E3A Maths B PSI 2007

Thème de l'épreuve Majoration des racines d'un polynôme et solutions périodiques d'une équation différentielle
Principaux outils utilisés polynômes, matrices, continuité, équations différentielles, groupes, séries de Fourier

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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YM28

CONCOURS ENSAM - ESTP - ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques B PSI

durée 4 heures

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une
part il le signale au chef de salle, d'autre part ille signale sur sa copie et 
poursuit sa composition
en indiquant les raisons des initiatives qu 'il est amené à prendre.

L'usage de la calcUlatrice est interdit

Exercice 1

C est l'ensemble des nombres complexes, R celui des nombres réels et n est un 
entier naturel,
n 2 2. Soient a1,a2,....,a ,, des éléments de C non tous nuls et P le polynôme 
de C[X]

défini par: P=X" +a1X"'l + +an_1X+an.

Dans tout cet exercice z désigne une racine dans C de P.

Le but de l'exercice est d'établir par deux méthodes différentes une majoration 
de |z| en

fonction des coefficients de P. Les deux parties qui suivent sont indépendantes.

Partie A Utilisation de méthodes algébriques.

On note E le C--espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients 
dans C. I,, est la
matrice identité de E.

On note F le C--espace vectoriel des matrices à n lignes et une colonne et à 
coefficients dans
C. PourX élément de F, on note xi l'élément de la i-ème ligne de X . '

Pour M élément de E, mÿ-- est le coefficient de M situé dans la i-ème ligne et 
la j--ème colonne
de M.

1° Soit M une matrice de E. On suppose que M n'est pas inversible.

a) Montrer qu'il existe X élément de F tel que : M X = O et max |xk | = ].
15k$n

&

ISan
j$i

b) En déduire qu'il existe i élément de {1,2,...,n} tel que lmii m --

l] .

1sij=i--l

2° Soit N la matrice de E définie par : nÿ-- : -- an+1_i sij : n.
0 sinon
0 0 0 _ 614
1 O 0 _ 613
Par exemple pour n = 4 , N =
O 1 () "'" 612
O O 1 _ al

Démontrer que, si  est un élément quelconque de C, det(N -- ÂI,,) = (--1)"P(À) 
.

3° Déduire des 2 questions précédentes que |z| S 1 + max lak | .

lSkSn
Partie B Utilisation de méthodes analytiques.
Soit Q le polynôme de R[X] défini par :Q = X" -- la1|X"--l -- -- { a,,_1 |X -- 
la,, |.
1° Soitg l'application de ]O,+oc[ vers R telle que: g(t) : -- l_'_î1_| --....-- 
lag:11 ! -- la": | .
t t

a) Montrer que g est strictement croissante sur ]O,+ oo [.

b) Prouver que Q admet une seule racine dans ]0, + oo[ ; cette racine sera 
notée to .
2° Soit a élément de ]O,+ oo[ tel que Q(a) Z O. Etudier le signe de Q(| z | ).
En déduire que |z | 5 to 5 a .

3° En appliquant le résultat de la question précédente pour une valeur de a 
judicieusement
choisie , retrouver l'inégalité établie à la question 3° Partie A et prouver 
qu'elle est stricte.

Exercice 2

R est l'ensemble des nombres réels, Z est l'ensemble des entiers relatifs et n 
un entier naturel.
Soit f une application continue de R vers R. On note (Ef) l'équation 
différentielle suivante :

y"(X) --- 2y'(x) + 2y(X) = f (X) .
Dans cet exercice on appelle solution de (Ef) toute application de R vers R de 
classe C2

vérifiant (Ef) sur R.

Le but de l'exercice est de déterminer le nombre de solutions périodiques de 
(Ef).

On rappelle qu'une application ça de R vers R est périodique si et seulement 
s'il existe T

élément de R* tel que : V x e R , ça(x + T) : ça(x) . On dit alors que ça est T 
-périodique ou
que T est une période de ça.

Partie A Dans cette partie on établit quelques propriétés des applications 
périodiques.
Soit ça une application T -périodique de R vers R.

1° Montrer que si ça est continue sur R alors ça est bomée sur R.
2° Montrer que si ça est dérivable sur R alors ça' est T -périodique.

3° On considère l'ensemble Pw suivant :P(p = {t E R, V x E R, ça(x + t) = ça(x) 
}.

Montrer que P? est un sous groupe de (R,+).

Partie B Etude des sous-groupes de (R,+).

Soit G un sous groupe de (R,+) non réduit à {O }.
1° Montrer que G (\ ]O,+ ce [n'est pas vide.

2° On pose a = inf(G (\ ]O,+ oo [).

a) On considère le cas où a > 0.
i) Montrer qu'alors a appartient à G ( on pourra faire un raisonnement par 
l'absurde, en

montrant que si que a n'appartient pas à G il existe des éléments tl et t2 de G 
tels que

a < t2 < tl < 2a et en déduire une contradiction) .
ii) Etablir l'égalité G = a Z.
b) On considère le cas où a = O. Prouver que G est dense dans R.

Partie C Etude du nombre de solutions périodiques de (Ef) dans trois cas 
simples.

1° Montrer que si (Ef) admet une solution T -périodique alors f est T- 
périodique.

Que peut-on conclure dans le cas où f n'est pas périodique ?
2° Résoudre l'équation différentielle (E 0 ) suivante : y"(x) -- 2 y'(x) + 2 
y(x) = O.

Prouver que la fonction nulle est la seule solution périodique de (E 0 ).
3° Résoudre l'équation différentielle (EC ) suivante : y"(x) -- 2 y '(x) + 2 
y(x) : cosx .

Prouver que (EC ) admet une seule solution périodique que l'on déterminera.

Partie D Dans cette partie on suppose que f est continue et de plus périodique.
On veut établir qu'alors (Ef) admet une seule solution périodique.

1° Dans cette question on prouve que (Ef) admet au moins une solution 
périodique.

a) Soit T une période de f et y une solution de (Ef). On considère 
l'application z de R vers
R définie par : z(x) = y(x + T ) .
i) Prouver que 2 est solution de (Ef).
ii) Montrer que y est T -périodique si et seulement si y(O) = y(T ) et y'(O) : 
y'(T ).

b) Démontrer que (Ef) admet une solution périodique.

2° Dans cette question on prouve que (Ef) admet une seule solution périodique.

a) Cas où Pf est dense dans R.

i) Montrer que f est constante (on pourra établir que : V x E R , f(x) = f (0) 
) .
ii) Conclure.

b) Cas où Pf : aZ avec a appartenant à Rî .
Soient y] et y2 des solutions périodiques de (EA, Tl une période de y] , T2 une 
période

dC y2 .
i) Prouver que T1 et T 2 sont des éléments de Pf .

ii) Montrer que y1 et y2 possèdent une période commune.

iii) En déduire que y] : yz (on utilisera la question 2° de la Partie C ).

Partie E Détermination de la solution périodique de (Ef) dans un cas 
particulier.

Les questions 1° et 2° qui suivent sont indépendantes du reste de l'exercice.

Dans cette partie f est l'application de R vers R, 272' - périodique, telle que 
:
V xe[--7z,7z], f(x)=x2.

1° Calculer les coefficients de Fourier réels def. Etudier la convergence de la 
série de Fourier
de f (préciser le mode de convergence de cette série et sa somme).

2° Pour n 2 1 , on considère l'application u,, de R vers R définie par :

4(-1)"

... ((2 -- n2 ) cos(nx) -- 2n sin(nx)).
n n

un (X) =
Montrer que la série de fonctions Zun converge simplement sur R. Soit S 
l'application de R

72_2

+oo
vers R définie par : S (x) = --6-- + Zu,, (x) . Montrer que S est de classe C2 
sur R.
n=l

3° Prouver que S est l'unique solution périodique de (Ef).

+oo
4° Pourx & [--7r,7r] calculer S(x) . Vérifier que : z

n=l

4(--1)"(2--n2)_ %" 1 "2
n2(n4+4) 8h75 2 6 '

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths B PSI 2007 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Sophie Rainero (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Jérôme Gärtner (ENS Cachan) et Chloé Mullaert (ENS Cachan).

Cette épreuve se compose de deux exercices indépendants. Le premier, plus court,
porte sur les polynômes, et le second sur les solutions périodiques d'une 
équation
différentielle.
· Dans le premier exercice, on considère le polynôme unitaire
n-1
P
P = Xn +
an-p Xp
p=0

de C[X] et on établit par deux méthodes différentes une majoration du module
d'une racine de P à l'aide des coefficients de P. La première méthode est 
algébrique et utilise le calcul du déterminant d'une matrice compagnon. L'autre,
analytique, introduit une fonction auxiliaire et fait appel au théorème des
valeurs intermédiaires.
· Le second exercice porte sur les solutions périodiques de l'équation 
différentielle
y  - 2 y  + 2 y = f (x)
où f est une fonction continue. Après avoir établi quelques propriétés 
élémentaires des fonctions périodiques, et en particulier démontré que 
l'ensemble des
périodes d'une fonction périodique est un sous-groupe de (R, +), on étudie la
structure des sous-groupes additifs de R. Puis on précise le nombre de solutions
périodiques de (Ef ) dans trois cas particuliers simples (second membre non
périodique, nul, égal à la fonction cosinus). La partie D est celle où l'on 
démontre
le résultat principal : (Ef ) admet une unique solution périodique lorsque la 
fonction f est continue et périodique. Enfin, la dernière partie propose de 
calculer
cette unique solution périodique dans un cas particulier en utilisant la théorie
des séries de Fourier.
Les deux exercices de ce sujet sont intéressants et touchent à de nombreuses 
parties des programmes de première et deuxième année. Ils sont tous les deux 
très guidés
et d'une difficulté raisonnable pour un candidat maîtrisant son cours. Les 
correcteurs
de cette épreuve regrettent cependant dans leur rapport une connaissance du 
cours
trop imprécise pour certains candidats et concluent sur « la possibilité 
d'inclure des
questions de cours ou des applications directes du cours dans les épreuves à 
venir ».

Indications
Exercice 1
A.1.b Choisir i tel que |xi | = Max |xk |.
16k6n

A.2 Essayer de faire apparaître -P() à l'aide d'opérations sur les lignes.
A.3 Appliquer le résultat de la question A.1 avec la matrice M = N - z In .
B.1.b Faire le lien entre les racines de Q sur ] 0 ; + [ et celles de g.
B.3 Poser  = 1 + Max |xk | et vérifier que Q() > 0 afin d'appliquer le résultat
16k6n

de la question B.2.
Exercice 2
B.2.a.i Utiliser deux fois de suite la caractérisation de la borne inférieure.
B.2.a.ii Procéder par double inclusion.
B.2.b On pourra établir la densité par caractérisation séquentielle en se 
servant de
la caractérisation de la borne inférieure.
C.1 Utiliser la question A.2.
C.2 Pour démontrer qu'une solution périodique est nécessairement nulle, penser
à la question 1 de la partie A.
C.3 Se servir de la question C.1.
D.1.a.ii Lorsque y(0) = y(T) et y  (0) = y  (T), appliquer le théorème de 
CauchyLipschitz pour démontrer que la fonction y - z est nulle et en déduire 
que y
est T-périodique.
D.1.b Penser à l'équivalence établie dans la question D.1.a.ii.
D.2.a.ii Utiliser la question C.2.
D.2.b.i Se servir de la question C.1.
D.2.b.ii Utiliser la question C.2.
E.3 Se souvenir du résultat de la partie D pour prouver l'unicité.
E.4 Résoudre (Ef ) sur [ - ;  ] afin d'obtenir une autre expression de la 
fonction S sur [ - ;  ]. Calculer S(0) de deux manières.

Exercice 1
A.

Utilisation de méthodes algébriques

A.1.a La matrice M n'étant pas inversible, il existe un élément Y de F non nul 
et
tel que M Y = 0. Comme Y n'est pas le vecteur nul, le réel
 = Max |yk |
16k6n

est strictement positif. Définissons le vecteur X = (1/) Y. Par linéarité, X 
vérifie
également M X = 0. De plus,
|yk |
yk
=

puisque  est strictement positif. Par conséquent,

1
Max |xk | =
Max |yk | = = 1
16k6n
 16k6n

k  [[ 1 ; n ]]

Ainsi,

X  F

|xk | =

M X = 0 et

Max |xk | = 1

16k6n

A.1.b Soit i un élément de [[ 1 ; n ]] tel que |xi | = Max |xk | = 1. Le 
vecteur M X
16k6n

est nul donc en particulier l'élément de la ie ligne de ce vecteur vaut 0, ce 
qui s'écrit
n
P
mij xj = 0
j=1

soit

mii xi = -

n
P

mij xj

j=1
j6=i

L'inégalité triangulaire permet alors d'obtenir
n
n
P
P
|mii | = |mii xi | = -
mij xj 6
|mij | |xj |
j=1
j6=i

Comme 1 = Max |xk |, il s'ensuit
16k6n

Alors

|mii | 6

j=1
j6=i

n
P

|mij |

j=1
j6=i

i  [[ 1 ; n ]]

|mii | 6

n
P

|mij |

j=1
j6=i

Ce résultat est un classique de l'écrit comme de l'oral, mais il est plus 
souvent
demandé sous sa forme contraposée : démontrer que si M est une matrice à
diagonale dominante, c'est-à-dire si
n
P
i  [[ 1 ; n ]]
|mii | >
|mij |
j=1
j6=i

alors M est inversible.

A.2 Soit  un nombre complexe fixé.
- 0
1
det(N -  In ) =

0
..
.
..
.
0

... ...
.
- . .
..
.. ..
.
.
.
..
.. ..
.
.
.

0
..
.
..
.

-an-1
..
.

0

-a3

0

1

-

-a2

...

0

1
n
P

-a1 - 

...

Notons Li la ie ligne de ce déterminant et ajoutons

-an

j-1 Lj à la première ligne.

j=2

Cette opération élémentaire ne change pas la valeur du déterminant, donc
n-1
P j
0 0 . . . . . . 0 -an -
 an-j+1 - (a1 - ) n-1
j=2

1
det(N -  In ) = 0
..
.
..
.
0
Or,

-
..
.
..

.

...

-an -

.

..

.

..
.
..
.

.

..

.

0

-a3

0

1

-

-a2

...

0

1

-a1 - 

..
..
..

n-1
P

.

-an-1
..
.

j an-j+1 - (a1 - ) n-1 = -P()

j=2

Il vient alors par développement par rapport à la première ligne
1
0

det(N -  In ) = (-1)1+n - P() ...
..
.
0
Finalement,

  C

-
..
.

0
..
.

..

..
..

.

...

0
..
.

.

...
..
.
..
.

.

1

-

...

0

1

0

= (-1)n P()

det(N -  In ) = (-1)n P()

Il s'agit ici d'un calcul très classique : celui du polynôme caractéristique
d'une matrice compagnon. Dans le rapport du concours, le jury se plaint
néanmoins que ce calcul soit « l'occasion de multiples approximations et
d'affirmations gratuites ».
Une autre méthode de calcul de ce polynôme caractéristique consiste
à effectuer une récurrence : en notant D(n) le déterminant à l'ordre n,
un développement par rapport à la première ligne donne la relation
D(n) = - D(n - 1) - (-1)n+1 an
-
-a2
= 2 + a1  + a2
1 -a1 - 
Une récurrence permet alors de retrouver le même résultat.
En outre,

D(2) =