/R2
­ S varie en R2
Au final, le flux s'exprime en 1/R. Ainsi, sa contribution tend vers 0. On en 
déduit,
pour R tendant vers l'infini :
dW
1
= 0 E 2
d
2
1.8 Dans le cas d'un condensateur plan, on sait que
E=

V
Q
=
e
0 S

L'énergie électromagnétique W s'écrit donc
W=

1
1
1
CV2 = QV = (0 SE).(Ee)
2
2
2
dW
1
= 0 E 2
d
2

d'où

On retrouve bien le résultat théorique.

2

Puissance transmise par une onde éléctromagnétique

2.1.a Pour l'onde éléctromagnétique dont le champ électrique s'écrit

-
-

E = E 0 .-
u . cos( k .-
r - w.t)

-
le vecteur k est le vecteur d'onde qui représente la propagation spatiale de 
l'onde.
Son module vaut