Mines Maths 1 PSI 2000

Thème de l'épreuve Étude de certains endomorphismes du corps des quaternions
Principaux outils utilisés algèbre linéaire et bilinéaire, nombres complexes

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - -

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00 MATH. I - PSI

, ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES,
ECOLES NATIONALES SUPERIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE,
DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNIÇATÆONS,
DES MINES DE PARIS, DES M]NES DE SAINT-ETIENNE, DES MINES DE NANCY, DES
T"ELÉCOMMUNÏCAÏÏONS DE BRETAGNE,
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI).

CONCOURS D'ADMISSION 2000
MATHÉMATIQUES

PREMIÈRE ÉPREUVE
FILIERE PSI
(Durée de l'épreuve : 3 heures)

Sujet mis à la disposition des concours : ENSTIM, INT, TPE-BNP.

L'emploi de la calculette est interdit

Les candidats sont priés de mentionner de façon très apparente sur la première 
page de la copie :
MATHEMATIQUES I - PSI.
L'énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de la filière PSI, 
comporte 4 pages.

Si un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale 
sur sa copie et
poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est 
amené à prendre.

Le but de ce problème est l'étude d'endomorphismes définis par l'action d'un 
groupe sur un
espace vectoriel de matrices complexes.

SoitM l'ensemble des matrices complexes m d'ordre 2 qui s'écrivent sous la 
forme suivante :

a ib
m= _ .
ib ?:

Dans cette relation, a et b sont des nombres complexes, i vérifie i2 = --1, â 
(resp. 5) est le nombre
complexe conjugué de a (resp. b).
Partie préliminaire
0. L'ensemble M est un espace vectoriel réel :
Démontrer qu'en munissant l'ensembleM de l'addition des matrices et de la 
multiplication des

matrices par un réel, l'ensemble M est un espace vectoriel réel. Préciser sa 
dimension.
Démontrer que le produit de deux matrices m1 et m; de l'espaceM appartient àM.

Soit 1 la matrice unité d'ordre 2. Soit m une matrice appartenant à l'espace 
vectoriel M ; la matrice
transposée de la matrice m est notée 'm. Si p est un entier naturel, mp est le 
produit de la matrice m

-1/4-

p--fois par elle--même ; classiquement m0 = ].

Soit G le sous-ensemble des matrices g appartenant à l'espace M dont le 
déterminant est égal à 1 :
G= {geM | detg= l}.

11 est admis que l'ensemble G est, pour le produit des matrices, un groupe.

Soit U le sous-ensemble des matrices u de l'espaceM antisymétriques dont le 
carré est égal à
l'opposé de la matrice identité :

U= {u GM | u+'u=0, u2 =--I}.
Soit Vle sous-ensemble des matrices symétriques v appartenant à l'espace M :
V= {veM | V: 'v}.
Il est admis que le sous--ensemble VdeM est un sous-espace vectoriel réel.

Soient ml et m; deux matrices appartenant à l'espace vectoriel M ; il est admis 
que la trace de la
matrice m1.'m2 est réelle ; soit (ml | m2) le réel défini par la relation 
suivante :

(m1 | 1712) = --â--Tr(ïñLth) = --â---Tr(mflfiù.
L'égalité entre les traces des matrices ñ1.'m2 et m1.'fi2 est admise.
Il est admis que l'espace (M, (. | .)) est un espace euclidien. Si le produit 
scalaire (ml | m2), de
deux matrices m1 et 1112, est nul, ces matrices sont dites perpendiculaires. Le 
sous-espace vectoriel V

de M est un espace euclidien lorsqu'il est muni du produit scalaire induit par 
celui de M.

Première partie

I.]. Propriétés élémentaires des matrices de l'espaceM :

Soit m une matrice de l'espace M ; démontrer que les matrices m +'m et m. % 
s'expriment au
moyen de la matrice identité ], du déterminant detm, de la trace Trm de la 
matrice m.

Soit g une matrice appartenant àM ; déduire du résultat précédent que, pour 
qu'une matrice g de
l'espaceM appartienne au groupe G, il faut et il suffit qu'il existe une 
relation simple entre les
matrices g"1 et fg.

Soit m une matrice de l'espaceM dont la trace est nulle (Trm = O) ; établir la 
relation : m = --' m ;
calculer les matrices mz, ('m)2 en fonction du déterminant de la matrice m et 
de la matrice unité ].

1.2 Matrices u :

Déterminer les matrices u qui appartiennent à l'ensemble U défini ci-dessus.

Soit m une matrice de l'espace M, u une matrice de l'ensemble U. Comparer les 
deux produits de
matrices : m.u et u.fi Démontrer que, lorsque la trace de la matrice m est 
nulle (Trm = 0), les deux
matrices mn et u.m appartiennent au sous-espace vectoriel V.

1.3. Norme d'une matrice m :
Soit m une matrice de l'espaceM ; calculer la norme de la matrice m (|| m "= J 
(m | m) ) en

-2/4-

fonction du déterminant de cette matrice. Comparer pour deux matrices m et w de 
l'espace M la norme
Il m.w II du produit des matrices m et w avec le produit Il m Il . Il w II des 
normes de ces matrices.

1.4. Matrices appartenant à G :
&. Démontrer que toute matrice g appartenant au groupe G s'écrit, de manière 
unique, sous la
forme

g =] cosô+m,

où 9 est un réel appartenant au segment [O, n] et m une matrice de trace nulle 
(T rm = 0) qui
appartient àM.

Calculer, en fonction du réel 9, le déterminant de la matrice m, ainsi définie 
à partir de la matrice
g, ainsi que le carré m2 de la matrice m.

b. Soit m une matrice de l'espaceM différente de 0 (m = O) : démontrer que la 
matrice g; définie
par la relation ci-dessous appartient au groupe G :

gl : __1__m

Jdetm

I-5 Un sous-groupe de G :
Soit gl une matrice de trace nulle (Trgl = O) appartenant à G ', soit G(g1) 
l'ensemble des
matrices Mg définies par la relation suivante

mo = I cosû +g1 sin9,
où 9 un réel quelconque appartenant au segment [O, 27r] ; soit :

G(g1) = {mg = I cos9+g1 sin9 | 8 & [O,27r]}.

Démontrer que l'ensemble G(g1) est un sous-groupe commutatif du groupe G.

Deuxième partie

Cette partie est consacrée à l'étude d'une application définie dans le 
sous-espace vectoriel Vdes
matrices symétriques deM à l'aide d'une matrice du groupe G.

Dans toute cette partie, g est une matrice donnée du groupe G, de trace nulle 
(T rg = O) ; étant
donnée une matrice w appartenant au sous-espace vectoriel Vsoit lg (w) la 
matrice définie par la

relation suivante :

lg(w) = g.w + w. 'g.

II--l. L'endomorphisme 1g de V:
a. Déterminer la dimension du sous--espace vectoriel réel Vde l'espace 
vectoriel M. Déterminer

une base de ce sous-espace vectoriel.

b. Démontrer que l'application lg : w r--+ lg(w) est un endomorphisme de 
l'espace vectoriel V.
Démontrer que cet endomorphisme lg n'est pas nul.

-3/4-

II--2. Propriétés de l'endomorphisme lg :

a. Comparer l'endomorphisme lg o !g : w r--> lg(lg(w)) à l'endemorphisme w r--> 
2g.lg(w).
Calculer l'expression lg (g.lg (w)) en fonction de 1g (w).

Comparer les deux normes Il lg(w) " et Il g.lg(w) Il.

Calculer, pour une matrice u de l'ensemble U, l'expression lg(g.u).

b. Déterminer une relation simple qui lie, pour deux matrices quelconques v et 
w de l'espace V, les
produits scalaires (lg(v) | w) et (v | lg(w)).
En déduire l'endomorphisme adjoint de l'endomorphisme lg.

c. Déduire des résultats précédents, que, pour toute matrice w de V, les 
matrices lg (w) et g.lg (w)
sont perpendiculaires.

II-3. Une base de l'espace V:

Etant données une matrice v de l'espace vectoriel Vtelle que son image par 
l'endomorphisme 18
soit différente de 0 (lg(v) i 0), une matrice u de l'ensemble U (u appartient 
àM, est antisymétrique,
u2 = --I), soient kg le produit des matrices g et u, h1 l'image de la matrice v 
par l'application lg, h; le
produit des matrices g et lu :

ho : g.u, h1 : lg(v), h; : g.lg(v).

a. Calculer les produits scalaires de la matrice u avec chacune des matrices 
h,, 0 5 i S 2, et des
matrices h,--,O 5 i S 2, deux àdeux :

(u | hi),05i52,(hk | h;),05k5152.

b. Démontrer que la suite des matrices h ,-, 0 S i S 2, est une base de 
l'espace vectoriel V.
Déduire de cette base une base orthonormée. Quelle est la matrice associée à 
l'endomorphisme lg dans
cette base ? Déterminer la transformation géométrique associée à 
l'endomorphisme --12--lg.

II-4. Un endomorphisme de l'espace vectoriel M :
Soit 9 un réel donné appartenant au segment [0,2n] ; soit me la matrice 
appartenant au groupe G
(question 1--5) définie par la relation suivante :

1119 = 10059 +gsin0.
Soit Sg l'application qui, à une matrice w de l'espace vectoriel M, associe la 
matrice m9.w.
sa : w ---> mg.w.

Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme se dans la base définie par 
les matrices
u, ho, hi, h2-

FIN DU PROBLEME

-4/4 -

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



Mines Maths 1 PSI 2000 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par David Guéron (Mines de Paris) ; il a été relu par 
Cyril
Niboyet (Mines de Paris) et Thomas Chomette (ENS Ulm).

L'épreuve porte sur l'étude de certains endomorphismes du corps M des 
quaternions de Hamilton.
Dans la partie préliminaire, on étudie la structure de l'ensemble M. On montre
en particulier que c'est une algèbre sur R. L'ensemble des quaternions est 
ensuite
doté d'une structure euclidienne (ces résultats sont fournis dans l'énoncé et 
admis
par les candidats) dans le cadre de laquelle les endomorphismes définis dans la 
suite
seront étudiés.
La première partie consiste en l'étude de diverses relations entre un élément 
de M
et des éléments déduits par transposition ou conjugaison. Ces relations 
permettent de
simplifier les calculs de la deuxième partie. On introduit aussi un groupe de 
matrices
de M qui agit sur M par l'intermédiaire de l'application
(
M - M
s :
g 7- m g
Dans la deuxième partie, on s'intéresse à un endomorphisme du sous-espace 
vectoriel de M constitué des matrices symétriques, et qui permet de définir une 
base
dans laquelle la matrice de l'application s s'exprime de manière agréable.

Indications

Partie Préliminaire
0. Vérifier la stabilité par multiplication uniquement sur des vecteurs de base 
de
M.

Première partie
I.1 Utiliser le théorème de Cayley-Hamilton pour le calcul de m2 .
I.2 Vérifier la propriété pour des vecteurs de base du noyau de l'application 
trace
et conclure en utilisant la linéarité de l'application produit matriciel.
I.4 Montrer que Re a peut se mettre sous la forme cos  et utiliser les 
résultats de
la question I.1.

Deuxième partie
II.1.b Montrer que si lg est nulle, alors g est antisymétrique et conclure en 
exhibant
une absurdité.
II.2.a Se rappeler que g 2 = -I. Utiliser le fait qu'une matrice à la fois 
symétrique et
antisymétrique est nulle.
t

II.2.b Utiliser le fait que g = - g et ne pas oublier que v est symétrique.
II.2.c Se servir d'un résultat de la question II.2.a.
II.3.a Calculer les produits scalaires (hi |hj ) (i < j) à l'aide de 
l'endomorphisme
adjoint de lg .
II.3.b Ne pas oublier qu'un espace euclidien de dimension trois peut être muni 
d'un
produit vectoriel et que la matrice d'une telle application dans une base 
orthonormée est antisymétrique.

Partie préliminaire

0 L'ensemble M est un espace vectoriel réel
Comme M est un sous-ensemble de M2 (C), qui possède déjà une structure de
R-espace vectoriel, il suffit de vérifier sa stabilité par addition et 
multiplication par
un réel quelconque . À a et b appartenant à C, associons m(a, b) la matrice 
définie
par :
m(a, b) =

a ib
ib a

La correspondance ainsi définie de C2 considéré comme R-espace vectoriel de 
dimension quatre dans M est clairement linéaire,
(a, b, c, d)  C4 ,   R

m(a, b) + m(c, d) = m(a + c, b + d)

ce qui montre la stabilité de M. D'autre part, cette application est injective 
et, par
définition de M, surjective. Elle induit donc une bijection entre R4 et M ce qui
montre que M est de dimension quatre.
On va d'ores et déjà introduire une base de M qui sera très utile par la suite. 
Les
quatre vecteurs qui la composent sont :

1 0
i 0
0 i
0 -1
I=
J=
K=
L=
0 1
0 -i
i 0
1 0
Dans cette base m(a, b) se décompose en :

Re a I + Im a J + Re b K + Im b L
L'intérêt de cette base est que certains sous-espaces vectoriels, dont on se
servira par la suite, s'y expriment simplement. Ainsi, le noyau de l'application
trace est l'espace vectoriel engendré par J, K et L ; l'ensemble des matrices
symétriques est l'espace vectoriel engendré par I, J et K ; enfin, l'ensemble 
des
matrices antisymétriques est la droite vectorielle engendré par L. On verra
aussi que, pour le produit scalaire défini plus loin, cette base est 
orthonormale.
On remarque que ces quatre matrices se multiplient particulièrement simplement
entre elles :
J2 = K2 = L2 = -I
JK = -KJ = L

KL = -LK = J

LJ = -JL = K

En particulier, par bilinéarité du produit matriciel, ces relations montrent 
que M
est stable par produit matriciel, c'est-à-dire que c'est une R-algèbre.
­ L'ensemble G des matrices de M de déterminant 1 est un groupe pour la
multiplication matricielle car il est stable par cette opération (si u et v sont
deux matrices carrées de même taille, alors det(uv) = det u det v) et il est 
stable
par l'opération d'inversion. En effet si m(a, b) appartient à G, son inverse a 
pour
déterminant 1, au vu de la relation det m det m-1 = det I = 1, et n'est autre
que la transposée de la comatrice de m qui est m(a, -b).

­ Quant à V, il est aisé de vérifier que c'est un sous-espace vectoriel réel de 
M.
On a déjà remarqué plus haut que V = Vect (I, J, K).
On peut remarquer que M est stable par conjugaison et par transposition. Par
t
conséquent, pour m1 et m2 appartenant à M, le produit m1 m2 appartient aussi à

t
M et donc sa trace est réelle. De plus, comme on a m1 t m2 =
m2 t m1 et que la

trace est invariante par transposition, l'application (.|.) est symétrique. 
Pour montrer
que c'est un produit scalaire euclidien, il ne reste plus qu'à montrer qu'elle 
est définie
positive, ce qui sera fait à la question I.3.
L'application de Mn (C)×Mn (C) dans C qui, à m1 et m2 associe Tr m1 t m2
est le produit scalaire hermitien usuel sur cet espace. Pour ce produit 
scalaire,
le carré de la norme d'une matrice est la somme des carrés des modules de
ses coefficients.

On peut vérifier très facilement en utilisant la table de multiplication des
vecteurs I, J, K, et L que ces derniers constituent une base orthonormée de
M.

Première partie

I.1 Propriétés élémentaires des matrices de l'espace M
Un bref calcul donne

a + a ib - ib
m + tm =
= Tr m I
ib - ib a + a
t

et

m m=

aa + bb -iab + iab
= det m I
iab - iab
aa + bb
t

D'une part, comme det(m) = det( m) (car det(m) est réel), la deuxième relation
t
montre que m et m commutent. D'autre part, cette même égalité montre que
g  G  g -1 = t g

L'ensemble des éléments de M de trace nulle est l'espace vectoriel engendré par
J, K et L. Soit donc m telle que Tr m = 0. Il existe donc trois réels a, b et c 
tels que
m = aJ + bK + cL. On obtient alors :
m = aJ + bK + cL = -aJ - bK + cL
et
d'où

t

m = -a t J -b t K +c t L = -aJ - bK - cL = -m
m = - tm