X/ENS Maths PSI 2009

Thème de l'épreuve Rayons spectral et numérique de matrices carrées complexes
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire, espaces vectoriels normés

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


CX9611
Banque commune École Polytechnique ­ ENS de Cachan

PSI
Session 2009
__________

Épreuve de Mathématiques
__________
Durée : 4 heures
__________
Aucun document n'est autorisé
L'usage de calculatrice électronique de poche à alimentation autonome, non 
imprimantes et
sans document d'accompagnement, est autorisé selon la circulaire n°99018 du 1er 
février
1999. De plus, une seule calculatrice est admise sur la table, et aucun échange 
n'est autorisé
entre les candidats.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il
est amené à prendre.
__________

Preambule
Dans tout le texte Mn,m (C) designe l'ensemble des matrices a n lignes, m 
colonnes et a coefficients complexes ; on notera In la matrice identite de Mn 
(C) =
Mn,n (C). Pour A  Mn (C), le spectre Sp(A) de A est le sous-ensemble de C
constitue des valeurs propres de A. Si A = [ai,j ] 16i6n  Mn,m (C), on notera
16j6m

A = tA = [aj,i ] 16j6m  Mm,n (C) le conjugue de la transposee de A. On iden16i6n

tifiera les vecteurs de Cn avec les elements de Mn,1 (C). On utilisera la 
notation
diag(1 , · · · , n ) pour designer la matrice diagonale de Mn (C) dont les 
coefficients
diagonaux sont les i .
L'espace vectoriel Cn est muni du produit scalaire hermitien,
(x, y)  Cn × Cn 7 hx|yi = x y  C
et pour tout sous-espace vectoriel F de Cn , on note F  l'orthogonal de F dont 
on
rappelle qu'il est de dimension
dim F  = n - dim F.
Etant donnes des vecteurs v1 , · · · , vk de Cn , le sous-espace vectoriel de 
Cn qu'ils
engendrent sera note Vect(v1 , · · · , vk ). Dans le probleme nous aurons 
besoin du vocabulaire suivant : A  Mn (C) est dite
­ hermitienne si A = A ;
­ anti-hermitienne si A = -A ;
­ unitaire si AA = In .
Aucune connaissance specifique sur ces matrices n'est requise a l'exception du
theoreme de reduction suivant que l'on admet ; quand son invocation sera 
necessaire
pour repondre a la question posee, nous le signalerons systematiquement dans le
texte.
Theoreme T.
­ Soit H  Mn (C) une matrice hermitienne. Il existe une matrice unitaire U
telle que U  HU est diagonale reelle.
­ Soit H  Mn (C) une matrice anti-hermitienne. Il existe une matrice unitaire
U telle que U  HU est diagonale imaginaire pure.
Pour X et Y des parties de C, X + Y designe la partie de C dont les elements
sont ceux qui peuvent s'ecrire sous la forme x + y avec x  X et y  Y :
X + Y = {x + y  C / x  X et y  Y }.
De meme XY = {xy  C / x  X et y  Y }. On notera enfin
P = {z  C / Re (z) > 0},
ou Re (z) (resp. Im(z)) designe la partie reelle (resp. imaginaire) du nombre 
complexe z.

Premiere partie
1) Pour tout nombre reel , on definit les matrices
µ
¶
µ
¶
1-
1
1+
1
A() =
et B() =
.
(1 - ) - 1 
-(1 + ) - 1 -
³
´
Calculez Sp(A()), Sp(B()) et Sp A() + B() .

2) En vous aidant des matrices A() et B(), justifiez le fait que l'on ne peut
pas en general, borner Sp(A + B) en fonction seulement de Sp(A) et Sp(B).
3) Soit A  Mn (C) hermitienne ; d'apres le theoreme T, A est diagonalisable
dans une base orthonormee (v1 , · · · , vn ) de vecteurs de Cn . Pour tout i 
{1, · · · , n}, on note i la valeur propre associee a vi et on suppose que 
celles-ci
sont ordonnees par ordre croissant, c'est a dire
1 6 2 6 · · · 6 n .
Pour k  {1, · · · , n}, on note Ek l'ensemble des sous-espaces vectoriels de
dimension k de Cn .
3-a) Montrez que pour tout F  Ek , la dimension de F  Vect(vk , vk+1 , · · · , 
vn )
est superieure ou egale a 1.
3-b) Pour F  Ek , montrez qu'il existe un vecteur non nul x  F tel que
x Ax
> k .
x x
x Ax
= k .
3-c) Donnez un sous-espace vectoriel F appartenant a Ek tel que max
xF \{0} x x
3-d) Deduisez de ce qui precede que pour tout 1 6 k 6 n, on a
x Ax
.
F Ek xF \{0} x x

k = min max

3-e) Soient A, B des matrices hermitiennes de valeurs propres respectives
1 (A) 6 · · · 6 n (A),

1 (B) 6 · · · 6 n (B).

On classe de meme les valeurs propres 1 (A + B) 6 · · · 6 n (A + B) de
A + B. Montrez que, pour tout k  {1, · · · , n}, on a
k (A) + 1 (B) 6 k (A + B) 6 k (A) + n (B).

Deuxieme partie
4) Pour A  Mn (C), on note V(A) le sous-ensemble de C defini par
o
n x Ax
n

C
/
x

C
\{0}
.
V(A) =
x x

4-a) Pour A = [ai,j ]16i,j6n  Mn (C), montrez que pour tout i  {1, · · · , n},
ai,i  V(A).
³
´

4-b) On note H(A) = A+A
.
Montrez
que
V(H(A))
=
Re
V(A)
.
2
4-c) Montrez que pour A, B  Mn (C), on a V(A + B)  V(A) + V(B).
4-d) Montrez que pour A  Mn (C), on a Sp(A)  V(A).
4-e) Montrez que pour A, B  Mn (C), on a Sp(A + B)  V(A) + V(B).
4-f) Montrez que pour 1 6 2 6 · · · 6 n des nombres reels,
³
´
V diag(1 , · · · , n ) = [1 , n ].
4-g) Montrez que si U est unitaire alors V(U  AU ) = V(A).
4-h) En utilisant le theoreme T, determinez V(A) dans le cas ou A est une
matrice hermitienne.
4-i) Montrez que pour A  Mn (C), V(A) est une partie compacte de C.
5) On rappelle qu'une matrice A  Mn (C) est dite nilpotente s'il existe m  N
tel que Am est la matrice nulle.
5-a) Montrez, en utilisant par exemple le theoreme de Cayley-Hamilton, que
A  Mn (C) est nilpotente si et seulement si Sp(A) = {0}.
5-b) Soit A  Mn (C) telle que V(A) = {0}.
i) Montrez que A est nilpotente.
ii) Montrez que Ker A = (Im A) .
iii) Deduisez des questions precedentes que A est la matrice nulle.

Troisieme partie
6) Soit A = [ai,j ]  Mn (C). Pour i  {1, · · · , n}, on note
Li (A) =

n
X

|ai,j |,

Ci (A) =

n
X

|aj,i |.

j=1
j6=i

j=1
j6=i

6-a) On suppose que pour tout i  {1, · · · , n}, on a |ai,i | > Li (A). Montrez
que A est inversible.
6-b) Deduisez de la question precedente que Sp(A)  G(A)  G( tA) ou
G(A) =

n
[

{z  C / |z - ai,i | 6 Li (A)}.

i=1

7) Un sous-ensemble X de C est dit convexe s'il verifie la propriete suivante :
(x1 , x2 )  X × X,

t  [0, 1],

tx1 + (1 - t)x2  X.

7-a) Montrez que l'intersection d'une famille quelconque de sous-ensembles
convexes de C est un sous-ensemble convexe de C.
7-b) Montrez que pour toute partie X de C, il existe un plus petit ensemble
convexe contenant X : on le note Conv(X) et on l'appelle l'enveloppe
convexe de X.
7-c) Montrez que Conv(X) est egal a l'ensemble :
n
nX

ti xi / n > 1, {x1 , · · · , xn }  X, i  {1, · · · , n}, ti > 0 et

i=1

n
X

o
ti = 1 .

i=1

7-d) Soit K un convexe ferme de C qui ne contient pas 0. Montrez qu'il existe
un unique z0  K tel que |z0 | = minzK |z|.
7-e) Construisez une droite du plan complexe d'equation f (z) = 0 de la forme
f (z) = aRe (z)+b Im(z)+c ou (a, b, c)  R3 et telle que c < 0 et f (z) > 0
pour tout z  K.
7-f) Montrez qu'un convexe ferme K de C ne contient pas 0 si et seulement
s'il existe un reel  tel que ei K soit contenu dans P.
8) Pour tout i  {1, · · · , n}, on pose Ei (A) =
GV (A) = Conv

n
³[

Li (A)+Ci (A)
2

ainsi que

´
{z  C tel que |z - ai,i | 6 Ei (A)} ;

i=1

dont on admet qu'il est ferme.
8-a) Montrez que 0 
6 GV (A), si et seulement s'il existe un reel  tel que
i
GV (e A)  P.
8-b) Montrez que GV (A)  P si et seulement si pour tout i  {1, · · · , n}, on
a Re (ai,i ) > Ei (A).
8-c) On suppose que GV (A)  P et on rappelle que H(A) designe la matrice

hermitienne A+A
. En remarquant que Li (H(A)) 6 Ei (A), montrez que
2
Sp(H(A))  P et deduisez-en que V(A)  P.
8-d) Montrez que 0 
6 GV (A) implique 0 
6 V(A).
8-e) Deduisez de ce qui precede que V(A)  GV (A).

Quatrieme partie
Le rayon spectral d'une matrice A  Mn (C) est defini par
(A) = max{|z| tel que z  Sp(A)}.
D'apres la compacite de V(A) prouvee a la question 4-i), on definit le rayon 
numerique
de A par
r(A) = max{|z| tel que z  V(A)}.

Etant donnee une norme || ¦ || sur Cn , la norme ||| ¦ ||| sur Mn (C) 
subordonnee a
|| ¦ || sur Cn est definie par la formule suivante :
|||A||| =

sup

||Ax||.

xCn , ||x||=1

Pour x  Cn et i  {1, · · · , n}, on notera xi sa i-eme coordonnee.
9) Une norme matricielle ||| ¦ ||| sur Mn (C) est par definition une norme 
telle que
pour tous A, B  Mn (C), on a |||AB||| 6 |||A|||.|||B|||.
9-a) Montrez qu'une norme subordonnee est une norme matricielle.
9-b) On note ||| ¦ |||2 la norme subordonnee a la norme || ¦ ||2 definie par 
||x||2 =
³P
´1/2
n
2
. En utilisant le theoreme T, montrez que pour tout A 
i=1 |xi |
Mn (C), |||A|||2 est egale a la racine carree positive de la plus grande des
valeurs propres de A A.
9-c) On admet que les normes
Pn ||| ¦ |||1 et ||| ¦ ||| subordonnees respectivement
aux normes ||x||1 = i=1 |xi | et ||x|| = maxi=1,··· ,n |xi | sont donnees par
les formules
|||A|||1 = max

16j6n

n
X

|ai,j |,

|||A||| = max

i=1

16i6n

n
X

|ai,j |.

j=1

i) Montrez que pour tout A  Mn (C), (A) 6 r(A).
ii) Montrez, en utilisant 8-e), que pour tout A  Mn (C),
n
´
1 X³
|ai,j | + |aj,i | .
r(A) 6 max
16i6n 2
j=1

iii) Deduisez des questions precedentes que (A) 6 r(A) 6 |||A|||1 +|||A|||
.
2
10) On note desormais r : Mn (C)  R+ la fonction qui a A associe r(A).
10-a) Montrez que r est une norme sur l'espace vectoriel Mn (C).
µ
¶
µ
¶
0 2
0 0
10-b) Soient A =
et B =
. Calculez V(A), V(B), V(A)V(B)
0 0
2 0
et V(AB). La norme definie par r est-elle matricielle ?

10-c) Montrez que pour tout A  Mn (C), on a r(A) 6 |||A|||2 ; en utilisant
le theoreme T montrez que l'on a egalite si A est hermitienne ou 
antihermitienne.
10-d) En ecrivant A =

A+A
2

+

A-A
2

montrez que |||A|||2 6 2r(A).

10-e) Deduisez de ce qui precede que 4r est une norme matricielle sur Mn (C).
10-f) Montrez que pour c reel strictement positif, cr est une norme matricielle
sur Mn (C) si et seulement si c > 4.

FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Julien Lévy (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Guillaume Dujardin (Chercheur à l'INRIA) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet traite du rayon spectral  et d'une notion proche, le rayon numérique r,
des matrices carrées à coefficients complexes. En particulier, on montre que le 
rayon
numérique définit une norme sur Mn (C) et que 4r est même une norme matricielle
sur Mn (C).
Dans le préambule, on admet la version hermitienne du théorème spectral : toute
matrice hermitienne H est diagonalisable et la matrice de passage peut être 
choisie
unitaire. De plus, les valeurs propres de H sont réelles.
· La première partie établit le principe du min-max ou théorème de 
CourantFischer, qui permet d'exprimer les valeurs propres d'une matrice A en 
fonction
x Ax
des scalaires  où x  C r {0} et x est la transposée du conjugué de x.
x x
Ce principe est utilisé ensuite pour comparer les valeurs propres d'une somme
A + B de deux matrices aux valeurs propres de A et de B.
x Ax
· Dans la deuxième partie, on étudie l'ensemble des valeurs prises par
x x
lorsque la matrice A est fixée et le vecteur x parcourt Cn r {0}. On calcule
précisément cet ensemble lorsque la matrice A est hermitienne. On montre que
cet ensemble est toujours compact, que A soit hermitienne ou non. Enfin, on
montre que la matrice A est nulle si et seulement si cet ensemble est réduit
à {0}.
· La troisième partie traite essentiellement des propriétés des convexes de C. 
On
montre en particulier que la projection orthogonale sur un convexe fermé non
vide est unique. Cette étude est utilisée pour comparer le rayon numérique aux
normes subordonnées classiques de Mn (C) dans la partie suivante.
· La quatrième partie utilise les résultats obtenus dans les trois précédentes 
pour
montrer que r est une norme sur Mn (C) et que 4r est une norme matricielle.
C'est un sujet plutôt long, intéressant et qui permet d'aborder un bon nombre
de résultats classiques et élégants, notamment le théorème de Courant-Fischer 
et les
projections sur les convexes.
La difficulté est progressive : il est préférable de traiter les parties dans 
l'ordre.
Cependant, comme les résultats intermédiaires sont donnés, on peut parfaitement
sauter une question en admettant la réponse, ce qui permet de ne pas rester 
bloqué.

Indications
Première partie
3-a Que vaut dim(F + Vect (vk , . . . , vn )) ?
3-b Décomposer x dans la base (v1 , . . . , vn ) et utiliser le fait qu'il 
s'agit d'une base
orthonormée.
3-c Construire F à partir des vi .
3-d Utiliser les questions 3-b et 3-c.

x Bx
3-e Utiliser la question 3-d et encadrer, pour tout vecteur x  Cn non nul, 
x x
par des valeurs propres de B.
Deuxième partie

4-a Penser aux vecteurs de la base canonique de Cn .
4-d Utiliser la question 3-d.
4-e Utiliser les questions 4-c et 4-d.
4-f Penser aux barycentres.
4-h Utiliser les questions 4-f et 4-g.
4-i Que sait-on des fonctions continues sur un compact ?
5-b-i Utiliser les questions 4-d et 5-a.
5-b-ii Commencer par montrer l'égalité des dimensions, puis calculer (x+y) 
A(x+y)
avec x  Ker A et y  Cn .

5-b-iii Raisonner par l'absurde et remarquer, en utilisant la question 5-b-ii, 
que si
Ax est non nul alors il n'est pas dans le noyau de A. Qu'en déduit-on sur les
matrices Ap ?
Troisième partie
6-a Calculer le noyau de A.
6-b Que peut-on dire de la matrice A - In lorsque  est une valeur propre de A ?

7-b Considérer l'intersection de toutes les parties convexes de C qui 
contiennent
l'ensemble X.
7-c Montrer que cet ensemble est un convexe contenant X et contenu dans tout
convexe contenant X.
7-d Pour l'existence, utiliser une fonction continue sur un compact inclus dans 
K.
Pour l'unicité, raisonner par l'absurde et faire un dessin.
7-e Faire à nouveau un dessin et penser au produit scalaire canonique du plan
complexe.
7-f Se ramener au cas z0  R+ en effectuant une rotation.

8-a Utiliser la question 7-f.

8-b Utiliser la question 7-c.
8-c Utiliser les questions 6-b, 4-b et 4-h.
8-d Utiliser la question 8-a.
8-e Montrer que si z  V(A) alors 0  V(A - zIn ) et utiliser la question 8-d.

Quatrième partie
9-a C'est du cours.
9-b Considérer un vecteur propre adéquat.
9-c-i Utiliser la question 4-d.
9-c-ii Utiliser la question 7-c.
10-a Utiliser les questions 4-c et 5-b.
10-b Pour A et B, utiliser les vecteurs

i  . Pour AB, utiliser la question 4-h.

t

e
10-c Pour la majoration, penser à une inégalité faisant intervenir normes et 
produits
scalaires ou hermitiens.
Dans le cas où A est hermitienne, utiliser les questions 4-h et 9-b. Si A est
anti-hermitienne, que peut-on dire de iA ?

10-d Utiliser les inégalités triangulaires pour |||· |||2 et r, la question 
précédente et
la question 4-c.
10-e Ne pas oublier le résultat de la question 9-a.
10-f Pour le cas c < 4, s'inspirer des matrices de la question 10-b.

Première partie
1 Soit   R. Calculons les polynômes caractéristiques des matrices A(), B() et
A() + B().
A() = det(A() - XI2 )

1--X
1
= det
(1 - ) - 1  - X
= (1 -  - X)( - X) - ((1 - ) - 1)

A() = X2 - X + 1

soit

Pour vérifier le calcul, on peut s'assurer que le coefficient dominant
de A() vaut (-1)n , que son coefficient d'ordre n - 1 vaut (-1)n-1 Tr A()
et que son coefficient constant vaut det A(), où n désigne la taille de la
matrice A(), c'est-à-dire, ici, 2.
Selon votre professeur, vous avez appris que le polynôme caractéristique
d'une matrice A est égal à det(A - XIn ) ou bien à det(XIn - A). Ces deux
définitions sont quasi-identiques et ne diffèrent que d'un facteur (-1)n :
det(A - XIn ) = (-1)n det(XIn - A).

Le discriminant
de ce polynôme vaut -3 et ses racines sont donc (1 + i 3)/2 et

(1 - i 3)/2. Les valeurs propres d'une matrice étant les racines de son polynôme
caractéristique, on en tire
(

 )
1+i 3 1-i 3
sp (A()) =
,
2
2
De la même manière,
B() = det

1+-X
1
-(1 + ) - 1 - - X

= (1 +  - X)(- - X) - (-(1 + ) - 1)

soit

B() = X2 - X + 1

On retrouve le même polynôme caractéristique, qui possède les mêmes racines.
(

 )
1+i 3 1-i 3
sp (B()) =
,
2
2
Pour finir,

A()+B() = det

2-X
2
-22 - 2 -X

= X2 - 2X + 4(1 + 2 )

2
Le discriminant de ce dernier polynôme
p vaut 4(1 - 4(1 +  )),
pqui est toujours
strictement négatif. Ses racines sont 1 + i -1 + 4(1 + 2 ) et 1 - i -1 + 4(1 + 
2 ).
p
p
sp (A() + B()) = {1 + i 4(1 + 2 ) - 1 , 1 - i 4(1 + 2 ) - 1}