Mines Maths 2 PSI 2010

Thème de l'épreuve Déterminants et formules de condensation
Principaux outils utilisés déterminants
Mots clefs développements selon les lignes et les colonnes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2010 MATH II PSI
ECOLE DES PONTS PARISTECH.
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH
MINES DE SAINT ETIENNE, MINES DE NANCY,
TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (Filiere PSI).
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filiere TSI).
CONCOURS 2010
SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Filiere PSI
(Duree de l'epreuve : trois heures)
Sujet mis a la disposition des concours :
Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente
sur la premiere page de la copie :
MATHEMATIQUES II - PSI
L'enonce de cette epreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur 
d'enonce, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amene a prendre.

Determinants et formule de condensation.

Le but de ce probleme est de montrer la formule dite de condensation sur les
determinants et d'en explorer les applications et generalisations.
Notations
Soit n un entier superieur ou egal a 1 et M une matrice de Mn (R) (l'ensemble 
des
matrices carrees d'ordre n a coefficients reels). On dira aussi que M est une 
matrice
de taille n × n.
· On note Mi,j le coefficient de M qui se trouve sur la i-eme ligne et j-eme 
colonne.
· On note t M sa transposee definie par t Mi,j = Mj,i pour tout i, j  {1, 2, 
..., n}.
· On note detM son determinant.
· Pour n  2 et i, j  {1, 2, ..., n}, on note [M ]ji la matrice de Mn-1 (R) 
obtenue
a partir de M en enlevant la i-eme ligne et la j-eme colonne.
· Plus generalement, soit r  0.
Pour n  r + 1 et i1 , ..., ir , j1 , ..., jr  {1, 2, ..., n}, verifiant ik 6= 
il et jk 6= jl si
,...,jr
k 6= l, on note [M ]ji11,...,i
la matrice de Mn-r (R) obtenue a partir de M en enlevant
r
les lignes d'indices i1 , ..., ir et les colonnes d'indices j1 , ..., jr . On 
conviendra que cette
matrice vaut M si r = 0.
· On note ComM la comatrice de M definie par
(ComM )i,j = (-1)i+j det[M ]ji
· On designera par In la matrice identite de Mn (R) et par e = (e1 , . . . , en 
) la base
canonique de l'espace vectoriel reel Rn .
I. Preliminaires.

1 - Soit n  N un entier non nul. Montrer que l'application N de Mn (R) dans R
definie par
M  Mn (R), N (M ) = sup |Mi,j |,
i,j{1,...,n}

est une norme sur Mn (R).
Dans le cas ou M  Mn (R) n'est pas inversible, on rappelle qu'il existe deux
matrices inversibles P et Q (de tailles n × n) telles que M = P.J.Q ou

1

.

.
(0)

,

1
J =

(0)
0

.
0
2

J etant une matrice diagonale dont les r premiers elements diagonaux valent 1 
et dont
les n - r derniers elements diagonaux valent 0. Si J = 0 on convient que r = 0.
2 Rappeler l'interpretation de r.
3 - On conserve les notations de la question precedente. Montrer qu'il existe 
une suite
de matrices inversibles (Jk )kN de Mn (R) telle que M = limk+ P.Jk .Q au sens de
la distance associee a la norme N.
4 - Montrer que le determinant definit une fonction continue de Mn (R), muni de 
la
distance associee a la norme N , dans R (on pourra ecrire le determinant comme 
une
somme de fonctions toutes en forme de produits).
II. Formule de condensation
On se propose de montrer dans cette partie la formule de Desnanot-Jacobi, dite
de condensation, suivante ou n est un entier  3 :
M  Mn (R),
1
n
1
n
detM det[M ]1,n
1,n = det[M ]1 det[M ]n - det[M ]n det[M ]1

(1)

5 - Soit i  {1, 2, ..., n}. Calculer
Mi,1 det[M ]1i - Mi,2 det[M ]2i + ... + (-1)n-1 Mi,n det[M ]ni
en fonction de detM et de i.
6 - Montrer que
Mj,1 det[M ]1i - Mj,2 det[M ]2i + ... + (-1)n-1 Mj,n det[M ]ni = 0
pour i, j  {1, 2, ..., n}, verifiant i 6= j (on interpretera le membre de 
gauche comme
le developpement par rapport a une ligne du determinant d'une certaine matrice).
7 - Deduire des deux questions precedentes le fait que M . t (ComM ) = xIn ou x 
est
un nombre reel que l'on precisera.
On introduit la matrice de Mn (R) suivante :

det[M ]11
0 0 . .
2

-det[M
]
1 0 . .
1

3

det[M ]1
0 1 . .

.
. . .
M = 

.
. .
.

.
. .

 (-1)n det[M ]n-1
0
0 . .
1
n+1
n
(-1) det[M ]1 0 0 . .
3

. 0 (-1)n+1 det[M ]1n
. 0 (-1)n+2 det[M ]2n
. 0 (-1)n+3 det[M ]3n
.
.
.
.
. .
.
. 1
-det[M ]n-1
n
. 0
det[M ]nn

Autrement dit, M  est obtenue a partir de t (ComM ) en remplacant, pour chaque
i  {1, . . . , n} et chaque j  {2, . . . , n - 1} le coefficient t (ComM )i,j 
par 0 si i 6= j et
par 1 si i = j.
8 - Calculer detM  en fonction de det[M ]11 , det[M ]nn , det[M ]1n , det[M ]n1 
.
9 - Ecrire le calcul explicite de la matrice produit M . M  sous la forme du 
tableau
usuel de taille n × n.
10 - En utilisant la question precedente, demontrer (1) dans le cas ou M est 
inversible.
11 - Demontrer (1) dans le cas ou M n'est pas inversible.
III. Algorithme de Lewis Carroll
Le Reverend Charles L. Dodgson, plus connu sous son nom de plume, Lewis 
Carroll, s'est servi de la formule de condensation (1) pour mettre au point un 
algorithme
de calcul de determinant n × n, n'utilisant que le calcul de determinants 2 × 2.
L'algorithme fonctionne comme suit.
On doit trouver le determinant d'une matrice M de taille n × n.
Pour cela, on met en jeu une suite de couples de matrices (A(k) , B (k) )  Mn-k 
(R)×
Mn-k-1 (R) pour k = 0, ..., n - 2 definies comme suit.
Pour k = 0, A(0) = M et B (0) est la matrice de Mn-1 (R) dont tous les 
coefficients
valent 1.
Voici comment l'on passe du couple (A(k) , B (k) ) (k  n-3) au couple (A(k+1) , 
B (k+1) ).
Si aucun des coefficients de B (k) n'est nul, (ce qui est le cas pour B (0) ) 
alors on
pose,
(k)
(k)
1
Ai,j
Ai,j+1
(k+1)
, i, j  {1, . . . , n - k - 1}
Ai,j = (k) ×
(k)
(k)
Ai+1,j Ai+1,j+1
Bi,j
(k+1)

Bi,j

(k)

= Ai+1,j+1 ,

i, j  {1, . . . , n - k - 2}.
(k+1)

Bien entendu, dans le membre de droite qui definit le terme Ai,j , | | designe 
un
determinant 2×2. Enfin, si (A(n-2) , B (n-2) ) a pu etre defini par la 
precedente procedure,
(n-1)
alors on definit la matrice de taille 1 × 1, A(n-1) = (A1,1 ) par :
(n-1)

A1,1

=

1
(n-2)

B1,1

(n-2)

(n-2)

A1,1+1
A1,1
.
(n-2)
(n-2)
A1+1,1 A1+1,1+1

×

Noter qu'il n'y a pas de terme B (n-1) . L'algorithme se termine en affirmant 
que
(n-1)
A1,1
= detM, on prouvera plus loin sa validite. Si l'un des coefficients de B (k)
est nul, l'algorithme ne s'applique pas, et Lewis Carroll preconise de 
recommencer
apres avoir echange (convenablement) des lignes dans la matrice initiale.

4

Exemple :

2
0
1
3
1 1 1

-1 2
1 -2 
M = A(0) = 
B (0) =  1 1 1 
 0 -1 1
3 
1 1 1
2
4 -3 2

4 -2 -5
2
1
(1)
(1)
5 
B =
A = 1 3
-1 1
2 -1 11

7 5
(2)
A =
B (2) = 3
7 38

A(3) = 77

Le determinant de M vaut donc 77.

12 - Appliquer cet algorithme au calcul du determinant de

1 -2 -1 3
 2
1 -1 2 

 -1 -2 1 -3 
0 -1 -1 2
13 - Soit M  Mn (R). On suppose que l'algorithme se termine sans qu'aucun des
coefficients des matrices B (i) ne s'annule. Quel est le nombre un de 
determinants 2 × 2
que l'on a calcule au cours de la procedure ?
Une autre methode de calcul de determinant consiste a repeter le developpement
suivant des lignes par cofacteurs jusqu'a ce qu'on obtienne des determinants 2 
× 2.
L'objet de la question suivante est d'etudier le nombre vn de determinants 2 × 
2 ainsi
obtenus.
14 - Soit donc vn le nombre de determinants 2 × 2 calcules lorsque l'on applique
la methode de developpements successifs par rapport a des lignes pour calculer 
le
determinant d'une matrice de taille n × n. Etablir une relation entre vn et 
vn-1 . Puis,
comparer un et vn lorsque n  +.
On se place desormais dans le cas ou l'algorithme de Lewis Carroll s'applique. 
On
se propose de montrer sa validite.
15 - Soit r, s  {1, 2, ..., n - 2}. En appliquant la formule de condensation, 
montrer
(2)
que Ar,s est le determinant d'une matrice 3 × 3, extraite de M , que l'on 
precisera.
16 - Soit k  {1, 2, ..., n - 1} et r, s  {1, 2, ..., n - k}.
(k)

Generaliser le resultat precedent en exprimant Ar,s comme le determinant d'une
matrice de taille (k + 1, k + 1) extraite de M que l'on precisera. Prouver que
(n-1)

A1,1

= detM
5

ce qui etablit la validite de l'algorithme.
IV. Le -determinant
Soit   R. On introduit la notion de -determinant d'une matrice M de Mn (R)
convenable, note det M , de la maniere suivante.
Soit (a)  M1 (R), det (a) = a.

a b
a b
Soit
 M2 (R), det
= ad + bc.
c d
c d
On impose de plus, pour toute matrice M de Mn (R), la formule de condensation
suivante :
1
n
1
n
det M det [M ]1,n
1,n = det [M ]1 det [M ]n + det [M ]n det [M ]1

(2)

Cette condition (2) permet donc de definir, par recurrence, le -determinant pour
une matrice M de taille n×n, a la condition de ne pas avoir a diviser par 0 au 
cours de
son calcul. Plus precisement, supposons que cette procedure par recurrence ait 
permis
de definir le membre de droite de (2) ainsi que det [M ]1,n
1,n et qu'en plus ce dernier soit
non nul. Alors on definit det M par (2) puisqu'on peut diviser par det [M ]1,n
1,n 6= 0.
Dans la suite, M designe une matrice de Mn (R) pour laquelle det M est bien
defini.
17 - Soit t  R\{0}, et j  {1, ..., n}. On note Mt,j la matrice obtenue a partir 
de
M par multiplication de la j eme colonne de M par t. Montrer que det Mt,j est 
bien
defini et donner sa valeur en fonction de det M et de t.
On considere un vecteur (x1 , x2 , . . . , xn ) de Rn tel que les reels xi sont 
tous non
nuls. On introduit la matrice de Vandermonde de taille n × n :
V (x1 , x2 , . . . , xn ) = (xj-1
)1i,jn ,
i
ou xj-1
est le coefficient situe sur la i-eme ligne et la j-eme colonne.
i
18 - On suppose que xj + xi est non nul pour tous i, j  {1, . . . , n} tels que
1  i < j  n. Calculer det V (x1 , x2 , ..., xn ) en fonction des xj + xi , (i, 
j 
{1, . . . , n}). (On commencera par le cas n = 3 puis on procedera par 
recurrence
sur n).
Fin du Probleme

6

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2010 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Tristan Poullaouec (Professeur agrégé) ; il a été 
relu
par Baptiste Morisse (ENS Cachan) et Benoît Chevalier (ENS Ulm).

Ce problème d'algèbre linéaire est composé de quatre parties relativement 
indépendantes. Il se propose d'établir la formule dite de condensation sur les 
déterminants
et d'en explorer des applications et généralisations.
· Dans une première partie, on démontre quelques propriétés classiques de Mn (R)
muni de la norme supérieure N, qui seront utiles pour la suite (densité des
matrices inversibles, continuité du déterminant).
· Dans la deuxième partie, on établit la formule de condensation de 
DesnanotJacobi, qui fait le lien entre le déterminant d'une matrice et les 
déterminants
de certaines matrices extraites.
· On utilise cette formule dans la troisième partie afin de montrer la validité
de l'algorithme de Lewis Carroll (l'auteur d'Alice au pays des merveilles),
qui permet, sous certaines conditions, de calculer le déterminant d'une matrice
de taille n en n'utilisant que des calculs de déterminants 2 × 2.
· Enfin, on démontre quelques propriétés anecdotiques d'un -déterminant défini
à partir d'une altération de la formule de condensation établie précédemment.
Le sujet ne comporte pas de difficulté majeure et reste d'une longueur 
raisonnable.
Les techniques employées sont classiques (développements de déterminants selon 
des
lignes et des colonnes) et ne devraient pas surprendre un candidat bien préparé.
D'ailleurs, la première partie est essentiellement constituée de questions de 
cours.
De plus, les questions sont bien détaillées et comportent bon nombre 
d'indications.
Notons quand même que la fin du problème fait appel à des récurrences doubles 
qu'il
est assez pénible de rédiger proprement.
L'enchaînement des trois premières parties est logique et conduit à établir la
validité de l'algorithme de Lewis Carroll, ce qui aurait pu constituer une fin 
en soi.
La quatrième partie tombe un peu comme un cheveu sur la soupe et ne débouche pas
sur des applications concrètes intéressantes.

Indications
I. Préliminaires
1 Il suffit de montrer que l'application N vérifie les propriétés 
caractéristiques d'une
norme sur un espace vectoriel.
3 Penser à des matrices diagonales et simples.
4 Prouver que les applications M 7- Mi,j sont continues et utiliser la formule
générale définissant le déterminant.
II. Formule de condensation
5 Reconnaître le développement d'un déterminant selon une ligne.
6 Appliquer le résultat précédent à une matrice M construite à partir de M.
8 Essayer cette fois de développer le déterminant selon des colonnes.
9 Calculer les termes de la matrice M · M en utilisant les résultats des 
questions 5
et 6. On traitera à part les termes des première et dernière colonnes.
10 Développer det (M · M ) selon la première et la dernière colonnes, puis 
utiliser
le résultat de la question 8.
11 Utiliser les résultats des question 3, 4 et 10.
III. Algorithme de Lewis Carroll
13 Combien faut-il calculer de déterminants 2×2 pour obtenir A(1) , A(2) , . . 
. ?
(2)

15 Utiliser la définition de Ar,s en notant que les différents termes 
apparaissant dans
son expression sont des déterminants extraits d'une même matrice 3×3, ce qui
permet d'appliquer la formule de condensation.
16 Les techniques mises en oeuvre au cours de la question précédente permettent
de démontrer le résultat au moyen d'une récurrence double.
IV. Le -déterminant
17 Établir le résultat demandé par récurrence double à l'aide de la relation 
(2).
18 Même démarche qu'à la question précédente.

I. Préliminaires
1 Afin de montrer que l'application N définit une norme sur l'espace Mn (R),
assurons-nous qu'elle est positive, qu'elle vérifie la propriété de séparation, 
qu'elle est
homogène et enfin qu'elle est sous-additive. Soient donc M et P  Mn (R).
· Positivité. Pour tout couple (i, j)  [[ 1 ; n ]]2 , on a |Mi,j | > 0 donc
N(M) =

Sup

|Mi,j | > 0

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

· Séparation. De plus, N(M) = 0  Mi,j = 0

pour tout (i, j)  [[ 1 ; n ]]2

 M = 0
· Homogénéité. Soit   R ; pour (i, j)  [[ 1 ; n ]]2 , on a ( M)i,j =  Mi,j donc
N( M) =

Sup

| Mi,j | =

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

= ||

Sup

Sup

|| |Mi,j |

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

|Mi,j |

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

N( M) = || N(M)
· Sous-additivité. Pour tout couple (i, j)  [[ 1 ; n ]]2 , on a
|(M + P)i,j | = |Mi,j + Pi,j | 6 |Mi,j | + |Pi,j |
6

Sup

|Mi,j | +

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

Sup

|Pi,j |

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

6 N(M) + N(P)
donc

N(M + P) =

Sup

|(M + P)i,j | 6 N(M) + N(P)

(i,j)[[ 1 ; n ]]2

Ainsi,

L'application N définit une norme sur l'espace vectoriel Mn (R).

2 Les matrices P et Q étant inversibles, la relation M = PJQ implique que les 
matrices M et J sont équivalentes. En particulier, elles ont même rang. Or, 
rang(J) = r
vue la définition de la matrice J. Ainsi,
L'entier r est le rang de la matrice M.
Même si la formulation de l'énoncé laissait penser que l'on attendait un 
résultat sans justification, le rapport de jury insiste sur la nécessité de 
justifier
clairement que r est le rang de M.
3 Pour tout entier k  N , posons Jk = J +

1
In .
k

1
1
· Déjà, Jk est une matrice diagonale de termes diagonaux 1 + ou , donc tous
k
k
non nuls. Ceci prouve que Jk est inversible.

1
M - PJk Q = PJQ - PJk Q = P(J - Jk )Q = - PQ
k
1
donc
N(M - PJk Q) = N(PQ)
k
De ce fait,
lim N(M - PJk Q) = 0

· De plus,

k+

Il existe une suite (Jk )kN de matrices inversibles de Mn (R)
telle que l'on ait M = lim PJk Q au sens de la norme N.
k+

Le rapport du jury insiste sur la nécessité de montrer proprement que « si la
suite (Jk ) converge vers J, la suite (PJk Q) converge vers PJQ ».
4 Pour tout M  Mn (R), on a avec les notations usuelles
n
P
Q
det(M) =
(-1)()
Mi,(i)
i=1

Sn
2

Soit alors (i, j)  [[ 1 ; n ]] fixé. Pour tous M et P  Mn (R),
|Mi,j - Pi,j | = |(M - P)i,j | 6 N(M - P)
Ainsi, chaque application M 7- Mi,j est 1-lipschitzienne, donc continue sur Mn 
(R).
De ce fait, le déterminant est une somme de produits de fonctions continues, ce 
qui
montre que

Le déterminant est une application continue de Mn (R), N dans R, | | .

II. Formule de condensation
5 Soit i  [[ 1 ; n ]]. Développons le déterminant de M selon la ie ligne :
n
 k
P
det(M) =
(-1)i+k Mi,k det M i
k=1

= (-1)i+1

n
P

 k
(-1)k-1 Mi,k det M i

k=1

Ainsi,

 i  [[ 1 ; n ]]

n
P
k=1

 k
(-1)k-1 Mi,k det M i = (-1)i+1 det(M)

6 Soit (i, j)  [[ 1 ; n ]]2 avec i 6= j. Notons alors M la matrice obtenue à 
partir de M
en remplaçant sa ie ligne par la j e . Autrement dit,
 k  [[ 1 ; n ]]

Mi,k = Mj,k

et

k

k

[M ]i = [M]i

la seconde relation étant justifiée par le fait que les lignes des matrices M 
et M sont
identiques hormis la ie , si bien que
det [M ]ki = det [M]ki