Mines Maths 1 PSI 2005

Thème de l'épreuve Étude unidimensionnelle du problème du transport de Monge
Principaux outils utilisés difféomorphismes, intégration sur un intervalle quelconque

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - -

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ECOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSEES. ECOLES
NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AERONAUTIQUE ET DE
L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCEES, DES
TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE
SAINT--ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
TÉLÉCOMMUNICATION S DE BRETAGNE. ECOLE
POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2005

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ÉPREUVE
Filière PSI

Durée de l'épreuve : 3 heures
L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit.

Sujet mis à la disposition des concours :

Cycle International, EN STIM, EN SAE (Statistique), INT, T PE--EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première
page de la copie :
MATHÉMATIQUES 1 - Filière PSI.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur
d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant

les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Avertissement: dans ce problème, apparaissent de nombreuses
intégrales impropres. On prendra soin de justifier systématique--
ment l'intégrabilité des fonctions considérées même lorsque ce n'est
pas explicitement demandé.

I. Préliminaires

1) Montrer les inégalités suivantes:

ln(1 + t) 5 t, pour tout t E ] --- l, + oo[, (l)

1
tln(t) _>_ --E, pour tout t e ]0, + oo[. (2)

2) Soit w une bijection de l'intervalle ouvert I sur l'intervalle ouvert J. Si
'çÙ est de classe C'1 sur I , donner une condition nécessaire et suffisante
pour que @ soit un C 1--difféomorphisme de I sur J. Dans ce cas, rappeler
l'expression de la dérivée de "tb--1--

II. Construction d'une application particulière

On note H l'ensemble des fonctions f strictement pOsitives, continues

sur IR, pour lesquelles il existe p > 0 (dépendant de f) tel que, pour tout
réel x:

1 1
0 < f(æ) s ; exp (<--2- -- p)x2) . (A)

On note Ho, le sous-ensemble de H des fonctions f telles que:

+00 2 +00 2
f(u)e"" /2 du=/ e""' /2 du =V27T.

...oe --oe

Dans tout le reste de l'énoncé, f est un élément de Ho.

3) Soit Ff définie par

Ff(OE) : [8 f(u)e""2/2 dU-

En particulier

F1(OE) =/ e--"2/2 du.

--00

Montrer que F f est un C1-difl'éomorphisme de IR sur ]0,\/ 27r [.

4) Montrer qu'il existe une unique fonction 

)) -- %w(OE)2, et ln((oe"')'(x)) --1n h(u) f (u) 6 soit intégrable sur IR. Montrer l'identité suivante: 8) Montrer qu'il existe un réel A > 0 tel que pour tout réel 3: Z A, on ait : "... 2 --u2/2 2 -(æ+1)2/2 / cp (u)e du _>_

0 tel que pour tout réel M 2 B, on ait : l'/4. 10) « Déterminer une primitive de la fonction u +--+ (ucp(u) -- u2 -- (f) %/_ lu--so---1--1n))e--UZ/2du. (3) --00 15) Quelle est la relation d'ordre entre ( f ) et E ( f ) ? 16) Déterminer les fonctions telles que E ( f ) : ( f ) FIN DU PROBLÈME Le problème de transport de Monge consiste à optimiser le coût global du transport d'une répartition de masse vers une autre. Dans le cas uni--di-- mensionnel que nous venons de traiter, on se donne un tas de sable infi-- niment fin dont le poids entre les abscisses u ---- du et u + du est donnée par 2exp(--u2/2)du. On veut le déplacer vers un tas de sable de densité linéique f (u) exp(--u2 / 2). Cela est représenté par une application s de IR dans IR qui pour tout réel u donne l'abscisse, s(u), du grain situé en u après le transport. On montre que l'application cp déterminée en question 4 minimise le coût du transport défini par fÎÛÎ lu ---- s(u)l2e"u2/2 du, parmi toutes les fonctions 5 possibles. L'objectif de ce problème est de majorer ce coût minimal par une quantité qui ne dépend que de f et qui ne nécessite pas le calcul de cp. Le nombre E ( f) est appelée l'entropie de Boltzmann.

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Mines Maths 1 PSI 2005 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Arnaud Durand (ENS Cachan) ; il a été relu par 
Vincent
Perrier (ENS Cachan) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).

Le sujet étudie le problème suivant, qui est un cas unidimensionnel du problème
de transport de Monge : on souhaite déplacer chaque grain d'un tas de sable 
dont la
2
2
densité linéique est e -u /2 de façon à obtenir un tas de densité linéique f 
(u) e -u /2
où f est une fonction positive donnée d'intégrale 1. Autrement dit, on désire 
que la
2
2
masse du tas entre les abscisses u et u + du passe de e -u /2 du à f (u) e -u 
/2 du.
Lors du transport, les grains situés initialement à l'abscisse u sont déplacés 
vers une
abscisse notée s(u). Le coût du transport correspondant à l'application s est 
défini
par
Z +
2
2
|u - s(u)| e -u /2 du
()
-

Le but du problème est de trouver une fonction s qui minimise ce coût de 
transport et de majorer ce coût minimal par une quantité ne nécessitant pas le 
calcul de
l'application s minimisante.
· La première partie, très courte, propose d'établir quelques résultats 
préliminaires qui seront utilisés dans la suite.
· Dans la deuxième partie, on suppose que la fonction f intervenant dans la
densité linéique d'arrivée est strictement positive. On prouve l'existence d'une
fonction , dont on peut montrer (mais ce n'est pas proposé dans le sujet)
qu'elle minimise le coût de transport défini par l'expression ().
· Le but de la troisième partie est de majorer le coût minimal réalisé par la
fonction  à l'aide d'une quantité ne dépendant pas de , à savoir l'entropie de
Boltzmann de f , définie ici par
Z +
2
E(f ) =
f (u) ln(f (u)) e -u /2 du
-

Les questions sont, pour la plupart, plus techniques que vraiment difficiles. 
Elles
demandent au candidat de faire preuve de rigueur et de précision dans sa 
rédaction, car il y a souvent beaucoup d'arguments à citer pour y répondre. La 
partie du
programme principalement abordée est la théorie de l'intégration sur un 
intervalle
quelconque de R. Ce sujet est par conséquent une excellente façon de faire le 
point
sur cette notion.

Indications
I.

Préliminaires

1 Étudier les fonctions t 7 t - ln(1 + t) et t 7 t ln t.

II.

Construction d'une application particulière

3 Montrer que Ff est de classe C 1 et que sa dérivée est strictement positive.
4 Trouver une relation fonctionnelle entre Ff , F1 et .
6 Dériver la relation Ff   = F1 et prendre le logarithme.
7 Effectuer le changement de variable u = (v).
8 Observer que 2 est croissante au voisinage de +.
9 Pour x > 0 assez grand, majorer par 1 l'intégrale intervenant dans la 
question 8.
Pour x < 0, adapter le résultat de la question 8, puis procéder de même.
2

10 Dériver u 7 (u - (u)) e -u

III.

/2

.

Une inégalité intéressante
2

12 Concernant l'existence de E(f ), majorer, pour u  R, f (u) |ln(f (u))| e -u 
/2 en
distinguant le cas où f (u) > 1 du cas contraire. Pour l'existence de (f ), 
utiliser
le résultat de la question 9.
13 Utiliser le résultat de la question 7, avec h : u 7 ln(f (u)).
14 Faire appel aux résultats des questions 13, 11 et 6 afin de transformer 
l'expression
de l'intégrale égale à E(f ) - (f ).
15 Utiliser le résultat de la question 1.
16 Montrer que E(f ) = (f ) équivaut à  (u) = 1, pour tout réel u.

I. Préliminaires
1 Pour établir la première inégalité, introduisons la fonction
(
] -1 ; + [ - R
:
t
7- t - ln(1 + t)
Cette fonction est dérivable sur ] -1 ; + [ (en tant que somme de fonctions 
usuelles
dérivables sur cet intervalle) et
t  ] -1 ; + [

 (t) = 1 -

1
1+t

Pour tout t  ] -1 ; 0 ], on a  (t) 6 0 et, pour tout t  [ 0 ; + [, on a  (t) > 
0. Par
conséquent, la fonction  est décroissante sur l'intervalle ] -1 ; 0 ] et 
croissante sur
l'intervalle [ 0 ; + [. Résumons ceci dans un tableau de variations.
-1

0

-

+

+

+

+

0

On constate que la fonction  admet pour minimum global le réel (0) = 0. On en
déduit que pour tout t de l'intervalle ] -1 ; + [, (t) > 0, d'où
t  ] -1 ;  [

ln(1 + t) 6 t

(1)

Pour établir cette inégalité, on peut également utiliser le fait que la fonction
t 7 ln(1 + t) est concave. Son graphe est situé en dessous de toutes ses
tangentes, donc en particulier en dessous de sa tangente au point d'abscisse
0, ce qui fournit le résultat.
Pour mettre en évidence la seconde inégalité, posons
(
] 0 ; + [ - R
:
t
7- t ln t
Cette fonction est définie et dérivable sur ] 0 ; + [ (en tant que produit de 
fonctions
usuelles dérivables sur cet intervalle) et
t  ] 0 ; + [

  (t) = ln t + 1

 -1

+
Pour tout t  0 ; e -1 , on a   (t) 6 0 et, pour tout
 t  -1e ;  , on a  (t) > 0.
Ainsi, la fonction
et croissante sur l'inter  est décroissante sur l'intervalle 0 ; e
valle e -1 ; + . Consignons ceci dans un tableau de variations.
e -1

0

-

+

+

0

+

-e

-1

L'étude des variations de  montre que cette fonction admet pour minimum global
le réel (e -1 ) = -e -1 . Il en résulte que
t  ] 0 ; + [

t ln t > -

1
e

(2)

2 Une bijection  de classe C 1 de l'intervalle ouvert I sur l'intervalle ouvert 
J est
un C 1 -difféomorphisme de I sur J si et seulement si, pour tout élément t de I,
  (t) 6= 0
Dans ce cas, la dérivée de  -1 est donnée par

1
 -1 = 
   -1
On dispose en fait du résultat plus général suivant : une fonction  de
classe C k , avec k > 1, sur un intervalle ouvert I de R est un C k 
-difféomorphisme de I sur son image J = (I) si et seulement si, pour tout 
élément t de I, le réel   (t) est non nul. Si tel est le cas, on a soit   (t) > 
0, pour
tout t  I, et le difféomorphisme  est strictement croissant, soit   (t) < 0,
pour tout t  I, et le difféomorphisme  est strictement décroissant.