Mines Maths 1 PSI 2008

Thème de l'épreuve Translations dans des espaces de fonctions
Principaux outils utilisés réduction des endomorphismes, polynômes, matrices, coefficients de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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A 2008 MATH. I PSI
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES
DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS,
DES MINES DE PARIS,
DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE,
DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).
CONCOURS D'ADMISSION 2008
PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.
Sujet mis à la disposition des concours :
ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international
Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHÉMATIQUES I - PSI

L'énoncé de cette épreuve comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le signale sur
sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives 
qu'il est amené à prendre.

Translations dans des espaces de fonctions

La partie III est indépendante des deux premières.
I

Préliminaires

Pour n  N, {a0 , a1 , · · · , an } un ensemble de n + 1 complexes distincts et 
pour i
entier compris entre 0 et n, on définit le polynôme Li par :
Li (X) =

Y

X - aj
.
06j6n,j6=i ai - aj

1. Montrer que les polynômes Li forment une base de Cn [X].
2. Écrire la matrice M du système {1, X, X 2 , · · · , X n } dans la base {L0 , 
L1 , · · · , Ln }.

II

Fonctions polynomiales

Dans cette partie, on note k un entier naturel fixé et E l'espace vectoriel des
polynômes à coefficients complexes de degré inférieur ou égal à k. Pour a  C , 
on
définit
ta : E - E
P -
7  (X 7 P (X + a)).
Pour P  E, on note d(P ) le polynôme dérivé :
d : E - E
P -
7  P .
Pour k > 2, on pose dk = dk-1  d = d  dk-1 . On tiendra pour acquis que ta et d 
sont
des endomorphismes de E. On désignera par B = {e0 , e1 , · · · , ek } la base 
de E définie
par {1, X, X 2 , · · · , X k }.
3. Écrire les matrices, notées respectivement Ta et D, des endomorphismes ta et 
d
dans la base B.
4. En déduire les éléments propres de ces endomorphismes. On donnera les valeurs
propres, les espaces propres correspondants ainsi que leurs dimensions.
2

5. Quels sont les sous-espaces vectoriels de E stables par d ? Donner leur 
nombre.
Indication : on pourra considérer un polynôme de degré maximal dans F , 
sousespace stable.
6. Soit P (X) =
système

Pk

i=0

pi X i un polynôme fixé de degré k (pk 6= 0). Montrer que le
d k (P )
d(P ) d2 (P )
,
,··· ,
P,
1!
2!
k!

(

)

constitue une base B1 de E. Donner la matrice de passage R de B vers B1 .
7. Pour a  C , exprimer les coordonnées du système
S = {P (X), P (X + a), P (X + 2a), · · · , P (X + ka)}
dans la base B1 . On note U la matrice ainsi obtenue. En déduire que S constitue
une base de E qu'on notera B2 .
8. On note Q la matrice de passage de B vers B2 . Exprimer Q en fonction de R et
U.
9. Pour a fixé dans C , caractériser les sous-espaces vectoriels de E stables 
par ta .

III

Fonctions continues, 2-périodiques

Dans cette partie, E désigne l'espace vectoriel des fonctions complexes 
continues
sur R et 2-périodiques. Pour f  E, on désignera par cn (f ) la suite (indexée 
sur Z)
des coefficients de Fourier de f : pour tout entier relatif n,
1 Z 2
f (x)e-inx dx.
cn (f ) =
2 0
Pour tout entier relatif k, on notera ek la fonction
7  exp(ikx).
ek : x -
Pour a  R et f  E, on note ta (f ) la fonctions à valeurs dans C définie
ta (f ) : x -
7  f (x + a).
Cela nous permet de définir l'endomorphisme ta de E :
ta : E - E
f-
7  ta (f ).
3

Pour tout réel a, on définit la fonction a par
a : Z - C
n-
7  exp(ina).

10. Préciser les réels a pour lesquels la fonction a est injective. Dans le cas 
contraire,
montrer que a est périodique.
11. Pour f  E, donner les valeurs de la suite cn (ta (f )) en fonction des 
valeurs prises
par la suite cn (f ).
12. Donner les valeurs propres de ta . Caractériser les valeurs de a pour 
lesquelles les
espaces propres de ta sont tous de dimension 1.
13. Soit F un sous-espace vectoriel de E de dimension finie p > 1 et stable par 
ta .
Soit f  F , f non nul, montrer qu'il existe p + 1 scalaires j non tous nuls tels
que pour tout entier relatif n,

p
X

j=0

j exp(inaj) cn (f ) = 0.

14. Soit a réel fixé tel que a/ soit irrationnel. Soit f appartenant à F , 
montrer qu'il
existe un entier Nf tel que cn (f ) = 0 pour |n| > Nf .
15. Montrer qu'il existe un entier N tel que pour tout g appartenant à F , cn 
(g) = 0
pour |n| > N .
16. Soit G le sous-espace vectoriel de E engendré par (ek , k = -N, · · · , N 
). Vérifier
que F  G et G stable par ta .
17. L'endomorphisme ta restreint à G est-il diagonalisable ?
18. Montrer qu'on peut trouver un ensemble fini S d'entiers relatifs tel que F 
soit le
sous-espace vectoriel engendré par les ek pour k décrivant S.

Fin du problème

4

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Mines Maths 1 PSI 2008 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Francesco Colonna Romano (Professeur en CPGE) ;
il a été relu par Julien Lévy (Professeur en CPGE) et Benoît Chevalier (ENS 
Ulm).

Ce problème étudie l'opérateur translation, qui à une fonction ou un polynôme f
associe la fonction x 7 f (x+a). Le but est de déterminer ses valeurs propres, 
vecteurs
propres et espaces stables de dimension finie.
· La première partie introduit une matrice particulière, qui se révélera utile 
dans
la suite du problème. La deuxième question doit impérativement être résolue
pour que l'on puisse réutiliser dans la partie II son résultat, car celui-ci 
n'est
pas donné par l'énoncé.
· La deuxième partie étudie l'espace des polynômes à coefficients complexes
de degré au plus k, noté Ck [X], et les opérateurs dérivation et translation.
Dans les premières questions, on calcule les valeurs propres et espaces propres 
de
ces applications. On détermine ensuite les sous-espaces de Ck [X] laissés 
stables
par chacune d'entre elles.
· La troisième partie est indépendante des deux précédentes. Elle présente aussi
l'étude de sous-espaces de dimension finie stables par translation, mais 
l'espace considéré est ici l'ensemble des fonctions continues et 2-périodiques.
La démonstration repose sur l'emploi des coefficients de Fourier exponentiels,
mais ne demande presque aucune connaissance sur les séries associées (et 
notamment aucun résultat sur la convergence).
Le sujet est découpé en questions assez courtes qui s'enchaînent de manière 
logique ; il est dès lors très important de suivre et de comprendre la démarche 
de
l'auteur. Le sujet paraîtra agréable, bien construit et modérément difficile 
pour peu
que l'on aborde les parties dans l'ordre, tout en conservant un aperçu global 
des objectifs du problème. En revanche, chercher à répondre aux questions dans 
le désordre
en grappillant des points sans comprendre le raisonnement d'ensemble risque de 
se
révéler très contre-productif.

Indications
1 Que vaut Li (aj ) ?
n
P
2 Écrire Xk =
mik Li (X) et remplacer X par des valeurs bien choisies.
i=0

4 Pour trouver les polynômes vérifiant P(X + a) = P(X), considérer une racine 
de P
dans C et voir ce que cela implique sur les autres racines.
5 Considérer la suite des dérivées d'un polynôme de degré maximal dans F. 
Montrer
que cette famille est libre. Quel espace engendre-t-elle ?

6 Quels sont les degrés des polynômes de la famille considérée ?
7 Penser à la formule de Taylor. Remarquer ensuite que la matrice obtenue 
ressemble à celle de la question 2. Les résultats de la première partie 
permettent-ils
d'affirmer que cette matrice est inversible ?
9 Utiliser le résultat de la question 7. Lorsque P est de degré j, quel est 
l'espace
engendré par la famille
{P(X), P(X + a), . . . , P(X + j a)}
12 Pour trouver les valeurs propres, utiliser la formule de la question 
précédente.
En ce qui concerne les vecteurs propres, certains d'entre eux sont censés être
évidents : pouvez-vous les citer ?
13 Les ta k (f ) peuvent-ils être linéairement indépendants ?
p
P
14 Considérer le polynôme P(X) =
j Xj , les réels 1 , . . . , p étant ceux définis à
j=0

la question 13. Que peut-on dire de ses racines ?

15 Se placer dans une base {f1 , . . . , fp } de F.
16 Pour toute fonction f de F, trouver une fonction g dans G ayant les mêmes
coefficients de Fourier que f . Comment conclure que f = g ?

Les conseils du jury
Le rapport du jury constate que « l'algèbre linéaire reste une partie difficile
pour les candidats ». Ces derniers doivent mieux acquérir « les notions 
fondamentales d'algèbre telles que l'injectivité, les familles libres et 
génératrices, la
traduction en calcul matriciel » et éviter « les maladresses dans les rudiments
du calcul élémentaire ». Enfin, le rapport du jury signale « quelques grosses
erreurs qu'on ne devrait plus trouver à ce niveau :
· diviser par un vecteur ;
· exhiber un vecteur propre nul ;
· penser qu'une exponentielle peut s'annuler, ou affirmer que e i a > 0
lorsque a est complexe. »

I.

Préliminaires

1 Remarquons que les polynômes Li sont de degré n, ont pour racines les aj
pour j 6= i et vérifient Li (ai ) = 1.
Les Li ne sont définis que lorsque les ai sont distincts.
Comme on a une famille de n + 1 éléments de Cn [X] qui est lui-même de dimension
n + 1, pour montrer qu'il s'agit d'une base, il suffit de démontrer que c'est 
une famille
libre. Soient donc des complexes 0 , . . . , n tels que
0 L0 (X) + · · · + n Ln (X) = 0
En remplaçant X par ai , tous les termes de la somme s'annulent, sauf le ie qui 
vaut i .
D'où i = 0 . Comme ce raisonnement est vrai pour tout i, tous les coefficients 
sont
nuls, la famille est libre, il s'agit d'une base.
La famille (Li )i[[ 0 ; n ]] est une base de Cn [X].
Le rapport du jury précise que « beaucoup reconnaissent les polynômes 
d'interpolation de Lagrange, mais parfois on a beaucoup de mal à justifier 
qu'ils
constituent une base. »
2 Décomposons chaque polynôme Xk dans la base des Li
Xk =

n
P

mi,k Li (X)

i=0

En remplaçant X par aj il vient mj,k = aj k . On peut alors écrire la matrice M
demandée en mettant en colonnes les coordonnées de chacun des polynômes Xk .

1 a0 a0 2 · · · a0 n
1 a1 a1 2 · · · a1 n 

M = .
..
..
.. 
..
 ..
.
.
.
. 
1

an

an 2

· · · an n

La famille (1, X, . . . , Xn ) est une base de Cn [X] et (L0 , L1 , . . . , Ln 
) aussi. On a donc
ici deux bases du même espace. M étant la matrice de passage entre ces deux 
bases,
elle est inversible.
Cette matrice s'appelle matrice de Vandermonde, vous l'avez probablement 
rencontrée dans le chapitre sur les déterminants. Le déterminant de
cette matrice vaut
det M =

 (ai - aj )

i