Mines Maths 2 PSI 2011

Thème de l'épreuve Course-poursuite
Principaux outils utilisés équations différentielles non linéaires
Mots clefs course-poursuite, le lièvre et la tortue, théorème de Cauchy-Lipschitz

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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A 2011 MATH II PSI
ECOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PSI).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).
CONCOURS 2011
SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve : trois heures)
L'usage de l'ordinateur ou de la calculatrice est interdit.

Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
MATHEMATIQUES II - PSI
L'enonce de cette epreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il le signale sur sa
copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amene a prendre.

COURSE-POURSUITE.
On note R l'ensemble des nombres reels, R+ l'ensemble des nombres reels 
positifs, et R+ l'ensemble
des nombres reels strictement positifs. On designe par N l'ensemble des entiers 
naturels et par N
l'ensemble des entiers naturels strictement positifs.
Soit  : [0, +[ R une fonction continue telle que (0) = 0. L'objet du probleme 
est l'etude de
l'equation differentielle
2
E() : x (t) =
.
x(t) - (t)
On dira qu'une fonction  de classe C 1 sur un intervalle non vide I est 
solution de E() si pour
2
tout t  I, (t) 6= (t) et  (t) =
.
(t) - (t)
Soit x0 > 0 un reel strictement positif. On appelle solution de E(, x0 ) une 
fonction  : [0, a[ R
(a  R+ ou a = +) de classe C 1 telle que
(0) = x0 , et t  [0, a[ , (t) 6= (t) et  (t) =

2
.
(t) - (t)

Une solution de E(, x0 ) est dite maximale si ou bien elle est definie sur [0, 
+[ ou bien elle est definie
sur un intervalle [0, a[ (a > 0) et elle n'est pas la restriction d'une 
solution definie sur un intervalle plus
grand [0, a [ (a > a).
On admettra le resultat suivant :
Theoreme 1.
1] Soit t0 > 0 et y0 ](t0 ), +[. Alors il existe  > 0 tel que le probleme de 
Cauchy
x(t0 ) = y0 , et t ]t0 - , t0 + [ , x(t) 6= (t) et x (t) =

2
x(t) - (t)

possede une unique solution  definie sur ]t0 - , t0 + [.
2] Soient I, J deux intervalles inclus dans [0, +[. On considere deux solutions 
 : I  R,  : J  R
de E() de classe C 1 . On suppose qu'il existe t1  I  J tel que (t1 ) = (t1 ). 
Alors,  et  coincident
sur I  J.
3] Pour tout x0 > 0 il existe une unique solution maximale, notee t 7 (t, x0 ), 
de E(, x0 ). Son
domaine de definition est alors note [0, T (x0 )[ ; T (x0 ) est appele temps de 
vie de la solution maximale
t 7 (t, x0 ). Ou bien T (x0 )  R+ , ou bien T (x0 ) = +.
Le probleme de Cauchy E(, x0 ) represente une course poursuite entre  le lievre 
et x la tortue.
Au temps t = 0, le lievre est a l'origine 0 = (0) tandis que la tortue est en 
x0 > 0. On verra que si
T (x0 ) < + alors le lievre rattrape la tortue, on dit qu'il y a capture. Si T 
(x0 ) = + alors la tortue
parvient a s'echapper.
On pourra utiliser librement les resultats de la Partie 1 pour traiter la 
suite, meme si on ne les a
pas demontres.

2

1

Generalites.

1) On fixe x0 > 0. Soit (·, x0 ) : [0, T (x0 )[ R la solution maximale de E(, 
x0 ). Montrer que
t  [0, T (x0 )[ , (t, x0 ) > (t). Preciser le sens de variation de la fonction 
(·, x0 ) et montrer qu'elle
admet une limite reelle ou egale a + en T (x0 ).
2) Dans cette question et la suivante on suppose que T (x0 ) < +. Montrer que si
lim

tT (x0 ), t T (y0 ) et utiliser les questions 4), 3) et 
1)).

2

Etude de deux exemples.

6) Soient x0 > 0 et 0 la fonction nulle : t  0, 0 (t) = 0. Expliciter la 
solution maximale de E(0 , x0 ).
Peut il y avoir capture ?
On considere la fonction 1 : [0, +[ R definie par :

t  [0, 1], 1 (t) = 4(1 - 1 - t); t  1, 1 (t) = 4.
7) Montrer qu'il existe un reel a > 0 que l'on precisera, tel que la fonction 0 
determinee par

t  [0, 1], 0 (t) = a - (a - 2) 1 - t,
definit la solution maximale de E(1 , 2). Puis prouver que T (2) = 1.
Jusqu'a la fin de cette partie 2 on considere une autre solution de E(1 ),  = 
(·, x0 ), telle que :
(0) = x0  R+ \ {2}.

8) Pour chaque t  [0, min(1, T (x0 ))[, donner une expression simple de dtd ln 
|(t) - 0 (t)| en fonction
de

- (t) - 1 (t) 1 - t .
3

9) Montrer que la fonction

2 1-t
t 7 C(t) = ln |(t) - 0 (t)| -
(t) - 0 (t)
est bien definie sur [0, min(1, T (x0 ))[ et y est constante. (On pourra 
utiliser les questions 4 et 8).
10) On suppose que x0 ]0, 2[. Prouver que C(0) est superieur ou egal a 1+ln 2. 
En supposant T (x0 ) < 1,
calculer C(T (x0 )) et aboutir a une contradiction. En deduire que T (x0 ) = 1.
Dans la question suivante on suppose x0 = (0) > 2.
11) Montrer que T (x0 )  1. Puis montrer, en considerant C(t) quand t  1 par 
valeurs inferieures, que
T (x0 ) ne peut pas etre egal a 1. Enfin montrer, en resolvant l'equation E(1 ) 
pour t  1, que T (x0 ) ne
peut pas etre un nombre reel. Conclure. (On rappelle que t  1, 1 (t) = 4).

3

Une condition suffisante pour qu'il n'y ait pas de capture.

Soit f : [0, +[ R une fonction continue telle que f (0) = 0. On rappelle que la 
fonction  du
probleme E() verifie ces deux hypotheses. On note
M (f ) =

sup
0 0, T (x0 ) = +.
On raisonne par l'absurde, pour aboutir a une contradiction. Soit donc x0 > 0 
tel que la solution
maximale, notee t 7 x(t), de E(, x0 ) ait un temps de vie T (x0 ) < + (fini).
13) Montrer que M () est strictement positif. (On pourra utiliser la question 
6).
br la fonction definie sur R+ par
Soit un reel r > 0. On designe par 
br (t) = 1 (r2 t).
t  R+ , 
r
br ) = M ().
On admettra que M (
br , 1 x0 ) a un
14) Montrer qu'il existe r  R+ , que l'on precisera, tel que la solution 
maximale x
b de E(
r
temps de vie egal a 1 et peut etre prolongee par continuite en 1 en posant x
b(1) = (1). (On pourra
montrer que x
b est de la forme t 7 1r x(bt) ou b est une constante a preciser).
4

br , 1 x0 ), on peut donc supposer que la solution maximale t 7 x(t) de
Quitte a remplacer (, x0 ) par (
r
E(, x0 ) a un temps de vie T (x0 ) = 1 et peut etre prolongee par continuite en 
1 en posant x(1) = (1).
15) Montrer que

t  [0, 1] , x(t) - (t)  M () 1 - t,

et en deduire que
t  [0, 1] , x(1) - x(t) 

4 
1 - t.
M ()

16) Montrer alors que
t  [0, 1] , x(t) - (t)  (M () -

4 
) 1 - t.
M ()

(On utilisera la deuxieme inegalite de la question precedente et la definition 
de M ()).
17) Soit µ un reel > 0 tel que

t  [0, 1] , x(t) - (t)  µ 1 - t.
Montrer alors que
t  [0, 1] , x(t) - (t)  (M () -
Conclure que M () -

4 
) 1 - t.
µ

4
est strictement positif.
µ

On rappelle que M () < 4.
18) Deduire de ce qui precede l'existence d'une suite (un )nN de reels 
strictement positifs verifiant :
u0 = M (),

n  N, un+1 = M () -

4
.
un

Etudier la convergence de cette suite (un )nN et aboutir a une contradiction. 
En deduire que pour tout
reel x0 > 0, T (x0 ) = +.
Fin du Probleme
L'equation E() a ete introduite par Loewner. Elle joue un role important dans 
diverses branches
des mathematiques (analyse complexe, processus stochastiques...etc).

5

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Gilbert Monna (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Jean Louet (ENS Cachan) et Guillaume Batog (ENS Cachan).

Ce problème est consacré à l'étude précise d'une équation différentielle 
modélisant
une poursuite. Le comportement de ses solutions, selon les paramètres, permet de
déterminer si le poursuivant rattrapera le poursuivi. C'est un problème qui 
aurait pu
être très difficile, mais les résultats essentiels sont rappelés en préambule 
et l'énoncé
donne beaucoup d'indications sur les méthodes à utiliser.
· La première partie repose principalement sur le théorème de Cauchy-Lipschitz
et sur de l'analyse élémentaire, comme le théorème des valeurs intermédiaires et
le théorème des accroissements finis. Si certains raisonnements sont un peu 
fins,
plusieurs indications figurent cependant dans l'énoncé. De plus, garder à 
l'esprit
l'analogie physique du lièvre et de la tortue permet de s'approprier facilement
les résultats démontrés dans cette partie afin de les réutiliser par la suite.
· La deuxième partie est consacrée à l'étude de deux exemples. On n'y trouvera
pas, comme dans la partie précédente, l'utilisation de théorèmes profonds,
mais des calculs qui peuvent être astucieux et sollicitent donc un autre type de
compétences. La cerise sur le gâteau est de comprendre la situation physique
décrite dans chacun des deux cas.
· La dernière partie est plus théorique, le but étant de montrer qu'il n'y a pas
de capture possible sous une certaine condition. Après quelques questions 
techniques, on termine par un joli raisonnement par l'absurde.
En résumé, c'est un très beau problème, intéressant à travailler, entre autres 
parce
qu'il aborde des aspects assez inhabituels de la théorie des équations 
différentielles.
Il est relativement difficile et utilise tout le cours de spéciale sur la 
question. Il est
donc préférable d'attendre que le cours soit fini (et même bien assimilé) pour 
vous y
attaquer.

Indications
Partie 1
1 Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.
2 Penser que la fonction  est bornée sur [ 0 ; T(x0 ) ]. Conclure en utilisant 
le
théorème des accroissements finis.
3 Utiliser le résultat de la première question.
4 Remarquer (pour conclure) que (0, x0 ) 6= (0, y0 ).

Partie 2
6 Remarquer que l'équation différentielle est à variables séparables.
2
7 Identifier 0 (t) et
pour déterminer a.
0 (t) - 1 (t)
8 Rester calme... ce n'est que du calcul.
9 Simplifier le calcul de la dérivée en utilisant l'équation différentielle et 
celui de la
question précédente.
2
10 Introduire la fonction t 7 ln(2 - t) +
et étudier ses variations.
2-t
11 Utiliser le résultat de la question 5.

Partie 3
12 Déterminer F par identification, puis poser u = s/t et étudier les 
variations de la
fonction obtenue.
14 Poser b = r2 . Pour la conclusion, penser que le temps de vie T(x0 ) vérifie
x(T(x0 )) = (T(x0 )).
15 Utiliser la croissance de x vue à la question 1, puis la définition de M() 
pour
obtenir l'inégalité
x (t) >

M()

2

1-t

qu'on intègre entre t et 1.
16 Utiliser la question précédente en pensant que x(1) = (1).
17 Se servir des méthodes employées aux questions 15 et 16.
18 Remarquer que la suite (un )nN est définie par la relation de récurrence
un+1 = f (un )
où f est la fonction définie sur R+ par
4
x
Montrer que la suite (un )nN est décroissante. Utiliser la question 17 pour 
montrer
qu'elle est à valeurs positives puis aboutir à une contradiction en étudiant les
points fixes de la fonction f .
f (x) = M() -

Tout au long du problème, il sera bon de se replacer dans le contexte
cinématique du lièvre et de la tortue pour interpréter facilement les résultats
demandés par l'énoncé et comprendre pourquoi ils sont « naturels ». Il sera
d'autant plus facile de s'en souvenir pour les réutiliser par la suite au moment
opportun.
On notera que comme certains élèves de prépa, la tortue a besoin d'être
talonnée par le lièvre pour être efficace : tant que l'échéance est lointaine,
elle avance d'un pas tranquille, mais quand le lièvre se rapproche, elle 
s'oblige
à passer la vitesse supérieure. Tout le jeu consiste à savoir dans quel cas 
cette
stratégie est efficace et s'il n'aurait pas mieux valu bien avancer dès le 
début.

1. Généralités
1 Puisque (·, x0 ) est solution de l'équation x (t) = 2/(x(t) - (t)) sur 
l'intervalle
[ 0 ; T(x0 ) [, la fonction (·, x0 ) est définie sur l'intervalle [ 0 ; T(x0 ) 
[, ce qui entraîne
que la fonction t 7 (t, x0 )-(t) est non nulle sur [ 0 ; T(x0 ) [. Cette 
dernière fonction
étant continue, elle est, d'après le théorème des valeurs intermédiaires soit 
strictement
positive, soit strictement négative. Comme en t = 0, (0, x0 ) = x0 > 0 = (0),
la fonction t 7 (t, x0 ) - (t) est positive en 0 donc positive sur tout [ 0 ; 
T(x0 ) [.
Ainsi,
t  [ 0 ; T(x0 ) [

(t, x0 ) > (t)

La tortue est partie devant et comme la téléportation n'est pas de ce monde
(n'en déplaise à M. Spock), la tortue reste devant le lièvre tant qu'elle n'a
pas été rattrapée (capturée).
D'après ce qui précède, (·, x0 ) est positive sur [ 0 ; T(x0 ) [ ce qui 
implique que
La fonction (·, x0 ) est croissante.
Pour éviter d'être rattrapé, mieux vaut aller de l'avant !
Puisque (·, x0 ) est croissante, soit elle est bornée et admet alors une limite 
réelle
quand t tend vers +, soit elle ne l'est pas et tend alors vers +.
2 La fonction  est continue sur R+ . Elle est par conséquent bornée sur le 
segment
[ 0 ; T(x0 ) ]. De ce fait,
lim

tT(x0 )
t