E3A Maths B PSI 2011

Thème de l'épreuve Équation fonctionnnelle polynomiale. Strophoïde. Somme d'une série de fonctions.
Principaux outils utilisés polynômes, courbes paramétrées, convergence normale, intégrales à paramètre

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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Rapport du jury

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e :s a
CONCOURS ARTS ET MÉTIERS ParisTech - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

Durée 4 b

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des*initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice I

Soit C[X ] l'ensemble des polynômes à coefficients complexes. Dans tout cet 
exercice, on
identifie les éléments de C[X ] et leurs fonctions polynomiales associées. Soit 
P E C[X ] un
polynôme non nul vérifiant la relation

(*) P(X2 -- 1) = P(X - 1)P(X + 1)
(1) Montrer que, si a est une racine de P alors (a + 1)2 ---- 1 et (a -- l)2 -- 
1 sont aussi
des racines de P.

(2) Soit ao E C.. On définit la suite de nombres complexes (an)n_>_o en posant, 
pour
tout n 2 O, an+1 : a,2, + 2a,, .

(a) Vérifier que, lorsque ao est une racine de P, pour tout entier naturel n, le
nombre complexe an est une racine de P.

(b) Montrer que, lorsque ao est un réel strictement positif, la suite (%)n20 est
une suite strictement croissante de réels strictement positifs.

(0) En déduire que P n'admet pas de racine réelle strictement positive.
(cl) Montrer que --1 n'est pas racine de P.
(e) Montrer que, pour tout n EUR N, on a an + 1 : (ao + 1)2n.

(3) Déduire des questions précédentes que, si a est une racine complexe de P, 
alors
|a + 1|- --- 1. On admettra que l'on a aussi la ---- 1|-- - 1.

(4) Montrer que si le degré de P est strictement supérieur à 0 alors P a pour 
unique
racine O.

(5) Déterminer alors tous les polynômes P E C[X ] qui vérifient la relation (*).

Exercice II

fl--1

fl+1'

Dans le plan muni d'un repère orthonormé (0, fi, 3"), soit C la courbe 
paramétrée définie

Soit ça la fonction définie sur IR par .
tEUR[--a,a]

(b) Montrer que les séries de fonctions de terme général un et uÇ,J convergent
uniformément sur [--a, a].

On admettra qu'il en est de même pour les séries de fonctions de terme général 
'Un
et ok.

+00 +00
(3) On pose F = no + Zun + 21}...
n=1 n=1

(a) Démontrer que F est de classe C'1 sur R. Ecrire l'énoncé précis du théorème
utilisé.
(b) Démontrer que F est paire.

(0) Démontrer que F est 2n--périodique.

Partie B

(1) Montrer que , pour tout entier naturel k,

/WF(æ)co (k )dæ-- 7rcos(kas)dæ_'_Ë--Î/7r cos(kæ) dæ+Î/W cos(koe) da:
0 S 56 _ 0 1+ac2 n=1 0 1+(11:+2n7r)2 n=1 0 1+(a:----2n7r)2

En déduire les coefficients de Fourier réels de la fonction F.

(2) Démontrer que, pour tout réel t, on a :

+oo
F(t) : %) + 2 ok cos (kt)
k=1

où l'on précisera l'expression des réels ak.
cos (as)

1 + 2 ds est convergente.
3

+00
(3) (a) Montrer que, pour tout réel &, l'intégrale ]
0

2 +°° k
(b) Montrer que ak : ; /0 CÏS+( sî> ds.

On pourra utiliser les changements de variables s = a: + 2n7r et r : 2n7r -- x.

Partie C

+oo
Soit @ la fonction définie sur [O, +oo[ par çb(oe) : / COS (333)
0

1 + 32
( 1) Montrer que qô est continue et bornée sur [O, +00[ et calculer çb(0)1

ds.

(2) (a) Montrer que pour tout réel a: strictement positif, on a :

(b) En déduire que la fonction 45 est dérivable sur ]0, +00[ et que l'on a

1 +00 t
Va: > O, cb'(æ) : ;c/>(æ) -- 2OE2/0 G%dt.

(0) Montrer alors que

Va: > o, q5'(oe) : ï@(æ) _ Ê /... ÊÊS--(Ë)--ds.
()

(a) Montrer que gb est dérivable sur ]0, +00[ et, à l'aide d'une intégration par
parties, que l'on a

Vw > O, W(æ) : æçb(oe).

(b) En déduire que (b est deux fois dérivable sur ]0, +00[ et vérifie l'équation
différentielle :
Væ > 0, @"<æ> = <æ>.

(4) Déterminer alors ak pour tout k EUR N .
(5) En déduire que, pour tout réel t, on a :
1 -- e"2

F") = m

FIN DE L'EPREUVE

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths B PSI 2011 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Céline Chevalier (Enseignant-chercheur à 
l'université) ;
il a été relu par Nicolas Weiss (Professeur agrégé) et Benoît Chevalier (ENS 
Ulm).

Ce sujet est composé de trois exercices indépendants sur des sujets divers :
· Le premier exercice est le plus facile : on y cherche des polynômes de C[X]
vérifiant une certaine relation. Les théorèmes usuels sont mis en oeuvre, mais
les questions ne présentent aucune difficulté particulière.
· Le deuxième exercice étudie exhaustivement une courbe paramétrée. La première 
partie demande une bonne connaissance du cours afin d'aboutir au tracé
de la courbe et de ses éléments caractéristiques. La deuxième partie, plus 
originale, définit une opération sur les points de la courbe, et requiert une 
certaine
aisance dans les calculs.
· Enfin, le troisième exercice, plus classique, traite de suites et séries de 
fonctions
ainsi que de séries de Fourier. Il requiert une bonne connaissance des théorèmes
habituels (les énoncés précis sont demandés dans certaines questions) et des
hypothèses nécessaires à leur application.
Finalement, ce sujet donne l'occasion de s'exercer sur trois sujets variés et 
classiques : les polynômes, les courbes paramétrées et les séries de fonctions. 
Il permettait
aux examinateurs de s'assurer que le cours est bien maîtrisé et que les calculs 
ne
posent pas de problème.

Indications
Exercice I
I.2.c Utiliser la suite (an ) définie au début de la question pour trouver une 
infinité
de racines au polynôme P.
I.3 Raisonner comme à la question I.2.c en considérant les modules des racines 
an .
I.5 Un tel polynôme n'admet que 0 comme racine.
Exercice II
II.A.1 Que vaut le point M(-t) par rapport au point M(t) ?
II.A.2 Un point double est un point qui s'écrit M(t1 ) = M(t2 ) avec t1 6= t2 .
Un point stationnaire M(t) vérifie x (t) = y  (t) = 0. Pour les branches
infinies, examiner les limites de x et de y quand t tend vers +
- .
II.A.3 Dresser le tableau de variation de x et de y.
II.B.1.a Le déterminant est une forme multilinéaire alternée, on peut donc 
effectuer
des opérations sur les lignes sans changer sa valeur.
II.B.1.b Factoriser les lignes et les colonnes par les éléments apparaissant 
dans le
résultat et soustraire ensuite la deuxième colonne à la première.
- ----
II.B.2.a Le point M(t) appartient à (AB) si et seulement si les vecteurs AB et 
AM(t)
sont colinéaires. Exprimer cette condition grâce au déterminant calculé
précédemment.
----
II.B.2.b Le point M(t) appartient à cette tangente si et seulement si AM(t) et 
le
vecteur de coordonnées (x (a), y  (a)) sont colinéaires. Ceci s'exprime à 
nouveau à l'aide d'un déterminant.
II.B.3 Montrer que F est le point A  A.
Exercice III
III.A.2.a Dresser le tableau de variation de un et s'arranger pour que le point 
annulant la dérivée se trouve en dehors de [ -a ; a ].
III.A.3.a Il s'agit du théorème de dérivation des séries de fonctions.
III.B.1 Il suffit d'intervertir, en le justifiant, somme et intégrale dans le 
calcul.
III.C.1 Utiliser le théorème de continuité des intégrales à paramètre.
III.C.3.b Exploiter conjointement les questions III.C.2.c et III.C.3.a .
III.C.4 Résoudre l'équation différentielle établie à la question précédente.
III.C.5 Remarquer que la somme en jeu dans l'expression de la question III.B.2 
est
la partie réelle d'une autre somme facile à calculer.

Les conseils du jury
Bien que toutes les questions du sujet aient été abordées par certains 
candidats, le jury remarque « sans surprise » que « celles relevant de la 
géométrie
ont été les plus délaissées » et trouve cela « tout à fait regrettable ». Il 
avertit
qu'« à l'avenir des exercices de géométrie continueront à être posés ».
En outre, le jury encourage l'attitude des élèves qui essaient « d'aborder
les exercices dans leur globalité » et déplore que d'autres cherchent seulement
à « grappiller des points sur les questions simples » sans même tenter de
résoudre les plus délicates. Il a également été surpris par « l'hétérogénéité de
certaines copies », qui mélangent affirmations absurdes (et fausses) et bonnes
applications de théorèmes sophistiqués, soulignant la nécessité d'« 
approfond[ir] les notions fondamentales de base ».
Rappelons enfin des évidences souvent ignorées : « un correcteur ne corrige que 
ce qu'il arrive à lire », donc une copie « mal soignée » ou « pleine
de fautes » peut être sanctionnée ; certaines abbréviations sont locales à une
classe donc « l'usage de sigles est à proscrire ; TGSCV, CVS, CV, CNTS...
ne seront plus acceptés » ; « une bonne connaissance du cours permet d'obtenir 
un bon nombre de points », il est donc nécessaire de « citer/vérifier
que toutes les hypothèses soient satisfaites avant d'appliquer un résultat du
cours » et de « justif[ier] avec rigueur tout résultat énoncé ».

Exercice I
I.1 Soit a une racine de P. La relation () appliquée d'une part en X = a - 1 et
d'autre part en X = a + 1 donne
P((a - 1)2 - 1) = P(a - 2)P(a) = 0
P((a + 1)2 - 1) = P(a)P(a + 2) = 0

et
d'où

Si a est une racine de P, (a - 1)2 - 1 et (a + 1)2 - 1 le sont aussi.

I.2.a Soit a0 une racine de P. Montrons, par récurrence sur n  N, que la 
propriété
P(n) :

« an est une racine de P. »

est vraie pour tout n > 0.
· P(0) est vraie par hypothèse.
· P(n) = P(n + 1) : d'après le résultat de la question précédente, puisque an
est racine de P, an+1 = an 2 + 2an = (an + 1)2 - 1 est également racine de P.
· Conclusion :

Pour tout n  N, an est une racine de P.

I.2.b Soit a0 un réel strictement positif. Montrons, par récurrence sur n  N,
que la propriété suivante est vraie pour tout n > 0 :
P(n) : « an+1 > an > 0 »
· P(0) : comme a0 > 0, a1 = a0 2 + 2a0 > a0 > 0.
· P(n) = P(n + 1) : puisque an > 0, an+1 = an 2 + 2an > an > 0.
· Conclusion :

Si a0 > 0, alors (an )n>0 est une suite strictement croissante de réels 
strictement positifs.

Pour chacune de ces deux questions, une récurrence immédiate aurait
suffi. Mais c'est le début du corrigé, et votre correcteur sera plus enclin
à vous pardonner des imprécisions plus loin si le début de votre rédaction
est irréprochable... Le rapport du jury signale en effet que ce premier 
exercice « permettait notamment d'évaluer les candidats maîtrisant des 
raisonnements classiques : analyse-synthèse, par l'absurde, récurrence » et 
rappelle
que « "la suite (un ) est croissante" n'est pas une hypothèse de récurrence ».
En outre, remarquons que les deux propriétés à démontrer dans ces
questions sont indépendantes, et elles vont même s'exclure mutuellement à
la question I.2.c . Il est donc logique que l'auteur du sujet ait séparé ces
deux points.
I.2.c Raisonnons par l'absurde en supposant que P possède une racine a0 
strictement positive. Dans cette hypothèse, tous les réels an de la suite 
définie au début de
cette question seraient des racines de P (d'après le résultat de la question 
I.2.a), et ils
seraient distincts puisque cette suite est strictement croissante (d'après le 
résultat de
la question I.2.b). Ainsi, P admettrait une infinité de racines distinctes, 
donc il serait
égal au polynôme nul, ce qui est contraire à l'hypothèse de l'énoncé. Par suite,
Le polynôme P n'admet pas de racine strictement positive.
Il ne faut pas oublier dans cette question d'exhiber une infinité de racines
distinctes. Cette propriété est ici assurée par le caractère strictement 
croissant
de la suite construite.
I.2.d Raisonnons par l'absurde en supposant que -1 est racine de P. Alors le
résultat de la question I.1 assure que ((-1) - 1)2 - 1 = 3 serait une racine de 
P,
ce qui est impossible d'après la conclusion de la question précédente. Par 
conséquent,
-1 n'est pas racine de P.
I.2.e Montrons, par récurrence sur n  N, que la propriété
P(n) :

n

« an + 1 = (a0 + 1)2 »

est vraie pour tout n > 0.
0

· P(0) : (a0 + 1)2 = a0 + 1
n+1

· P(n) = P(n + 1) : an+1 + 1 = an 2 + 2an + 1 = (an + 1)2 = (a0 + 1)2
d'après l'hypothèse de récurrence.
· Conclusion :

n  N

n

an + 1 = (a0 + 1)2

I.3 Soit a une racine complexe de P. Définissons la suite (an )n>0 comme à la 
question précédente en posant a0 = a. D'après le résultat de la question I.2.a 
, les complexes an sont tous racines de P.
n

· Si |a + 1| > 1, alors la suite (bn )n>0 des modules bn = |an + 1| = |a0 + 1|2
serait strictement croissante, et P admettrait une infinité de racines 
distinctes,
ce qui est impossible puisqu'il est non nul.