Mines Maths 2 PSI 2007

Thème de l'épreuve Majoration de polynômes trigonométriques
Principaux outils utilisés polynômes trigonométriques, calculs de normes et d'intégrales, majoration
Mots clefs compact, intégrale, paramètre, dérivées partielles, inégalité de Hölder, continuité

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2007 MATH. II PSI

ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2007
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :
ENSAE (Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP, Cycle international

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la
copie :

MATHÉMATIQ UES II _ PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives
qu'il est amené à prendre.

Majoration de polynômes trigonométriques

Soit 19 un réel strictement supérieur a 1 et q : p/(p -- 1). On admet que si u
et ?) sont deux fonctions continues, a valeurs réelles, définies sur 
l'intervalle

[c, d] c R, alors
/Çdu(æ)o(æ) da: 5 ([ lu(æ)lp dæ)1/p ([ lo(æ)lq dau) 1/q. (1)

Soit n un entier non nul, r : (rl, - - - ,r,,) E R" où pour tout le, r;, est un
réel positif et r # 0. On introduit sur R'", les deux normes suivantes:

W = (TÎ + - - - +nî)"2 etllrll1 = 2 lol-
j=1

Pour tout a: E R et tout oz : (041, - -- ,ozn) E R'", on pose

'ÏL

P,,(aî, oz) : Zr;, cos(ka: -- oz;,).

k=1

Si 8 est un réel positif, on note

27?
IS(Oi) _/0 lPT(OE,Oi)l2S dit.

Dans la suite, t désigne un réel supérieur ou égal a 1.

L'objectif de ce problème est de montrer que

' f P
,Sÿ,£...ë"Rnl r R une fonction de classe CZ. Prouver que Z : \hl2t est

de classe C'2 sur R et calculer l' et Z" .

II Propriétés de It

D

Pour oz E R'", on introduit la fonction La définie par

8-

La : [--1,1]XR"%R
(875) H Ït(04+EUR5)-

Montrer que pour tout fi E R'", la fonction (5 |--> La(5, fi)) est dérivable
et exprimer sa dérivée sous forme d'intégrale.

Montrer que pour tout fi E R", la fonction (5 |--> La(s,fi)) est deux
fois dérivable et exprimer sa dérivée seconde sous forme d'intégrale.

Établir que
1 ôLa
0 de

puis montrer que It est continue sur R'".

Ït(04 +5) _ Ït(04) :

(5, fi) de,

En utilisant les propriétés de L... montrer que les dérivées partielles

ÔZIt

-- ourk=l,---,n,
Ôozâp

existent et les exprimer sous forme d'intégrales.

Montrer que It est une fonction bornée sur R'", qui atteint son mini--
mum.

On note & l'un des points où le minimum est atteint.

D 9 -- Montrer que pour tout fi E R'",

82L â(0 Ü)>O uis ue ZÔ--ZIÊ(OY) >0
aæ p q Ôaâ -- '
D 10 -- Établir alors l'inégalité suivante:
Ït(â) £ (2t -- 1)llr1121t_1(â)- (2)

D 11 -- Établir la majoration suivante:
t
14a)32w(oet--1...rw).

III Propriétés de PT

Dans cette partie, oz est un élément quelconque de R" fixé.

D 12 -- Établir les deux identités
277 277
/ Pr(a:, oz) da: : 0 et / lPr(a:, oz)l2 da: : 7THTHZ.
0 0

D 13 -- Montrer que la borne supérieure S = sup lPr(a:, oz)l est finie et qu'il
oeEURR
existe a:a E R tel que

le,,(a:... oa)l : sup lPr(a:, oz)l.
oeEURR

D 14 -- Montrer que HTH2 S 282.

D 15 -- Montrer que la fonction a: |--> Pr(a:,oz) est non identiquement nulle et
n'est pas de signe constant.

D 16 -- Soit À EUR]O, 1[. Soit VÀ+ = {EUR EUR [æ...æa--l--27T], lPT(£, oz)l : 
AS}. Montrer
que VÀ+ est un ensemble compact non vide.

Soit 19 : min{£,£ EUR VÀ+}.

D 17 -- Montrer qu'il existe a tel que:

a<æal = AS,
le,,(a:, oz)l > ÀS pour tout a: EUR]a, b[.

D 18 -- Établir les relations

2fl--MS=

et

D 19 -- Établir l'inégalité suivante:

[;

IV Ma joration

@@...)

Ôa:

2 n
2 2
da: É7TZÎÇ rk.
k--1

D 20 -- Établir les inégalités suivantes:

H'

(1 -- À)2 5 (b -- a) 5 [t(â)(ÀS)_2t.

'ÏL

; k2râ

k=1

2 HT
77

D 21 -- Montrer qu'il existe une constante A, indépendante de n, 7°, t et 64,
telle que l'inégalité suivante soit satisfaite:

" 1/t " 1--1/t
S2 5 At (Z 197%) (Z T,Î> .
k=1 k=1

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre Bel (Doctorant en mathématiques) ; il a été
relu par Jean Starynkévitch (Professeur en CPGE) et Paul Pichaureau (Professeur
en CPGE).

Ce sujet porte sur la majoration du nombre défini pour r  Rn par
Infn Sup

R

xR

n
P

rk cos(k x - k )

k=1

Il est composé de 4 parties avec des questions étroitement liées.
· La première partie, d'un niveau modéré, porte sur la continuité et la 
dérivabilité
de certaines fonctions.
· La deuxième partie est la plus difficile. Il s'agit de justifier de manière 
rigoureuse
les hypothèses des théorèmes utilisés, en particulier pour les résultats sur les
intégrales à paramètres. Elle utilise aussi les dérivées par rapport à un 
vecteur
et les majorations d'intégrales.
· La troisième partie étudie le comportement de la fonction
x 7

n
P

rk cos(k x - k )

k=1

Elle demande un emploi de propriétés relativement fines sur la continuité des
fonctions et utilise des majorations d'intégrales.
· La dernière partie est une synthèse qui fait appel aux résultats des autres
parties.
Ce sujet permet de revoir et d'utiliser finement les résultats sur la 
continuité,
les intégrales à paramètres et les encadrements d'intégrales, ce qui lui 
confère un
niveau de difficulté élevé. Ce sujet difficile sera une bonne préparation aux 
concours.

Indications
Partie I
2 Étudier les limites de  et de ses dérivées en 0+ et 0- .
Partie II
4 Utiliser le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre et la question 
3.
5 Utiliser le théorème de dérivation d'une intégrale à paramètre et les 
questions 3
et 4.
8 Utiliser la périodicité de la fonction pour se ramener à un compact.
9 Faire une étude locale de  7 Le (, ) en utilisant un développement limité en 0
puis utiliser la question 7.
10 Expliciter la seconde inégalité de la question 9.
11 Distinguer t = 1 et t > 1. On utilisera l'inégalité (1) donnée par l'énoncé.
Partie III
12 Penser pour la deuxième intégrale à utiliser le formulaire trigonométrique 
pour
linéariser.
13 Utiliser la périodicité de la fonction pour se ramener à un compact.
14 Utiliser les questions 12 et 13.
15 Utiliser les résultats sur les intégrales de fonctions continues positives.
16 Utiliser les propriétés de l'image réciproque par une fonction continue.
17 Prendre a = max V+ - 2.
18 L'énoncé comporte une erreur à cet endroit. L'égalité à démontrer est fausse.
On peut néanmoins démontrer l'égalité
Z b
Z x
Pr
Pr
(x, ) dx +
(x, ) dx
2(1 - )S =
x
x x
a
qui permet de terminer le sujet. Utiliser la question 17 pour l'égalité et le 
résultat
sur les intégrales donné en introduction du sujet pour l'inégalité.
19 Penser à utiliser le formulaire trigonométrique pour linéariser.
Partie IV
20 Utiliser les questions 18 et 19 pour la première inégalité et une minoration 
appropriée de l'intégrale It (e
) pour la seconde.
21 Pour cette question de synthèse, prendre du recul par rapport à l'ensemble du
sujet. Il faut utiliser les questions 1 et 20, introduire une fonction de t et 
démontrer
qu'elle est bornée.

Majoration de polynômes trigonométriques
I.

Préliminaires

1 La fonction  est C 1 sur [ 0 ; 1 ] par les règles de composition de fonctions 
et on a
  ] 0 ; 1 [  () = 2 t 2t-1 (1 - )2 - 22t (1 - )
= 22t-1 (1 - )(t - (t + 1))
Comme 2t-1 et (1 - ) sont positifs sur [ 0 ; 1 ], le signe de  () est donné par 
celui
de (t - (t + 1)) et on obtient alors le tableau de variation suivant pour 

t
1+t
0

0

 ()

+

()

t
1+t

1
-

0
D'où

max () = 

[ 0 ;1 ]

0

t
t+1

=

t
t+1

2t 

1
t+1

2

Il faut bien dresser le tableau de variation de  pour trouver son maximum. 
Rappelons aux étourdis que le maximum d'une fonction sur un segment n'est pas 
nécessairement un point de dérivée nulle. Par exemple,
1
la fonction x 7 ( - x)2 admet son maximum sur [ 0 ; 1 ] en 0 et en 1.
2
Par ailleurs, un point où la dérivée s'annule n'est pas nécessairement un
maximum, comme le cas de la fonction x 7 x3 sur [ -1 ; 1 ].
2 Par définition de la valeur absolue,
x  R

(x) =

(

x2t

si x > 0
2t

(-x)

si x < 0

Par les règles de composition de fonctions, on en déduit que  est de classe C 
sur R . Comme 2t > 0, on a
lim (x) = lim- (x) = 0

x0+

x0

La fonction est donc continue en zéro de valeur nulle en ce point.
Par suite

La fonction  est continue sur R.

En dérivant sur R- et R+ , on obtient
(

x  R

Comme t > 1, on a

  (x) =

2t x2t-1

si x > 0
2t-1

-2t (-x)

2t-1

lim 2t x2t-1 = lim 2t (-x)

x0+

x0-

si x < 0
=0

Ainsi lim   (x) = 0. La fonction  est continue sur R, de classe C 1 sur R et sa
x0

dérivée admet une limite en 0. D'après le théorème sur le prolongement de la 
dérivée,
on en déduit que  est de classe C 1 sur R et   (0) = 0.
En dérivant une seconde fois sur R , on obtient
(
2t (2t - 1) x2t-2
si x > 0

x  R
 (x) =
2t-2
2t (2t - 1)(-x)
si x < 0
Distinguons les cas t > 1 et t = 1.
· Si t > 1, on a alors
2t-2

lim 2t(2t - 1) x2t-2 = 0 = lim- 2t(2t - 1) (-x)

x0+

x0

Les limites à gauche et à droite en 0 de la fonction dérivée seconde sont donc
les mêmes. En utilisant de nouveau le théorème sur la limite de la dérivée,
on constate que   est dérivable en 0 et de dérivée nulle en ce point.
· Si t = 1, on a alors (x) = x2 qui est de classe C  sur R et   (0) = 2.
Dans les deux cas, on en conclut que
La fonction  est de classe C 2 sur R.
En utilisant cette propriété sur le calcul de   ,
 2
x
x  R
x |x| =
-x2
on en déduit

x  R

x2
2t x2t-1
x |x|

 (x) =
 x2

2t (-x)2t-1

x |x|
  (x)
  (x)

x  R

d'où

=
=

si x > 0
si x 6 0

=

2t x |x|2t-2 si x > 0

=

2t x |x|

2t-2

si x < 0

2t-2

2t x |x|
2t-2
2t(2t - 1) |x|

3 La fonction h est de classe C 2 sur R et la question 2 montre que  est de 
classe C 2
sur R. Par les règles de composition de fonctions, on a
 =   h est de classe C 2 sur R.
D'après la formule de dérivation, on a
x  R

 (x)
 (x)

=
=

  (h(x))h (x)
  (h(x))h (x)2 +   (h(x))h (x)

On conclut en utilisant la question 2
x  R

 (x)
 (x)

2t-2

= 2t h(x) |h(x)|
h (x)
2t-2
2t-2 
= 2t(2t - 1) |h(x)|
(h (x))2 + 2t h(x) |h(x)|
h (x)