Mines Maths 2 PSI 2006

Thème de l'épreuve Ordre de Löwner sur les matrices symétriques et fonctions matriciellement croissantes
Principaux outils utilisés algèbre bilinéaire, réduction des matrices, plus particulièrement des matrices symétriques, intégration sur un intervalle quelconque

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ECOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCEES, DES TELECOMMUNICATICNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TELECOMMUNICATICNS DE BRETAGNE.
ECOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2006

SECONDE EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Filière PSI

(Durée de l'épreuve : 3 heures)

L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-EIVP

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la

copie :
MATHÉMATIQ UES II _ PSI.

L'énoncé de cette épreuve comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons 
des initiatives

qu'il est amené à prendre.

On désignera dans tout le problème par:

-- M..., l'espace des matrices réelles à n lignes et p colonnes. On note

0...... la matrice nulle.

---- M... l'ensemble des matrices réelles carrées d'ordre n. On note 0... la

matrice nulle.

-- till la transposée d'une matrice JW .

-- S... le sous--ensemble de M... constitué des matrices symétriques d'ordre
n, c'est--à--dire les matrices A qui satisfont 'A = A.

---- I" la matrice identité d'ordre n.

-- (X | Y) le produit scalaire de deux matrices colonnes.

On rappelle que pour toute matrice A de M,", et tout couple de matrices
colonnes (X ,Y) où X EUR M...1 et Y EUR Mp,1, l'identité suivante est 
satisfaite:

(AX | Y) = (X | tAY).

Définition 1. Une matrice A E Sn est dite positive lorsque pour tout X de
Mn,1, (AX|X)ZO. '

Une matrice A E Sn est dite définie positive lorsque pour tout X de
Mn,l\{0n,1}7 (AX IX) > 0--
Définition 2. Si A et B sont deucc matrices de S... on dit que A est plus
petite que B pour l'ordre de Lôwner, et on note A 5 B, si la matrice B -- A

est positive. On notera A --< B si B -- A est définie positive.,

On suppose dorénavant que A est une matrice symétrique réelle

I.

1)

d'ordre n.

Matrices positives

Montrer que si A est positive, alors pour toute matrice réelle M E M......
la matrice "M A M est symétrique positive.

Montrer que toutes les puissances entières d'une matrice symétrique po--

sitive A sont positives.

Montrer que A E Sn est positive, respectivement définie positive, si et
seulement si les valeurs propres de A sont toutes positives, respectivement

strictement positives.

Si A est définie positive, montrer qu'il existe une matrice C , symétrique

définie positive telle que C2 = A.

Si A et C sont symétriques définies positives et C2 = A, montrer que,

pour toute valeur propre À de A, on a:

Ker (A ---- ÀI,,) : Ker (C -- \/Xln).

En déduire que si A est définie positive, il existe une unique matrice
symétrique définie positive C telle que C2 = A et que dans toute base
orthonormale de vecteurs propres de A, la matrice C est diagonale.

On notera désormais C = A1/2.

On suppose A définie positive. Montrer que A est inversible et qu'il existe

une unique matrice, notée A"1/2, symétrique définie positive telle que

A--1/2A--1/2 : A_1.

8) Prouver que (Al/2)"1 : A"1/2.

II. Ordre de Lôwner

9) Montrer que l'ordre de Lôwner est une relation d'ordre sur Sn.

10) Soit B EUR Sn avec A 5 B. Montrer que pour toute matrice réelle C' E
M...... la relation tCA C' -_5 tCB C est vérifiée.

11) Montrer que si In 5 A alors A est inversible et A"1 5 In.

12) En déduire que si On < A _<_ B alors B est inversible et B"1 5 A"1.

13) Donner un système de conditions nécessaires et suffisantes portant sur

a b .
) smt p051t1ve.

les réels a, b et c pour que la matrice D = (b
c

14) On considère les deux matrices suivantes:

D=abetB=2ao.
bl 02

Montrer qu'il existe des réels a et b de sorte que 0" _<_ D 5 B mais que
D2 73 B2.

III. Fonctions matriciellement croissantes

Soit n un entier non nul et M une matrice diagonalisable à valeurs propres
positives. Il existe donc une matrice diagonale A et une matrice inversible P
telles que M = PAP--1. Notons (À...i : 1, -- -- ,n) les valeurs propres de M,
répétées suivant leur multiplicité, qui sont donc les coefficients diagonaux de

A.

Définition 3. Si f est une fonction de R+ dans R et A une matrice diagonale

positive, on note f(A) la matrice diagonale dont les coefi'icients diagonauæ

sont donnés par f(A),,« = f(À,-) pouri = l, ,n.

15) On considère f une fonction de R+ dans R et l'on note R = Pf(A) P"1.
Soit X EUR M...1 et À un réel positif tels que MX = ÀX . Calculer RX.

16) Montrer que, pour toutes matrices P et @ inversibles et toutes matrices
diagonales Ap et AQ de M,, telles que M = PApP"1 = QAQQ"1, on a:

PfP--l = Qfo--l.

Désormais, si M est une matrice diagonalisable à valeurs propres positives
et ACI = PAP_1 est une diagona1isation de .M , on définit f (M ) par

f(M)=Pf(A)P"I-

Définition 4. Une fonction f est dite matriciellenient croissante sur R+ si
pour tout n 2 1 et tout couple (A, B), de matrices symétriques, l'implication

suivante est satisfaite :
OjAfiB:f(/l)jf(B).

Soit E l'ensemble des fonctions go continues sur ]0, + oo[, à valeurs dans
R+, telles que (s r----> sc,o(s)) soit intégrable sur [0,1] et 90 soit 
intégrable sur
[1, + oo[. On définit une fonction LSD : R+ --> R+ par:

1+st

L;=/ °° "' sada

17) Pour 7" E R, on pose go,.(s) = s ""--1. Pour quelles valeurs de 7° a--t--on
90,-- E E? Exprimer alors, pour tout t > O, LW(t) en fonction de L%_(1) .

1
18) Soit 3 2 0. On pose pour tout t 2 O, fs(t) = 1-- 1_--Ï_t . Exprimer fs(A)
5
lorsque A est une matrice symétrique positive.

19) Montrer que fs est matriciellement croissante sur R+.

20) Pour toute matrice A E Sn positive et toute matrice colonne X EUR Mn,1,
établir l'identité:

<...A>X IX) = / °° w(8)(fs(A)X | X) ds.

21) Montrer que, pour toute 90 E E, l'application LW est matriciellement

croissante sur R+.

22) Soient A et B deux matrices symétriques telles que 0 _--S A _<_ B. Compte--
tenu des questions précédentes, pour quelles valeurs du réel positif r,

pouvez--vous montrer que A'" 5 B"?

FIN DU PROBLÈME

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 2 PSI 2006 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arnaud Durand (ENS Cachan) ; il a été relu par
Guillaume Dujardin (ENS Cachan) et David Lecomte (Professeur en CPGE).

Le problème est principalement consacré à l'étude des matrices symétriques 
positives et définies positives. Il propose également de s'intéresser à une 
classe particulière
de fonctions de R+ dans R : les fonctions matriciellement croissantes. Il se 
compose
de trois parties.
· La première partie traite des matrices symétriques positives et définies 
positives.
Plus précisément, on y caractérise le fait qu'une matrice symétrique est 
positive
ou définie positive en fonction du signe de ses valeurs propres. On s'intéresse
également à l'existence et l'unicité de la racine carrée d'une matrice 
symétrique
définie positive.
· La deuxième partie propose l'étude d'une relation d'ordre  sur l'ensemble Sn
des matrices symétriques d'ordre n  N : l'ordre de Löwner. On se penche en
particulier sur le comportement de la relation  lors du passage à l'inverse et
au carré.
· Dans la troisième partie, on étudie une classe particulière de fonctions. 
Soit f
une fonction définie sur R+ et prenant ses valeurs dans R. On montre qu'il est
possible d'associer à toute matrice M diagonalisable à valeurs propres positives
une matrice f (M). La fonction f est alors dite matriciellement croissante si 
elle
préserve l'ordre de Löwner sur Sn . Le but de la fin du problème est d'établir
que certaines fonctions sont matriciellement croissantes, à savoir les fonctions
t 7 1-(1+s t)-1, pour tout réel positif s, et les fonctions t 7 tr , pour 
certaines
valeurs du réel positif r.
Pour bien traiter ce sujet, il est nécessaire (et presque suffisant) de 
maîtriser
le cours d'algèbre bilinéaire, notamment la partie concernant la réduction des 
matrices symétriques réelles. La première partie peut paraître facile, car elle 
propose
d'établir des résultats très classiques sur les matrices symétriques définies 
positives.
La deuxième partie est un peu plus technique, mais ne présente pas vraiment de 
difficultés d'ordre théorique. La troisième partie fait intervenir des notions 
plus originales,
comme l'image d'une matrice diagonalisable à valeurs propres positives par une 
fonction de R+ dans R, ou la notion de fonction matriciellement croissante. De 
surcroît,
cette dernière partie fait appel au cours concernant l'intégrabilité des 
fonctions réelles
sur un intervalle quelconque.
Les deux premières parties ne sont pas indépendantes l'une de l'autre. En effet,
pour répondre à la plupart des questions de la deuxième partie, il convient 
d'utiliser
les résultats établis dans la première, par exemple la caractérisation des 
matrices
symétriques définies positives à l'aide du signe de leurs valeurs propres ou la 
possibilité d'attribuer de manière unique une racine carrée à ces matrices. En 
revanche,
la dernière partie est quasiment indépendante des deux précédentes, car elle 
n'utilise
guère que les résultats des questions 3, 11 et 12.
Ce sujet est un bon compromis, car il permet, par l'intermédiaire de questions
de difficulté variable, de revoir certains résultats classiques d'algèbre 
bilinéaire et de
découvrir des notions moins classiques mais néanmoins intéressantes.

Indications
1 Utiliser l'identité rappelée dans l'introduction de l'énoncé.
2 Un entier naturel m étant fixé, observer que, si la matrice Am est positive, 
il en
va de même pour la matrice Am+2 .
3 Diagonaliser la matrice symétrique A.

5 Observer que A -  In = (C +  In )(C -  In ).
6 Utiliser la question précédente.
7 Pour mettre en évidence l'inversibilité de A, observer que cette matrice ne 
peut
admettre 0 comme valeur propre. Afin d'établir l'existence et l'unicité de la 
matrice A-1/2 , appliquer le résultat de la question 6 à la matrice A-1 .
8 Vérifier que (A1/2 )-1 est une matrice symétrique définie positive dont le 
carré
vaut A-1 , puis invoquer l'unicité de la matrice A-1/2 .
9 Montrer que la relation  est réflexive, antisymétrique et transitive sur Sn .
t
t
t
10 Observer que C B C - C A C = C (B - A) C et utiliser l'identité rappelée dans
l'introduction de l'énoncé.
11 Montrer que la matrice A est définie positive pour en déduire son 
inversibilité
grâce au résultat de la question 7. Faire par ailleurs appel au résultat de la 
question 10 en prenant C = A-1/2 .
12 Utiliser le résultat de la question 10 avec C = A-1/2 , puis le résultat de 
la question 11 et enfin à nouveau le résultat de la question 10 avec la même 
matrice C.
13 Commencer par supposer que la matrice D est positive. En exploitant la 
condition
(D X | X) > 0 avec des matrices colonnes X judicieusement choisies, montrer que
les réels a et c sont positifs. Établir en outre que le déterminant de la 
matrice D
est positif. Prouver ensuite que les conditions nécessaires de positivité de D 
ainsi
obtenues sont en fait suffisantes.
14 Utiliser le résultat de la question 13 pour caractériser les conditions 0n  
D  B
et D2 6 B2 en fonction des réels a et b.
15 Montrer que R X = f () X.
16 Grâce au résultat de la question 15, s'assurer du fait que les 
endomorphismes qui
sont canoniquement associés aux matrices P f (P ) P-1 et Q f (Q ) Q-1 
coïncident sur une base de vecteurs propres de la matrice M.
17 Montrer que la fonction r appartient à E si et seulement si r figure dans 
l'intervalle ] 0 ; 1 [. Pour le calcul de Lr (t), procéder au changement de 
variable u = s t.
18 Prouver que fs (A) = In - (In + s A)-1 en écrivant A sous la forme P-1  P, 
où P
et  désignent respectivement une matrice inversible et une matrice diagonale.
19 Si A et B sont deux matrices symétriques d'ordre n qui vérifient 0n  A  B,
établir que (In + s B)-1  (In + s A)-1 à l'aide du résultat de la question 12.
20 Présenter la matrice A sous la forme t P  P, avec P orthogonale et  
diagonale. Une matrice colonne X de Mn,1 étant fixée, exprimer le produit 
scalaire (L (A) X | X) en fonction des coefficients de Y = P X et des 
coefficients
diagonaux de la matrice L ().
21 Utiliser successivement les résultats des questions 19 et 20.
22 Soit r un réel de l'intervalle ] 0 ; 1 [. En s'appuyant sur le résultat 
démontré dans
la question 20, garantir que Lr (A)  Lr (B). Utiliser alors le résultat de la
question 17 pour conclure que les deux membres de cette dernière relation sont
respectivement Lr (1) Ar et Lr (1) Br .

I. Matrices positives
1 Soit A une matrice appartenant à Sn . Supposons que la matrice A est positive
et prenons une matrice réelle M appartenant à Mn,p . D'une part, on observe que
t t

t

t

t

( M A M) = M A M = M A M
t

puisque la matrice A est symétrique. Ainsi, la matrice M A M est symétrique.
D'autre part, prenons une matrice colonne X appartenant à Mp,1 . L'identité 
rappet
lée dans l'introduction de l'énoncé permet d'écrire ( M A M X | X) = (A M X | M 
X).
t
Comme A est positive, ce dernier produit scalaire est positif. La matrice M A M 
est
donc positive. Finalement,
t

Pour toute matrice réelle M  Mn,p , la matrice M A M est symétrique positive.
Signalons que le résultat qui est rappelé dans l'introduction de l'énoncé 
comporte une erreur mineure. Si n et p sont deux entiers naturels non nuls et si
A désigne une matrice réelle de Mn,p , l'identité
t

(A X | Y) = (X | A Y)

est vraie dès que X et Y désignent respectivement des matrices colonnes de
Mp,1 et Mn,1 et non de Mn,1 et Mp,1 comme l'indique à tort l'énoncé.
2 Soit A une matrice symétrique positive d'ordre n. Pour m  N, observons que la
matrice Am est symétrique et notons P(m) l'assertion « la matrice Am est 
positive ».
Montrons par récurrence que P(m) est vraie quel que soit m  N.
· P(0) est vraie car la matrice A0 = In est positive.

· P(1) est vraie puisque la matrice A1 = A est positive.
· P(m) = P(m + 2) : Sachant que la matrice A est symétrique, on peut
t
écrire Am+2 sous la forme A Am A. Dès lors, si la matrice Am est positive,
m+2
la matrice A
l'est aussi en vertu du résultat de la question 1.

Le principe de récurrence permet de conclure que la matrice Am est positive quel
que soit l'entier naturel m. Autrement dit,
Toutes les puissances entières d'une matrice symétrique positive sont positives.
3 Soit A une matrice de Sn . A admet alors une base orthonormée de vecteurs
propres de Mn,1 et toutes ses valeurs propres sont réelles. Considérons une 
telle
valeur propre   R et notons X  Mn,1 r {0} un vecteur propre associé. On a

(A X | X) = ( X | X) =  kXk2
p
où kXk =
(X | X) > 0 désigne la norme euclidienne de X. Par suite, si A est
positive, le produit scalaire (A X | X) est positif si bien que le réel  est 
positif. Si A
est définie positive, ce produit scalaire et le réel  sont strictement positifs.
Établissons maintenant la réciproque. Comme A appartient à Sn , il existe une
matrice orthogonale P et une matrice diagonale  vérifiant
t

A = P-1  P = P  P
En outre, les coefficients diagonaux 1 , 2 , . . . , n de la matrice  sont 
réels et désignent les valeurs propres de la matrice A.

Une matrice réelle Q  Mn est dite orthogonale si elle vérifie l'égalité t Q Q = 
In . Rappelons de plus que toute matrice de passage d'une base
orthonormée d'un espace vectoriel euclidien à une autre est orthogonale.
L'existence des matrices P et  définies précédemment est justifiée par
le fait que la matrice A, en tant que matrice symétrique réelle d'ordre n,
admet une base orthonormée de vecteurs propres de Mn,1 qui sont associés
à des valeurs propres réelles.
Supposons que les valeurs propres 1 , 2 , . . . , n de la matrice A sont toutes 
positives.
La matrice  est alors positive. En effet, pour toute matrice colonne X  Mn,1 , 
on a
( X | X) =

n
P

i xi 2 > 0

i=1

t
où x1 , x2 , . . . , xn désignent les réels tels que X = x1 x2 · · · xn . Le 
résultat de
la question 1 permet alors de conclure que la matrice A = t P  P est positive.
Supposons désormais que les valeurs propres de la matrice A sont strictement
positives et considérons une matrice colonne non nulle X  Mn,1 . Notons Y la 
matrice
colonne P X et appelons y1 , y2 , . . . , yn ses coefficients. En vertu de 
l'inversibilité de P,
la matrice Y est non nulle, si bien qu'il existe un entier i0  [[ 1 ; n ]] pour 
lequel yi0
est non nul. L'identité rappelée dans l'introduction de l'énoncé garantit alors 
que
(A X | X) = ( t P  P X | X) = ( Y | Y) =

n
P

i yi 2 > i0 yi0 2 > 0

i=1

ce qui implique que la matrice A est définie positive. Finalement,
Une matrice symétrique réelle est positive (respectivement
définie positive) si et seulement si ses valeurs propres sont
toutes positives (respectivement strictement positives).
4 Soit A une matrice symétrique définie positive. Notons 1 , 2 , . . . , n les 
valeurs
propres de A. D'après le résultat de la question 3, ces valeurs propres sont 
des réels
strictement positifs. Appelons  la matrice diagonale dont les coefficients 
diagonaux
sont 1 , 2 , . . . , n . Il existe alors une matrice orthogonale P telle que
t

A = P-1  P = P  P

Considérons la matrice

sont les réels
 diagonale

 , dont les coefficients diagonaux
t
strictement positifs 1 , 2 , . . . , n , puis la matrice C = P-1  P = P  P.
Montrons que cette dernière est une matrice symétrique définie positive dont le 
carré
vaut A. Tout d'abord, C est symétrique. En effet,
t

t t

t

C = ( P  P) = P  P = C

puisque la matrice  est symétrique.
les
 Ensuite,

 valeurs propres de la matrice C
sont les réels strictement positifs 1 , 2 , . . . , n . Le résultat de la 
question 3
prouve alors que la matrice symétrique C est définie positive. Enfin,
2

C2 = (P-1  P)2 = P-1  P = P-1  P = A
On peut en conclure que
Pour toute matrice symétrique définie positive A, il existe
une matrice symétrique définie positive C qui vérifie C2 = A.