X/ENS Maths PSI 2003

Thème de l'épreuve Équations différentielles dans Mn(R)
Principaux outils utilisés théorème de Cauchy-Lipschitz, crochet de Lie, décomposition de Gram-Schmidt
Mots clefs exponentielle de matrice, orthonormalisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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MATHÉMATIQUES

DURÉE: 4 HEURES

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autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé, une 
seule a la fois
étant admise sur la table ou le poste de travail. et aucun n 'échange n'est 
autorisé entre les candidats.

NOTATIONS ET DÉFINITIONS

Dans tout le problème on considère des matrices carrées n >< n à coefficients 
réels, et on note M,,
l'ensemble de ces matrices. Si il! appartient à M... m,-j désignera son 
coefficient sur la ligne i et la
colonne j . On définit les sous--ensembles de M,, suivants :

GL,, : {M e M.,; det M # 0}

o., = {M EUR M.,; "MM : 11}

où ]l est la matrice identité, n'ayant que des 1 sur la diagonale et nulle 
ailleurs,
- A,, = {.M EUR Mn; 'il/[ : ----.M}, l'ensemble des matrices antisymétriques,

'J'n : {IW : (m,-,) E M,,; m,-j : 0 si i < j}, l'ensemble des matrices 
triangulaires inférieures,

et son sous--ensemble
[J'-n = {]VÎ == (m,--j) EUR Tn;Vi, mi,: > O} .

Une application bilinéaire @ : E >< E ----+ F, où E et F sont deux espaces 
vectoriels, est dite alternée si,
pour tout u E E, qfi(u,u) == 0.

Dérivation : si 11. est une fonction dérivable d'une variable réelle t, on note 
ù(t0) sa dérivée en to.

0. PRÉLIMINAIRES

On munit M..., de la norme suivante (qu'on ne demande pas de justifier)

mER"--{O},Hællfil "OEil

l:cll : \/OEÎ + - - - + 516%, est la norme euclidienne de II:.

1. Soit B une matrice de Mn. Montrer que la série

où

est convergente.

2. Justifier que exp(----B) est l'inverse de exp B . En déduire que exp B 
appartient à GL...

3. Montrer que l'application çb : R ----+ M... t l----> exp(tB) est une 
fonction de classe C1 et calculer sa
dérivée.

4. Montrer que B commute avec exp(tB )

LI. ÉQUATION DE LAX

L'objectif est de résoudre certaines équations différentielles ordinaires du 
premier ordre dL / dt : f (L)
où L appartient à un sous--espace vectoriel E C Mn.

1. On définit le crochet de deux matrices A, B de Mn par
[A,B] : AB ----BA .

(a) Montrer que A, B +----> [A, B] est une application bilinéaire alternée.

(b) Que peut--on dire de la trace de [A, B] '?

(0) Montrer que le crochet de deux matrices antisymétriques est une matrice 
antisymétrique.
(d) Montrer que si A,B EUR 7... alors AB EUR 'Il}. et [A, B] E '.Tn.

2. (a) Soit t r----> A(t) une application de classe C'1 d'un intervalle I dans 
GL... Justifier que t +----+ A"'(t)
est également de classe C'1 et donner une expression simple de sa dérivée en 
fonction de la

dérivée A.
b Soit maintenant X une matrice fixée. Dériver l'a lication t +---+ A t "1X A t 
et montrer que
PP

%(A"XA) : [A"'XA,A"À] .

3. On considère l'équation différentielle ordinaire suivante dans Mn (dite de 
LAX) :

L = [L, M]
{ L(O) : X ...
où M = M (L) est une matrice dépendant continûment de L et X une matrice 
constante fixée.
Montrer que si t +--+ L(t) est une solution de (l) sur un intervalle I, alors 
Tr L(t) est constante.

4. Dans toute la suite du problème L est une solution de (1). On rappelle que 
le spectre d'une matrice

M est l'ensemble de ses valeurs propres (y compris complexes). Nous nous 
proposons d'étudier le
spectre de L(t) quand t varie.

(a) Soit I un intervalle et B : I ----> M... une fonction de classe C1 dont le 
déterminant ne s'annule
jamais.

i. On suppose ici que B (O) = Il; calculer la dérivée en zéro de det B.
ii. Calculer la dérivée de det B dans le cas général et pour tout t.

(b) Montrer que si pour un certain to EUR I , det L(to) # 0, alors detL est 
constant (non nul). Que
peut-on dire de det(L(t) ---- À]l) où A est un nombre complexe fixé ?

(c) Oonclure que le spectre de L ne varie pas avec t. On dit que la solution 
est isospectmle.

5. On suppose que X possède 77. valeurs propres réelles distinctes.

(a) Montrer qu'il existe pour tout t une matrice A(t) telle que L(t) : 
A(t)"'XA(t). Est-elle
unique?
(b) En admettant que l'on peut choisir t r--> A(t) de telle sorte que A soit de 
classe C 1, quelle
équation différentielle A satisfait-elle (on pourra faire intervenir la matrice 
M) ?
(c) Vérifier qu'une solution du système suivant dans Mn
À=AM
2
{ A An et 7r2 : Mn ----> 'J'n les projections qui à un 
élément B associent les
deux termes dans la somme directe (c'est--à--dire B : 7r1 (B) + 7T2(B)).

(b) Montrer que O." et {Pn sont des sous--groupes de GL...
(c) Montrer que si M EUR A,, alors exp M EUR On. De même si M EUR 'J'... expM 
EUR il)".

(d) Soit I un intervalle de R. Montrer que si R : I _---> On (respectivement T 
: I ----> (Pn) est une
application de classe C' 1, alors R'"1R (resp. T"1T) est à valeur dans An 
(resp. '.T,,).

2. (a) Montrer que tout élément B EUR GLn peut s'écrire comme le produit RT 
d'une matrice R EUR On
par une matrice T EUR 'J'n (on pourra s'inspirer de la décomposition de 
CRAM--SCHMIDT).

(b) Montrer que cette décomposition est unique. On notera respectivement 111 et 
112 les appli--
cations de GLn dans Mn qui à B associent les éléments R EUR 0" et T EUR '.Pn 
issus de la

décomposition de la question Il.2a.

(c) Soit 1 un intervalle et B : I ----+ Mn une application de classe C'1 telle 
que Vt EUR I , B (t) EUR GL...

Pour tout t EUR I, on pose R(t) : H1(B(t)) et T(t) : H2(B(È)). Montrer que R et 
T sont des
applications de classe C1 à valeur dans Mn.

3. On veut résoudre l'équation dans M :

L= L,7r1(L)
{ L(O)[=X ] (3)

(a) On cherche la solution sous la forme A(t)"'XA(t). Donner une équation 
différentielle pour A
et une condition en t = 0 qui garantissent que L : t r---+ A(t)"1XA(t) 
satisfait (3).

(b) Montrer que A(t) : (H1(exp(tX ))) est la solution.

III. RÉSEAU DE TODA

On considère 77. particules de masse 1 se déplaçant sur une droite, de position 
q.-- et vitesse p.- pour i

entre 1 et n. Par souci de concision, on notera q le n--uple (q1, . . . , qn) ; 
de même pour p.

La i--ème particule est repoussée par les particules z' ---- 1 et i + 1 et 
subit une accélération ç'j.-- : p.-
----2EUR2('""q*'+1) + 262(qi--1"9i) (équation de NEWTON) ; la formule est 
modifiée aux deux extrémités : Q}
151 : _282(q1--q2) et (Ïn : Ï>n : 2e2(Qn--l--qn)_

On considérera le système différentiel de 271 équations à 2n fonctions 
inconnues issu des équations
ci--dessus :

Il

q',;=p.-- pourlîi_<_n

pl : _282(Q1--42) (*)
p.-- : --282(q""'"+1) + 282(q*'-1"q") pour 1 < i < n
pn : 282(qn_1--qn)
avec les conditions initiales q(0) : ("j, p(0) : p.
1. Vérifier que le système (*) satisfait les conditions de Cauchy--Lipschitz 
pour l'existence d'une solution
sur un intervalle (non précisé) ] =] -- EUR, EUR[. On notera par la suite t 
»----> (q(t), p(t)) une telle solution.

2. On définit l'énergie mécanique du système par :

1 n n----1 ._ .
H(q,p) : î ZPÎ + z 82(Qz Qz+l) _
i=1 i=1

Vérifier que t »----> H (q(t), p(t)) est constant. On dit que la fonction H est 
une intégrale première du
mouvement.

3. Vérifier que la fonction P : (q, p) s----> ZÎ=1 p,- est aussi une intégrale 
première.

4. Soit Q la fonction (q, p) t--+ ZÎ=1 q,--. Que peut--on dire de la fonction t 
|_) Q(q(t), p(t))--tP(q(t), p(t)) ?

5. On suppose désormais que 2, p,-- = O. Considérons les matrices n >< n 
suivantes

pl eql--q2 () . . . . . . 0
8111 "'Q2 p2 eq2--QS O , . , 0
0 eQZ_Q3 193
L =

0
pn--1 eqn--l_qn

0 () eqn-I_Qn pn

et
0 egl_q2 0 0
_te--Q2 () eqz--qs () 0
0 _eQ2--'Q3 ()
M =
0
() eQn--l--Qn
() () _eqn--1--qn ()
autrement dit
- si z' = ' ._ . . . .
pâi_Qi+l . .:]. e'h q*+1 s1_y =z+1
EUR _ e 813 z+1 _ qa'--9j+1 ..__. 1
_ij'" eqj--Qj+l Sii=j+1 , mij-- --e sit--J+
. 0 smon
0 smon

Montrer que L satisfait une équation de Lax de type (3). En déduire 
l'expression générale de la
solution.

6. Résoudre explicitement (*) dans le cas n = 2, pl + pg = (11 +, q2 : 0, avec 
la condition initiale
q1(0) = 93 et p1(0) == 0-

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X/ENS Maths PSI 2003 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (Professeur en CPGE) ; il a été
relu par Julien Lévy (ENS Ulm) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Le sujet traite d'équations différentielles dans Mn (R). Cependant, un bon tiers
des questions porte sur des résultats assez classiques d'algèbre linéaire. Les 
autres
questions proposent de démontrer des propriétés très simples sur les solutions 
de ces
équations. Les questions vraiment techniques n'interviennent généralement qu'à 
la
fin des parties. Seules ces dernières questions font intervenir des résultats 
précédents,
de sorte que les trois parties sont dans une large mesure indépendantes.
· En guise de préliminaires, on propose de redémontrer les propriétés classiques
de l'exponentielle de matrices. C'est presque du cours (même si ce cours est à
la limite du programme de la filière PSI).
· La première partie traite d'une équation différentielle faisant intervenir le 
crochet de Lie de deux matrices. On commence par démontrer quelques résultats
simples d'algèbre linéaire, puis on montre que les solutions de cette équation 
ont
un spectre constant. Enfin, de la résolution d'un cas particulier au niveau des
conditions initiales, on déduit une méthode générale pour résoudre l'équation.
· La deuxième commence par des résultats d'algèbre linéaire (plus complexes
cependant). On se sert ensuite de ces résultats pour résoudre un système de la
forme donnée dans la partie précédente.
· La troisième partie propose de résoudre un problème de physique où des 
particules se déplacent sur une droite, chacune étant repoussée par ses 
voisines.
On montre que pour une certaine modélisation de la force de répulsion, le 
système différentiel composé des vitesses et des positions des n particules se 
ramène
à un système de la forme précédente, et on en déduit la solution à ce problème.
Le sujet est long. Certaines questions sont assez techniques, notamment celles
où l'on demande de montrer que certaines applications définies sur GLn (R) sont
de classe C 1 . Il est vivement conseillé de s'intéresser au début de chaque 
partie,
notamment à toutes les questions d'algèbre linéaire, puisque ce sont des 
résultats
importants qui introduisent des techniques utiles.

Indications
Préliminaires
1 Montrer que pour toutes matrices A et B, la norme de AB est inférieure au
produit des normes de A et de B.
2 Montrer la relation exp(A + B) = exp(A) exp(B) pour toutes matrices A et
B qui commutent. On pourra pour cela introduire la grandeur
 n i n j!
n (A + B)k
PA
PB
P
n =
-
k!
i=0 i!
j=0 j!
k=0
P
3 Montrer que la série de fonctions tk Bk /k! converge normalement sur tout
intervalle de la forme [ -a ; a ].

4 Passer à la limite.

I.

Équation de Lax

I.1.d Montrer que si A et B sont triangulaires inférieures, alors pour tous 
indices
i < j, le coefficient (AB)i,j est nul.
I.2.a Utiliser la relation liant A-1 et la comatrice de A. Dériver ensuite 
l'égalité
A-1 A = 1.
I.4.a.i Écrire B(t) = 1 + B (0)t + o(t) puis chercher à écrire det B = det 1 + 
Ct + o(t),
le but étant de trouver la valeur de C.
I.4.a.ii Considérer pour tout t l'application s 7 B(t + s)B(t)-1 .
I.4.b Utiliser le résultat de la question précédente et l'équation 
différentielle
vérifiée par L.
I.5.a Utiliser la question précédente pour montrer qu'il existe D une matrice 
diagonale, telle que pour tout t, L(t) est semblable à D.
I.5.b Utiliser le résultat de la question I.2.b.
I.5.c Utiliser le théorème de Cauchy-Lipschitz.
I.6 Utiliser le résultat de la question 3.
II.

Décomposition de matrices

II.1.b Le plus ardu est de montrer que l'inverse B d'un élément A de Pn est 
dans Pn .
Pour cela, montrer par récurrence sur les lignes que les coefficients de chaque
ligne sont tous nuls au-dessus de la diagonale.
II.1.c Pour toute matrice triangulaire inférieure M, exprimer les éléments de 
la diagonale de Mk en fonction de ceux de M. En déduire les éléments diagonaux
de exp M.
t

II.1.d Dériver la relation R R = 1.

II.2.a Raisonner en termes de bases de Rn . Utiliser alors le procédé 
d'orthonormalisation de Gram-Schmidt sur les vecteurs colonnes de B.
II.2.b Il y a deux façons de procéder : soit montrer que la construction des 
bases
dans la question précédente se fait de manière unique, soit montrer dans un
premier temps que l'intersection de Pn et On est réduite à 1.
II.2.c Montrer que les vecteurs construits suivant le procédé de la question 
II.2.b
sont des fonctions de classe C 1 de la variable t.

II.3.a Dériver la relation exp(tB) = 1 exp(tB)
et utiliser le résultat
h 2 exp(tB)
-1
i
de la question I.1.d pour en déduire 1 1 exp(tB)
X1 exp(tB) .
III.

Réseau de Toda

III.1 Utiliser le théorème de Cauchy-Lispschitz.
III.2 Utiliser les équations différentielles pour montrer que la dérivée est 
nulle.
En particulier, exprimer e2(qi -qi+1 ) en fonction des (pi  ).
III.5 Remarquer que M = 1 (L). Calculer LM et déduire des symétries de L et M
une relation entre LM et ML. Pour trouver la forme de la solution, utiliser le
résultat de la question II.3.b.
III.6 Pour trouver la forme de 1 (exp(tX)), utiliser les formules obtenues par
la construction de la base orthonormée à la question II.2.a.

Préliminaires
1 Montrons d'abord la propriété suivante, concernant la norme sur Mn introduite
par l'énoncé :
A, B  Mn

N(AB) 6 N(A) N(B)

Pour cela, il est plus commode d'introduire une définition équivalente de
la norme de l'énoncé, mais qui soit plus souple. Soit x un élément de Rn r {0}.
On pose y = x/||x||. Le vecteur y est alors de norme 1 et on a :
||Ay||
||Ax||
= ||Ay|| =
||y||
||x||
d'où l'on déduit que les trois formules suivantes donnent la même définition :
N(A) =

||Ax||
||Ax||
= sup
= sup ||Ax||
n
xRn r{0} ||x||
xR r{0} ||x||
xRn
sup

||x||=1

||x||61

Servons-nous de la première définition pour montrer la propriété voulue. Pour 
tout
élément x de Rn , on pose y = Bx. Si y est nul, la norme de ABx est nulle et 
sinon,
on a
||ABx|| ||Bx||
||Ay|| ||Bx||
||ABx||
=
=
||x||
||Bx|| ||x||
||y|| ||x||
De cette égalité, il vient pour tout x non nul
||ABx||
||Ay||
6 sup
||x||
n
yR r{0} ||y||
donc

sup
xRn r{0}

soit

sup
xRn r{0}

||ABx||
||Ay||
6 sup
||x||
n
yR r{0} ||y||

||Bx||
||x||

sup
xRn r{0}

||Bx||
||x||

N(AB) 6 N(A) N(B)

On déduit de cette propriété que la norme de Bk est inférieure à N(B)k , d'où
 k
n
n N(B)k
P
P
B
6
6 eN(B)
N
k!
k!
k=0
k=0

La série de matrices est donc absolument convergente dans l'espace vectoriel Mn
complet, et par conséquent :
La série

 Bk
P
est convergente.
k=0 k!

La norme introduite par l'énoncé peut en fait être définie pour toute 
application linéaire sur un espace vectoriel normé de dimension finie 
(généralement
désignée sous le nom de norme triple ­ ou triple norme, ou encore norme
subordonnée ­ et notée ||| · |||). Sur un espace de dimension infinie, il y
a équivalence entre le fait que cette norme soit bien définie et le fait que
l'application linéaire soit continue (au sens usuel, pour la distance induite
par la norme de l'espace vectoriel).