e3a Maths B PSI 2009

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CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE "

Épreuve de Mathématiques B PSI
Durée 4 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

Exercice 1

On considère une matrice carrée A d'ordre 4 à coefficients réels. On suppose 
que le rang de A
est égal à 3, que la somme des coefficients de chaque ligne de A est égale à 1, 
que -- l est '
valeur propre double de A.

l° Prouver que 0 est valeur propre de A.

2° Prouver que l est valeur propre de A.

3° Déterminer le polynôme caractéristique noté P A (X ) de la matrice A.
4° Pour k entier naturel , k 2 4 , déterminer le reste, noté Rk (X) , de la 
division euclidienne de

kaar PA(X).

5° Pour k ent1er naturel , k ?. 4 , demontrer que Ak est combma1son lmea1re de 
A , A , A3 et
déterminer cette combinaison linéaire.

Exercice 2

Soit on et B deux réels, avec ou < B . Soit a et 19 deux applications de [a,B] vers R, continues sur [a,B ]. On note (E ) l'équation différentielle suivante : y"(ï) +a(î)y'(î) + l7(!)y(l') = 0- Dans cet exercice on appelle solution de (E ) toute application de [oc,B] vers R de classe C2 vérifiant (E) sur [a,[3]. , Soitf une solution de ( E ) sur [a,B ]. On suppose que f admet une infinité de zéros dans [oc,B ]. Le but de l'exercice est d'établir que f est l'application nulle sur [a,B ]. Pour cela on considère une suite (x,, ) 1120 de zéros de f , deux à deux distincts, appartenant à [(X 9 B ]° 1° Dans cette question on suppose que la suite (x,, ) nZO converge vers un réel x. a) Prouver que x appartient à [oc,B ]. En déduire que f(x) = 0 . b) Montrer que pour tout entier naturel n, il existe au moins un zéro de f ' , noté y,, , strictement compris entre x,, et x,, H . c) Calculer f(x). d) Conclure. 2° Prouver que f est aussi l'application nulle sur [a,B] lorsque la suite (x,, ) 1120 n'est pas convergente. 3° Prouver à l'aide d'un contre--exemple que le résultat établi dans cet exercice est faux si l'on remplace [a.B] par R. Exercice 3 R est l'ensemble des nombres réels et n et no sont des entiers naturels. Cet exercice comporte deux parties. Dans la première partie, on établit un résultat général appelé : Règle de Raabe-Duhamel. Dans la deuxième partie on applique, sans omettre les justifications nécessaires, ce résultat à l'étude de plusieurs séries particulières. Soit (on,, ) ,, une suite réelle. On rappelle que la relation on,, : 0(-1--) signifie que lim n on,, : O. " n---->+oo

Partie A : Règle de Raabe-Duhamel.
Soit (un ) n2 ,.,0 une suite de réels strictement positifs telle qu'il existe 
un réel k vérifiant :

Vn2n0 , u"+1=1-- À+o(l).
u n n

ïl

l° Prouver que si X < 0 , alors la série Zun diverge. . , u v 1 . 2° Smt B un reel quelconque et v,, =------. Montrer que : "+] -- "" =--E +0(----] ou u est nB u V 71 ïl ïl ïl un réel, indépendant de n, à déterminer. 3° On suppose que l > 1. On se propose de démontrer que la série Zun converge.

On choisit [3 tel que: À>B>1.

un+l £ vn+l .

un vn

a) Justifier l'existence d'un entier naturel N tel que, pour n 2 N , on ait :

b) Déterminer un réel positif K, indépendant de 11, tel que pour n 2 N , on ait 
: un 5 K v,1 .
c) Prouver que la série Zun converge.
4° On suppose que 0 $ À < 1 . Démontrer par un raisonnement analogue à celui fait à la question précédente que la série Zun diverge ( on choisira B de manière à ce que la série Zvn diverge et que ceci implique la divergence de la série Zu" ). 1 1 5° Pour n22,onposez xn =---- et y,, :_Î' n n (ln n) Déterminer la nature des séries an et 2 y,, et en déduire que le cas X = 1 est un cas douteux de la Règle de Raabe-Duhamel. Partie B Les trois questions qui suivent sont indépendantes les unes des autres et sont des applications directes ou partielles de la Règle de Raabe-Duhamel. n--l _ . 1 . . , . 1° Pour n 2 2 , on pose W,, = \/(n -- 1)! | | sm(--ÎI--Ç--]. Déterminer la nature de la senc Zw,, . k=1 +OO dt 0 (t4 + 1)" ' a) Montrer que cette intégrale généralisée converge. On note ],, sa valeur. b) Etablir que: I,, = 4n(ln --1,...) . c) En déduire la nature de la série 2 I,, . 2° Pour n 21 , on considère l'intégrale généralisée J 3° Soit ce un réel donné, n'appartenant pas à l'ensemble des entiers naturels. On pose : +oo ... et pourx réel) S(X) : Zafix" _ a0=l,pournZl,an= ' n. n=0 a) Indiquer (sans démonstration) le rayon de convergence R de la série entière Zanx" , et, pour x élément de ]-- R ,R[ , la valeur de S (x) . b) Utiliser la Règle de Raabe --Duhamel pour montrer que la série Zan est absolument convergente si et seulement si ou > 0 .

+oo
c) Montrer que si on > O , S est continue sur [-- R ,R] et établir que Za,, = 
2" et
n=O

(1) Montrer que si oc < --1 , la série Zan diverge. e) On suppose que : --1 < oc < 0. i) Prouver que : lim ln(| an l)= --oo. n-->+oo
ii) Montrer que la série Zan converge.

+00
iii) Calculer Za, .
n=O

Exercice 4

E est un espace euclidien de dimension n , n 21 . Le produit scalaire sur E est 
noté < | > .
(xk )lSkSp et ( yk )1S kg p sont deux familles de vecteurs de E telles que :
. . 2
V(z,]) EUR {l,2,....,p} , = .

Le but de cet exercice est d'établir la propriété (a?) suivante :
Il existe un automorphisme orthogonal f de E vérifiant :

Vk EUR {l,2,....,p}, f(xk) =yk.

p
Eli--xl-
i=l

sont linéairement indépendants dans E alors y, , y2 ,..., y p sont

----

l° Soit(M ,7t2 ,....,ÀP )un élément de Rp. Prouver que

p
zÂiyi '
z---l

En déduire que si xl ,x2 ,...,xp

aussi linéairement indépendants dans E.

2° Dans cette question, on suppose que x1,x2 ,..., x sont linéairement 
indépendants dans E et

p
que p = n . Etablir la propriété ((P).

3° Dans cette question, on suppose que xl , x2 ,...., x sont linéairement 
indépendants dans E et

;)
que p i n . On note F le sous espace vectoriel de E engendré par la famille (xk 
)'Sksp et G le

sous espace vectoriel de E engendré par la famille ( yk )15ks ,, . F i désigne 
le sous-espace de E

orthogonal à F , GJ" désigne le sous--espace de E orthogonal à G.

a) Just1fier l'1negal1te ]) < n ; prec1ser les d1mens1ons des sous espaces vector1els F, F , G, G-L . b) Donner une condition sur l'entier naturel q pour assurer l'existence d'une famille orthonormale (xk ) p+1_<_k5q de vecteurs de F i et d'une famille orthononnale (yk )p+lngq de vecteurs de Gi. Pour tout (i,j) élément de {l,2,....,q ?, comparer  et .

c) Etablir la propriété (?).

4O Dans cette question, on suppose que xl ,x2 ,...., x sont linéairement 
dépendants dans E.

p
Etablir la propriété (?).