Mines Maths 2 PSI 2012

Thème de l'épreuve Fonctions d'endomorphismes symétriques
Principaux outils utilisés endomorphismes symétriques, diagonalisation

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2012 MATH II PSI
ÉCOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ÉTIENNE, MINES DE NANCY,
TÉLÉCOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filière PC).
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS 2012
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : trois heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculatrice est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente
sur la première page de la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI
L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des
initiatives qu'il est amené à prendre.

Fonctions d'endomorphismes
Dans ce texte on note
l'ensemble des nombres réels,

positifs ou nul et
l'ensemble des réels strictement positifs.

l'ensemble des réels

Pour tout entier  strictement positif on note  l'ensemble des endomorphismes
de  l'identité de  est notée i. Le produit scalaire Euclidien de  est noté  
et la norme associée 
 
Si s  l'ensemble des valeurs propres de s
est noté  s On définit la fonction s sur  
à valeurs dans
de la façon
suivante :
s  
s 
(1)

c'est le quotient de Rayleigh de s.
On note  l'ensemble des endomorphismes symétriques de  Si t  on
note respectivement  t et  t le minimum et le maximum de  t On dit que
t  est un endomorphisme positif (resp. strictement positif) si  
 
on a t    (resp. t  
). L'ensemble des endomorphismes positifs
(resp. strictement positifs) est noté  (resp.   ).

1

Fonctions d'endomorphismes symétriques
Dans cette partie on considère t 

Question 1 Soient t et t appartenant à  démontrer que t

Question 2 Montrer que t 

t  

atteint les valeurs  t et  t

Question 3 Démontrer que l'on a
 t

t  et  t

(2)

t 

On pourra faire appel à une base de vecteurs propres de t à cet effet.
Question 4 Montrer que t  (resp. t   ) si et seulement si  t 

 t 
).

(resp.

Soit  un intervalle contenant  t et  une fonction définie sur  à valeurs dans
Question 5 Montrer qu'il existe une et une seule application linéaire u telle 
que
u 

      t

t  i

(3)

et que u 
On notera u  t l'endomorphisme symétrique ainsi défini, ce qui conduit à
considérer  comme une application de  dans lui-même.
Question 6 Soit la restriction à  d'une fonction polynômiale à coefficients 
réels ;

on note  
  avec  
pour tout  vérifiant     Démontrer

que l'endomorphisme symétrique  t est égal à  i
 t où

t

|t  t {z    t}
 fois

Question 7 Y-a-t-il des fonctions  :  
polynôme de t ?

telles que  t ne soit pas égal à un

Question 8 Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de  t en fonction de
ceux de t.
Question 9 Pour des fonctions  et  définies sur l'intervalle  démontrer que
 t
 t  t
Question 10 On considère s   et la fonction  définie sur
 par  

Montrer que  s s
où s note l'inverse de l'endomorphisme s.
2

Question 11 On considère s  Lorsque  
 on note s l'endomorphisme
( )

s. En admettant
s
 s Montrer que l'endomorphisme s est bien défini et que
que toutes les valeurs propres de s sont simples, combien y-a-t-il de solutions 
c dans
 puis dans  à l'équation c s

2

Relation d'ordre sur 
Soient t et t deux éléments de  On note t  t si et seulement si
t t  

Question 12 Démontrer que la relation  définit une relation d'ordre dans  
estelle totale ?
Question 13 Soit u  démontrer que si t  t

alors ut  u  ut u

Soit  un intervalle de
on dit que la fonction    définit un opérateur
croissant si pour tout t et tout t endomorphismes symétriques vérifiant  t  
 t   alors
t t  t  t
(4)
Question 14 Démontrer que l'application 
définit pas un opérateur croissant.

donnée par  

 ne

On pourra considérer à cet effet les endomorphismes t et t de matrices 
respectives
)
)
(
(
m
(5)
et m
dans la base canonique.
Question 15 Soient t et t    tels que t t en s'aidant de la question 13

montrer que les valeurs propres de ut u sont inférieures ou égales
avec u t

à En déduire que u t  u i puis que l'application 
 donnée
par  
  définit un opérateur croissant.
Question 16 Soient t et t   tels que t t Démontrer que les valeurs

propres de t t  sont positives. En déduire que l'application 
donnée par  
 définit un opérateur croissant.

3

Inégalité de Löwner-Heinz

On va montrer que pour tout  
la fonction 

 définit un opérateur croissant. Pour  
on note 
fonction donnée par

définie par

la

Question 17 Démontrer que  définit un opérateur croissant. On pourra à cet effet
s'aider de la question 15.

3

Soient  une application
  et  une base
de )
(
la matrice de l'endomorphisme   dans la base  et   

On note  
les applica-

tions coordonnées de   On dira que  est continue et intégrable sur
   si
les fonctions coordonnées      le sont. Par définition on notera
  d
 
l'endomorphisme dont la matrice dans la base  a pour coefficients les
   d
 
Cette matrice sera notée
  d
Question 18 Montrer que cette définition est indépendante du choix de la base 
On considère s   et  
Question 19 Montrer que la fonction  à valeurs dans  définie par  
 s 
est continue et intégrable sur
 On pourra trouver utile de faire appel à une
base orthonormée adaptée à s.
On admet que

   d

(6)

 s  d

(7)

Question 20 Montrer que
s

Question 21 En déduire que la fonction  définit un opérateur croissant.

Fin de l'épreuve

4

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Martin (ENS Lyon) ; il a été relu par Sophie
Rainero (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Le sujet étudie des opérateurs sur l'ensemble Sn des endomorphismes symétriques
(n  N ) qui étendent des fonctions f : R - R de la variable réelle : pour M  Sn 
,
on définit f (M) comme l'unique endomorphisme symétrique tel que, pour tout 
vecteur
propre u de M associé à une valeur propre , le vecteur u est un vecteur propre
de f (M) pour la valeur propre f (). L'objectif de ce sujet est d'aboutir à 
l'inégalité
de Löwner-Heinz, un résultat très important en théorie des opérateurs.
· La première partie introduit le quotient de Rayleigh d'un endomorphisme S
défini pour tout vecteur x non nul par
QS (x) =

(S(x), x)
||x||2

afin de caractériser les endomorphismes symétriques positifs et définis positifs
par le signe de leurs valeurs propres. Puis on démontre plusieurs propriétés sur
les opérateurs de Sn . Enfin, on traite les exemples classiques des opérateurs
inverse et racine carrée.
· La deuxième partie introduit la notion d'opérateur croissant de Sn après avoir
défini une relation d'ordre sur Sn . Les mêmes exemples qu'à la partie 
précédente
sont abordés.
· La troisième partie propose d'établir l'inégalité de Löwner-Heinz qui exprime
le fait que, pour tout a  ] 0 ; 1 [, la fonction puissance
(
R+ - R
a :
t 7- ta
s'étend en un opérateur croissant sur l'ensemble des endomorphismes symétriques 
positifs. La démonstration fait appel à l'intégrabilité sur R+ d'une fonction 
vectorielle.
Ce sujet nécessite une connaissance et une compréhension solide du cours sur les
endomorphismes symétriques (avoir oublié, par exemple, que tout endomorphisme
symétrique réel est diagonalisable dans une base orthonormale peut être très 
préjudiciable). Les mêmes types de raisonnement étant utilisés tout au long du 
problème,
il était préférable de ne pas sauter trop de questions, sous peine d'être 
bloqué très
rapidement.
La difficulté reste modérée, hormis dans les questions 7 et 16 qui nécessitent 
une
réflexion avancée, ainsi que, dans une moindre mesure, les questions 15 et 17. 
Attention toutefois à ne pas bâcler les questions « faciles », les correcteurs 
y sont sensibles
et plus disposés à valoriser une copie où clarté et rigueur sont les maîtres 
mots.

Indications
Partie I
2 Considérer les vecteurs propres associés à m(T) et M(T).
3 Se rappeler que tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable dans une
base orthonormale.
n
L
5 Si E =
Ei et que l'on souhaite définir une application linéaire u sur E égale
i=1

à ui sur Ei , alors, si l'on appelle pi la projection orthogonale sur Ei , 
poser :
u=

n
P

u i  pi

i=1

7 Question assez subtile : penser aux polynômes interpolateurs de Lagrange.
10 Considérer g(t) = t et utiliser le résultat de la question 9.
11 Utiliser le résultat de la question 9. Puis, si C est une solution de C2 = S 
alors
C  S = C3 = S  C et par conséquent les sous-espaces propres de S sont stables
par C. Pour le nombre de solutions dans Sn , bien voir qu'il y a deux racines 
carrées
possibles pour chaque valeur propre non nulle de S (une positive et une 
négative).
Partie II

13 Comme U  Sn , pour tout V  Ln on a U  V  U(x), x = V(U(x)), U(x) .

14 Regarder les valeurs propres de M2 2 - M1 2 .

16 Considérer T2 + T1
 T2 - T1 .

Partie III
u
et utiliser le résultat de la question 15.
t+u
18 Introduire une matrice de changement de base.
17 Remarquer que fu (t) = 1 -

19 Pour l'intégrabilité, chercher des équivalents.
21 Utiliser le résultat de la question 17.

I. Fonctions d'endomorphismes symétriques
1 Un endomorphisme u est symétrique si pour tous vecteurs x et y de Rn , on a
(u(x), y) = (x, u(y)). Considérons T1 , T2  Sn et x, y  Rn . En utilisant la 
bilinéarité
du produit scalaire, on obtient :
((T1 + T2 )(x), y) =
=
=
=
((T1 + T2 )(x), y) =

(T1 (x) + T2 (x), y)
(T1 (x), y) + (T2 (x), y)
(x, T1 (y)) + (x, T2 (y))
(x, T1 (y) + T2 (y))
(x, (T1 + T2 )(y))

car T1 , T2  Sn

Ainsi, T1 + T2  Sn , ce qui signifie que
Sn est stable par somme.
Comme ((T1 + T2 )(x), x) = (T1 (x), x) + (T2 (x), x) pour tout x  Rn et
que Sn est stable par somme, Sn+ et Sn+ sont également stables par somme
car la somme de deux termes (strictement) positifs est (strictement) positive.
2 Notons xm et xM deux vecteurs propres associés respectivement aux valeurs
propres m(T) et M(T). En particulier, xm et xM ne sont pas nuls.
Tout endomorphisme symétrique réel a ses valeurs propres réelles. Par suite,
le sous-ensemble (T) de R est fini, il admet donc bien un plus petit et un plus
grand élément.
Calculons maintenant QT (xm ) :
QT (xm ) =

(m(T)xm , xm )
(xm , xm )
(T(xm ), xm )
=
= m(T)
= m(T)
2
2
||xm ||
||xm ||
||xm ||2

De même, QT (xM ) = M(T). Ainsi,
QT atteint les valeurs m(T) et M(T).
3 Tout endomorphisme symétrique réel est diagonalisable dans une base 
orthonormale, i.e. on peut trouver une base orthonormale de Rn formée de 
vecteurs propres.
Notons 1 , ..., n les valeurs propres de T et B = (x1 , ..., xn ) une base 
orthonormale
de vecteurs propres associés. On fixe y  Rn r {0} et on le décompose dans cette
base : y = 1 x1 + · · · + n xn . Calculons maintenant (T(y), y) :
 n

n
P
P
(T(y), y) =
i T(xi ),
j xj
=

=
(T(y), y) =

i=1

j=1

n
P

n
P

i (i xi ),

i=1

P

j xj

j=1

i i j (xi , xj )

16i,j6n
n
P
i 2i
i=1

car la base B est orthonormale

Or

m(T)||y||2 = m(T)

n
P

i=1

2i 6

n
P

i=1

i 2i 6 M(T)

n
P

i=1

2i = M(T)||y||2

m(T)||y||2 6 (T(y), y) 6 M(T)||y||2

Par conséquent,
Comme y 6= 0, on a

m(T) 6 QT (y) 6 M(T)

En outre, d'après la question 2, QT atteint les valeurs m(T) et M(T), d'où
m(T) =

Min

xRn r{0}

et

QT (x)

M(T) =

Max QT (x)

xRn r{0}

4 Essayons d'utiliser habilement QT :
T  Sn+

T  Sn+

x  Rn r {0}

(T(x), x) > 0

x  Rn r {0}

QT (x) > 0

m(T) =

(T)  R+

Min

xRn r{0}

car ||x||2 > 0

QT (x) > 0

Pour T  Sn+ , il suffit de remplacer les inégalités larges par des inégalités 
strictes.
Attention, le passage à la borne inférieure (ou supérieure) ne préserve pas les
inégalités strictes. Par exemple, la fonction exponentielle est toujours 
strictement positive et a une borne inférieure (sur R) nulle. Dans le cas de 
Sn+ ,
le fait que m(T) soit atteint est alors essentiel.
Ainsi,

T  Sn+  (T)  R+

et

T  Sn+  (T)  R+

5 Commençons par montrer l'existence d'une telle application linéaire. Comme T
est diagonalisable, on a :
L
Rn =
Ker (T - I)
(T)

Notons p la projection orthogonale sur Ker (T - I) et posons U =

P

f ()p .

(T)

Tout d'abord, U est linéaire comme combinaison linéaire d'applications 
linéaires.
Montrons que U vérifie bien (3). Soient 0  (T) et y  Ker (T - 0 I), on a

P
U(y) = 
f () p (y) + f (0 ) p0 (y) = f (0 )y
| {z }
| {z }
(T)r{0 }
=0

=y

Par conséquent, il existe une application linéaire U vérifiant (3). Montrer 
qu'elle est
unique. Considérons deux applications linéaires V et W vérifiant (3) :
  (T)

y  Ker (T - I)

V(y) = f ()y = W(y)

Ainsi, V - W coïncide avec l'application nulle sur chacun des sous-espaces 
propres.
Comme Rn est somme directe de ces derniers, V - W = 0 i.e. V = W, d'où 
l'unicité.
Il existe une unique application linéaire U vérifiant (3).
La matrice de U dans B est diagonale (avec f (1 ), ..., f (n ) sur la 
diagonale), elle est
donc symétrique, c'est-à-dire
U  Sn