Mines Maths 2 PSI 2014

Thème de l'épreuve Racines de l'opposé du laplacien et équation de la chaleur généralisée
Principaux outils utilisés séries de fonctions, séries de Fourier, théorème d'interversion
Mots clefs fourier, opérateur différentiel, équation de la chaleur

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2014 MATH Il PSI

ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière MP).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS 2014

SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES

Filière PSI

(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page dela copie :

MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initia-
tives qu'il est amené à prendre.

Racine de l'opposé du Laplacien

et
Equation de la chaleur généralisée

Notations

On note N l'ensemble des entiers naturels, Z l'ensemble des entiers relatifs, R 
l'en-
semble des nombres réels, N* l'ensemble des nombres entiers strictement 
positifs, R--
l'ensemble des nombres réels négatifs ou nuls, R+ l'ensemble des nombres réels 
positifs
ou nuls et R+* l'ensemble des nombres réels strictement positifs.

On note %; l'ensemble des fonctions R --> C de classe (EURk, de période 2712, où
k EUR [0,00] , et pourf EUR (@), on note "f" = supxEUR[0,2OE] |f (x)| .

On note en la fonction R --> C définie par en (x) = e", et pour f E (@),

c,,(f)=âJ f(6)e_,,(6)d6, nEZ. (1)

Lorsqu'une série est absolument convergente, on montre que sa somme ne dépend
pas de l'ordre des termes, ce qui justifie d'écrire

do+Îd_n+Îdn=Zdn
n=1 n=1

nEURZ

. , . . . , . +00
et de d1re que la ser1e Enez dn converge absolument 51 et seulement 51 les 
ser1es Zn=1 d_,,

+
et Znîî dn convergent absolument.

1 Séries trigonométriques

Question 1 Soit f E (@), démontrer que la suite des en ( f ) où n EUR Z, est 
bornée.

Question 2 Soit f E %Ï, donner l'expression de en ( f 00) en fonction de en ( f 
). En de'--
duire que pour tout k E N, il existe Ck > 0 tel que, pour tout entier relatif 
non nul n

C
Cn(f)l 5 fi (2)

Soit (dn)nEURZ , une suite d'éléments de C, telle que la série ZnEURZ dn 
converge absolu-
ment.

Question 3 Montrer que pour tout x réel la série Enez de, (x) converge et que 
sa somme
h (x) appartient à (EUR ; . Justifier que, pour tout n EUR Z dn = en (h).

Réciproquement, on suppose pour cette question que quel que soit l'entier k, il 
existe
Ck > O et Nk Z 1 tels que

d

n

Ck
lnl

ues ion émon rer ue our ou en ier; asérie e conver enorma emen ;
Q t 4D t q p t tl t 1 nezdn 2" g 1 t
en déduire que h (x) = E dnen (x) appartient à (EUR ;° .

nEURZ

Un opérateur différentiel sur %? est une application linéaire B de (EUR? dans 
lui-
même de la forme suivante :

Bf = 2 bkf"<),
k=O

où les réels bk sont tous nuls sauf un nombre fini. On appelle ordre de B 
l'entier K
défini parK =max{k EURNlbk #0}.

Question 5 Démontrer qu'une application linéaire B de (EUR? dans lui-même est 
un opé--
rateur difiérentiel d'ordre K si et seulement si il existe un polynôme PK 
d'ordre K tel que,

pour tout entier relatif n, et pour tout f E (EUR;O, cn (B f ) = PK (n) cn ( f 
) .

2 Equation de la chaleur généralisée

Soit ,a une fonction : R+ --> R+, strictement croissante, telle qu'il existe 
EUR EUR N+ avec

Vy21,y5p(y)5y'.

Question 6 Soit f E (EUR;O, démontrer que la série Enez ,o (lnl) cn ( f ) en 
converge norma-
lement et que sa somme appartient à (6520.

Question 7 Soit f E (@), démontrer que pour tout t > 0, la série Enez 
e_tp(lnl)cn ( f ) en
converge normalement et que sa somme appartient à (6520.

On définit l'opérateurA : (EUR? --> (EUR? par la formule

A(f) =Zp(lnl)cn(f)en- (3)

nEURZ

I o +
On suppose desorma1s que t E R *,
et on définit l'opérateur Qt sur (672 par la formule suivante :

Qt (f ) = Ze_'P('"')cn (f ) en. (4)

nEURZ

Question 8 Montrer que pour x réel fixé et f E (@), la fonction t +--> Qt ( f ) 
(x) est de
classe (60° sur R+*.

Question 9 Démontrer que, pour f EUR (EUR; et t > O,

(?
ÆQt (f) (x) = --A(Qt (f)) (x) Vx EUR R-- (5)

On note I l'opérateur identité de (6520.

Question 10 Soit a E C, a çÈ R_. Montrer que pour tout g EUR (EUR? il existe un 
et un seul
élément, noté u, appartenant à %? qui soit solution de l'équation (A + ocI ) u 
= g.

Question 11 Montrer que pour fie a > O et g E %Ï, et pour tout x réel,

+OE)

(A+ aI)_1(g)(x) = J e_atQt (g) (x) dt.

0

Question 12 Déterminer les valeurs propres de A, c'est-à-dire les  complexes 
tels qu'il
existe g # O vérifiantA(g) = Âg.

3 Représentations intégrales

Dans ce paragraphe on s'intéresse à deux occurences particulières de la 
fonction ,o :
,o1 et ,o2 définies sur R+ par p1(y) = y et ,o2 (y) = 3/2. On pose

A1(f)=Zlnlcn(f)en etA2(f)=ancn(f)em (6)

nEURZ nEURZ

ainsi que

Qî (f) = z e_tlnlcn (f) en: et Q? (f) = z e_tn26n (f) en° (7)

nEURZ nEURZ

Question 13 Démontrer que si f E CÏ, (A1 OA1) ( f ) = A2 ( f ) .

Question 14 Démontrer que A2 est un opérateur difiérentiel et en donner 
l'expression. En
est-il de même pour A1 ?

Question 15 En référence aux résultats des questions 13 et 9, justifier le 
titre du document.

Si g est une fonction continue et intégrable sur R, on pose

]' +OO ---ùox
ÿ(g)(oe)=\/ÎÎJ_OE EUR g(x)dxn (8)

où (U E R ; c'est la transformée de Fourier de f.

On admettra les formules suivantes :

1 7Ï ---oe --x2 __ ---oe2
ÿ(1+x2)(oe)=\/ge ' |et.fi'(e /2)(oe)--e /2. (9)

ues ion éerminer e rée a e ue, our ou , our ou rée e ou
Qt16Dt llthpttEURfiÏpttylttt

teR+*, +
Qî(f)(y)=aJ '

ËETïÎSËËÏÏ()/----ÇX)(ÏXL

4 Données initiales continues

On suppose dans ce paragraphe que f E (@), et on se limite à l'étude de (2% ( f 
) .

On rappelle le théorème de Weierstrass trigonométrique : pour toute fonction f
continue T périodique et tout 8 > 0, il existe un polynôme trigonométrique p, 
soit

p(t)= che2imt/T oùcnEURC,etZN={nEZI--NSnSN},

nEURZN

tel que "f --p|l S 8.

Question 17 En s'aidant du théorème ci-dessus, montrer que pour tout y réel et 
tout t
réel strictement positif

t2+x2

--OO

Qï(f)(y)=--J+OE#fa--X)dx.

Question 18 En utilisant l'expression de Qî ( f ) sous forme de série, montrer 
que

t-->O
t>0

nm J % (f (y)--Qî exam =o. ...»

Question 19 En utilisant l'expression intégrale de Qî obtenue à la question 17, 
montrer
que pour tout y réel,

f (y) = liggQî (f) (y)- (11)

t>0

5 Décroissance de l'énergie

Pourf EUR (@), on pose Që (f) =f et
1 27T 1 2
E(t)=î |Qt(f)(x)l dx, tZO. (12)
0

Question 20 Montrer que E est une fonction décroissante de t et déterminer sa 
limite en
t = +00.

Fin de l'épreuve

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Thierry Limoges (ENS Cachan) ; il a été relu par
Florian Metzger (ENS Cachan) et Benjamin Monmege (ENS Cachan).

2
T(t, x) - 2 T(t, x) = 0
t
x

se généralise en
T(t, x) + (A(T(t, ·)) (x) = 0
t
où A est une application linéaire sur les fonctions de classe C  et 
2-périodiques.
On peut retrouver la première équation à partir de la deuxième en prenant pour A
l'opposé du laplacien : A(f ) = -f (2) . Ce sujet a pour but d'étudier une 
solution de
l'équation de la chaleur généralisée. Il comporte 20 questions réparties sur 5 
parties. Les parties 2 à 5, les plus techniques, utilisent fréquemment des 
résultats de la
partie 1. Dans chacune, les questions sont de longueur et de difficulté 
inégales.
· La première partie montre des résultats préliminaires sur la convergence de
la série de Fourier qui est associée à une fonction 2-périodique. On y établit
certains critères pour qu'une somme de série soit de classe C  . C'est la partie
la plus abordable du sujet.
· La deuxième partie calcule une solution de l'équation de la chaleur sous la 
forme
d'une série. Ici f est une fonction continue et 2-périodique, qui correspond à
la température initiale sur une barre circulaire (à t = 0). On étudie également
des propriétés spectrales de A.
· La troisième partie s'intéresse au cas particulier où l'opérateur A est 
l'opposé
du laplacien, ce qui correspond à l'équation de la chaleur « classique », puis,
surtout, au cas où A est une racine de l'opposé du laplacien au sens de la
composition des applications linéaires sur les fonctions de classe C  . On 
montre
une formule avec une intégrale pour une solution de l'équation de la chaleur
avec f de classe C  .
· La quatrième partie établit des résultats similaires en réduisant les 
hypothèses
sur la fonction f . On la suppose seulement continue et non C  . On étudie enfin
des propriétés de convergence de la solution de l'équation de la chaleur.
· La cinquième partie ne comporte qu'une question qui étudie à nouveau une
propriété de convergence.
Les outils mobilisés pour ce sujet sont essentiellement les théorèmes sur les 
séries
de fonctions : interversion de limite et d'intégrale, dérivation terme à terme, 
intégration terme à terme, double limite. Beaucoup de majorations sont 
nécessaires pour
vérifier toutes les hypothèses de ces théorèmes, ce qui est classique dans un 
problème
d'analyse. Ce sujet varie peu les plaisirs, il est utile pour travailler 
spécifiquement ces
techniques mais ne balaye qu'une petite partie du programme. Des points de 
cours de
base sont utilisés avec parcimonie, comme l'intégrabilité sur [ 0 ; + [ de 
fonctions exponentielles, des primitives usuelles, la finitude du nombre de 
racines d'un polynôme,
la définition d'une valeur propre et d'un vecteur propre. Le chapitre sur les 
séries de
Fourier n'est plus au programme depuis 2014. Dans la mesure du possible, ce 
corrigé
a été rédigé en utilisant seulement des outils au programme ; cependant, 
quelques
passages nécessitent d'utiliser des théorèmes hors programme, qui sont rappelés 
dans
les indications.
L'équation de la chaleur

Indications
2 Réaliser une intégration par parties pour exprimer le nombre cn (f (k) ) en 
fonction
de cn (f (k-1) ) puis utiliser la question 1.
3 Montrer la convergence normale de la série de fonctions. Pour le calcul de cn 
(h),
utiliser le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions.
(l)

4 Appliquer l'hypothèse pour borner dn en (x) pour tout x  R. Utiliser le 
théorème de dérivation terme à terme pour le cas C k .
5 [HP] Pour le sens direct, calculer en utilisant la question 2 et la linéarité 
de
cn . Pour le sens réciproque, calculer cn (Bf ), et écrire les fonctions f (k) 
et Bf
comme sommes de séries. Utiliser le théorème suivant : Soit f une fonction de
P
classe C 1 et 2-périodique de R dans C. Alors sa série de Fourier
cn (f )en
+
nZ
P
converge simplement versf , c'est-à-dire f =
cn (f )en .
n=-

6, 7
8
9
10

11
12
13
14
15
16

17

18
19

20

Appliquer les résultats des questions 2 et 4.
Appliquer le théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions.
Utiliser la formule de la dérivée de t 7- Qt (f )(x) prouvée à la question 8.
[HP] Trouver une condition nécessaire et suffisante sur les coefficients cn (u) 
pour
trouver une telle fonction u. Utiliser le théorème donné dans l'indication de la
question 5.
Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions.
Trouver l'hypothèse minimale sur  utilisée dans la question 10, puis montrer
que si celle-ci n'est pas vérifiée le résultat devient faux.
Utiliser la question 4 sur les coefficients cn (A1 (f )).
[HP] Pour A2 , utiliser le théorème donné dans l'indication de la question 5.
Pour A1 , utiliser le critère de la question 5, en raisonnant par l'absurde.
f
2f
2f
Le laplacien de f de classe C 2 est
.
L'équation
de
la
chaleur
est
=
.
x2
t
x2

[HP] Utiliser un changement de variables x = tx , puis le théorème 
d'intégration terme à terme d'une série de fonctions, ainsi que le théorème 
donné dans
l'indication de la question 5.
Utiliser le théorème de Weierstrass trigonométrique rappelé dans l'énoncé et
couper la différence entre les deux membres de l'équation en trois morceaux que
l'on majorera indépendamment.
Appliquer le théorème d'intégration terme à terme d'une série de fonctions à la
définition de Q1t (f ).
Dans la forme intégrale de Q1t (f ) obtenue à la question 17, montrer que 
l'intégrande converge uniformément vers la fonction nulle sur un intervalle ne 
contenant pas un voisinage de 0. Au voisinage de 0, effectuer le changement de 
variables x = tx puis utiliser la continuité de f en y.
[HP] Utiliser la formule de Parseval ci-dessous pour les séries de Fourier, 
puis le
théorème de la double limite pour les séries de fonctions.
Cette formule donne une relation entre la norme 2 d'une fonction continue et
2-périodique et ses coefficients de Fourier cn (f ) : pour f  C0 on a
Z
+
P
1 2
2
2
|f (x)| dx =
|cn (f )|
2 0
n=-

Pour une famille (dn )nZ de complexes,
P
P
P
la série
dn converge  les séries dn et d-n convergent
nZ

où les séries de droite sont indexées par N. Dans ce cas, sa somme vaut
+

P

+

dn = d0 +

n=-

P

+

dn +

n=1

P

d-n

n=1

Pour montrer la convergence de telles séries, il suffit d'étudier dn pour |n|
grand. On définit de même la convergence absolue d'une famille de complexes
et la convergence simple, absolue, uniforme et normale (sur un intervalle)
d'une famille (fn )nZ de fonctions de la variable réelle à valeurs complexes.

1. Séries trigonométriques
1 Pour n  Z,

Z
1 2
f ()e -in d
2 0
Z
1 2
6
|f ()| e -in d (inégalité triangulaire)
2 0
Z
1 2
6
|f ()| d
( e -in = 1 pour   R)
2 0

|cn (f )| =

|cn (f )| 6 kf k
Cette quantité ne dépend pas de n, ainsi
La suite (cn (f ))nZ est bornée.
2 Soient f  C , k  N et n  Z. Les fonctions f (k+1) et  7- e -in sont de
classe C 1 sur [ 0 ; 2 ]. On peut donc effectuer une intégration par parties 
pour calculer
Z
1 2 (k+1)
cn (f (k+1) ) =
f
()e -in d
2 0
Z

1  (k)
1 2 (k)
-in 2
f ()e
-
f ()(-ine -in ) d
=
0
2
2 0

1
=
f (k) (2) - f (k) (0) + incn (f (k) )
2
cn (f (k+1) ) = incn (f (k) )
où f (k) (2) = f (k) (0) car f , donc f (k) , sont 2-périodiques. Par 
conséquent, la suite
(cn (f (k) ))kN est géométrique de raison in d'où
k  N

cn (f (k) ) = (in)k cn (f )

k

k

Ainsi cn (f (k) ) = |n| |cn (f )|, donc |cn (f )| = cn (f (k) ) / |n| pour n  Z 
.
Comme la fonction f (k) est continue et 2-périodique sur R, elle est dans C0 .
D'après la question 1, la suite (cn (f (k) ))nZ est bornée. Il existe donc Ck > 
0 tel
que cn (f (k) ) 6 Ck pour tout n  Z. Ainsi,
n  Z

|cn (f )| 6

Ck
|n|

k

La question 1 fournit une borne explicite pour Ck . Pour que Ck soit 
strictement positive, on peut prendre Ck = 1 + kf (k) k.

3 Pour tout x  R et tout n  Z, |dn en (x)| = |dn | e inx = |dn | qui est le 
terme d'une
série indexée par Z convergente, par hypothèse de l'absolue convergence de la 
série
P
P
P
dn , d'où les séries de fonctions dn en et d-n e-n convergent normalement sur R.

nZ

Par conséquent,

La série de fonctions

P

dn en converge normalement sur R.

nZ

P
D'après ce qui précède, la série de fonctions dn en est normalement convergente,
donc uniformément convergente. Pour tout n  Z, la fonction x 7- dn en (x) est
continue sur R. En conséquence, les sommes
h+ : x 7-

+

P

+

dn en (x)

et

h- : x 7-

n=1

P

d-n e-n (x)

n=1

sont continues sur R. Puisque d0 e0 l'est également, la somme h = d0 e0 + h+ + 
h- de
P
la série de fonctions
dn en est également continue.
nZ

Montrons la 2-périodicité de h en revenant à la définition : pour n  Z et x  R,
+

h(x + 2) =

P

+

dn en (x + 2) =

n=-

P

dn en (x) = h(x)

n=-

car les fonctions en sont 2-périodiques. Finalement,
La somme h de la série de fonctions

P

nZ

dn en appartient à C0 .

Soit n  Z. Calculons maintenant cn (h). Par définition,
Z
1 2
cn (h) =
h() e -in d
2 0
Z

1 2 +P
dm e im e -in d
2 0 m=-
Z
Z

1 2 +P
1 2 +P
im -in
cn (h) =
dm e
e
d +
d-m e -im e -in d
2 0 m=0
2 0 m=1