E3A Maths B PSI 2014

Thème de l'épreuve Trois exercices: exponentielle de matrice, séries de Fourier et équations différentielles
Principaux outils utilisés diagonalisation, calcul intégral, intégrales à paramètre, espaces vectoriels normés, théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Extrait gratuit du corrigé

(télécharger le PDF)
           

Énoncé complet

(télécharger le PDF)
                 

Rapport du jury

(PDF non trouvé ! |/net/www/doc-solus.fr/www//prepa/sci/adc/pdf/rapports.pdf/2014/PSI_MATHS_E3A_2_2014.rapport.pdf|)

Énoncé obtenu par reconnaissance optique des caractères


e {3 &:
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - POLYTECH

Epreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé,
d'une part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa 
copie et poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

095

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans
l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non justifiés ne 
seront pas pris
en compte. Les candidats sont invités à encadrer les résultats de leurs calculs.

Tournez la page S.V.P.

Il est interdit aux candidats de signer leur composition ou d'y mettre un signe 
quelconque pouvant indiquer sa provenance.

EXERCICE 1.

Dans tout l'exercice, E désigne l'espace vectoriel normé Æg(R) des matrices 
carrées d'ordre 3 a coefficients réels.

1 0 0
13 est la matrice unité:lg= 0 1 0
0 0 1
0 --1 0
SoitA= 1 0 0 GE.
0 0 0

1. Citer le Théorème de Cayley-Hamilton.

En déduire un polynôme non nul annulateur de la matrice A.
2. La matrice A est-elle diagonalisable dans Æg(C) ? Dans E ? Justifier vos 
réponses.
3. Soit k E N. Calculer Ak.

4. Démontrer que le sous-espace vectoriel F de E engendré par les puissances de 
la matrice A est de dimension finie.
Exhiber une base 93 de F constituée de puissances successives de la matrice A.

5. Soit 9 E R.
On pose, pour tout entier naturel n non nul :

s,, = A':

E
k=O

Justifier que S% E F.

Donner les composantes de S,, dans la base 93 obtenue a la question précédente.

6. Démontrer que M : lim S,, existe.
n-->+oo

7. Vérifier que M E F et donner ses composantes dans la base 95'.

8. Soit % : (61,62,63) la base canonique de l'espace euclidien R3 orienté usuel.

Démontrer que M est la matrice dans % d'une rotation vectorielle dont on 
précisera les éléments caractéristiques.

9. Déterminer les valeurs du réel 9 pour lesquels lim 5% est la matrice d'une 
symétrie vectorielle.
'ÏL-> OO

EXERCICE 2.

PRELIMINAIRES

1 £ ln(n).

TL
1. D' t : -- ...
emon rer que };) 27EUR + 1 n_>+oe 2

On pourra admettre, dans tout le probléme et sans le démontrer, le résultat 
suivant valable lorsque n tend vers +oo :
'ÏL
k=1

ln(n)o

TL2

: ln(n) + o(ln(n))

?Y'll--'

2. Déterminer la nature de la série de terme général

Pour tout 95 E R, on pose :

f(OE) = \sin(ffi) \

1. 1.1 Donner une représentation graphique de f sur l'intervalle [--27r, 27r].

1.2 Déterminer les coefficients réels de Fourier de f.

2. Prouver :
2 cos( ()2noe
V E R, ' : _ _ _
oe \s1n(oe) \ 7r îâ_ 4--n2 _ 1
3 En déduire la somme de la série Z #
. 4712 -- 1
7121
4. Montrer :
. sin2
VOEER, \s1n(oe)\= -- îâ_ 4--nn2(--1)

5. Pour tout entier naturel non nul m, on pose :

$

2 7T/2 °
_ / \s1n(moe) \ d
0

sin(oe)
5.1 Justifier l'existence de p....

5.2 Soit n E N.

Prouver : Vac E R, (Ë( sin( ((2/@ + 1) ))) >< sin(oe )-- -- sin2 (... + 1)oe).

1 1 1
1 + ä + 5 + + ñ
5.3 Démontrer que : Vm E N*, la série Z 4 2 1 nm _ est convergente.
7121 TL _
5.4 En déduire que :
1 +-- 1 +-- 1 +. .+ --1
16 +00 _
VmEN*, Pm=-- 3 5 271771 1
7T2 4712 -- 1
n=1
. 1 1
6. 6.1 So1tg:oe&-->g(oe)= _ ----.
s1n(oe) oe
Montrer que g se prolonge en une application continue sur {D, %l
6.2 On note alors pour tout m entier naturel non nul :
2 7T/2 2 7T/2 .
oz... : -- / \sin(moe)\g(oe) dac et 6... = -- / M
TF 0 TF 0 $

Exprimer p... a l'aide de oz... et fi....

Tournez la page S.V.P.

u ' t
7. Soient, pour u > O, G(u) :] M dt.

("+1)" sin t
t dtetpournEURN*,vn=/ @
0

'ïL7T t

7.1 Vérifier que la fonction G est bien définie sur Ri.

m7r
7.2 Trouver une relation entre G (Î) et S... pour m E N*.

u
7.3 Soit N la partie entière de -- ; vérifier que l'on a, pour u assez grand :
7r

N--1
" t u t
G(u)--/ Sln()dt+Zvn--i--/ ls1n()ld
0 TL=1 N7T
7.4 En déduire la double inégalité :
N--1 . N
2 1 77 t 1
-- \/ s...<)dt+_ --
7T n=1 n + 1 0 t 77 n_1 n

7.5 Déterminer alors un équivalent de G(u) lorsque u tend vers +00.

8. En déduire un équivalent simple de p... lorsque m tend vers l'infini.

EXERCICE 3.

Dans tout l'exercice7 n désigne un entier naturel supérieur ou égal a 2.

PRÉLIMINAIRES

1. Soit f une application de classe C" définie sur R et a valeurs réelles.

(a) Justifier :

n--1 (k) 33 _ n--
W en, f(oe) : 2 f k'(0) oe""+/ %th)dt
k=0 . 0 .

(b) Prouver alors :

n--1 (lc) n 1
Vac EUR R, f(oe) : 2 f k'(0) 951EUR + à / (1 -- t)"_1 f<")(oet)dt
k=0 . . 0

2. Soient u et @ deux fonctions continues sur R et a valeurs réelles.

Prouver que :
Vac E R, / u(oe -- t) v(t) dt :] u(t) v(oe -- t) dt
0 0
3. Soient :

ca,b,cetddesréelstelsque:a< [c, d] dans R, de classe C1 en la 
première variable.

3.1 Montrer que l'application H définie sur K par :
y
H<æ. y) = / f<æ.t> dt
C
possède des dérivées partielles par rapport a 95 et a y que l'on déterminera.

3.2 Soit G une application de [a, b] dans [c, d] de classe Cl.

Montrer en utilisant la question précédente que l'application F définie sur [a, 
b] par :

G(oe)
F(oe) :] f(oe,t)dt
est dérivable et admet pour dérivée :

G(oe)
F'(oe) : f(oe,G(oe)) >< G'(oe) +/ â--ï(oe,t) dt

C

PARTOE11

Soient 90 une fonction continue sur R a valeurs dans R et ao, a1, ..., an_1 des 
réels fixés.

On considère l'équation différentielle :

(El) y...) = 90
y
y/
1. Soit X = _ . Déterminer une matrice A E Æn(R) telle que :
y(n_1)

()

X'=AX+B Où B= '

0

2. Justifier que l'équation (El) admet une unique solution h vérifiant :

Vk EUR [[0,n -- 1]], h(0) = 1

et g la fonction définie sur R par :
g<æ> = / s<æ--Wdt = / 8(t)w(æ--t)dt
0 0

2. Soit fil la primitive de $ qui s'annu1e en 0.

Montrer que :
Vac E R, g(oe) :] s'(oe -- t)w1(t) dt
0

3. En utilisant les préliminaires, démontrer que g est dérivab1e et que :
OE
Vac E R, g'(oe) :] s"(oe -- t) w1(t) dt
0

4. En déduire que :
Vac E R, g'(oe) :] 3'(oe -- t)zfl(t) dt
0

5. On admet alors que : w. EUR [[1,n -- 1]], w EUR R, g(oe) :] 3(k)(oe -- 
16) W) dt.
0

Prouver que :

v.æ EUR R, g(oe) : u(oe) + /. 3(")(oe -- 16) W) dt

0

6. En déduire que g est solution de (Eg).

7. Retrouver alors le résultat obtenu a la partie 1.

APPLICATION

Soit l'équation différentielle :
(Es) y" + y = 04

7r--oe si oeEUR [0,7r]
où oz est la fonction définie sur R par : a(oe) : 71" + 95 si 95 EUR [--7r, O]
0 sinon
1. Donner une représentation graphique de la fonction 04 sur R.

2. En utilisant les résultats précédents, déterminer une solution particulière 
de (E3).

On donnera les expressions de cette solution sur chacun des intervalles ] -- 
oo, --7r[, ] -- 71", 0 [, ]0, 7r [ et ]7T, +oo[.

3. Déterminer l'ensemble des solutions de (E3).

FIN DE L'ÉPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths B PSI 2014 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Yvon Vignaud (Professeur en CPGE) ; il a été relu par
Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Nicolas Martin (ENS 
Lyon).

Ce sujet est composé de trois exercices indépendants. Bien que de nombreuses
questions soient des applications directes du cours, il comporte quelques 
questions
difficiles d'un point de vue théorique ou technique et couvre des notions très 
diverses du programme de deuxième année : réduction de matrices, intégrales 
impropres
convergentes, intégrales à paramètre, séries numériques, séries de Fourier, 
séries de
fonctions, fonctions de plusieurs variables, équations différentielles 
linéaires.
· Dans le premier exercice, on calcule l'exponentielle M d'une matrice carrée
d'ordre 3, avant de déterminer à quelle condition M2 représente une symétrie 
vectorielle.
· Dans le deuxième exercice, on commence par développer en série de Fourier la
fonction x 7 |sin(x)|. Ce développement permet ensuite d'écrire
Z
2 /2 |sin(mx)|
m =
dx
 0
sin x
comme la somme d'une série numérique. Enfin, on obtient un équivalent de m
à l'aide d'un encadrement par des sommes partielles de séries numériques, sur
le principe de la comparaison entre séries et intégrales. Le fait que les séries
manipulées dépendent d'un paramètre m ne change pas les méthodes mais peut
représenter une difficulté en soi.
· Le troisième exercice s'intéresse aux équations différentielles linéaires 
scalaires
d'ordre n. On établit d'abord trois formules utiles pour la suite : la formule
de Taylor-Lagrange avec reste intégral, une formule de convolution, puis une
formule de dérivation pour une fonction de la forme
Z G(x)
F(x) =
f (x, t) dt
c

Après ces préliminaires, on obtient à l'issue de la première partie une 
expression
des solutions de l'équation y (n) = . Dans la deuxième partie, on trouve une
solution particulière
Z x
g : x 7
s(x - t)(t) dt
0

de l'équation

y (n) + c1 y (n-1) + . . . + cn y = 

à partir d'une solution s de l'équation homogène associée. Enfin, l'exercice se
termine par une application de la deuxième partie à la résolution explicite de
l'équation différentielle y  + y =  avec  une fonction triangle.

Indications
Exercice 1
2
3
4
6
9

Factoriser le polynôme caractéristique de A.
Discuter selon la parité de k.
Montrer que (I3 , A, A2 ) est une base de F.
Déterminer les limites des composantes de Sn .
Remarquer que M4 est une rotation.
Exercice 2

P.1
P.2
1.2
2
3
4
5.1
5.2
5.4

2n+1
P 1
Séparer les contributions pour k pair ou impair dans
.
k=0 k
Utiliser le critère de Riemann.
Linéariser les fonctions trigonométriques.
Exploiter le théorème de convergence normale des séries de Fourier.
Appliquer le résultat de la question 2 en x = 0.
Utiliser cos(2a) = 1 - 2 sin2 (a) ainsi que les questions 2 et 3.
Montrer que l'intégrande se prolonge par continuité.
Obtenir une somme télescopique via 2 sin a sin b = cos(a - b) - cos(a + b).
P
Utiliser le théorème d'intégration terme à terme à la série de fonctions un où

un : x 7-

sin2 (mnx)
8
(4n2 - 1)
sin x

6.1 Déterminer un équivalent de sin x - x lorsque x tend vers 0.
7.3 Appliquer la relation de Chasles.
7.4 Encadrer vn entre 2/(n + 1) et 2/n.
Exercice 3
P.1.b Utiliser un changement de variables affine.
P.3.1 Pour la dérivée partielle selon x, appliquer le théorème de dérivabilité 
sous
le signe intégrale ; on utilisera notamment l'hypothèse « f de classe C 1 par
rapport à x » qui signifie ici
f
(x, t) est continue sur K = [ a ; b ] × [ c ; d ]
x
Dériver une composée de fonctions de plusieurs variables.
Intégrer par parties.
Appliquer la formule de dérivation de la question P.3.2.
Intégrer par parties à nouveau.
Appliquer les résultats de la question II.6 avec ck = 0 et  =  pour obtenir
la solution particulière
Z x
(x - t)n-1
g : x 7
(t) dt
(n - 1)!
0
(x, t) 7

P.3.2
II.2
II.3
II.4
II.7

Conclure à l'aide de la formule de Taylor en 0 pour les polynômes.
A.2 Appliquer les résultats de la partie II à n = 2,  = , c1 = 0 et c2 = 1.

Exercice 1
Exo1-1 On suppose que K = R ou K = C. On dispose alors du
Théorème de Cayley-Hamilton : Soit n  N , alors le polynôme caractéristique M
d'une matrice carrée M  Mn (K) est un polynôme annulateur de M.
Calculons le polynôme caractéristique A de la matrice A en remarquant qu'elle 
est
diagonale par blocs :
X 1
A (X) = det(XI3 - A) = -1 X
0
0

0
X 1
0 =X·
= X(X2 + 1) = X3 + X
-1 X
X

X3 + X est un polynôme annulateur non nul de A.

Ainsi,

Rappelons qu'un polynôme P est annulateur d'une matrice carrée M
lorsque P(M) = 0. Ainsi, le résultat de cette question garantit A3 + A = 0,
ce que l'on peut vérifier facilement en calculant A3 .
Par ailleurs, on a cité la version matricielle du théorème de CayleyHamilton. 
De même, si E est un C-espace vectoriel de dimension finie et
si u  L(E), alors le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur 
de u.
Exo1-2 Le polynôme X2 + 1 étant un facteur irréductible dans R[X] du polynôme
caractéristique de A, ce dernier n'est pas scindé sur R. Ceci impose que A 
n'est pas
trigonalisable dans E = M3 (R) ; a fortiori,
A n'est pas diagonalisable dans E.
En revanche,

A (X) = X(X2 + 1) = X(X - i)(X + i)

est scindé à racines simples dans C et par suite
A est diagonalisable dans M3 (C) et sp A = {i, -i, 0}.
On rappelle que toute matrice carrée (complexe ou réelle) d'ordre n est 
trigonalisable dans Mn (C) puisque d'une part son polynôme caractéristique est
scindé sur C (théorème de d'Alembert-Gauss) et que d'autre part on dispose
de l'équivalence :
A scindé sur K  A trigonalisable dans Mn (K)
Pour la diagonalisabilité, on a l'implication
A scindé à racines simples sur K = A diagonalisable dans Mn (K)
mais la réciproque est fausse en général. Signalons enfin une caractérisation 
de diagonalisabilité par les polynômes annulateurs : A est diagonalisable
dans Mn (K) si et seulement si elle possède un polynôme annulateur scindé
à racines simples sur K.

Exo1-3 D'après la question 2, la matrice A est diagonalisable dans M3 (C) et
sp A = {i, -i, 0}. En conséquence, on peut écrire

i 0 0
A = PDP-1 où D = 0 -i 0 et P  GL3 (C)
0 0 0
k
puis pour tout entier naturel k, on a Ak = PDP-1 = PDk P-1 . Pour calculer les
puissances impaires de D et donc de A, on peut remarquer que
 2p+1

i
0
0
(-1)p i
0
0
(-i)2p+1
0 = 0
(-1)p (-i) 0 = (-1)p D
D2p+1 =  0
2p+1
0
0
0
0
0
0
de sorte que pour tout p  N,
A2p+1 = PD2p+1 P-1 = P[(-1)p D]P-1 = (-1)p PDP-1 = (-1)p A
En multipliant par A, on en déduit les puissances paires de A :

-1 0
p  N
A2p+2 = Ap+1 A = (-1)p A2 où A2 =  0 -1
0
0

d'où

I

 3
Ak = (-1)p A

(-1)p A2

0
0
0

si k = 0
si k = 2p + 1, p  N
si k = 2p + 2, p  N

Exo1-4 D'après les calculs menés à la question 3, les valeurs prises par (Ak )kN
sont I3 , A, A2 , -A, -A2 . Mais alors
F = Vect (Ak , k  N) = Vect (I3 , A, A2 , -A, -A2 ) = Vect (I3 , A, A2 )
Autrement dit, la famille B = (I3 , A, A2 ) est génératrice de F. En 
conséquence,
F = Vect (Ak , k  N) est de dimension finie.
Montrons que B est libre. De l'expression de A2 obtenue en répondant à la 
question 3,
il vient que pour tout (, , )  R3 ,

-
-
0
 -  0 = 0
I3 + A + A2 = 0 = 
0
0

ce qui implique que  = 0 puis  =  = 0. Ainsi, (I3 , A, A2 ) est une famille 
libre de F
et par suite
La famille B = (I3 , A, A2 ) est une base de F = Vect (Ak , k  N).

Généralisons ce résultat à une matrice carrée A  Mn (K) quelconque possédant un 
polynôme annulateur P  K[X] de degré p  N et montrons que
F = Vect (Ak , k  N) = Vect (In , A, . . . , Ap-1 )

()