Mines Maths 2 PSI 2009

Thème de l'épreuve Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires
Principaux outils utilisés calcul matriciel, équations différentielles, polynômes
Mots clefs polynôme, Hermite, équation différentielle, déterminant

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


A 2009 MATH. II PSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2009
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de
la copie :
MATHÉMATIQUES II - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 8 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant 
les
raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Aspects déterministes de l'étude des matrices aléatoires

Rappels
On rappelle la formule de Stirling qui donne un équivalent de n! quand n tend 
vers
l'infini

n!  2 nn+1/2 e-n .

On rappelle aussi que le déterminant d'une matrice M de coefficient (mi, j ; 1 
6 i, j 6 n)
peut s'exprimer comme
det M =

X

() m1,(1) m2,(2) . . . mn,(n) ,

Sn

où Sn est l'ensemble des permutations de {1, · · · , n} et () est la signature 
de la
permutation .

I

Polynômes d'Hermite
Pour tout entier naturel k, on définit la fonction hk par
hk : R - R
x-
7 

(-1)k x2 k -x2
e D (e ),
2k

2

2

où Dk (e-x ) désigne la dérivée k-ième de la fonction g(t) = e-t prise au point 
t = x.
2
2
(Par convention D0 (e-x ) = e-x .)

1) Calculer h0 et h1 et établir pour tout entier n, pour tout réel x, 
l'identité suivante :
2hn+1 (x) - 2xhn (x) + hn (x) = 0.

(1)

2) En déduire que hn est un polynôme de degré n et de coefficient dominant 1.

On admet que pour tous les entiers m et n,
Z +

-x2

hm (x)hn (x)e

dx =

-

2

  n! 2-n
0

si m = n
si m =
6 n.

(2)

On notera dorénavant
dn =

 n! 2-n .

3) Montrer que pour tout réel x, l'identité suivante est satisfaite :
dn -(x-t)2
e
dtn

2

= 2n e-x hn (x).
t=0

4) Montrer que pour tout réel x, la fonction fx de la variable réelle t définie 
par
2

fx (t) = e-(x-t) ,
admet le développement en série entière suivant, dont on précisera le rayon de
convergence,
+
X tk
2
fx (t) =
2k hk (x) e-x .
k=0 k!
On considère la fonction w définie par
w : R × R - R

2

(x, t) -
7  e2xt-t .

Il est évident (et admis dans la suite) que w satisfait la propriété suivante : 
pour tout
réel x et tout réel t,
w
(x, t) - (2x - 2t)w(x, t) = 0.
(3)
t
5) Établir pour tout réel x et tout entier positif n, l'équation de récurrence 
suivante :
2hn+1 (x) - 2xhn (x) + nhn-1 (x) = 0,
avec la convention h-1 (x) = 0.

6) Montrer que pour tout entier n, l'identité hn = nhn-1 est satisfaite.
On pose maintenant pour tout entier k et pour tout réel x,
x2
1
k (x) =  e- 2 hk (x).
dk

3

(4)

Les égalités (2) impliquent que
Z +

m (x)2 dx = 1 et que

-

Z +

m (x)n (x) dx = 0, si m 6= n.

(5)

-

7) Calculer n (0) et n (0) pour tout entier n.

8) Pour tout entier k, tout réel x et tout réel y, exprimer
(x - y)hk (x)hk (y)
uniquement en fonction de hk+1 (x), hk+1 (y), hk (x), hk (y), hk-1 (x) et hk-1 
(y).

9) Établir, pour des réels x et y distincts, les identités suivantes :
(x - y)

1
1
hk (x)hk (y) =
(hn (x)hn-1 (y) - hn (y)hn-1 (x)),
dn-1
k=0 dk

n-1
X

(6)
n-1
X

k (x)k (y) =

k=0

II

r

n n (x)n-1 (y) - n-1 (x)n (y)
·
2
x-y

Étude de 2m

Dans toute cette partie, m est un entier naturel fixé. Soient  et  deux réels 
non
nuls et r une fonction continue sur R, on considère l'équation différentielle 
suivante :

 (x) +  2 (x) = r(x), pour tout réel x,
(S(r, , ))

(0) = ,
 (0) = 0.

10) Montrer que l'équation différentielle (S(r, , )) a une solution unique dont 
on
donnera l'expression.

4

Avec les résultats de la première partie, on peut montrer (et on l'admet 
dorénavant)
que pour tout m, 2m est solution de l'équation différentielle suivante :

 (x) + (4m + 1)(x) = x2 (x), pour tout réel x,
(S)

(0) = 2m (0),
 (0) = 2m (0).

11) Montrer que pour tout réel x,
Z

2m (x) = 2m cos( 4m + 1 x) +

sin( 4m + 1(x - y)) 2

y 2m (y) dy,
4m + 1

x

0

avec pour tout entier m :
2m =

(-1)m

1
4

q

(2m)!

2m m!

·

12) Trouver un équivalent de 2m quand m tend vers l'infini.
13) Montrer que pour tout réel x, l'inégalité suivante est vérifiée :

5
Z x
sin( 4m + 1(x - y)) 2
|x| 2
1

 ·
y 2m (y) dy 6 
0
4m + 1
4m + 1
5
On pourra utiliser l'inégalité de Cauchy-Schwarz et les relations (5).

14) Établir pour tout réel x > 0, la limite suivante :

1
x
lim (-1)m  m 4 2m (  ) = cos(x).
m+
2 m

III

Intégrales de déterminants

Pour tout entier N , on note K (N ) la fonction de R2 dans R donnée par
K (N ) (x, y) =

N
-1
X
k=0

pour tout (x, y)  R2 .
5

k (x)k (y),

15) Montrer, pour tout x et y dans R, les identités suivantes :
Z +

K (N ) (x, z)K (N ) (z, y) dz = K (N ) (x, y),

-

Z +

K (N ) (x, x) dx = N.

-

Soit k un entier tel que k > 2, et  une permutation de l'ensemble {1, . . . k}. 
Pour deux
entiers i et j de {1, . . . k}, on note (i, j) la transposition qui échange i 
et j. On fait la
convention : (i, j) est égale à l'identité de Sk si i = j.
On pose
b = (k, (k))  .
16) Montrer que b définit une permutation de {1, . . . , k} telle que b (k) = 
k. Calculer
sa signature en fonction de celle de . (On distinguera le cas où (k) = k du cas
où (k) 6= k.)

On note e la restriction de b à {1, · · · , k - 1}. On considère l'application  
définie par :
 : Sk - Sk-1
-
7  e .

Soit   Sk , on rappelle que

-1

{()} = {  Sk / ( ) = ()}.

17) Soit   Sk , établir les propriétés suivantes :

1

cardinal -1 ({()}) = 
k-1

si (k) = k,
sinon.

18) Montrer pour tout (x1 , · · · , xk )  Rk , pour tout entier N , les 
identités suivantes :
Z + Y
k

- i=1

K (N ) (xi , x(i) ) dxk =

 k-1
Y

K (N ) (xi , xe(i) )
N

 i=1

k-1

Y

K (N ) (xi , xe(i) )

i=1

6

si (k) = k,

sinon.

Si L est une fonction de R2 à valeur dans R, on note
Rk ,

L(x1 , x1 ) L(x1 , x2 )

L(x2 , x1 ) L(x2 , x2 )
Det L(x1 , · · · , xk ) = det 
..

.
L(xk , x1 )

...

pour tout (x1 , · · · , xk ) dans
. . . L(x1 , xk )

.

..
.
. . . L(xk , xk )
...

On notera que si L est continue sur R2 alors Det L est continue sur Rk .

19) En utilisant l'expression du déterminant rappelée dans les préliminaires, 
déduire,
des questions précédentes, que pour tout entier k > 1,
Z +

Det K (N ) (x1 , · · · , xk ) dxk = (N - k + 1) Det K (N ) (x1 , · · · , xk-1 ),

-

avec par convention Det K (N ) (x1 , · · · , xk ) = 1 si k = 0.

IV

Déterminants et intégrales

Pour tout entier N > 1, on note (N ) la fonction de RN dans R définie par
(N ) (x1 , . . . , xN ) = e-
(N )

Pour 1 6 k 6 N , on note k

PN

i=1

x2i

Y

(xi - xj )2 .

16i 0 et tout (x1 , . . 
. , xk )  Rk ,
k

lim (2N )- 2

N +

xk
x1
1
(N )
k (  , . . . ,  ) = det S(x1 , · · · , xk ),
d0 · · · dN -1
2N
2N

où
S : R2 - R
sin(x - y)
si x 6= y
(x, y) -
7 
(x - y)
1
(x, x) -
7  .

Sans le savoir, vous venez de démontrer que si l'on choisit une matrice 
hermitienne de
taille N ,« au hasard », la probabilité que k de ses valeurs propres soit dans 
un voisinage
de (x1 , . . . , xk ) est proportionnelle à det S(x1 , · · · , xk ) pour N 
grand. Ces considérations
sont particulièrement d'actualité pour l'étude des systèmes radio à plusieurs 
antennes
utilisés dans les « box ».

8

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2009 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hervé Diet (Professeur agrégé) ; il a été relu par 
Sophie
Rainero (Professeur en CPGE) et Gilbert Monna (Professeur en CPGE).

Ce sujet porte sur l'étude des polynômes d'Hermite, leurs propriétés et celles 
des
fonctions qui s'en déduisent. La partie III examine des déterminants qui 
s'expriment
à l'aide de cette famille et qui ont un rôle important dans le transfert de 
données,
par exemple en Wifi.
· La première partie introduit les polynômes d'Hermite (hk )kN . Ils sont 
définis
par l'énoncé comme fonctions de la variable réelle par l'expression
dk -x2
(e
)
dxk
Les premières questions donnent une relation entre eux et leurs dérivées, qui
permet de justifier qu'il s'agit bien de fonctions polynomiales. L'introduction
d'une série entière explicite la relation de récurrence double associée à cette
suite de polynômes (hk )kN . En fin de partie, on introduit des fonctions k
2
proportionnelles à x 7 e-x /2 hk (x), qui seront l'objet d'étude de toute la 
suite
de l'épreuve.
hk (x) = ex

2

· Étant admis que 2m vérifie une certaine équation différentielle linéaire 
homogène du second ordre (de coefficient d'ordre 0 non constant), l'objectif de 
la
deuxième partie est de montrer, après un changement d'échelle adéquat dépendant 
de m, que la fonction x 7 2m (x) tend à se comporter, lorsque m tend vers
l'infini, comme x 7 cos x. L'idée clef est d'isoler dans l'équation 
différentielle
une partie du coefficient non constant en considérant cette dernière comme 
second membre ; on met ensuite en oeuvre des techniques classiques d'analyse sur
l'équation intégrale obtenue sur 2m après résolution de l'équation 
différentielle
à coefficients constants.
· La troisième partie introduit un déterminant qui s'exprime en fonction de k .
Après une étude préliminaire de l'ensemble des permutations, on calcule ce
déterminant par récurrence. On utilise essentiellement les développements sur
les colonnes pour calculer les déterminants, ainsi que les connaissances au 
programme sur le groupe des permutations d'un ensemble fini.
· La quatrième partie est une application directe, mais technique, de la 
troisième :
elle combine l'utilisation d'un déterminant de Vandermonde, d'intégrales 
généralisées et des polynômes d'Hermite. Son interprétation, décrite en annexe 
de
l'énoncé, est une étude asymptotique à un terme, pour une matrice hermitienne
choisie « au hasard » et de taille N, de la probabilité qu'un k-uplet de ses 
valeurs
propres soit dans un voisinage de (x1 , . . . , xk ) lorsque N tend vers 
l'infini.
Attention aux étourderies et aux erreurs de calcul dans ce sujet, tout 
particulièrement dans les raisonnements portant sur les permutations et la 
formule du déterminant.
Les polynômes d'Hermite constituent un thème d'étude très classique qu'il faut
avoir vu au moins une fois pendant sa prépa.

Indications
Partie I
2

I.1 Le raisonnement par récurrence est ici à éviter. Calculer la dérivée de Dk 
(e -x )
et en déduire hk (x).
I.2 Raisonner par récurrence.
I.4 Décomposer fx en un produit de fonctions développables en série entière.
I.5 Calculer fx (t) sous la forme d'une série entière de deux façons.
I.7 Calculer d'abord hn (0) en considérant les cas n pair ou impair.
I.9 Exprimer la somme sous la forme d'une somme télescopique en utilisant la
question 8.
Partie II
II.10 Utiliser la méthode de variation de la constante pour trouver une 
expression
de la solution.
II.11 Montrer que 2m est une solution d'une équation différentielle de la forme
S(r, , ).
II.14 Trouver les limites de chaque terme dans la formule de la question 11.
Partie III
III.15 Intervertir les signes somme et intégrale, et utiliser l'orthogonalité 
des fonctions k .
III.17 Attention, il y a une erreur d'énoncé. Montrer que le cardinal est 
toujours égal
à k.
III.19 Décomposer la somme définissant le déterminant suivant que la permutation
admet k comme point fixe ou non.
Partie IV
IV.20 Il y a une erreur dans l'énoncé, il faut montrer que le déterminant vaut :

16i 0.
· P(0) est vraie puisque h0 est la fonction constante égale à 1.

· P(n) = P(n + 1) : supposons que P(n) est vérifiée. D'après la question 
précédente, on a
x  R

hn+1 (x) = x hn (x) +

1 
h (x)
2 n

Or, d'après l'hypothèse de récurrence P(n), il existe Qn de degré strictement
inférieur à n tel que hn (x) = xn + Qn (x) pour tout x  R et donc
1
hn+1 (x) = x hn (x) + hn (x)
2 

1  n-1
= x xn + Qn (x) +
nx
+ Qn (x)
2

1
n xn-1 + Qn (x)
x  R hn+1 (x) = xn+1 + x Qn (x) +
2

1
En posant Qn+1 (x) = x Qn (x)+ n xn-1 +Qn (x) pour tout x  R on obtient
2
bien la propriété escomptée puisque le degré de Qn+1 est strictement inférieur
à n + 1.
x  R

· Conclusion : P(n) est donc vraie pour tout entier n.
Pour tout n  N

hn est un polynôme de degré n et de coefficient dominant 1.

Comme indiqué dans le rapport du jury, il s'agit de la première démonstration
par récurrence, il est donc important de soigner la rédaction pour montrer la
rigueur dont on est capable.
3 Soit x un réel fixé. On pose x : t 7 (x - t). Montrons par récurrence que :
P(n) : pour tout t  R, (g  x )(n) (t) = (-1)n g (n)  x (t)
est vraie pour tout n > 0.
· P(0) est vraie car on a : g  x (t) = (-1)0 g  x (t) pour tout t  R.
· P(n) = P(n + 1) : supposons la propriété P(n) vraie. D'après l'hypothèse
de récurrence

t  R (g  x )(n+1) (t) = (-1)n g (n)  x (t)

= (-1)n x (t) g (n)  x (t)
t  R (g  x )(n+1) (t) = (-1)n+1 g (n+1)  x (t)
· Conclusion : P(n) est donc vraie pour n > 0 et pour tout t  R
(g  x )(n) (t) = (-1)n g (n)  x (t)
Or x (0) = x. On applique cette égalité en t = 0 et on obtient avec les 
notations
de l'énoncé
dn
dn g
(g  x (t))
= (-1)n n
n
dt
dt t=x
t=0
2

Le membre de droite est exactement (-1)n Dn (e -x ) et par définition de hn
x  R

n  N

dn -(x-t)2
2
(e
)
= 2n e -x hn (x)
n
dt
t=0