E3A Maths A PSI 2012

Thème de l'épreuve Vrai/Faux sur les suites et les séries entières. Étude des suites (un)n∈N vérifiant un+p = un + a.
Principaux outils utilisés suites récurrentes d'ordre 2, séries entières, endomorphisme
Mots clefs suites, suites récurrentes d'ordre 2

Corrigé

(c'est payant, sauf le début): - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

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938

Concours ARTS ET MÉTIERS ParisTech - EST P -- ARCHIMEDE

Épreuve de Mathématiques A PSI

Durée 3 h

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur 
d'énoncé, d'une

part il le signale au chef de salle, d'autre part il le signale sur sa copie et 
poursuit sa
composition en indiquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

L'usage de calculatrices est interdit.

AVERTISSEMENT

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la 
clarté et la
précision des raisonnements entreront pour une part importante dans

l'appréciation des copies. En particulier, les résultats non encadrés et non 
justifiés
ne seront pas pris en compte.

QUESTIONS D'APPLICATIONS DU COURS

Parmi les affirmations suivantes indiquez sans justification (sauf à la 
question 2.d.) celles que vous jugez vraies et celles que

vous jugez fausses

Soient a et b deux réels. On note <Ê'a,b l'espace vectoriel des suites réelles 
qui vérifient la relation : Vn E N, un+z = aun+1 + b un.

a. Pour tous réels a et b, é"... contient au moins une suite géométrique non 
nulle.

b. Pour que é"... contienne deux suites géométriques linéairement 
indépendantes, il suffit que a = --3 et b = 4.
c. Pour que £a,b contienne deux suites géométriques linéairement indépendantes, 
il faut que a = --3 et b = 4.
d. é"a,b contient deux suites géométriques indépendantes lorsque a = 2 et b = 
--1.

e. La condition a2 + 4b ; 0 est une condition nécessaire pour qu'il existe dans 
é"a,b deux suites géométriques indépendantes.

a. L'application f : U G é"... l-----> (u......) E R2 est une application 
linéaire toujours surjective mais injective seulement si
2
a + 4b < 0.

b. La condition a # 0 est une condition suffisante pour que g : U EUR EUR... 
n--> (u... 11.2) E R2 soit un isomorphisme.

c. La dimension de 623, est égale à. deux seulement si a2 + 4b ; 0.

d. Donner en le justifiant soigneusement une base de l'espace vectoriel â'a'b 
dans le cas où a = --1 et b = --1.
Question 3.
nn
On considère la série entière ê an a;" où an = --'-- et on note R son rayon de 
convergence.
n.
7121
an+1

a. On a lim
n-->+oo a,n

= 1 et on en déduit que R = 1.

. a 1 , . , . .. . .
b. On a lim "+ > 1 et on en dedu1t que la serre ent1ere diverge pour toute 
valeur du reel ac.
n-->+oo an
1
c. On a R < --.
2
Question 4.
. ... , . ... n \ sin(n)
On cons1dere la serre ent1ere 2 an x ou an = et on note fr son rayon de 
convergence.
n

n>1
* 1
a.Ona:VnEURN,|an|<£etdonc,rgl.

b.Ona:r21.

c. Le rayon de convergence de la série entière Ê sin(n) svn--1 vaut 1 et donc, 
7" = 1.
7121

1
d.Ona:r2î

+00

1 1 sin(n) " _ x -- cos(l)
e. Pour toutæEUR]--ê,ë[, Z a; --arctan _ .

n=1 n sin(1)
+oo .
1 1 srn(n) .
f.PourtoutæEUR)--ê,--2--[, 2 n æ"=--ln|1--xe'l.
n=1
, 1 1 +°° sin(n) ,, 1 _ 2
g. PourtoutrEUR _ê'ä , Â n r =êln(1--2a, cos(1)+x ).

PROBLÈME

Dans tout le problème, E désigne l'espace vectoriel des suites réelles.
On pourra noter une suite U E E sous la forme : u = (no, u1,u2, . . . ,un, . . 
.) ou sous la forme u = (un).

Une suite u de E est dite périodique de période ;D E N* lorsqu'elle vérifie : 
Vn G N, un+p = un.

PARTIE A

Soit l'ensemble 5% = {u E E] Vn G N, un+z + u,, = 0}.

TF

1. Soient les deux suites À et u définies par : Vn E N, )... = cos ("2) et ,u,, 
= sin (11%)

1.1 Vérifier que A et n sont des éléments de .5"g.

1.2 Montrer que ces deux suites sont périodiques.
2. Montrer que 5% est un sous-espace vectoriel de E.
3. Donner une base de 5% et préciser sa dimension.
4. Soit U EUR 5% non nulle.

4.1 La suite 11 est-elle convergente?

4.2 La série En... de terme général 11... est--elle convergente?

+oo
4.3 Soit f la fonction de la variable réelle oe donnée par f (a:) = z u,, x"
n=0

Donner l'ensemble de définition de f et une expression de f (a:) a l'aide des 
fonctions usuelles et des termes ...) et ul.

PARTIE B

Soit .5" = {U E E | Ela E R, Vn G N, un+z + un = 2a}, c'est--à--dire l'ensemble 
des suites réelles n pour lesquelles

il existe une constante réelle et telle que pour tout entier naturel n, un+z + 
un : 2a

1. 1.1 On prend : Vn G N, U.,, = (--1)". Vérifier que n $ .5".
1.2 On prend : Vn G N, U" = (--1)E(n/2) où E(t) désigne la partie entière du 
réel t.
Vérifier que u EUR .5" et préciser la valeur du réel et correspondant.
1.3 On prend un = 5. Vérifier que 'a E .5" et préciser la valeur du réel a 
correspondant.
2. Vérifier que les suites constantes appartiennent a .5" .

3. Déterminer les suites géométriques appartenant à .5" .

4. Montrer que .5" est un sous-espace vectoriel de E.

5. A--t--on ÿCÿo ? ÿ0Cÿ?

6. Soit 

fi(") : uo ; u2. Montrer que ça est une forme linéaire sur .5" . Quel est son noyau? 7. Soit 11 EUR E définie par : Vn EUR N, v,, = 1; Montrer que .5" = Yo @ Vect(v) où Vect(v) est la droite vectorielle engendrée par la suite 1}. 8. Soit 11. EUR .5" . Déterminer alors pour tout entier naturel 71, une expression de un en fonction de 'n. 9. Montrer que tout élément u de .9" est une suite périodique de période 4. 10. Prouver que l'application 9 : u EUR Y |_) 0(u) = (ue, ..., @) EUR R3 est un isomorphisme d'espaces vectoriels. On note C = (I, J, K) la base de .5" obtenue comme image réciproque de la base canonique de R3 par 9 : 9(I) = (1,0,0), 9(J) = (0,1,0) et 9(K) : (O, O, 1) 11. Expliciter les cinq premiers termes de chacune des suites I, J et K. 12. Soient k EUR N* et T}, :u EUR E »--+ Tk(u) = w définie par : Vn EUR N, w., = w.... 12.1 Vérifier que T;, est un endomorphisme de E. 12.2 Le sous--espace .? est--il stable par T2 ? 12.3 Le sous--espace .? est-il stable par T 3 ? 12.4 Ecrire la matrice, dans la base C obtenue à la Question 10., de l'endomorphisme 7'3 induit par T3 sur .5" . 12.5 L'endomorphisme 73 de .? est-il diagonalisable ? 12.6 Reconnaître alors la nature géométrique de 73. 13. Soient u EUR .5" et h la fonction de la variable réelle :c donnée par Mr) = 2 un a:". n=0 Exprimer h(oe) à l'aide des fonctions usuelles pour 55 EUR] -- 1, 1[. Etudier les prolongements possibles en --1 et 1. PARTIE C Soient p EUR N, 1) 2 2 fixé et l'espace vectoriel .5"p : {u EUR E ] 3a EUR R, Vn EUR N, un+p + u,, = 2a} 1. Montrer que tout élément de Y,, est périodique de période 219. 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 2. SoitF= ' ' ' ' ' e.x//p+1(R). () 0 '- 1 0 --1 0 0 2 0 0 0 1 2.1 Calculer le polynôme caractéristique de la matrice F. 2.2 Déterminer les valeurs propres de F. 2.3 F est-elle inversible? 2.4 F est--elle diagonalisable dans .//{p+1((C) ? dans /lp+1(R) ? uo+up 2 7 3. Prouver que l'application 5 définie par : Vu EUR 5%, ô(u) : (ug,u1, . . . ,up_1,a) EUR ]RP+1 où a : est un isomorphisme d'espaces vectoriels. Quelle est la dimension de 5"? ? On note C,, l'image réciproque de la base canonique de Rp+1 par 6. 4. Soit 1,b l'application définie par : î,b :u EUR 5",, »----> 1[1(u) = t telle que Vn E N, tn : un+1 4.1 Vérifier que 1/1 est un endomorphisme de 5%. 4.2 Sans nouveaux calculs, préciser w2P : 1/1 01,b0... ozÿ, composée 2p fois de l'application d}. 4.3 Ecrire la matrice de 1,11 dans la base Cp de 5%. 4.4 w est-elle diagonalisable ? 4.5 Prouver que 1/1 est bijective et déterminer son inverse 1/1"1. Fin de l'épreuve

Extrait du corrigé obtenu par reconnaissance optique des caractères



E3A Maths A PSI 2012 -- Corrigé
Ce corrigé est proposé par Nicolas Martin (ENS Lyon) ; il a été relu par Céline
Chevalier (Enseignant-chercheur à l'université) et Guillaume Batog (Professeur
agrégé).

L'épreuve porte essentiellement sur l'espace vectoriel des suites réelles, avec 
en
particulier l'étude de suites récurrentes d'ordre 2. Elle est constituée d'un 
exercice et
d'un problème qui sont indépendants.
· L'exercice est une succession de Vrai/Faux pour lesquels aucune justification
n'était demandée. Les questions concernent les suites récurrentes d'ordre 2 et
les séries entières.
· Le problème porte sur les suites ; on s'intéresse à l'ensemble
Sp = {u  RN | a  R

n  N

un+p + un = 2a}

La partie A considère le cas p = 2 avec a = 0. Ensuite, la partie B, la plus
longue, étudie le cas particulier de S2 . Enfin, la partie C s'intéresse au cas 
p
quelconque (p > 2).
Ces trois parties ont pour objectif commun de trouver une base de Sp en
utilisant à chaque fois les mêmes outils (applications linéaires, séries 
entières,
diagonalisation), les questions étant de plus en plus difficiles à mesure que 
l'on
avance dans le problème.
La longueur et la difficulté de ce sujet se situent dans la moyenne de ce genre
d'épreuves de 3 heures. De nombreuses questions sont faciles et nécessitent 
avant
tout une rédaction irréprochable. Les correcteurs y sont sensibles et savent 
apprécier
les copies empreintes de rigueur.
On peut noter la nouveauté qu'apporte l'introduction de questions Vrai/Faux.
Les concepteurs de sujets rivalisent d'imagination dans l'élaboration des 
énoncés.
Bien que les justifications ne soient pas exigées, il ne faut en aucun cas 
proposer une
réponse qui ne soit pas mûrement réfléchie (un contre-exemple est vite arrivé).

Indications
Questions d'application du cours
1 Considérer l'équation caractéristique de la suite récurrente d'ordre 2 
considérée, à savoir X2 - aX - b = 0, dont le discriminant est égal à a2 + 4b.
2.a L'application linéaire f est toujours injective.
2.d Lorsque les deux racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique
sont  exp(i) et  exp(-i), une base de solutions est alors donnée par

(n cos(n))nN , (n sin(n))nN
3.c Appliquer la règle de D'Alembert à la série de terme général an (2/5)n et en
déduire que R 6 2/5.
4.c Penser à intégrer la série entière.
4.f Comparer les dérivées des deux termes.
Problème
A.4.1 Montrer que si u  S0 converge vers  alors u est constante égale à  et
nécessairement  = 0.
A.4.3 Calculer explicitement un selon la parité de n.
B.7 Remarquer que S0 = Ker() est un hyperplan de S .
B.8 Considérer la suite w = u - (u)v.
B.10 Montrer que  est injective en utilisant le résultat de la question B.8.
B.12.2 Regarder l'image de  par T2 .
B.13 Utiliser l'expression obtenue à la question B.8.
C.2.1 Développer det(F - XIp+1 ) d'abord par rapport à la dernière ligne puis 
selon
la première colonne.
C.2.4 Remarquer que F admet p + 1 valeurs propres distinctes et non toutes 
réelles.
C.4.2 Se rappeler que tout élément de Sp est 2p-périodique.
C.4.3 Bien réaliser que la matrice F n'a pas été introduite pour le roi de 
Prusse...

Questions d'application du cours
1.a Faux. Si a = b = 0, on a un+2 = 0 pour tout n > 0. Ainsi, la seule suite
géométrique vérifiant cette condition est la suite nulle.
Dans les questions suivantes, les concepteurs du sujet ont voulu tester la
capacité des candidats à reconnaître des conditions nécessaires et suffisantes.
1.b Vrai. Si a = -3 et b = 4, on a un+2 = -3un+1 + 4un pour tout n > 0.
L'équation caractéristique de cette suite récurrente d'ordre 2 est X2 + 3X - 4 
= 0
dont 1 est une racine évidente, l'autre racine étant alors -4. Les suites u et 
v définies
par un = 1 et vn = (-4)n , linéairement indépendantes, appartiennent alors à 
E-3,4 .
Les suites u et v définies par un = pn et vn = q n sont toujours linéairement
indépendantes si p 6= q. En effet, si u + µv = 0 alors u0 + µv0 =  + µ = 0
puis u1 + µv1 = (p - q) = 0. Si p 6= q, on en déduit que  = µ = 0.
1.c Faux. En choisissant a et b tels que X2 - aX - b ait deux racines réelles 
distinctes, l'ensemble Ea,b contient deux suites géométriques linéairement 
indépendantes.
Par exemple, si l'on prend (a, b) = (0, 1) 6= (-3, 4), on remarque que cette 
condition
est encore vérifiée. En conclusion, le fait que Ea,b contienne deux suites 
géométriques
linéairement indépendantes n'entraîne pas que a = -3 et b = 4. Autrement dit,
l'implication réciproque de la question précédente est fausse.
1.d Faux. Si a = 2 et b = -1, l'équation caractéristique X2 - 2X + 1 = 0 admet 1
comme racine double. L'ensemble E2,-1 = {(a + bn)nN | a, b  R} ne contient donc
comme suites géométriques que la droite vectorielle des suites constantes.
1.e Vrai. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe deux suites 
géométriques linéairement indépendantes dans Ea,b est que le trinôme X2 - aX - 
b ait
deux racines réelles distinctes. Cela revient à dire que  = a2 + 4b > 0. La 
condition
a2 + 4b > 0 est nécessaire pour avoir  = a2 + 4b > 0 (mais elle n'est pas 
suffisante).
2.a Faux. L'application linéaire f est toujours injective : si f (u) = (u0 , u1 
) = (0, 0),
alors u2 = au1 +bu0 = 0 et par une récurrence immédiate sur n on montre que un 
= 0
pour tout n > 0, c'est-à-dire u est la suite nulle.
Soit (, )  R2 , on pose u telle que u0 = , u1 =  et pour tout n > 2,
un = aun-1 + bun-2 . On a u  Ea,b et f (u) = (, ), ce qui assure la
surjectivité de f . Par conséquent, f est un isomorphisme : une suite u  Ea,b
est entièrement caractérisée par la donnée de u0 et de u1 .
2.b Vrai. Supposons a 6= 0. Soit (, )  R2 , considérons la suite u définie par
u0 = , u1 = ( - b)/a et un = aun-1 + bun-2 pour tout n > 2. Alors u2 = 
d'où g(u) = (, ). L'application linéaire g est donc surjective, montrons 
maintenant
qu'elle est injective : si (u0 , u2 ) = (0, 0) alors u1 = 0 et par le même 
raisonnement
qu'à la question précédente, u est la suite nulle. Ainsi, g est un isomorphisme.
2.c Faux. Comme f est un isomorphisme, on a toujours dim(Ea,b ) = 2.

2.d Pour a = b = -1, l'équation caractéristique devient X2 + X + 1 = 0 dont les
racines sont j = exp(2i/3) et  = exp(-2i/3). Lorsque les deux racines complexes
de l'équation caractéristique sont  exp(i) et  exp(-i), une base de solutions 
est
donnée par (n cos(n))nN , (n sin(n))nN . On en déduit une base de E-1,-1 :
!

2n
2n
cos
, sin
3
3
nN
nN
3.a Faux. Soit n  N. Comme an 6= 0, on peut calculer explicitement an+1 /an .
an+1
(n + 1)n+1 n!
(n + 1)n+1
(n + 1)n
=
=
=
= (1 + 1/n)n
an
(n + 1)! nn
(n + 1) nn
nn
Or

n

(1 + 1/n) = exp(n ln(1 + 1/n)) = exp(n [1/n + o(1/n)]) = exp(1 + o(1))
an+1
----- e 6= 1
an n+

Par conséquent,

3.b Faux. L'affirmation lim an+1 /an > 1 est vraie, mais la suite de la 
proposition
n+

est complètement farfelue : une série entière converge toujours en x = 0.
3.c Vrai. En utilisant la limite obtenue à la question 3.a, il vient que :
an+1 (2/5)n+1
2 an+1
2e
=
-----
>1
(e  2, 718)
an (2/5)n
5 an n+ 5
Ainsi, en appliquant la règle de D'Alembert pour les séries à termes positifs, 
la série
entière diverge en x = 2/5, d'où R 6 2/5 < 1/2.
Une autre façon de faire consiste à utiliser la règle de D'Alembert pour les
séries entières (à la limite du programme, donc à utiliser avec modération)
qui s'énonce de la manière suivante : si an 6= 0 pour tout n  N et que
|an+1 /an | -----   [ 0 ; + ] alors le rayon de convergence de la série
P n+
entière an xn est égal à 1/. Le rayon de convergence vaut alors ici 1/e.

4.a Faux. On a bien |an | 6 1/n pour tout
P n > 1, mais cela implique r > 1,
et non r 6 1 (car le rayon de la série entière xn /n est égal à 1).
Rappel : si |an | 6 |bn | pour tout n  N alors R

4.b Vrai (vu dans la question précédente).

P
P
an xn > R
bn xn .

4.c Vrai. Notons r le rayon de convergence de la série entière

P

sin(n)xn-1 .

n>1

Le sinus étant borné, on en déduit que r > 1. Pour x = 1, comme sin(n) ne tend 
pas
vers 0 quand n tend vers +, la série diverge grossièrement, d'où r = 1. Puisque 
la
P
série entière
an xn en est la série des primitives, il en résulte que r = r = 1.
n>1

Le rayon de convergence de la série entière des dérivées/primitives est 
toujours identique à celui de la série entière d'origine. Et tant que l'on 
reste dans
le disque ouvert de convergence, on peut dériver/intégrer terme à terme.
4.d Vrai car r = 1 > 1/2.