X/ENS Maths PSI 2007

CX7611

MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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L'usage de toute calculatrice est interdit

Sr, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursu1t sa composüion en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 7 pages

PRÉAMBULE

Le but général de ce problème est d'étudier différentes méthodes 
d'approximation de _
deux réels particuliers, ln 2 d'une part et la constante d' Euler 7 d'autre 
part. La définition
de ces deux réels sous forme de limites de suites et les premiers encadrements 
associés .
sont étudiés dans la partie I. Une autre méthode d'approximation de la 
constante d'Euler

a l'aide d'une expression de celle--ci sous forme d'intégrale est proposée dans 
la partie II.
La partie III consiste à. exprimer 'y a partir de la somme d'une certaine série 
alternée. Les
parties IV et V proposent ensuite deux méthodes générales d'accélération de 
convergence

pour le calcul des sommes de séries alternées et les appliquent a 
l'approximation de ln2.
Les cinq parties sont assez largement indépendantes.

Dans tout le problèrne, on note pour tout s > O, Ça(s) la somme de la série 
alternée de
(--1)"'

terme général --TÎ--_ pour n _>_ 1 et pour tout 3 > 1, Ç ( ) la somme de la 
série de terme
1
général fi; pour n _>_ 1.

PREMIÈRE PARTIE

1.1 En appliquant une formule de Taylor à. la fonction a: +---+ ln(1 +33) 
définie pour a: > ---1,
montrer que

1n2=Ça(1)=n--liæoeîîfl)k _ (1)
=() '

2

1.2 En déduire une première méthode d'approximati0n permettant d'obtenir ln2 
avec
une précision 6 > 0 donnée.

1.3 On définit la suite de terme général un pour n 2 1 par la relation:

la
Montrer que pour tout 71 E N*, un EUR [0,1].

1.4 Montrer que la suite (un)neN* est monotone. En déduire que la suite 
(un)neN* est
convergente.

Dans toute la suite de ce problème, on définit un réel, noté 7 et appelé
constante d'Euler, par la relation:

"' 1
7: lim un: lim ( Ë--lnn). (2)
1

n---->+oo n---++oo le

1.5 Pour tout 71 E N *, on note Dn le domaine de R2 défini par:
1

n+1

Représenter graphiquement Dn dans le plan muni du repère orthon0rmé (O,z' , j ) 
et montrer
que l'aire de D.,, est égale à un -- un+1.

1
Dn={(æ,y)EURR2, n_<_oe£n+l et _<_y_<_--g;}. 1( 1 1 11 1 2 n+1 n+2 1.6 Montrer que l'aire de D..., est comprise entre 1.7 En déduire l'encadrement suivant de la constante d'Euler valable pour tout 77. E N *: 1 1 1 ___--< < ---- .... "" 2n--7--u" 2n+2n(n+1) 1.8 Décrire une première méthode d'approximatîon permettant d'obtenir 7 avec une_pré-- cision & > 0 donnée. On supposera connue une approximation de la fonction 
logarithme
avec une précision arbitraire.

DEUXIÈME PARTIE

2.1 Soit a > 0. Montrer que la fonction réelle fa définie sur ]a, + o<>[ et 
telle que
a . I 0 . _a

fa(îÙ) : (l ---- --)'" est cr01ssante et verifie hm fa(g;) : e _
ZE OE--++oo

71. +00
2.2 Montrer que les intégrales In : / f,:(n) ln tdt pour 71 E N* et I = / 
e"tlntdt
0 0

sont correctement définies.

2.3 Montrer que lim In : ].

n--++oo

2.4 Etablir l'expression suivante de In:

TL n+11
In= ---- -- .
n+1(lnn zic)

k=1

En déduire que la constante d'Euler ? définie par la relation (2) peut aussi 
s'exprimer
sous la forme d'une intégrale:

+oo
= -- / e"'lntdt. (3)
0

2.5 Montrer qu'on peut définir deux fonctions F et R sur R3_ par les relations 
suivantes:

a:__-t
F(oe)=/l EUR dt
0

t

+oo e--t
R(oe) : / ------dt

t
et que ces deux fonctions vérifient pour tout a: E Ri:

7=F(æ) --lnoe--R(oe)

2.6 Montrer que pour tout a: E Rj_, on a F(oe) : Z(--l)"" --.

n=1

2.7 Etablir les inégalités suivantes valables pour tout a: E R1" et tout entier 
N > a::

N--1
__ __ n--1ÆÎ. __1_ î£'îN
|F<æ> Z< 1) ... "eN(N) e--æ < < O_R(oe)_ a: 2.8 Proposer une méthode permettant de déterminer, à EUR > 0 fixé, une valeur 
de a: > 0
et une valeur de N EUR N* de telle sorte qu'on ait:

N----1 "

n_ m
| E :("1) 1W--lnfE--7lîê
n=l .

TROISIEME PARTIE

3.1 Montrer que la fonction Ça définie dans le préambule est une fonction 
continue sur
Ri.

3.2 Montrer que Ça est une fonction dérivable sur R'; et exprimer sa dérivée 
sous forme
de série.

3.3 Vérifier que pour tout 3 > 1, on a Ça(s) : (1 -- 21--3)Ç(8) où la fonction 
Ç a été définie
dans le préambule.

1 +°° 1
3.4 En remarquant que ;? = s / t dt pour tout s > 0 et tout n E N*, établir que
TL

où E(t) représente la partie entière du réel t.

3.5 Montrer qu'au voisinage de 5 = 1 par valeurs supérieures, on a

Ç(s) = 1

3 ---- 1
où 7 désigne la constante d'Euler définie par la relation (2).

+7+0(1)

ln n 3
3.6 Vérifier que la série de terme général (--1)"-----%--_--Êä--)- pour n E N 
est une série alternée.
En notant S sa somme, montrer à l'aide des questions précédentes que
ln(2) + 1 1
: _-- -- S 4
' 2 ln(2) ( )

QUATRIÈME PARTIE

Dans toute cette partie, (ak)kEURN désigne une suite réelle convergente vers 0. 
Cette suite
est supposée de plus décroissante a partir de la question 4.4.

4.1 Soit (%.)ng une suite de réels strictement positifs telle la série de terme 
général A,,
diverge vers +oo. Montrer que

2 Àkak

k=g : O
Dk
k=0

lim
n--++oo

4.2 On définit A l'opérateur Opérant sur une suite quelconque (uk)keN par la 
relation:
Vk EUR Na (Au)k : Uk '" uk+1

puis on note A" la puissance itérée n--ième de l'opérateur A:

A0 = Id et pour tout n E N, A"+1 : A 0 A"
Montrer que pour tous le et n dans N, on a

k = Î<--1r' (';) u... i=0 4.3 Montrer, a n fixé dans N, que lim (A"a),EUR : 0 et, a k fixé dans N, que lim : k--++oo n'"'+°° 271 5 4.4 On suppose a partir de maintenant que la suite (ak)keN est décroissante et convergente vers 0. On note S la somme de la série alternée de terme général (--1)'"ak pour tout k E N. On definit pour tous le et n dans N: (le) _ __ k (Ana)k _ (An+la)k &" --( 1) [ 2n 2n+1 \ ' I . I ' k Montrer,a k fixe dans N, que la ser1e de terme general (al. ))neN est convergente avec pour somme: +oo Za£l" = (...1)k..., n=0 \ I I . I , k et, a n fixe dans N, que la serre de terme general (al,, ));OEN est convergente avec pour somme: +oo (k) _ Z% ---- k=0 (A"CI)Q 2n 1 ° + +oo 4.5 On note r£,'Ï) : z ag"). Montrer que la série de terme général (r$))kEURN est conver-- n=m gente. On note R... sa somme. TL Am 4.6 Montrer que lim R... = 0 et z (2mÎ)O : Ro -- Rn+1. m-->+oo 1
m=0

(Ama)o

2m+1

4.7 En déduire que la série de terme général ( ) est convergente et a pour
mEURN

somme S.

4.8 On suppose en outre que la suite (ak)kEURN peut s'écrire sous la forme ak : 
f (le) pour
tout le E N où f est une fonction appartenant à C°°(R+,R) et telle que

Vk E N, Va: & R+, (--1)kf(k)(oe) > 0

Montrer dans ce cas que pour tout n E N et tout k 6 N, (Ana)k Z 0. En déduire 
que
pour tout m E N,

1

k + 1'
proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision 6 > 0 donnée. 
Quelle

expression de ln2 retrouve t-on'?

4.9 En appliquant les résultats de cette partie a la suite de terme général ak =

CINQUIÈME PARTIE

Dans toute cette partie, (bk)kEURN désigne une suite réelle pouvant s'écrire 
pour tout
k E N:

1
bk=/ a:'°w(oe)doe
0

où U) est une fonction réelle continue sur ]0,1[, positive et dont l'intégrale 
sur ]0,1[ est
convergente.

5.1 Montrer que la suite (bk)keN est décroissante et convergente vers 0.

5.2 Soit (Pn)nEURN une suite de fonctions réelles telle que, pour tout 33 EUR 
R, Po(oe) = 1,
P1(£E) : 1 -- 2513 et

'v'a: E R, 'v'n EUR N*, Pn+1(æ) = 2(1---- 2oe)Pn(æ) -- Pn_1(oe).

Montrer que Pn est un polynôme de degré 7). et établir une relation entre Pn et 
la fonction
Tn définie sur [----1,1] par l'expression:

Va: EUR [--1,1], Tn(oe) = cos(nArccos(oe)).

Indication: on pourra essayer d'établir une relation de récurrence linéaire à 
deux termes
sur les fonctions Tn du,méme type que celle portant sur les fonctions Pn.

5.3 Montrer que pour tout a: E R et tout n 65 N*:

P,.(æ) = Î(--1)m " (" + ...) 22mæm.

n+m 2771

m=0

En déduire que pour tout 77. E N, Pn(--1) 7': O.

_ Pn --1 -- Pn
5.4 Pour tout 77. E N*, on définit le polynôme Qn tel que Qn(X ) = 75%... et on

1
note s(n) = / Q...(æ)w(æ)doe. Montrer que
0

8.VEURC

5.5 Calculer Pn(--1). En déduire que pour tout n E N*

25
|s(n) "'" Si 5 ...

où S désigne la somme de la série alternée de terme général (--1)klnc pour tout 
k E N.

7

5.6 Soit n > 2. On suppose connus les n premiers termes de la suite (bk)keN. On 
se

propose d'étudier l'algorithme suivant, écrit ici de manière 
pseudo-informatique:

. d0 : 1, dl = 3;

. Pour 1»: allant de 0 a n -- 2, faire:

. tmp=dl, d1=6*d1--d0, d0=tmp;
. fin;
. b=--1,c=--dl, s=O;

. Pour le allant de 0 a n ---- 1, faire:
c=b--qs=s+c*OE;

. b=b*(k+n)*(k--n)/((k+l/2)*(k+l));
. fin;
. sn : s/d1;

Quelles valeurs respectives prennent dl et sn a la fin de l'algorithme? 
Justifier la ré--
ponse.

5.7 En appliquant les résultats de cette partie a la suite de terme général bk 
: ...,

proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision 6 > 0 donnée.