Mines Maths 2 PSI 2004

Thème de l'épreuve Propriétés algébriques de suites de type Fibonacci
Principaux outils utilisés suites récurrentes linéaires, suites et séries géométriques, séries entières, matrices, suites et séries de matrices, déterminant, polynômes, division euclidienne

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAU'HQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TELECOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÊLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2004
SECONDE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle Intemational, ENSTIM, [NT, 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2--Filière PSI.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Le but de ce problème est l'étude de deux suites réelles F = (f,,),,EN et G = 
(g...)msN et des
séries entières de termes généraux (f,,x" )neN et (g,,x" )neN.

Soient F = (f,...)nOEN et G = (g,...)neN les deux suites réelles définies 
chacune par leurs deux
prem1ers éléments et la même relation de recurrence c1--dessous :

F : fl) = 0, f; = 1, pour tout entier naturel n, f... = f... + f,, ;
G : go = 2, gl = I, pour tout entier naturel n, g... = g,... +g,,.

Soit M2 l'espace vectoriel des matrices carrées réelles d'ordre 2 ; soient I la 
matrice unité et J
la matrice carrée définies par les relations suivantes :

(10) (o 5/2) 5(01)
I= ; J= =-------- .
01 ./3'/2 0 2 10

Pour tout entier naturel n, soit Un la matrice définie parla relation suivante :

U,, = f,, J+ --â--g,,l.

Soient U la matrice U 1 (U = U 1 = J + --â--I ) et E le sous--espace vectoriel 
de M2 engendré par
les deux matrices ] et J.

Première partie

Le but de cette partie est l'étude alternée des deux suites de réels et de la 
suite des matrices ;
elle permet d'obtenir des résultats préliminaires.

Quelques propriétés :
l. Démontrer que la suite des matrices (U" ),,EN , où U" est la matrice U 
élevée à la puissance
n, (avec la convention habituelle U0 = I), appartient à l'espace vectoriel E.

2. Établir la relation qui, pour tout entier naturel n, lie les matrices U..., 
U... et U...

Caractérisation de la suite de matrices (Un)"eN ; quelques conséquences :
3. Comparer, pour tout entier p compris entre 0 et 2 (0 _<_ p 5 2) les matrices 
U ,, et U".
Démontrer qu'il existe, pour tout entier naturel n, une relation simple entre 
les matrices U" et U" .

4. Déduire des deux résultats précédents les relations suivantes :

pour tout entier naturel n, det U,, 2 (---1)", (g...)2 --- 5 (f},)2 = 4(----1 
)".

5. Étant donnés deux entiers naturels p et q, exprimer les tenues f,..., et 
gp+q des suites F et G
en fonction des termes f,,, g,,, f" et g" de ces mêmes suites.

Inverse des matrices Un :
6. Déterminer l'inverse de la matrice Un en fonction des matrices I et J. 
Exprimer les
coefficients des matrices I et J à l'aide des réels f,, et g...

Des polynômes annulés par la matrice U
Soit, pour tout entier n supérieur ou égal à 2, P,, (X) le polynôme défini par 
la relation suivante :

Pn(X) = X" "fix--fn--l--
7. Démontrer que le polynôme F,, (X) est divisible par le polynôme X 2 ---- X 
---- l.

8. Quel est le polynôme caractéristique de la matrice U ?

9. Calculer la valeur de la matrice C,, = U " ---j}, U --f...I .

Divisibilité du polynôme X2 " --- g,, X" + (---1 )" par X2 --X-- 1 :
Soit toujours n un entier supérieur ou égal à 2 .
10. Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice Un. En déduire la 
relation suivante :

U2"--gnU"+(--l)"l=0.

Il. Soient Q et R les polynômes obtenus en effectuant la division euclidienne 
du polynôme
X" ---an" +(--1)" par lepolynômeX2 --X--- 1 : \

X" ----an" + (--1)" = Q(X)(X2 --x-- 1) +R(X).

Préciser les degrés des polynômes Q et R.
Démontrer, en utilisant par exemple les résultats de la question précédente, 
que le polynôme
X" ---g,, X" + (--1 )" est divisible parX2 --X---- 1.

Deuxième partie

Le but de cette partie est l'étude de propriétés de suites construites à partir 
des deux suites F et G.

Un calcul de sommes :

12. Le but de cette question est de calculer, pour tout entier n supérieur ou 
égal à 2 (n _>_ 2),
des expressions plus simples des deux expressions suivantes :

"
an =jb+fi+...+_fèn=ê 12k'
k=0

fin = 80 +82 + +82" = 2821:-
k=0

Déterminer les expressions de a,, et de B,, en fonction respectivement de 
f2......1 et de gg... en
considérant par exemple la matrice S,, définie par la relation suivante :

s,,= Ug+Ug+...+U2n---:ZUÜ.
M

Soit T la suite ('n)...m définie par les relations suivantes :
to = l, t; = 4, pour tout entier naturel n, tn+2 == 4 t,... + t,,.

Détermination des éléments t,, de la suite T à l'aide des réels f,, et g,,.
13. Démontrer que le polynôme X 6 --- 4 X 3 ---- 1 est divisible par le 
polynôme X 2 -- X --- l.

14. En déduire que la matrice U vérifie, pour tout entier naturel p, la 
relation suivante :

U6+P = 4 mm + U".

15. Déduire de la relation précédente que les tenues des suites F et G 
vérifient, pour tout entier
naturel p, les relations suivantes :

f6+p : 4f3+p +fi?» g6+p : 4g3+p +gp--

16. Déduire des résultats précédents l'expression du terme général t,, de la 
suite T, définie par
les relations suivantes :

fo

ll

], tl = 4, pour tout entier naturel n, t,,+2 = 4 t,... + t...

en fonction de termes des suites F et G.

Troisième partie

Le but de cette partie est l'étude des deux séries entières de termes généraux 
a,, = f,, x" et
«b,, = g,, x". Pour tout entier naturel n, soit A,, la matrice définie par la 
relation suivante :

A,,=x"U,,.

et Z,,(x) la somme des n + 1 premières matrices A k :
3,00 = Zx" Uk .
k=0

17. Déterminer pour quelles valeurs du réel x la matrice I -- x U est 
inversible et déterminer son
inverse sous la forme d'une combinaison linéaire des matrices I et U.

Il est admis qu'une suite de matrices (A,, ),,eN de l'espace vectoriel E tend 
vers 0, lorsque
l'entier n croît vers l'infini, si et seulement si tous les termes de la 
matrice A,, tendent vers 0.

18. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur le réel x pour que la 
suite de matrices
(x" U ,, ) neN tende vers 0 lorsque l'entier n croît vers l'infmi.

19. En déduire, lorsque la condition obtenue sur le réel x est réalisée, la 
limite de la suite de
matrices (Zn(x))neN.

20. À partir des résultats précédents, déterminer un minorant p des rayons de 
convergence des
deux séries entières de termes généraux ( f,, x") "eN et (g,, x" ) "eN et les 
sommes A(x) et B(x) de

ces deux séries :

A(x)=----Ef,,x" ; B(x)=Zgnx".
n=0 n=0

FIN DU PROBLÈME

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Mines Maths 2 PSI 2004 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Benoît Chevalier (ENS Ulm) ; il a été relu par 
Tristan
Poullaouec (ENS Cachan) et Walter Appel (Professeur en CPGE).

L'épreuve qui est présentée ici correspond à l'étude de multiples propriétés
analytiques et algébriques à partir de deux suites récurrentes linéaires 
connues en
mathématiques sous le nom de suites de Fibonacci -- le terme n'est cependant pas
utilisé dans l'énoncé, sans doute pour ne pas troubler les candidats 
puisqu'aucune
connaissance préalable sur ces suites n'est nécessaire.
Notons que quand on parle, usuellement, de la suite de Fibonacci au singulier,
il s'agit de la suite notée F dans le problème.
Les différents points de vue choisis successivement font intervenir de manière 
clef
une suite de matrices (Un )nN , construite à partir des deux suites réelles 
étudiées.
Le problème consiste donc essentiellement en l'étude de propriétés de cette 
suite de
matrices, et en particulier de son deuxième terme U1 = U.
· L'objectif de la première partie est d'obtenir des résultats préliminaires 
sur les
matrices Un et certains polynômes qui les annulent.
· La deuxième partie étudie des suites et séries extraites de celles de la 
première
partie ­ telles que la somme des termes d'indice pair de la suite (Un )nN ­
en utilisant des propriétés que l'on obtient grâce à l'étude des matrices.
· La démonstration de propriétés remarquables des séries entières construites
à partir des suites étudiées est abordée dans la troisième partie.
Ce problème, qui consiste à évoquer de multiples aspects des suites en question,
n'aboutit pas à un résultat réllement important ; il se présente plutôt comme 
une
suite d'exercices très dépendants les uns des autres. En particulier, les 
résultats de
la première partie sont utilisés de manière intensive dans toute la suite du 
problème.
Dans l'ensemble, cette épreuve est de difficulté moyenne et ne fait pas beaucoup
appel au cours, mais permet de s'entraîner à manipuler des notions utiles 
telles que les
suites et séries, les matrices, leurs déterminants et leurs polynômes 
caractéristiques.

Indications
Première partie
1 Calculer J2 et raisonner par récurrence.
5 Utiliser le résultat de la question 3.
6 Penser à utiliser le polynôme caractéristique.
7 Faire intervenir dans le calcul un terme +fn X2 - fn X2 pour retrouver une 
somme
de deux termes dont chacun vérifie le critère de divisibilité demandé.
11 Ne pas oublier que dans un premier temps, on sait simplement que le degré
de R(X) est inférieur ou égal à 1.
Deuxième partie
12 La somme des U2k peut être vue comme la somme d'une suite géométrique de
matrices, de raison U2 .
14 Le polynôme utilisé est celui de la question 11 avec n = 3.
16 Introduire les deux suites hn = f3n et kn = g3n puis chercher T par 
combinaison
linéaire.
Troisième partie
17 Raisonner d'abord avec U - X · I puis avec I - xU pour x = 1/X.

18 Se placer, après l'avoir justifié, dans une base dans laquelle la matrice U 
est
diagonale, et raisonner avec les valeurs propres.
20 Résoudre le problème en termes d'éléments de E exprimés dans la base (I, J) 
puis
identifier les coordonnées.

Première partie
1 Notons M2 l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre 2 et

5 0 1
1 0
I=
J=
0 1
2 1 0
1
1
U = U1 = f1 J + g1 I = J + I
2
2
Avant toute chose, calculons les premiers termes des suites F et G, le sujet 
donnera
certainement l'occasion de s'en servir dans la suite.
n
fn
gn

1
1
2

2
1
1

3
2
3

Démontrons que tous les Un , pour
vectoriel de M2 engendré par I et J.
Calculons d'abord J2 .

5 0 1
5 0
2
J =
·
1
0
2
2 1

4
3
4

5
5
7

6
8
11

7
13
18

8
21
29

9
34
47

n entier naturel, sont dans E, le sous-espace

1
0

=

 !2 
 
5
0 1
0
·
1
0
1
2

5
1
= I
0
4

5
·I E
4
Montrons par récurrence sur n la propriété
J2 =

(1)

P(n) : Un appartient à E
est vraie pour tout entier naturel n.
· P(0) est vraie puisque U0 = I  E.

· P(n) = P(n + 1) : soit n un entier non nul et supposons la propriété P(n)
vraie. Alors il existe deux réels a et b tels que Un = aJ + bI. En utilisant
la formule (1) on a alors

a

1
b
Un+1 = U · Un = J + I · (aJ + bI) = aJ2 +
+b J+ I
2
2
2

a

5a b
=
+b J+
+
I
2
4
2
ce qui montre la propriété P(n + 1).
· Conclusion :

n  N

Un  E

Plus généralement, E est stable par le produit matriciel, c'est-à-dire que si A
et B sont dans E, alors leur produit A · B est aussi dans E. Pour démontrer
cela, supposons A = aI + J et B = bI + J et calculons leur produit.
A · B = (aI + J)(bI + J) = abI + bJ + aJ + J2

5
· I  E, on a alors
4
5
A · B = (ab + )I + (a + b)J  E
4
Ceci assure que E est stable par produit interne de matrices et que E est une
R-algèbre de dimension 2.
Comme J2 =

2 On retrouve la même relation de récurrence linéraire sur la suite (Un )nN que
sur F et G. Soit n un entier. On a
gn+2
I
Un+2 = fn+2 J +
2

g
n+1 + gn
= (fn+1 + fn )J +
I
2

gn+1
gn 
Un+2 = fn+1 J +
I + fn J + I
2
2
soit

Un+2 = Un+1 + Un

3 Calculons avec les valeurs des premiers termes de fn et gn les premiers 
termes de
la suite (Un )nN :
g0
· U0 = f0 J + I = I
2
1
g1
· U1 = f1 J + I = J + I = U
2
2
g2
3
· U2 = f2 J + I = J + I
2
2
Les puissances successives peuvent être calculées en utilisant pour J2 la 
formule
trouvée à la première question.
· U0 = I = U0
· U1 = U = U1

2
1
1
5
1
3
2
· U = J + I = J2 + J + I = I + J + I = J + I = U2
2
4
4
4
2
Notons au passage une formule utile dans la suite du problème :
3
1
U2 = J + I = J + I + I = U + I
2
2
On a donc

U2 - U - I = 0

(2)

U-1 = U - I

(3)

ce qui implique que U(U - I) = I donc que U est inversible et que
Au vu de ces premiers résultats, on a bien envie que toute la suite vérifie la 
relation
Un = Un . Démontrons-le par récurrence.
Il s'agit ici d'utiliser une récurrence forte, c'est-à-dire que l'hypothèse de
récurrence ne sera pas, pour un n donné, Un = Un , mais p 6 n Up = Up ,
car on va avoir besoin de la propriété aux rangs n et n - 1 simultanément.
Pour cette raison, on doit également faire une double initialisation de la
récurrence qui va suivre en vérifiant séparément la propriété pour n = 0 et
n = 1.