X/ENS Maths PSI 2007

Thème de l'épreuve Approximation de ln(2) et de γ par diverses suites
Principaux outils utilisés séries alternées, calcul intégral, séries de fonctions, combinatoire, algorithmique, analyse générale
Mots clefs Critère de Leibniz, constante d'Euler, accélération de convergence

Corrigé

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CX7611

MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

Aucun document n 'est autorisé

L'usage de toute calculatrice est interdit

Sr, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursu1t sa composüion en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Le sujet comporte 7 pages

PRÉAMBULE

Le but général de ce problème est d'étudier différentes méthodes 
d'approximation de _
deux réels particuliers, ln 2 d'une part et la constante d' Euler 7 d'autre 
part. La définition
de ces deux réels sous forme de limites de suites et les premiers encadrements 
associés .
sont étudiés dans la partie I. Une autre méthode d'approximation de la 
constante d'Euler

a l'aide d'une expression de celle--ci sous forme d'intégrale est proposée dans 
la partie II.
La partie III consiste à. exprimer 'y a partir de la somme d'une certaine série 
alternée. Les
parties IV et V proposent ensuite deux méthodes générales d'accélération de 
convergence

pour le calcul des sommes de séries alternées et les appliquent a 
l'approximation de ln2.
Les cinq parties sont assez largement indépendantes.

Dans tout le problèrne, on note pour tout s > O, Ça(s) la somme de la série 
alternée de
(--1)"'

terme général --TÎ--_ pour n _>_ 1 et pour tout 3 > 1, Ç ( ) la somme de la 
série de terme
1
général fi; pour n _>_ 1.

PREMIÈRE PARTIE

1.1 En appliquant une formule de Taylor à. la fonction a: +---+ ln(1 +33) 
définie pour a: > ---1,
montrer que

1n2=Ça(1)=n--liæoeîîfl)k _ (1)
=() '

2

1.2 En déduire une première méthode d'approximati0n permettant d'obtenir ln2 
avec
une précision 6 > 0 donnée.

1.3 On définit la suite de terme général un pour n 2 1 par la relation:

la
Montrer que pour tout 71 E N*, un EUR [0,1].

1.4 Montrer que la suite (un)neN* est monotone. En déduire que la suite 
(un)neN* est
convergente.

Dans toute la suite de ce problème, on définit un réel, noté 7 et appelé
constante d'Euler, par la relation:

"' 1
7: lim un: lim ( Ë--lnn). (2)
1

n---->+oo n---++oo le

1.5 Pour tout 71 E N *, on note Dn le domaine de R2 défini par:
1

n+1

Représenter graphiquement Dn dans le plan muni du repère orthon0rmé (O,z' , j ) 
et montrer
que l'aire de D.,, est égale à un -- un+1.

1
Dn={(æ,y)EURR2, n_<_oe£n+l et _<_y_<_--g;}.

1( 1 1 11 1
2 n+1 n+2

1.6 Montrer que l'aire de D..., est comprise entre

1.7 En déduire l'encadrement suivant de la constante d'Euler valable pour tout 
77. E N *:

1 1 1
___--< < ---- ....
"" 2n--7--u" 2n+2n(n+1)

1.8 Décrire une première méthode d'approximatîon permettant d'obtenir 7 avec 
une_pré--

cision & > 0 donnée. On supposera connue une approximation de la fonction 
logarithme
avec une précision arbitraire.

DEUXIÈME PARTIE

2.1 Soit a > 0. Montrer que la fonction réelle fa définie sur ]a, + o<>[ et 
telle que
a . I 0 . _a

fa(îÙ) : (l ---- --)'" est cr01ssante et verifie hm fa(g;) : e _
ZE OE--++oo

71. +00
2.2 Montrer que les intégrales In : / f,:(n) ln tdt pour 71 E N* et I = / 
e"tlntdt
0 0

sont correctement définies.

2.3 Montrer que lim In : ].

n--++oo

2.4 Etablir l'expression suivante de In:

TL n+11
In= ---- -- .
n+1(lnn zic)

k=1

En déduire que la constante d'Euler ? définie par la relation (2) peut aussi 
s'exprimer
sous la forme d'une intégrale:

+oo
= -- / e"'lntdt. (3)
0

2.5 Montrer qu'on peut définir deux fonctions F et R sur R3_ par les relations 
suivantes:

a:__-t
F(oe)=/l EUR dt
0

t

+oo e--t
R(oe) : / ------dt

t
et que ces deux fonctions vérifient pour tout a: E Ri:

7=F(æ) --lnoe--R(oe)

2.6 Montrer que pour tout a: E Rj_, on a F(oe) : Z(--l)"" --.

n=1

2.7 Etablir les inégalités suivantes valables pour tout a: E R1" et tout entier 
N > a::

N--1
__ __ n--1ÆÎ. __1_ î£'îN
|F<æ> Z< 1) ... "eN(N)
e--æ
< <
O_R(oe)_ a:

2.8 Proposer une méthode permettant de déterminer, à EUR > 0 fixé, une valeur 
de a: > 0
et une valeur de N EUR N* de telle sorte qu'on ait:

N----1 "

n_ m
| E :("1) 1W--lnfE--7lîê
n=l .

TROISIEME PARTIE

3.1 Montrer que la fonction Ça définie dans le préambule est une fonction 
continue sur
Ri.

3.2 Montrer que Ça est une fonction dérivable sur R'; et exprimer sa dérivée 
sous forme
de série.

3.3 Vérifier que pour tout 3 > 1, on a Ça(s) : (1 -- 21--3)Ç(8) où la fonction 
Ç a été définie
dans le préambule.

1 +°° 1
3.4 En remarquant que ;? = s / t dt pour tout s > 0 et tout n E N*, établir que
TL

où E(t) représente la partie entière du réel t.

3.5 Montrer qu'au voisinage de 5 = 1 par valeurs supérieures, on a

Ç(s) = 1

3 ---- 1
où 7 désigne la constante d'Euler définie par la relation (2).

+7+0(1)

ln n 3
3.6 Vérifier que la série de terme général (--1)"-----%--_--Êä--)- pour n E N 
est une série alternée.
En notant S sa somme, montrer à l'aide des questions précédentes que
ln(2) + 1 1
: _-- -- S 4
' 2 ln(2) ( )

QUATRIÈME PARTIE

Dans toute cette partie, (ak)kEURN désigne une suite réelle convergente vers 0. 
Cette suite
est supposée de plus décroissante a partir de la question 4.4.

4.1 Soit (%.)ng une suite de réels strictement positifs telle la série de terme 
général A,,
diverge vers +oo. Montrer que

2 Àkak

k=g : O
Dk
k=0

lim
n--++oo

4.2 On définit A l'opérateur Opérant sur une suite quelconque (uk)keN par la 
relation:
Vk EUR Na (Au)k : Uk '" uk+1

puis on note A" la puissance itérée n--ième de l'opérateur A:

A0 = Id et pour tout n E N, A"+1 : A 0 A"
Montrer que pour tous le et n dans N, on a

k = Î<--1r' (';) u...

i=0

4.3 Montrer, a n fixé dans N, que lim (A"a),EUR : 0 et, a k fixé dans N, que 
lim :

k--++oo n'"'+°° 271

5

4.4 On suppose a partir de maintenant que la suite (ak)keN est décroissante et 
convergente

vers 0. On note S la somme de la série alternée de terme général (--1)'"ak pour 
tout k E N.
On definit pour tous le et n dans N:

(le) _ __ k (Ana)k _ (An+la)k
&" --( 1) [ 2n 2n+1

\ ' I . I ' k
Montrer,a k fixe dans N, que la ser1e de terme general (al. ))neN est 
convergente avec pour
somme:

+oo
Za£l" = (...1)k...,

n=0

\ I I . I , k
et, a n fixe dans N, que la serre de terme general (al,, ));OEN est convergente 
avec pour

somme:
+oo
(k) _
Z% ----
k=0

(A"CI)Q
2n 1 °

+

+oo
4.5 On note r£,'Ï) : z ag"). Montrer que la série de terme général (r$))kEURN 
est conver--

n=m

gente. On note R... sa somme.

TL Am
4.6 Montrer que lim R... = 0 et z (2mÎ)O : Ro -- Rn+1.

m-->+oo 1
m=0

(Ama)o

2m+1

4.7 En déduire que la série de terme général ( ) est convergente et a pour
mEURN

somme S.

4.8 On suppose en outre que la suite (ak)kEURN peut s'écrire sous la forme ak : 
f (le) pour
tout le E N où f est une fonction appartenant à C°°(R+,R) et telle que

Vk E N, Va: & R+, (--1)kf(k)(oe) > 0

Montrer dans ce cas que pour tout n E N et tout k 6 N, (Ana)k Z 0. En déduire 
que
pour tout m E N,

1

k + 1'
proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision 6 > 0 donnée. 
Quelle

expression de ln2 retrouve t-on'?

4.9 En appliquant les résultats de cette partie a la suite de terme général ak =

CINQUIÈME PARTIE

Dans toute cette partie, (bk)kEURN désigne une suite réelle pouvant s'écrire 
pour tout
k E N:

1
bk=/ a:'°w(oe)doe
0

où U) est une fonction réelle continue sur ]0,1[, positive et dont l'intégrale 
sur ]0,1[ est
convergente.

5.1 Montrer que la suite (bk)keN est décroissante et convergente vers 0.

5.2 Soit (Pn)nEURN une suite de fonctions réelles telle que, pour tout 33 EUR 
R, Po(oe) = 1,
P1(£E) : 1 -- 2513 et

'v'a: E R, 'v'n EUR N*, Pn+1(æ) = 2(1---- 2oe)Pn(æ) -- Pn_1(oe).

Montrer que Pn est un polynôme de degré 7). et établir une relation entre Pn et 
la fonction
Tn définie sur [----1,1] par l'expression:

Va: EUR [--1,1], Tn(oe) = cos(nArccos(oe)).

Indication: on pourra essayer d'établir une relation de récurrence linéaire à 
deux termes
sur les fonctions Tn du,méme type que celle portant sur les fonctions Pn.

5.3 Montrer que pour tout a: E R et tout n 65 N*:

P,.(æ) = Î(--1)m " (" + ...) 22mæm.

n+m 2771

m=0

En déduire que pour tout 77. E N, Pn(--1) 7': O.

_ Pn --1 -- Pn
5.4 Pour tout 77. E N*, on définit le polynôme Qn tel que Qn(X ) = 75%... et on

1
note s(n) = / Q...(æ)w(æ)doe. Montrer que
0

8.VEURC

5.5 Calculer Pn(--1). En déduire que pour tout n E N*

25
|s(n) "'" Si 5 ...

où S désigne la somme de la série alternée de terme général (--1)klnc pour tout 
k E N.

7

5.6 Soit n > 2. On suppose connus les n premiers termes de la suite (bk)keN. On 
se

propose d'étudier l'algorithme suivant, écrit ici de manière 
pseudo-informatique:

. d0 : 1, dl = 3;

. Pour 1»: allant de 0 a n -- 2, faire:

. tmp=dl, d1=6*d1--d0, d0=tmp;
. fin;
. b=--1,c=--dl, s=O;

. Pour le allant de 0 a n ---- 1, faire:
c=b--qs=s+c*OE;

. b=b*(k+n)*(k--n)/((k+l/2)*(k+l));
. fin;
. sn : s/d1;

Quelles valeurs respectives prennent dl et sn a la fin de l'algorithme? 
Justifier la ré--
ponse.

5.7 En appliquant les résultats de cette partie a la suite de terme général bk 
: ...,

proposer une méthode d'approximation de ln2 avec une précision 6 > 0 donnée.

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



X/ENS Maths PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Walter Appel (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Vincent Perrier (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce sujet a pour but de donner des méthodes pour déterminer une approximation
numérique de deux réels : ln(2) et la constante d'Euler .
Il fait appel à la quasi totalité des techniques d'analyse du programme de 
l'année
(à l'exception des séries de Fourier). Les séries numériques y tiennent une 
place de
choix, notamment le critère de Leibniz sur les séries alternées. Mais d'autres 
méthodes
sont aussi mises en oeuvre : monotonie et convexité, séries de Taylor, 
polynômes de
Tchebychev, développements limités, théorème de convergence dominée, dérivation
de séries de fonctions, et même un peu de dénombrement et d'algorithmique.
Les cinq parties sont, dans l'ensemble, largement indépendantes.
· Dans une première partie, on étudie une série convergeant vers ln(2) et on
estime sa vitesse de convergence. On étudie ensuite une suite convergeant vers ,
à laquelle on applique une méthode d'accélération de convergence.
· Dans la deuxième partie, la constante  est approchée par une troisième suite,
et la vitesse de convergence est estimée par une étude d'intégrales. On montre
notamment que la convergence de cette méthode est encore plus rapide que
celle de la première partie.
· La partie 3 permet de relier  à une série alternée. Elle fait appel à quelques
techniques de calcul intégral et de développement limité. Elle est d'un niveau
très abordable.
· La quatrième partie, extrêmement technique par moments, relie ln(2) à la
somme d'une série formée par des différences successives de termes de la
série harmonique. Elle permet de montrer comment on peut accélérer très
notablement la convergence de la série harmonique alternée vers ln(2). Une
de ses difficultés est l'accumulation de notations auxquelles il faut 
s'habituer.
· La cinquième partie relie ln(2) à une dernière suite. On termine l'épreuve par
l'étude d'un petit algorithme calculant les termes de cette suite, dont on peut
montrer qu'il permet de calculer ln(2) avec une très grande précision et un
nombre d'opérations remarquablement limité.
Au total, l'épreuve, bien que longue, est intéressante, variée, et permet de 
tester
sa rapidité et son aisance face à une situation parfois délicate.

Indications
Première partie
1.3 Faire un dessin !
1.4 Former la différence un - un+1 et utiliser l'égalité des accroissements 
finis.
1.5 Utiliser la convexité de t 7 1/t.

Deuxième partie
2.1 Poser ga : x 7 x ln(1 - a/x), et montrer que ga est positive grâce à une 
étude
de ga .
2.4 Poser x = 1 - t/n, puis développer ln(1 - x) en série entière.
2.7 Prouver que

eN-1
1
6 N .
N!
N
Troisième partie

3.1 Se placer sur un intervalle de la forme [ a ; + [. La convergence uniforme 
sur
[ a ; + [ se montre en majorant uniformément le reste grâce au théorème des
séries alternées.
3.2 La même technique s'emploie, mais à partir d'un certain rang seulement pour
que la suite de terme général ln(n)/nx décroisse.
3.3 Séparer les termes pairs des impairs.
3.4 Poser n (t) = t-(s+1) si t > n et 0 sinon.
3.5 Ajouter -t + t au numérateur dans l'intégrale pour faire apparaître la 
quantité
bornée E(t) - t.
3.6 Effectuer un développement limité de (1 - 21-s ) et de a (s) au voisinage 
de 1.

Quatrième partie
4.1 Question classique mais inutile pour la suite !
4.2 Effectuer une récurrence.
4.4 Remarquer que la série (sur k) est télescopique.
4.5 Démontrer la propriété par récurrence sur m.
4.6 Écrire Rm sous la forme d'une somme double (dont une somme finie). Prouver
que l'on peut intervertir ces deux sommes. Majorer ensuite la somme intérieure
en utilisant le critère de Leibniz.

4.8 Question difficile ! Tout se simplifie en définissant par récurrence la 
suite (n f )n
de premier terme 0 f = f et vérifiant
n+1 f : x 7 (n f )(x) - (n f )(x + 1)
Montrer que (-1)k (n f )(k) > 0 pour tout k  N, par récurrence sur n.

Cinquième partie
5.2 Montrer que
Tn = Tn-1 + 2X Tn
Vérifier ensuite que les fonctions Tn (1 - 2x) et Pn (x) vérifient la même 
relation
de récurrence.
5.3 La question se résout par récurrence ; il vaut mieux cependant ne pas se 
focaliser
sur ce calcul un peu pénible et se concentrer sur la suite.
5.4 Dans l'expression de Qn , développer (-1)m - xm en une somme de m termes.
5.5 Résoudre la relation de récurrence d'ordre 2 sur les coefficients Pn (-1). 
Montrer que
Z 1
w(x)
dx
S=
1
+x
0
5.6 Montrer que d1 prend les valeurs successives Pk+2 (-1), et que c prend les 
valeurs
(-1)k cn,k .

Première partie
1.1 La fonction  : x 7 ln(1 + x) étant de classe C  sur ] -1 ; + [, fixons un
entier n et appliquons la formule de Taylor-Lagrange à l'ordre n + 1. On calcule
d'abord les dérivées successives de  par une récurrence immédiate : pour tout k 
 N ,
 (k) : x 7- (-1)k+1

(k - 1)!
(1 + x)k

Puisque (0) = 0, la formule de Taylor-Lagrange s'écrit donc, pour tout x > -1,
ln(1 + x) -

n+1
P (-1)k+1
k=1

k

xk 6

xn+2
sup  (n+2) (t)
(n + 2)! t[ 0 ;x ]

Posons maintenant x = 1. Pour tout k > 1, la fonction  (k) est décroissante
sur [ 0 ; 1 ] ; son maximum est donc en 0. Effectuons un glissement d'indice ; 
il vient
ln(2) -

n (-1)k
P
(n + 1)!
1
6
=
k
+
1
(n
+
2)!
n
+
2
k=0

Le majorant tend vers 0 quand n tend vers l'infini, donc le terme de gauche 
aussi.
n (-1)k
P
= a (1)
n k=0 k + 1

ln(2) = lim

1.2 Considérons un réel  > 0. Pour tout n  N , on peut écrire
ln(2) =

n (-1)k
P
+ Rn
k=0 k + 1

avec

Rn =

 (-1)k
P
k=n+1 k + 1

Le théorème de Leibniz sur les séries alternées permet de majorer la valeur 
absolue
du reste Rn d'ordre n par son premier terme : |Rn | < 1/(n + 2).
On pouvait également remarquer, si l'on avait fait la première question,
que l'inégalité |Rn | 6 1/(n + 2) avait été démontrée directement en utilisant 
une formule de Taylor.
Il suffit de poser maintenant n = E (1/) - 1. Alors, n + 2 = E (1/) + 1 > 1/,
donc |Rn | < . Une approximation de ln(2) à la précision  est alors donnée par 
la
somme partielle d'ordre n.
Rappelons, puisque ce théorème sera utilisé tout au long de l'épreuve,
le « théorème spécial des séries alternées », également appelé « critère des
séries alternées » ou « critère de Leibniz ».
Soit (un )nN une suite réelle de signe alterné,
P telle que (|un |)nN
est décroissante et de limite nulle. Alors, la série
un converge. Si l'on
note (Sn )nN la suite des sommes partielles et (Rn )nN celle des restes,
et S la somme de la série, alors |S| 6 |u0 | et |Sn | 6 |u0 | pour tout n  N.
De plus, le signe de Sn et de S est le signe de u0 .