Mines Maths 2 PSI 2002

12070

A 2002 Math PSI 2

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTÏQUÈ ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCATÏONS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
DEUXIENOE EPREUVE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle Intemafional, ENSTIM, INT, 
TPE--ENR

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 2-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 6 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Dans tout le problème, ] est le segment [O, 1], fest une fonction réelle 
définie et continue sur le
segment I, p est une fonction définie et continue sur le segment [, positive 
(pour tout réel x de [,

1200 2 0)-
L'objet du problème est l'étude et l'approximation des solutions réelles, 
définies sur le
segment ] , deux fois confinûment défivables (de classe C 2) des équations 
différentielles suivantes :

EO ---- u"(x) +p(x) u(x) : O,

E --- u"(x) +P(X) u(Jf) =f(X)--
vérifiant, en outre, les conditions suivantes aux extrémités du segment [ :
C u(0) = o, u(l) : 0.

Une fonction u, de classe C 2, définie sur le segment I, vérifiant les 
conditions C, est dite
solution du problème Po si elle est solution de l'équation différentielle Eo, 
respectivement solution
du problème P si elle est solution de l'équation différentielle E.

Tournez la page S.V.P.
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Première partie
Exemples, résultats généraux.

1--1. Exemples :

Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle E vérifiant les 
conditions C dans les
deux cas suivants :

a. La fonction p est nulle et la fonction f constante et égale à 1 :

P(X) = 0, f(x) = 1-

b. La fonction p est constante et égale à 1 ; la fonction f est la fonction ): 
r----> e'" où a est un
réel donné :

P(X) = 1, f(x) = 6".

I--2. Unicité des solutions :

a. Soit u une fonction solution de l'équation EO vérifiant les conditions C ; 
démontrer que cette
solution u vérifie la relation :

1
[ [z1'(x)2 +p(x) u(x)2 :| dx : O.
0
En déduire que la seule solution du problème P0 est la solution nulle.

b. Démontrer que, pour des fonctions p et f données, il existe, au plus, une 
solution du
problème P.

1--3. Existence d'une solution :

a. Étant données deux fonctions ul et u2 solutions de l'équation différentielle 
EO, soit g la
fonction définie sur l'intervalle [ par la relation suivante :

g(x) = u1(0) u2(x) -- u2(0) u1(x)-

Démontrer que, si la fonction g s'annulle au point 1 (g(l) = 0), la fonction g 
est nulle sur
l'intervalle I .

En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les deux solutions ul et 
u; pour que la
fonction g ne s'annulle pas en 1 (g(l) # 0).

Soient ul et 112 deux solutions de l'équation différentielle Eg, v une solution 
de l'équation E et
À et # deux scalaires. Soit u etX la fonction et le vecteur définis par les 
relations suivantes :

u(x) : À u1(x) +uu2(x) +v(x) ; X:
u

b. Démontrer que, pour que la fonction u soit solution du problème P, il faut 
et il suffit que le
vecteur X vérifie la relation matricielle suivante :

UX=B,

où U est une matrice carrée d'ordre 2 et B un vecteur qui seront précisés.

c. Démontrer que le problème P admet une solution unique.

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Deuxième partie
Quelques propriétés de certaines matrices de M ,,(R).

Il est admis que l'application de l'espace R" dans R+ :

X= (xi)1gign '--* "X" = SUP |in:

ËL2 ..... n

est une norme. Il est admis que l'application de l'espace des matrices carrées 
d'ordre n,
M,,(R) dans R+ :

A H N(A) =SUP "AX",

HXHSI

est une norme. Un vecteurX : (x ,) 155" de R" est dit positif si toutes ses 
coordonnées x ,-- sont
positives ou nulles (x ,-- Z 0). Cette propriété s'écrit :

X20.

Une matrice A = (al.]-) de M,,(R) est dite positive si tous ses tenues al.]. 
sont positifs

15ëm135n
ou nuls. Cette propriété s'écnt :

A20.

Étant donnée la base canonique de R", (el , 32, en ) , soit E le vecteur dont 
toutes les
1

1
coordonnées sont égales à 1 : E =

[H. Quelques propriétés matricielles :

Soit A : (";;--) l_ O). 
Démontrer que la matrice A
est injective puis qu'elle est inversible et que son inverse A"1 est une 
matrice positive.

II-2. Un exemple :

SoientA et H les deux matrices carrées d'ordre 11 suivantes :

Les termes de la matrice A situés sur la diagonale principale sont égaux à 2, 
ceux situés juste
au dessus et juste au dessous à --1, les autres sont nuls.

La matrice H est diagonale et positive ; les termes h,, 1 S i S n, de la 
diagonale principale sont
positifs ou nuls (h ,-- _>_ O) :

2 ----l 0 0 111 0 0 0
--l 2 --l 0 0 kg 0 .

A = 0 --1 2 0 ; H= 0 0 kg 0
0 0 , 0 2 0 0 0 h,,

a. SoitX un vecteur de R"1 de coordonnées x,, i = l, 2, n, tel que le vecteur 
(A + H )X soit
positif.

Démontrer que le vecteurX est positif à l'aide d'un raisonnement par l'absurde, 
par exemple,
en complétant la suite (x,-)lSËH par des termes xo et x,... nuls (xo = x,... = 
O), et en considérant
l'entier k pour lequel le réel xk est égal au plus petit des réels x,, 0 5 i 5 
n + 1 :

xk = min x,-.
05i£n+1

b. Déduire du résultat précédent que les deux matrices A + H etA sont 
inversibles.

Il--3. Norme de la matrice (A +H)"1 :
Soit Vet Wles deux vecteurs définis par les relations suivantes :

V= (A +H)'1E, W = A"'E.

&. Démontrer que ces vecteurs sont positifs ainsi que le vecteurA(W--- V).

b. Comparer les normes des deux vecteurs Vet W; en déduire : pour tout vecteur 
X de R",

||(A+H)"1X|| 5 "WII |le|-

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114. Une majoration de la norme du vecteur W:
Soit S l'ensemble des suites réelles infinies (xk) ,ÊO vérifiant, pour k > 0, 
la relation de
récurrence suivante :

--xk_1+2xk--xk+l =1.

Soit So l'ensemble des suites réelles (xk) ezo vérifiant, pour k > 0, la 
relation de récurrence
. suivante :

--xk_1+2xk--xk+l = 0.

a. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace So.

b. Déterminer une suite (yk) kZO appartenant à l'espace S qui soit un monome du 
deuxième
degré :

yk : ak2.

0. Déterminer les suites qui appartiennent à l'espace S ; en particulier celles 
qui vérifient les
deux conditions suivantes :

XO : O, xn+1 : 0.

(1. Déterminer les coordonnées du vecteur W = A'1E ; en déduire que la norme de 
ce vecteur
vérifie l'inégalité suivante :

HWH .<_ %2.

Troisième partie

Approximation de la solution du problème P.

Dans toute la suite l'entier n est supérieur ou égal à 3 (n 2 3 ). Soit h et 
tk, k = O, 1, 2,
n + 1, les réels définis par les relations suivantes :

h== 1 , tk=h.k= " , k=0,1,2,...,n+1.
n+l n+l

III--1 Une approximation de la dérivée seconde :

Soit u une fonction quatre fois conünûment défivable sur le segment ] . Soit M 
le maximum de
la valeur absolue de la dérivée quatrième :

M =sup |u...(x) !.
xe]

Soient t et h des réels tels que les réels t ---- h et t + h appartiennent au 
segment I. Démontrer
l'existence d'une fonction R des réels t et h qui vérifient les relations 
suivantes :

u(t+h) +u(t--h) -2 u(t) : h2 u"(t) +R(t,h), lR(t,h)l 5 %M.

Tournez la page S.V.P.
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[[[--2. Problème P discrétisé :
a. Démontrer que, si les deux fonctions p et f sont deux fois confinûment 
défivables, la solution
u du problème P est quatre fois continûment défivable.

SoientX et Y les vecteurs de R" et H la matrice diagonale de MHÇR) définis par 
les relations
suivantes :

ll(11) f(t1)h2 p(l1)h2 ()
: u(t2) , Y : f(lz) h2 , H = 0 1902) h2 0
u(t,,) f(t,,) h2 0 0 p(tn) h2

b. Déterminer, en désignant toujours parA la matrice définie àla question H--2, 
un majorant de
la norme du vecteur Z = (A + H )X -- Y , au moyen des réels M et 11.

Soit ÎÎ le vecteur défini par la relation suivante :
')? = (A + H) -1 Y.
c. Démontrer la majoration :

||X--ÎË|| 5 1012,

où K est une constante ; en donner une valeur à l'aide de M.
Donner une signification du vecteurX. Préciser comment ce vecteur se calcule.

FIN DU PROBLÈME

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