Mines Maths 1 PSI 2002

Thème de l'épreuve Étude d'une catégorie particulière de fonctions définies par une série entière
Principaux outils utilisés séries numériques, séries de fonctions, règle de d'Alembert, critère de Riemann, séries de Fourier, formule de Parseval, régularité des intégrales à paramètre, théorème de convergence dominée
Mots clefs fonction Gamma

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - -

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J. 2069
A 2002 Math PSI 1 ,

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES.
ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNÏCAHÛNS,
DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT--ÉTOENNE, DES MINES DE NANCY,
DES TÉLÉCOMMUNÏCATÏONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE ( Filière TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES
PREMIERE EPREUVE
Filière PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)
(L'usage d'ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT , 
TPE--BNP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page 
de la copie :
MATHEMATIQUES 1-Filière PSI.

Cet énoncé comporte 4 pages de texte.
Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des 
initiatives qu'il est
amené à prendre.

Étant donnée une fonction f réelle, définie sur le segment [O, 1], indéfiniment 
défivable, soit
(u,,)neN la suite réelle définie par les relations suivantes :

(U) ...) = 1 ;pour tout entiern strictement positif, un : üj(%) 
=j(--Î--)j(%)...f(%)

Soit R le rayon de convergence de la série entière de terme général un x", n = 
0 1 2 Soit F

7 7 ?

la somme de cette série entière ; son ensemble de définition est l'ensemble des 
points en lesquels la
série entière est convergente. Elle est définie par la relation suivante :

F(x) : É un x".
n=0

Première partie

I--1. Rayon de convergence :

a. Exemples : étant donnés un réel ou différent de 0 (a i 0) et un entier 
naturel p différent de 0
(p 2 l), déterminer les rayons de convergence et les sommes F1 , F 2 et F 3 des 
séries entières de
terme général u,, x", lorsque la fonction f est successivement définie par 
l'une des trois relations
suivantes :

fl(t) : aàf2Ü) = at;f3(t) =pt----l_

Préciser les ensembles de définition des trois fonctions F1 , F 2 et F 3 ; pour 
déterminer la

- 1/4 -
Tournez la page S.V.P.

fonction F 3, exprimer le coefficient un pour n 5 p -- 1 au moyen du 
coefficient du binôme C;_1

égalà P'1
n

b. Déterminer, pour une fonction f réelle, définie sur le segment [O, 1 ], 
indéfiniment dérivable,
le rayon de convergence de la série entière de terme général un x".

Dans la suite du problème, les fonctions indéfiniment dérivables f considérées 
prennent des
valeurs différentes de 0 en tout point d'abscisse 1/n où n est un entier 
strictement positif (pour tout
entier n strictement positif f(1/n) = O).

I--2 Suite de terme général un :
a. Démontrer que, si la fonction f prend une valeur en 0 strictement positive 
(f(0) > 0), il
existe un rang N tel que, pour tout entier n supérieur ou égal à N, le réel un 
soit de signe constant.

b. Étudier la convergence de la suite (un)"eN dans les deux cas suivants :
i. le réel 1f(0)| appartient à l'intervalle semi-ouvert [0,1[ (0 5 1f(0)| < 1),

ii. le réel 1f(0)| est strictement supérieur à 1 Qf(0)| > 1).

Dans toute la suite du problème, la fonction f prend la valeur 1 en 0 (f(0) = 
1) et des valeurs
strictement positives sur le segment [O, 1 ].

I--3. Série de terme général un :
Soit 5 la valeur prise par la fonction dérivée f ' en 0 :

B =f '(0)--
Soit (v,?)neN la suite définie par les relations suivantes :

un

vo = 1 ; pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : v,, = {3 .
n

Dans le cas particulier où ,5 est nul : vn = un.
Etudier la convergence de la série dont le terme général w... n = 1, 2, est 
défini par la

relation :

Vn

pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : wn = ln v 1 .
n--

En déduire l'existence d'une constante L, différente de O, telle que un soit 
équivalent à l'infini à
L n".

un ... Ln".

I--4. Fonction F :

a. Soit f une fonction réelle, définie sur le segment [O, 1], strictement 
positive, indéfiniment
dérivable, prenant la valeur 1 en 0 ; déterminer l'ensemble de définition D F 
de la fonction F,

-2/4-

c'est-à--dire l'ensemble des réels pour lesquels la série de terme général un 
x" est convergente ; les
coefficients un sont définis par la relation (U) de la première page.

b. Exemple : étant donné un réel et différent d'un entier naturel, soit f la 
fonction définie sur
l'intervalle [O, 1] par la relation suivante :

f(t) = 1--at.

Soit F la fonction égale à la somme de la série entière de terme général u" x" 
; les coefficients
u,, sont définis par la relation (U). Ecrire l'expression de F (x) comme somme 
d'une série entière ;
préciser son rayon de convergence. Reconnaître la fonction F.

Deuxième partie

Soit a un réel strictement compris entre 0 et 1 (0 < a < 1) ; soit f la 
fonction définie sur le
segment [O, 1 ] par la relation suivante :

f(t) : 1-- 012 t2.

C'est un exemple de fonction f dont la dérivée est nulle en 0 (f '(0) = 0). 
Soit g la fonction
définie sur l'intervalle ouvert ]--1, 1 [ par les relations suivantes :

= - ' ' : EQÊ.<ÆQ _ _1_.
g(0) 0 , pour toutxvenfiant O< [x] < ], g(x) sin (xx) xx .

II--l. Propriétés de la fonction g :
a. Démontrer que la fonction g, définie par les relations ci-dessus, est 
continue sur l'intervalle
ouvert ]---1 , 1 [. Calculer pour tout réel (1, appartenant à l'intervalle 
ouvert ]--1, 1 [, l'intégrale la

définie par la relation ci--dessous :
la = jag(t) dt.
0

b. Soit h la fonction complexe, périodique de période 27t, définie sur 
l'intervalle semi-ouvert
[O, 27r[ par la relation suivante :

pour tout réel [ vérifiant les inégalités 0 S t < 275, h(t) = e""" .

Déterminer le développement en série de Fourier de la fonction il ; préciser la 
convergence de
la série obtenue. En déduire la relation :

__1 00 2a
8<">*îZ;ïïÿ-
n=l

c. En déduire une expression de l'intégrale I... considérée à l'alinéa a, au 
moyen de la somme
d'une série.

Tournez la page S.VQP.
- 3/4 -

Il--2. Convergence de la suite (u,,),,eN :
Démontrer que la suite (u,,)nGN définie à partir de la fonction f grâce aux 
relations (U) est
convergente et déterminer sa limite.

Troisième partie

Le but de cette partie est d'utiliser les résultats de la deuxième partie pour 
établir des
propriétés de la fonction G définie sur la demi-droite ouverte ]0, oe[ par la 
relation :

_ 00 --1 ---t __ --1 ---t
G(x)--IÛt"° e dt_J]o,oe[lx e dt.

Étant donné un entier n supérieur ou égal à 1 (n 2 1), soit ça,, la fonction 
définie sur le quart de
plan ]0, oo[ x ]0, oe[ par la relation suivante :

(pn(x, 1) =tx_l(l----;t,--)n, Si0 0), 
soit J,, (x) l'intégrale
définie par la relation suivante :

1
J,,(x) : _[0(1 -- t)" tx"1dt : j]o,1](1__t)n f'"1 dl.

Calculer cette intégrale.

b. En déduire, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 et tout réel x 
strictement positif, une
expression de G,, (x).

Ill--3. Relation des compléments :
Démontrer, pour tout réel x strictement compris entre 0 et 1 (0 < x < 1), la 
relation suivante :

G(x) G(1 ----x) : ELX--(%;)--

FIN DU PROBLÈME

-4/4-

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Mines Maths 1 PSI 2002 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Vincent Puyhaubert (ENS Cachan) ; il a été relu par
David Lecomte (ENS Cachan) et Walter Appel (professeur en CPGE).

Ce sujet comporte un seul problème décomposé en trois parties. Hormis la toute
dernière question, qui utilise tous les résultats précédents, les parties sont 
indépendantes les unes des autres.
· La première partie traite de séries entières. On définit une suite (un )nN à 
partir
d'une fonction f et on s'applique à rechercher le rayon de convergence de la
série entière de terme général un xn . Plusieurs cas, traités en détail, 
permettent
de se rafraîchir les idées sur les séries entières.
· La deuxième partie fait intervenir les séries de Fourier pour obtenir des 
identités permettant de calculer la limite de la suite (un )nN dans un cas 
particulier.
Cette partie est surtout calculatoire ; sa seule difficulté réside dans la 
justification de l'interversion d'une somme et d'une intégrale (par exemple en 
montrant
une convergence normale).
· La dernière partie introduit la fonction . C'est une intégrale à paramètre
très classique mais non moins difficile à étudier. La première question, très
technique, ne doit pas rebuter le candidat : la suite fait essentiellement 
appel au
calcul intégral et ne présente pas de difficulté majeure. Le résultat final 
mérite
que l'on s'intéresse à cette partie, quitte à admettre au besoin le résultat de 
sa
première question.

Indications

Première partie
I.1.a Donner l'expression de un pour tout entier naturel n. En déduire le rayon 
de
convergence de la série entière à l'aide des règles de d'Alembert.
I.1.b Se servir à nouveau des règles de d'Alembert.
I.2.a Utiliser la continuité de f en 0 pour déterminer le signe de un+1 /un 
quand n
tend vers l'infini.
I.2.b Invoquer de même la continuité de f pour minorer ou majorer un+1 /un quand
n tend vers l'infini.
 
1
.
I.3 Montrer que wn = O
n+
n2
1
I.4.a Utiliser le critère de Riemann pour les séries de terme général  et le 
critère
n
des séries alternées.
I.4.b Pour deviner la fonction F, comparer cette situation avec le troisième 
cas de
la question I.1.a.
Deuxième partie
II.1.a Utiliser les développements limités des fonctions sinus et cosinus. Pour 
le
calcul de l'intégrale, chercher une primitive de g. Faire attention à ce qui se
passe en 0.
II.1.b Pour trouver la relation, prendre la valeur de la série de Fourier en 0.
II.1.c Intégrer l'expression de g, sous la forme d'une série, entre 0 et  et 
justifier
la possibilité d'inverser l'intégrale de la série et la série des intégrales.
II.2 Montrer que ln(un ) peut s'exprimer sous la forme d'une série convergente 
et
exprimer sa limite en fonction de I .
Troisième partie
III.1 Utiliser les théorèmes de continuité des intégrales à paramètre.
n!
III.2.a Montrer par récurrence sur n que Jn (x) =
.
x(x + 1) · · · (x + n)
III.2.b Faire un changement de variable dans l'intégrale définissant Gn .
III.3 Utiliser l'expression de G comme limite de la suite obtenue à la question
précédente et determiner cette limite à l'aide de la question II.2.

Première partie

I.1

Rayon de convergence

I.1.a On considère dans un premier temps que f est égale à la fonction f1 . 
Alors
n

un =
On en déduit que la série

P

  = n
k=1

un est une série géométrique de raison  x. Elle est donc

convergente si et seulement si | x| est strictement inférieur à 1. On a donc :

1
1
DF1 = -
;
|| ||

De plus :

F1 (x) =

+
P

n xn =

n=0

1
1 - x

Maintenant, on suppose f (t) = f2 (t) =  t. Ainsi :
n

un =

n

  = n!
k=1 n

On en déduit, cette fois-ci, que :
un+1

=
---- 0
un
n + 1 n
D'après la régle de d'Alembert pour les séries entières, il vient :

-1
|un+1 |
R=
lim
= +
n+ |un |
Ainsi

DF2 = R

On a également

F2 (x) =

n xn
= e x
n!
n=0
+
P

Considérons le dernier cas où f = f3 . On vérifie immédiatement que :
 
1
1
f
=p× -1=0
p
p
Par conséquent, pour tout entier n supérieur à p, l'un des termes du produit
définissant un est nul. On a donc :
n > p

un = 0

Le terme général de la série entière est donc nul à partir d'un certain rang 
pour
tout réel x et alors la série converge en tout point. Par suite :
DF3 = R
On vérifie également que :

1
1
p-n
f
=p× -1=
n
n
n
On a donc, pour tout entier n compris entre 0 et p - 1 :
n

un =

k=1

p-k
(p - 1) · · · (p - n)
(p - 1)!
=
=
=
k
n!
n!(p - n - 1)!

p-1
n

On en déduit l'expression de F3 :
p-1
P

p-1 n
p-1
F3 (x) =
x = (1 + x)
n
n=0
I.1.b On peut supposer que f prend des valeurs différentes de 0 en tout point
d'abscisse 1/n pour tout entier n strictement positif. En effet, sinon le terme 
général
de la suite (un )nN s'annule à partir d'un certain rang et donc le rayon de 
convergence
de la série est infini. On applique alors la même technique que dans la question
précédente :

un+1
1
=f
---- f (0)
un
n + 1 n
Le passage à la limite est justifié puisque f est infiniment dérivable donc 
continue.
En vertu de la règle de d'Alembert, on peut alors affirmer que :
RF =

I.2

1
|f (0)|

Suite de terme général un

L'hypothèse introduite au début de cette sous-partie par l'énoncé assure que
la suite (un )nN ne s'annule jamais. Par conséquent, on peut utiliser dans
tout le reste du problème la suite (un+1 /un )nN qui est bien définie pour
tout entier n.
I.2.a On utilise la même remarque qu'aux deux questions précédentes :

un+1
1
=f
---- f (0)
un
n + 1 n
Supposons f (0) strictement positif. Alors, par continuité, il existe  
strictement
positif tel que :
f (0)
>0
2
Alors, pour tout n strictement plus grand que 1/, on a :
x  R

x  [ 0 ;  [ = f (x) >

1
un+1
 [ 0 ;  [ =
>0
n
un
On en déduit en particulier que pour tout n supérieur à N = E(1/) + 1, un+1
et un sont de même signe. Ainsi si f (0) est strictement positif, la suite (un 
)nN est
bien de signe constant partir d'un certain rang.